Version du 7 avril 2017 (12h20)

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1 CHAPITRE 7. OUVEENT SIPLE DU POINT Définiions Inroducion Descripion du mouemen d un poin A) Sysème d es de référence B) Définiion nlyique du mouemen C) Définiion inrinsèque du mouemen Veceur iesse A) Définiion B) Epressions crésienne e sclire C) Disnce prcourue Veceur ccélérion A) Définiion B) Epressions crésiennes C) Hodogrphe ouemen reciligne Générliés ouemen reciligne uniforme (.R.U.) ouemen reciligne uniformémen ccéléré (.R.U.A.) ouemen reciligne périodique ouemen reciligne hrmonique ouemen pln Générliés Accélérions normle e ngenielle. Trièdre de Frene ouemen circulire : éude générle A) Descripion B) Epressions ecorielles ouemen circulire uniforme (.C.U.) ouemen circulire uniformémen ccéléré (.C.U.A.) Viesse e ccélérion en coordonnées polires ouemens dns l espce Version du 7 ril 7 (h)

2 CHAPITRE 7. OUVEENT SIPLE DU POINT 7.. Définiions 7... Inroducion L cinémique pour obje d inroduire les élémens fondmenu nécessires à l descripion géomérique d un mouemen, sns se soucier des cuses (les forces) qui prooquen ce mouemen. Les conceps mis en jeu pr l cinémique son principlemen ceu de posiion, iesse, ccélérion, rjecoire. Ils ne fon inerenir que les deu dimensions physiques fondmenles de longueur e de emps Descripion du mouemen d un poin A) Sysème d es de référence L éude du mouemen d un corps es l éude des posiions successies de ce corps, u cours du emps, pr rppor à un rièdre pris comme référence. Il es fondmenl de préciser le rièdre uilisé, cr le mouemen dépend de celui-ci. Pr eemple, un oygeur ssis dns un wgon qui nce, es en mouemen pr rppor à un rièdre lié à l erre, e es u repos pr rppor à un rièdre lié u wgon; l oie de chemin de fer es u repos pr rppor à l erre, e en mouemen pr rppor u soleil (repos = eceur posiion inrible pr rppor u rièdre). Dns ce chpire, nous éudierons le mouemen d un poin mériel (élémen de mière, de dimensions négligebles, ssimilé à un poin géomérique); en rélié, cel nous permer d éudier le mouemen du cenre de msse d un corps, poin uquel es supposée concenrée oue l msse du corps. B) Définiion nlyique du mouemen Soi le rièdre Oyz pris comme référence (fig. 7..). Le poin mobile occupe à l insn origine ( ) une posiion ( ; y ; z ). L mesure du emps se fi u moyen de l rible sclire, don l leur bsolue mesure l inerlle de emps qui sépre l insn origine de l insn considéré; es posiif si l insn considéré es posérieur à l insn origine; es négif si l insn considéré es nérieur à l insn origine. fig Définiion du mouemen. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

3 L posiion (donc le mouemen) du poin ser définie si on connî, à chque insn, ses coordonnées en foncion du emps, soi les rois équions prmériques : f y f ; y; z (éq. 7..) z f 3 ce qui peu s écrire ecoriellemen O én le eceur posiion (fig. 7..) : O y z f f f y z y 3 z Pr définiion, on ppelle rjecoire C le lieu de posiions successies occupées pr u cours du emps. L rjecoire peu êre reciligne ou curiligne (ouere, fig ou fermée, fig. 7..b.) plne ou en 3D. fig Trjecoire. En éliminn enre les deu premières équions (éq. 7..), on obien une relion (équions crésiennes de l rjecoire obenus à prir des équions prmériques) : F ; y qui es l équion d une surfce cylindrique don les générrices son prllèles à Oz e don l direcrice es l courbe d équion F y dns le pln Oy. De même, en éliminn enre f e f, 3 ; 3 e enre f e f, on obien les équions : ; F y z e F z;, 3 de deu ures surfces cylindriques don les générrices son respeciemen prllèles u es O e Oy. Ces rois surfces cylindriques se coupen suin une courbe de l espce qui es l rjecoire du poin mobile. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

