CH V Fonctions linéaires Fonctions affines Équation d une droite

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1 CH V Fonctions linéaires Fonctions affines Équation d une droite I) Les repères du plan : ) Les repères du plan : a) Repère quelconque : Un repère est constitué de deux axes ayant une même origine. y J x I Le repère est noté (,x,y) ou (,I,J) b) Repère orthogonal : Dans un repère orthogonal, les axes (I) et (J) sont perpendiculaires. y J I x c) Repère orthonormal : Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page /

2 y J I x Dans un repère orthonormal, les axes (I) et (J) sont perpendiculaires et I = J. ) Les coordonnées d un point : Dans un repère (,I,J), tout point M du plan est caractérisé par son abscisse x M et son ordonnée y M. n note M(x M ; y M ) II) Notion de fonction : ) Définition : Une fonction numérique est une relation qui a un nombre x fait correspondre au plus un nombre y. (Au plus signifie ou ) ) Notation : Si la fonction est notée f, on écrit f : x y x est la variable y est l image de x n note y = f(x) ) Ensemble de définition : Si x appartient à un ensemble ou à un intervalle, cet intervalle ou cet ensemble est appelé intervalle de définition ( ou ensemble de définition). 4) Exemple : Soit la fonction f qui à une vitesse v fait correspondre une distance de sécurité d. n écrit f : v d Cette fonction est définie sur l intervalle [ ; 4 ] par l expression f(v) =,v +,v + 8 Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page /

3 Son ensemble de définition ou domaine de définition sera noté D f D f = [ ; 4 ] 5) Représentation graphique : Dans un repère, la représentation graphique d une fonction f est l ensemble des points de coordonnées ( v ; f(v) ). n recherche dons des couples de valeur ( v ; d ) tels que d = f(v). Ces valeurs peuvent être représentées dans un tableau. v d =,v +,v+8 8,,8,8 4, 58 75, 94,8 n place les points de coordonnées ( v ; d ) dans un repère. n relie ces points pour obtenir une courbe continue ( courbe qui peut être une droite si les points sont alignés). La courbe ainsi obtenue est appelée «courbe représentative» ou «représentation graphique» III) Fonction linéaire : Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page /

4 ) Définition : Si a est un réel non nul, la fonction f définie sur R par f(x) = ax est appelée fonction linéaire de coefficient a. ) Représentation graphique : Exemple : Soit f la fonction linéaire définie sur [-5 ; 5], telle que f(x) =,5x Compléter le tableau suivant : x f(x) Reporter tous les point (x ; f(x)) dans un repère orthonormé d unité cm. Joindre les points, conclusion. La représentation graphique d une fonction linéaire f : x ax est une droite passant par l origine du repère. Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité. ) Équation de la droite représentant une fonction linéaire : L équation d une telle droite est y = ax, a est appelé le coefficient directeur de la droite. Si a >, la fonction est croissante Si a <, la fonction est décroissante Pour tracer une droite représentant une fonction linéaire, il suffit de choisir une valeur de x telle que x, de calculer son image. La droite passera par les points ( ; ) et A(x ; f(x)). Exercice : Représenter graphiquement la fonction définie sur [- ; ] par f(x) = -x. Donner l équation de la droite représentant cette fonction. Exercice : Une fonction linéaire f est telle que f() =. Déterminer son coefficient directeur. Calculer les images de 7 et. Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page 4 /

5 Exercice : Soient les points ( ; ) ; A( ; ) ; B(- ; -) ; C( ; ) et D( ; -). Quels sont les points qui appartiennent aux représentations graphiques de f définies dans le tableau suivant. Cocher les cases. f(x) = x f(x) = -x ( ; ) A( ; ) B(- ; -) C( ; ) D( ; -) f(x) = x f(x) =,5 x IV) Fonction affine : ) Définition : Soient a et b deux réels donnés, la fonction définie sur R par f(x) = ax + b est une fonction affine. Exemple : Soit la fonction affine définie par f(x) = x. Dans ce cas a vaut et b vaut Cas particulier : Si b =, la fonction est linéaire. ) Représentation graphique : Soit f la fonction définie sur [-5 ; 5] par f(x) = x. Compléter le tableau suivant : x f(x) Reporter tous les point (x ; f(x)) dans un repère orthonormé d unité cm. Joindre les points, conclusion. La représentation graphique d une fonction affine est une droite ne passant pas par l origine du repère. ) Équation de la droite représentant la fonction affine : L équation d une telle droite est y = ax + b. a est le coefficient directeur de la droite et b est l ordonnée à l origine. Exercice : Dans un repère orthonormé d unité cm, tracer les droites : D : y = x D : y = x + D : y = -,5x + 4) Recherche d une équation de droite : Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page 5 /

6 a) n connaît le coefficient directeur et les coordonnées d un point de la droite : Exemple : Recherchons l équation de la droite passant par A(5 ; ) et de coefficient directeur a = -,5. L équation générale de la droite est y = ax + b n peut donc écrire y = -,5x + b Puisque la droite passe par le point A, remplaçons x par 5 et y par La droite a pour équation y = -,5x +,5 b) n connaît deux points de la droite : = -,5 x 5 + b b = +,5 b =,5 Exemple : Dans un repère orthonormé d unité cm, placer les points A(- ; -) et B( ; 5) Tracer la droite passant par A et B, donner une équation de cette droite rdonnée à l origine 4 a =, Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page 6 /

7 Méthode : Par le calcul. n obtient le coefficient directeur en calculant 5 - (-) - (-) f(x ) - f(x) x - x = 4 5 =,5 L équation de la droite est y =,5x + b et passe par le point A. - =,5 x (-) + b - = - + b b = L équation est donc y =,5x + Méthode : graphiquement. n mesure sur le graphique l évolution de y lorsque x augmente de. Cette évolution correspond au coefficient directeur a. b se lit en prenant l ordonnée à l origine. Lorsque x augmente de, y augmente de, 5 a =,5 L ordonnée à l origine est b = La droite a pour équation y =,5x +. Exercice : Déterminer les équations de droite des fonctions affines dont la représentation graphique passe par les points : a) A( ; -) B(5 ; ) b) A(- ; ) B( ; 5) c) A(- ; -) B( ; ) d) A(- ; 4) B( ; 4) Exercice : Déterminer l équation y = ax + b des fonctions affines dont les représentations graphiques sont : V) Propriétés des droites : ) