1 Vecteurs de base en coordonnées curvilignes

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1 1 Vecteurs de base en coordonnées curvilignes 1.1 Coordonnées cartésiennes Considérons l espace muni des coordonnées cartésiennes et soit P = (x,y,z) R 3. Si on fixe les variables y et z et qu on pose R x (t) = OP +t i on obtient une droite passant par P et parallèle à l axe des x. En dérivant, on trouve le vecteur De même, en fixant x et z et en posant R y (t) = OP +t j e x = R x (t) = i. on trouve e y = R y (t) = j. Pour x,y fixées, et R z (t) = OP +t k e z = R z (t) = k. Ainsi, les vecteurs de la base canonique { e x, e y, e z } = { i, j, k} de R 3 sont obtenus comme les vecteurs tangents (unitaires) de trois courbes dans les directions parallèles aux axes de coordonnées. De façon semblable, on peut trouver une base orthonormale de R 3 exprimée en coordonnées cylindriques ou sphériques. 1.2 Coordonnées cylindriques En coordonnées cylindriques, soit P = (r,θ,z). On a x = rcosθ, y = rsinθ et z = z. Fixons θ et z et posons R r (t) = OP +tcos(θ) i+tsin(θ) j. La courbe définie par la fonction vectorielle R r est la droite passant par P et perpendiculaire à l axe des z. Le vecteur tangent unitaire de cette courbe est e r = R r (t) = cosθ i+sinθ j. 1

2 Fixons maintenant r et z et posons R θ (t) = rcos(t) i+rsin(t) j +z k. La courbe définie par la fonction vectorielle R θ est le cercle passant par P et de rayon r dans le plan horizontal à hauteur z. Le vecteur tangent de cette courbe est R θ (t) = rsin(t) i+rcos(t) j et le vecteur tangent unitaire est sin(t) i + cos(t) j. Ce vecteur dépend de la valeur de t, c est-à-dire du point sur le cercle décrit plus haut. Au point P, t = θ et le vecteur correspondant est e θ = sinθ i+cosθ j. Enfin, fixons r et θ et posons R z (t) = OP +t k. La courbe définie par R z est la droite verticale passant par P. Posons e z = R z (t) = k. Nous avons obtenu trois vecteur unitaires e r, e θ et e z. Ces vecteurs sont orthogonaux : clairement, e r e z = 0 et e θ e z = 0 et de plus e r e θ = cosθsinθ+sinθcosθ = 0. Ainsi,{ e r, e θ, e z }formeunebaseorthonormaleder 3 associée au point (r,θ,z). Les trois vecteurs sont les vecteurs de base en coordonnées cylindriques. Cette base est utile pour exprimer plus simplement certaines quantités dans des contextes où les coordonnées cylindriques sont plus appropriées que les coordonnés cartésiennes. En résumé : 2

3 e r = cos(θ) i+sin(θ) j e θ = sin(θ) i+cos(θ) j e z = k Tableau 1 Vecteurs de base en coordonnées cylindriques. En isolant i, j, k dans les équations ci-dessous,on obtient l expression de ces vecteurs dans la base e r, e θ, e z. On a cos(θ) e r sin(θ) e θ = cos 2 (θ) i++cos(θ)sin(θ) j +sin 2 (θ) i sin(θ)cos(θ) j = i et sin(θ) e r +cos(θ) e θ = sin(θ)cos(θ) isin 2 (θ) j cos(θ)sin(θ) i++cos 2 (θ) j = j. Par conséquent, i = cos(θ) e r sin(θ) e θ j = sin(θ) e r +cos(θ) e θ k = ez Tableau 2 Vecteurs cartésiens dans la base cylindrique. 1.3 Coordonnées sphériques On procède de façon semblable aux deux cas précédents pour obtenir une base orthonormale de l espace associée au point de coordonnées sphériques P = (ρ,θ,φ). Pour θ,φ fixées, la fonction R ρ (t) = OP +tsin(φ)cos(θ) i+tsin(φ)sin(θ) j +tcos(φ) k définit la droite passant par P et par l origine. On pose Notons que ce vecteur est unitaire. Pour ρ,φ fixées, la fonction e ρ = R ρ (t) = sin(φ)cos(θ) i+sin(φ)sin(θ) j +cos(φ) k. R θ (t) = ρsin(φ)cos(t) i+ρsin(φ)sin(t) j +ρcos(φ) k 3

4 définit le cercle de rayon ρsin(φ) centré sur l axe des z dans le plan horizontal z = ρcos(φ). On a R θ (t) = ρsin(φ)sin(t) i+ρsin(φ)cos(t) j. La norme du vecteur tangent est égale à ρ 2 sin 2 φsin 2 t+ρ 2 sin 2 φcos 2 t = ρ 2 sin 2 φ = ρsinφ (car ρ 0 et 0 φ π sinφ 0). Après normalisation et évaluation en t = θ (le paramètre correspondant au point P), on obtient le vecteur e θ = sin(θ) i+cos(θ) j. Pour ρ,θ fixées, la fonction R φ (t) = ρsin(t)cos(θ) i+ρsin(t)sin(θ) j +ρcos(t) k définit le cercle (passant par P) qui est la courbe d intersection de la sphère de rayon ρ centrée à l origine et du plan vertical formant un angle de θ avec l axe des x positifs. Le vecteur tangent est R φ(t) = ρcos(t)cos(θ) i+ρcos(t)sin(θ) j ρsin(t) k. Après normalisation et évaluation en t = φ (le paramètre correspondant au point P), on obtient le vecteur e φ = cos(φ)cos(θ) i+cos(φ)sin(θ) j sin(φ) k. On peut vérifier que les vecteurs e ρ, e θ et e φ sont orthogonaux. Ils forment donc une base orthonormale de R 3 associée au point de coordonnées sphériques P = (ρ,θ,φ). En résumé : e ρ = sin(φ)cos(θ) i+sin(φ)sin(θ) j +cos(φ) k e θ = sin(θ) i+cos(θ) j e φ = cos(φ)cos(θ) i+cos(φ)sin(θ) j sin(φ) k Tableau 3 Vecteurs de base en coordonnées sphériques. 4

5 En isolant i, j, k dans les équations ci-dessous,on obtient l expression de ces vecteurs dans la base e ρ, e θ, e φ. Après des calculs semblables à ceux des coordonnées cylindriques, on trouve i = sin(φ)cos(θ) e ρ sin(θ) e θ +cos(φ)cos(θ) e φ j = sin(φ)sin(θ) e ρ +cos(θ) e θ +cos(φ)sin(θ) e φ k = cos(φ) eρ sin(φ) e φ Tableau 4 Vecteurs cartésiens dans la base sphérique. 5

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