4 C) Définiion inrinsèque du mouemen Le mouemen d un poin es prfiemen défini si on connî : s rjecoire C; l disnce, mesurée sur C, séprn de ; on doi choisir un sens de prcours posiif, indiqué pr une flèche (fig. 7.3.). L disnce, longueur de l rc, es définie pr : s s (en m). On prler souen de disnce prcourue en sommn les différens s i. Eemple : En cnces on ne défini ps son iinérire pr ses coordonnées mis pr une rjecoire e une disnce prcourue. fig Longueur d rc. Remrque : En mhémiques, nous ons ussi l noion d bscisse curiligne λ. C es en fi l longueur d rc munie d un signe L bscisse curiligne es donc l nlogue, sur une courbe, de l bscisse sur une droie orienée. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

5 7..3. Veceur iesse A) Définiion Soi le poin sur s rjecoire C (fig. 7.4.) : u emps en (; y; z) u emps en ( ; y ; z ). fig Veceur iesse. moy : Pr définiion, on ppelle iesse moyenne de sur l inerlle de emps ( - ), le eceur O O moy [m/s] moy : es l iesse d un poin qui iri de à pendn le emps Δ, d un mouemen reciligne uniforme. Ainsi l iesse moyenne du poin es le eceur moy : son origine es le poin s direcion e son sens son ceu du eceur son module u : moy L iesse moyenne dépend uniquemen du déplcemen ne e de l inerlle de emps; le rje réel prcouru enre-emps n ps d impornce. Nous ons ussi l noion de iesse sclire moyenne. L iesse sclire moyenne pour un inerlle de emps fini es définie pr l disnce prcourue pr l inerlle de emps. C es l noion rdiionnelle de iesse moyenne. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

6 sclire moy rc s Puisqu elle es définie en foncion de l disnce, l iesse sclire moyenne es églemen un sclire posiif (il n y ps de symbole représenn l iesse sclire moyenne). Applicion 7.. Un oiseu oln ers l es prcour m à m/s. Il fi ensuie demi-our e ole pendn 5 s à m/s. Trouer : ) s iesse sclire moyenne; b) s iesse moyenne. Soluion : Sysème d es Orienons l e des ers l es. L figure ci-conre représene un croquis du rje prcouru. Résoluion Pour rouer les leurs demndées, il fu déerminer l inerlle de emps ol. L première prie du rje duré : espce s iesse Le emps ol én : 5 5 s L oiseu prcour m ers l es, ensuie fig Applicion 7.. résoluion. m s 5 s 3 m ers l oues. ) Viesse sclire moyenne disnce prcourue s 3 sclire moyenne 6 m s 5 b) Viesse moyenne déplcemen 3 moy 8 m s 5 moy es dirigé ers l oues. 8 moy On ppelle iesse insnnée de à l insn, l limie de moy lorsque : lim lim moy O O d O d O [m/s] J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

7 Qund on fi endre ers (ce qui équiu à ), l corde end ers l ngene à l rjecoire u poin ; simulnémen, on : s s s ds lim lim s d ec s Ainsi, l iesse (insnnée) du poin es un eceur : ché u poin ; de grndeur égle à : s ; de direcion ngene à l rjecoire; oriené dns le sens du mouemen. (oujours posiif). Vecoriellemen, on peu écrire : d O d (éq ) En effe, en normlisn, on obien un eceur : de grndeur uniire; de direcion ngene à l rjecoire; e oriené dns le sens du mouemen. que l on nomme. Définiion : d O On peu ussi écrire d d O, ce qui monre que es une noion inrinsèque à ds ds d l courbe, conriremen à l iesse qui dépend de l prmérision. Conséquence : d O d O ds d ds d fig Veceur uniire. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

8 B) Epressions crésienne e sclire Les composnes (crésiennes) de son données pr : O y y z z y y z z Remrque : d e prce que nous sommes dns un repère fie (les eceurs d uniires son consns en grndeur e direcion. Le module de peu se clculer de deu fçons différenes : ou s y z ndis que les cosinus direceurs de son données pr : y z cos ; cos ; cos. C) Disnce prcourue L disnce prcourue sur l rjecoire correspond à l longueur d rc s, d où : ds d én supposé consn pendn l inerlle infinimen pei d. Dès lors, on obien, comme disnce prcourue enre les insns e ( ), e pour un que le sens de ne chnge ps enre e : s, d y z d (en m) J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

