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1 TS Applications géométriques des nombres complexes Cours I. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul (O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe 1. Module et argument d un nombre complexe Définition Soit z = x + iy un nombre complexe et M son point image dans le plan muni d un repère orthonormal direct (O ;u ; v) Le module de z est le nombre réel positif noté z égal à la distance OM : z = x² + y² Si 0, un argument de z, noté arg(z), est une mesure de l angle (u ; OM) en radians. Remarques : 0 n a pas d argument Un nombre complexe non nul a une infinité d arguments [2π] zz = = z ² z i i 3i z arg(z) Calculatrice : Casio OPTN CPLX ABS pour le module et ARG pour argument TI MATH CPX abs pour le module et angle pour argument Exemple : déterminer un ensemble de points Déterminer l ensemble des point M(z) tels que : z = 4 ; arg(z) = π 4 1

2 2. Propriétés a. Caractérisations d un réel, d un imaginaire pur Soit z un nombre complexe z est un réel non nul si et seulement si arg(z) = 0 [π] z est un imaginaire pur non nul si et seulement si arg(z) = π [π] 2 b. Conjugué et opposé Soit z un nombre complexe non nul 1. z = z et arg(z ) = - arg(z) [2π] 2. z = z et arg( z) = arg(z) + π [2π] 3. Forme trigonométrique Dans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x; y) ou par un couple (r ; ) de coordonnées polaires avec OM = r et (u ; OM ) =. Définition Soit z un nombre complexe non nul, r un réel strictement positif et un réel. z a pour module r et argument si et seulement si z = r(cos +i sin ) Soit z = z (cosθ + i sinθ) Cette nouvelle écriture est appelée forme trigonométrique de z 112 page 25 Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique Déterminer la forme trigonométrique de a) z 1 = 1 + i b) z 2 = 2 c) z 3 = 3i Déterminer la forme algébrique de : z = 2 (cos ( 7π 4 ) + i sin(7π 4 )) Forme algébrique z = x + iy avec x = r cos y = r sin Forme trigonométrique z = r(cosθ + isinθ) avec r = x² + y² = z cos = x r et sin = y r 2

3 4. Propriétés du module et des arguments a. Egalité Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et si leurs arguments sont égaux à 2 près. Propriétés b. Opérations Pour tous nombres complexes z et z : 1. z + z z + z ( inégalité triangulaire ) 2. de plus, si z et z sont non nuls a) z z = z z et arg(zz ) = arg(z) + arg(z ). b) Pour tout entier naturel non nul n, z n = z n et arg(z n ) = n arg(z) c) z = z z z et arg ( z ) = arg(z ) arg(z) z Preuve : 1. L inégalité triangulaire est une traduction de l inégalité sur les distances 2. Soit z = r(cosθ + i sinθ) et z = r (cosθ + i sinθ ) où r, r > 0 a. zz = rr [(cosθcosθ sinθsinθ ) + i(sinθcosθ + sinθ cosθ)] = rr (cos(θ + θ ) + i sin (θ + θ ) b. Démonstration par récurrence sur n c. On pose Z = z, ainsi z z = zz et on applique les propriétés du produit Déterminer le module et un argument de z = 1 i 3 En déduire le module et un argument de z ; 4z ; iz ; z 5 Déterminer forme trigonométrique de : 1+i 1 i 3 ; (1 + i)(1 i 3) 3

4 II. Lien avec le plan complexe 1. Propriété A et B sont deux points d affixes za et zb. AB = zb - za Si A et B sont distincts : (u ; AB ) = arg(zb za ) Exemple : z A = 3 et z B = 4 i ; AB = et (u ; AB ) = 2. Applications a. Ensembles de points Exemple : Déterminer l ensemble des points M(z) tels que : z + 2i = 1 ; z (2 + i) = z Caractérisation d un cercle et de la médiatrice d un segment Soient A(z A ) et B(z B ) M(z) appartient au cercle de centre A, rayon r ssi z z A = r M(z) appartient à la médiatrice du segment [AB] ssi z z A = z z B b. Points alignés, droites parallèles, perpendiculaires Propriété A, B, C et D sont 4 points deux à deux distincts d affixes respectives za, zb, zc, zd (AB ; CD ) = arg ( z D z C ) et CD zc = zd z B - z A AB zb - za = z D z C z B z A Preuve : (AB ; CD ) = (AB ; u ) + (u ; CD ) = (u ; AB ) + (u ; CD ) = arg(z B z A ) + arg(z D z c ) = arg ( z D z c ) z B z A Conséquences : Les points A, B,C sont alignés si et seulement si arg ( z B z C ) = 0[π] z A - z C Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si : arg( z D z C ) = π z B - z [π] A 2 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si : arg( z D z C z B - z A ) = 0 [π] 4

5 Exemple : Soit les points A,B et C d affixes z A = i 3, z B = - 1 i 3, z C = 2 Déterminer la forme trigonométrique du complexe z B z C z A - z C, puis en déduire la nature du triangle III. Notation exponentielle d un nombre complexe 1. La fonction cos + i sin Soit f la fonction définie par f : R Z cos + i sin Pour tous réels,, on a f( + ) = cos ( + )+i sin( + ) f() a pour module 1 et argument f( ) a pour module 1 et argument Donc : f( ) f( ) a pour module 1 et argument + Conclusion : f( + ) = f( ) + f( ) De plus : f(0) = 1 La fonction f vérifie les propriétés d une fonction exponentielle, on adopte donc l écriture : e i = cos + i sin ( notation introduite par Euler en 1748 ) Autrement dit : e iθ est le complexe de module 1 argument θ e i0 = ; e iπ =.. ; e iπ 2 =. ; i 2 e 3 = 2. Forme exponentielle Nous avons vu que tout complexe non nul dont un argument est peut s écrire z = r (cos + i sin ) où r = z Définition Une forme exponentielle d un nombre complexe non nul, dont un argument est, est l écriture z = z e iθ Ecrire sous forme exponentielle : 5i ; 4 + 4i ; 6 Ecrire sous forme algébrique : 3e iπ 2 ; 2e 3iπ 4 ; 5

6 Règles de calcul Soit r, r deux réels strictement positifs ;, 2 réels re iθ r eiθ = rr e i(θ+θ ) (re iθ ) n = r n e i(nθ) (Formule de Moivre ) re iθ = re iθ 1 = 1 re iθ r e iθ re iθ = r r e iθ r ei(θ θ ) Exemples i i re re i 4 1. z = 2 e i 3 et z =3 e. Donner la forme exponentielle de zz et z z 2. Donner la forme algébrique de ( 1 + i) Retrouver des formules trigonométriques : Donner la forme algébrique de e ia e ib et e i(a+b) où a et b sont deux réels. Retrouver les formules de trigonométrie vues en 1ère S 6

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