9 7..4. Veceur ccélérion A) Définiion Soi : l iesse à l insn l iesse à l insn (fig. 7.7.) fig Veceur ccélérion. Pr définiion, on ppelle ccélérion moyenne de sur l inerlle de emps ( - ), le eceur : moy moy Le eceur à l même direcion que le eceur. moy On ppelle ccélérion insnnée de à l insn, l limie de moy lorsque : lim moy lim d d d O d On noer indifféremmen : d d O O d d (en m/s ) Ainsi, l ccélérion (insnnée) de es un eceur : ché u poin ; si l rjecoire es curiligne, le eceur es nécessiremen non nul e oriené ers l inérieur (concié) de l rjecoire; si l rjecoire es reciligne, il es ligné suin l droie suppor de l rjecoire. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

10 Remrque : d consn n implique ps uomiquemen que. En effe, comme, d eise s il y riion de l grndeur de l iesse e/ou s il y riion de l direcion de l iesse. B) Epressions crésiennes Les composnes (crésiennes) de son données pr : O y y z z y z y y z z Remrque : s, pr conre : n s Les cosinus direceurs de son donnés pr : y z cos ; cos ; cos. C) Hodogrphe Pr un poin P quelconque, on rce à chque insn un eceur Pm équipollen à (fig. 7.8.). fig Hodogrphe. Le poin mobile m décri l hodogrphe du mouemen de. Or : m d Pm d d d L iesse de prcours de l hodogrphe pr l erémié du eceur, qui insi deien ngene à l courbe décrie pr mère. es égle à l ccélérion J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

11 7.. ouemen reciligne 7... Générliés L rjecoire du poin mobile es une droie; on choisir donc l droie rjecoire comme e unique de coordonnées (près l oir oriené); le mouemen es défini pr une seule coordonnée, pr eemple f (équilen à O ). On roue immédiemen (fig. 7.9.) : L iesse e l ccélérion son lignées ec l e O; on que : fig ouemen reciligne. Dès lors, u lieu de riller ec des eceurs, on peu direcemen uiliser leurs composnes; si e son de même signe, le mouemen es ccéléré ; s ils son de signes conrires, le mouemen es décéléré ou rerdé. Clssiquemen, on représene le mouemen en rçn les grphes de, e en foncion du emps, e on obien des courbes ppelées respeciemen : digrmme des espces, digrmme des iesses, digrmme des ccélérions ouemen reciligne uniforme (.R.U.) d Dns ce cs, l iesse d immédiemen (condiion iniile : ) : es une consne pour ou insn ; il ien dès lors.r.u. d L consne d inégrion fie l posiion iniile du poin mobile (fig. 7..). J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

12 fig ouemen reciligne uniforme RU. Applicion 7.. Un éhicule circule sur uoroue à l iesse de 7 km/h. Il psse u nieu d une borne kilomérique A à heures. Un second éhicule N psse l même borne à h 6 min; il roule à une iesse de 9 km/h. Qund N rrper--il? combien de kilomères u-delà de A? Soluion : Ae de référence Soi O l e permen de décrire le mouemen. fig Applicion 7.. ise en équion A es confondu ec l origine de l e; l insn origine es pris u momen où psse en A. En prenn le mère comme unié de longueur e l seconde comme unié de emps, le mouemen de s écri : Pour le mobile N, on écrir : 9 N N N N 5 N 3. 6 ec, en s m Poin de renconre Qund N rrper, on ur : 5 9 N N s 3 min L renconre ur lieu à h 3 min, à une disnce : m u-delà de A. N J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

13 fig Résoluion grphique ouemen reciligne uniformémen ccéléré (.R.U.A.) C es un mouemen pour lequel l ccélérion insn ; on dès lors (condiions iniiles : e ) : es une consne pour ou.r.u.a. d d Dns l epression de, on conse que : le erme indépendn donne l posiion du mobile pour ; le coefficien de (soi ) donne l iesse du mobile en ; le coefficien de représene l moiié de l ccélérion consne (fig. 7.3.). fig ouemen uniformémen ccéléré RUA. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

14 Applicion 7.3. D un poin A, on lisse omber un corps sns iesse iniile e, en même emps, d un poin B siué plus bs, sur l même ericle (à l disnce AB m ), on lnce un corps N ericlemen, de bs en hu, ec une iesse iniile N. ) Que doi loir N pour que l renconre i lieu u milieu de AB? b) Que doi loir N pour que l renconre i lieu à l insn où les mobiles son nimés de iesses égles e de signes conrires? Où e qund se fer l renconre dns cee hypohèse? Soluion : Ae de référence Soi O l e permen de décrire le mouemen. ise en équion A es confondu ec l origine de l e. L ccélérion de l pesneur es dns le sens des posiifs; les mouemens de e N s écrien : g g g g N N N N ) Recherche de l iesse AB N g 4. 5 s 9. 8 fig Applicion g N 44 3 m s N Le signe + indique que l iesse iniile de N es prise dns le sens pris u dépr, soi ers le hu. b) Recherche de l iesse En dérin les équions du mouemen, on obien : g e N g N Poin de renconre : il fu que e e N g g N g g g N N g N L iesse iniile u dès lors : N m s (seule l rcine posiie én ccepble, oir ). N 6. 6 L renconre lieu près un emps : s g N J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

15 L disnce prcourue pr én : g 5 m ouemen reciligne périodique Ce mouemen es défini pr l équion : C ep ec : C e Pour, on C, poin de dépr du mobile. En dérin, on roue : C ep ec : C ; le poin se déplce ers les négifs, de plus en plus lenemen. Pour l ccélérion, on : C ep fig ouemen reciligne périodique. L ccélérion e l iesse én de signes conrires, le mouemen es décéléré. Après un emps, le mobile se roue en, ec e (fig. 7.5.). On ppelle, pr définiion, consne de emps τ l leur de elle que : ep ep. 37 On donc. Connissn τ on peu consruire l eponenielle poin pr poin. En effe, pour, l ordonnée es égle à.37 de l ordonnée iniile; pour, l ordonnée es égle à.37 de l ordonnée précédene, ec. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

16 Remrque : Le mouemen périodique criique es défini pr : C ep ouemen reciligne hrmonique Ce mouemen es défini pr l équion qui décri un mouemen de -e-ien enre les coordonnées A e A de l e O (fig. 7.6.); l posiion iniile u A sin. A sin (éq. 7.4.) fig ouemen reciligne hrmonique. Les lois des iesses e ccélérions son (fig. 7.7.) : A cos A sin A sin (éq. 7.4.) fig ouemen reciligne hrmonique : posiion, iesse e ccélérion. lorsque A; es mimum lorsque ; én oujours du signe conrire de, le eceur ccélérion es oujours dirigé ers l origine. Ce qui indique que dns un mouemen sinusoïdl, l ccélérion es oujours proporionnelle e opposée u déplcemen; A es ppelé l mpliude de l ibrion hrmonique; es l ngle de phse ; on ppelle ω l pulsion (en rd/s); J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

17 Le mouemen es périodique : le mobile reien ecemen dns s configurion iniile près un emps Τ ppelé période : Le nombre de ibrions complèes pr seconde es l fréquence : T Remrque : Le mouemen reciligne hrmonique mori es défini pr : sin A ep C es un mouemen hrmonique simple don l mpliude, u lieu d êre consne, décroî eponeniellemen ec le emps (fig. 7.8.). fig ouemen reciligne hrmonique mori. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

18 7.3. ouemen pln Générliés Soi Oy le pln de l rjecoire de (fig. 7.9.). On si que : O y f f y y y y y fig ouemen pln. y y y y y Si se roue sur un ronçon curiligne de l rjecoire, on si que : es ngen à l rjecoire es non nul e dirigé ers l concié de l courbe; on ne si ps déduire direcemen l rjecoire de l direcion de l ccélérion. En fi, un mouemen pln n es que l combinison, suin deu direcions perpendiculires, de deu mouemens recilignes simulnés; les considérions décries u 7.. son donc sricemen d pplicion pour un mouemen pln. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

19 Applicion 7.4. Eudier l rjecoire d un projecile lncé depuis l surfce erresre ec une iesse iniile inclinée d un ngle α pr rppor à l horizonle. ) Equions du mouemen; b) Equion de l rjecoire; c) Hueur mimle eine H; d) Abscisse du poin de chue sol ; e) Disnce (curiligne) prcourue s o ; f) Viesse lors de l impc u sol sol ; g) Hodogrphe. Soluion : Choi du sysème d es Choisissons le sysème d es Oy pour fcilier les condiions iniiles; dns le sysème proposé, on peu écrire, en : y O O y cos sin Hypohèse sur l leur de g Si l rjecoire es peie pr rppor u dimensions de l erre, on peu considérer que g es consn : O g 9. 8 y y fig Applicion 7.4. Projecion suin les es (O e Oy) On insi, suin O : cos d cos ec e suin Oy : g d g g sin y y y y y g y y d sin y ec y ) Les équions du mouemen combinen un.r.u. ec un.r.u.a. : cos g y sin b) Equion de l rjecoire : il fu éliminer des équions prmériques : J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

20 g y n cos cos C es l équion d une prbole ( ir prbolique ). c) L hueur mimle H es eine lorsque y h sin H yh g d) Le poin de chue es crcérisé pr y s sin g sol sin sol sin sol sol g g C es l porée : sol es mimum si 45. e) Longueur d rc : sol s d o sin g cos sin g d f) L iesse lors de l impc u sol u : sol cos sol sol g y s sin sin Cee iesse donc un module, e es inclinée d un ngle α pr rppor à l horizonle. g) L hodogrphe es dégénéré en une droie ericle sol fig Hodogrphe. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

21 7.3.. Accélérions normle e ngenielle. Trièdre de Frene. Pour un poin décrin une rjecoire curiligne plne, don l ccélérion es (fig. 7.3.) on peu enisger de décomposer en une composne ngenielle (prllèle u eceur en 7..3.A.) ppelée ccélérion ngenielle, e une composne normle n (suin n, perpendiculire à ) ppelée ccélérion normle. fig Trièdre de Frene. fig Accélérion ngenielle e normle. Chcune de ces composnes une significion physique bien précise : qund se déplce, le module de s iesse peu chnger, e ce chngemen es relié à l ccélérion ngenielle; l direcion de l iesse chnge églemen, e ce chngemen es relié à l ccélérion normle. On si, pr 7..3.A., J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

22 que : ds d don on dédui l ccélérion : d d d d d d d d ds d ds d d d d ds d Déerminons : ds d Propriéé : ds Comme l rjecoire es courbe, l direcion de rie le long de l courbe, ce qui donne une d leur non nulle à ; or on si que : ds d d d ds ds ds d ds d dès lors es perpendiculire à. ds d Définiion : L direcion de es ppelée normle e on défini le eceur uniire ds d norml ds n qui, ou comme, es inrinsèque à l courbe. d ds d Propriéé : n es oujours dirigé ers l inérieur de l courbe. Le sens de n es déerminé pr le sens de d ' (oir fig. 7.4.) puisque s e d. ds d J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

23 Définiion : d ds ec : κ : l courbure ρ : le ryon de courbure L courbure es définie à l ide de s cr es inrinsèque à l courbe. Les normles à l courbe en e en se coupen en un poin N ppelé cenre de courbure; en ppeln N le ryon de courbure. Le cours de mhémique ser un ecellen complémen pour l compréhension de cee noion de courbure. fig Courbure e direcion du eceur norml. Reenons à l epression de l ccélérion, comme : d d n n ds ds nous obenons : d d (éq. 7..) n e Que l on peu ussi écrire sous l forme : d n d d d n n 4 s s (éq. 7..) J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

24 Remrque : d Si le mouemen es reciligne, on, donc, e n ; ds l ccélérion se rédui à s seule composne, sur l droie suppor de l rjecoire. Le erme correspond bien à l dériée pr rppor u emps de l grndeur du eceur iesse; d le erme n es norml à l courbe, e es ssocié u chngemen de direcion, cr il correspond à. d Remrque : A chque poin d une rjecoire curiligne on peu ssocier un rièdre de Frene () composé de, n e b (ec ). b n Ce rièdre de Frene es rès lrgemen uilisé en mhémiques pour définir les noions de pln e de cercle osculeurs, courbure, orsion... u poin de l courbe donnée. On peu nommen démonrer que le ryon de courbure d une courbe plne donnée pr les équions f e y f u : n y y y 3 3 y y L héorie, ec démonsrion, ser ue dns le cours de mhémique. () Frene Jen-Frédéric (86 [Périgueu] - 9 [Périgueu] ) : mhémicien, sronome e mééorologue frnçis. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

25 Applicion 7.6. Une roue de ryon r. 4 m roule sns glisser sur un ril. Un poin de l périphérie de l roue se roue, à l insn, confondue ec l origine du sysème d es. Les équions du mouemen de son données pr :. 4 sin y. 4 cos cycloïde. Déduire les lois de iesse e ccélérion de ; rcer l hodogrphe des iesses de. Pour s, clculer les leurs de,, e n insi que l disnce prcourue pr e le ryon de courbure de l rjecoire à ce insn précis. fig Applicion 7.6. Soluion : Les composnes crésiennes de l iesse son : 8. cos 8. cos 8. sin y y 8. sin 8. cos sin y y 8. cos 8. 4 sin 6. sin m s Les composnes crésiennes de l ccélérion son : 6. sin 6. sin 6. cos y y 6. cos 6. m s y y Les composnes rdiles e ngenielles de len : d 6. cos d e 3 n ec y y e insi : 6. sin cos cos sin 3 6. sin J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

26 n 6. sin on reroue bien sûr l grndeur : 6. m s Pour le clcul de l ccélérion normle on pourri ussi uiliser l méhode suine : n cos 6. sin n e en déduire le ryon de courbure : 6. sin 6. sin 6. sin n méhode qui perme de ne ps psser pr l formule du ryon de courbure. En s, on roue : y e 346. m s y e 6. m s. 864 m s ; n 346. m s ; 346. m. Hodogrphe fig Hodogrphe. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

27 Pour rcer l hodogrphe, il fu rouer le lieu des erémiés de ous les eceurs iesses, rpporés à une même origine P; éliminons enre e y : 8. cos y y sin 8. ce qui es l équion d un cercle de ryon.8 e de cenre (.8; ). Pour rouer l disnce prcourue pr enre e, il fu clculer : s d 6. sin d 6. cos. 736 m ouemen circulire : éude générle A) Descripion Il s gi d un cs priculier rès imporn des mouemens curilignes plns. L rjecoire es un cercle de ryon r e de cenre O (fig. 7.7.). fig ouemen circulire. Choisissons un sysème d es Oy cenré en O. L équion de l rjecoire es : y r. L loi du mouemen s eprime pr : r cos ec f [ rd] e r cs y r sin correspondn à l epression ecorielle : J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

28 O r cos r sin y L longueur d rc, mesurée à prir de correspondn à, u : s r On obien immédiemen : L epression de l iesse O r sin r cos y r sin r cos r r r Remrque : Es oujours posiif cr es oujours dns le sens de l iesse. L epression de l ccélérion r cos r sin r sin r cos y... r 4 y n d r d r se r cr c r dns ce cs ci r On ppeller : l iesse ngulire en rd s ou s l' ccélérion ngulire en rd s ou s e on obien finlemen les epressions sclires : n r r r r ec r 4 J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

29 B) Epressions ecorielles L forme r n indique ps inrinsèquemen l direcion e le sens du eceur. On défini le eceur iesse ngulire comme un eceur, loclisé en O, perpendiculire u pln du mouemen (fig. 7.8.), d epression : (éq. 7.6.) ce qui perme d écrire : O (éq. 7.6.) z z On conse que fig Viesse ngulire. es plcé sur l e de roion uour duquel se fi le mouemen. En dérin cee epression ecorielle, on roue : d O O O d ec, pr définiion : e O O O O (éq ) ou encore, en déeloppn le double produi ecoriel (oir.4.4.) : O O O O O J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

30 e on reroue bien ecoriellemen, des epressions en ccord ec les grndeurs déduies en A) (fig. 7.9.) : O e n O Le erme n es ppelé ccélérion cenripèe. fig Viesses e ccélérions. Le eceur représene le eceur ccélérion ngulire, églemen perpendiculire u pln de l rjecoire, e ppliqué en O. On oi immédiemen que e de même sens signifie un mouemen circulire ccéléré, e que e de sens conrires, un mouemen circulire rerdé. Dns le rièdre de Frene (, n, b ) nous ons : O (éq. 7.8.) r n Schn que pour un mouemen circulire r cs, que e que (oir 7.3..) : d ds d n n n ds d ds e pr nlogie : n n en résumé : n n n n d où, l epression de l iesse deien : O r r r n n (éq ) r (éq ) J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

31 e celle de l ccélérion : r r r r r n r r n (éq ) ouemen circulire uniforme (.C.U.) Dns ce cs le module es consn pour ou insn ; il ien donc immédiemen que l iesse ngulire elle-même es une consne :.C.U. r d rd rd s rd s L consne d inégrion θ fin l posiion du poin, à l insn. On ppelle période Τ l durée d un our; on : r r Le nombre de ours pr unié de emps es l fréquence : J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

32 Applicion 7.7. Une brre droie OA, pssn pr un poin fie O, ourne uour de ce poin à l iesse consne de n r min. On considère, dns le pln, un poin B fie siué à 5 cm de O e on bisse l perpendiculire B sur OA. Déerminer l rjecoire, e les lois de iesse e d ccélérion du poin siué sur OA. fig Applicion 7.7. Soluion : L iesse ngulire ω b de l brre u : n b 47. rd s 6 3 Deu pproches du problème son possibles : ) Approche géomérique : Recherche de l rjecoire L ngle OB én droi, e les poins O e B én fies, décri l circonférence de cenre O, milieu de OB. Ainsi O r. 5 m. L équion de l rjecoire de én lors : y fig Résoluion. Recherche des relions rigonomériques Dns le ringle isocèle OO, on : or on si que : b ec e donc : b Dès lors, le poin ourne uour de O, suin un.c.u. de ryon.5 m, à l iesse ngulire ω : b, l ccélérion ngulire én nulle; 3 L iesse de uour de O u : O m s 3 L ccélérion qun à elle u : J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

33 O n O m s ) Approche ecorielle : Vecoriellemen, on pourri écrire : Pour l posiion : O O O ec : cos sin O y e en écrin l projecion de OB sur O, on obien : O OB. 5 cos sin. 5 sin O y y D où : 5. cos sin. 5sin O y sin cos (équion prmérique d un cercle de cenre O (; ) e de ryon : ) Pour l iesse : Schn que b b, on : 3 O. 5 cos. 5 sin y m s 3 Pour l ccélérion :. 5 sin. 5 cos y. 5. m s 9 y J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

34 ouemen circulire uniformémen ccéléré (.C.U.A.) Pour ce mouemen l ccélérion ngenielle donc elle-même une consne : es consne; l ccélérion ngulire es.c.u.a. r d rd s d rd s rd Si l iesse ngulire croî, le mouemen es uniformémen ccéléré; si l iesse ngulire décroî, le mouemen es uniformémen rerdé (ou décéléré). Aenion, le fi que l ccélérion ngenielle soi consne n enrîne ps que l ccélérion normle le soi; celle-ci u : n r r Applicion 7.8. Un rin commence à prcourir d un.c.u.a. une courbe circulire de ryon r 8 m e, près oir frnchi une disnce de 6 m, cquier l iesse de 54 km/h. Clculer l iesse e l ccélérion du rin à mi-chemin du rje prcouru. Soluion : ise en équion de l posiion 6 s r r Si on choisi l insn iniil e l posiion de dépr els que e. ise en équion de l iesse 54 km h 5 m s r r r 36. En combinn les équions, on obien, pour le rje comple : 6 r 5 8 s rd s r r A mi-chemin, on : 3 r r s J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

35 e insi : r. 6 m s 38. km h r 9. m s ; n r r 4. m s d où : 4 m s. Résoluion en RUA Remrquons que ce problème uri pu êre résolu ou ussi fcilemen pr les équions du RUA. Dns ce cs prenons l longueur d rc s e meons en équion : s s Aec en : s, e d où : s 6 s 8 s m s 8 A mi-chemin : s 3 s 3 m s m s J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

36 Viesse e ccélérion en coordonnées polires Considérons un rc de rjecoire plne e le eceur iesse u poin (fig ). Il fu décomposer en coordonnées polires, en une composne rdile r e rnsersle θ. Les es r ; én oriené de elle mnière que le sysème d es soi d orienion direce. Le même ype de décomposiion doi êre fi pour, en une composne rdile r e une composne rnsersle θ. ec : r f e f. Remrque : ; ; r n (!) fig Cinémique en coordonnées polires. Schn qu en projen, e sur les es défini comme : r cos sin y cos sin sin cos y on obien : O r r ; r r ;. r r O r ; y J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

37 Si on se rppelle ce qui éé u précédemmen A. (éq.7.85.) on peu pr nlogie rouer direcemen : r r r (éq ) d où : ) l iesse de : O d r r r r r r r r r d r r r (éq ) r ) l ccélérion de : dr r r r r r r r r d r r r r r r r r (éq ) r r r Remrque : Les formules éblies en A. pour le mouemen circulire découlen direcemen des epressions ci-dessus, en effe r én consn (ryon du cercle) nous ons : r r. E on roue, uniquemen dns ce cs priculier du cercle : r r r r g n J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

38 Applicion 7.9. Résoudre l pplicion 7.7. en uilisn les coordonnées polires. Soluion : Recherche des coordonnées (r, θ) : Dns le ringle recngle OB, il ien direcemen (oir données numériques) : b 3 r O OB sin Remrque :. 5 sin 3 L relion r OB sin n es lble que prce que dns nore pplicion,. fig Applicion 7.9. Recherche des iesses : r r. 5 cos 3 3 r. sin m s 3 r Recherche des ccélérions : r r r. 5 sin. 5 sin sin 3 3 r r. 5 cos cos 3 3 r.. m s 3 ce qui confirme bien les résuls roués précédemmen. J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

39 7.4. ouemens dns l espce Ce mouemen es défini pr rois équions : f y f z f 3 Il peu êre considéré comme l combinison de rois mouemens recilignes simulnés (ou comme l combinison d un mouemen pln ec un mouemen reciligne suin une perpendiculire u pln...). fig Cinémique 3D. Comme pour les mouemens plns, en chque poin de l rjecoire, on peu rcer le rièdre de Frene (fig ); les eceurs e n ppriennen u pln osculeur de l courbe, en, e b n. L décomposiion de l ccélérion suin (le long de ) e n (le long de n ) es oujours lble. L recherche de e peu églemen se fire dns des sysèmes d es ures que crésiens (pr eemple cylindriques, ou encore sphériques...). J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

40 Applicion 7.. Eudier le mouemen hélicoïdl, décri pr : r ; y r sin ; z k. c cos c On demnde de rouer : ) l rjecoire; b) l loi des iesses; c) l loi des ccélérions; d) l epression de l disnce prcourue; e) le ryon de courbure. Soluion : ) Recherche de l rjecoire L rjecoire es bien siuée sur un cylindre de fig Applicion 7.. réoluion, d e Oz, puisque y r c. Si on ire de l dernière équion e si on subsiue s leur dns l première, on roue : z rc cos k L rjecoire du poin ser donc une spirle à ryon consn. Recherche du ps de l hélice h En, le mobile se roue en (r c ; ; ). k En, on (r c ; ; ). Le ps de l hélice es l différence enre les coes de e : k h z z b) Recherche de l iesse On obien immédiemen : r sin r cos k r k consn c c y z c c) Recherche de l ccélérion rc cos rc sin y r c = consn es dirigé ers Oz, dns un pln horizonl. d) L longueur prcourue sur l rjecoire, près un emps, u : s d r k o, e) Recherche du ryon de courbure Pour, on peu encore écrire : c J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge

41 d e donc n d e en conséquence le ryon de courbure u : rc k r c en priculier, si : k r c si : k ou r c L éude du mouemen uri églemen pu se fire en coordonnées cylindriques, ec : r rc z k d où : r r ; r r c ; z z k r c k r r r rc ; r r z z r c J-P. Buche - R. Ierbeek écnique - ouemen simple du poin Pge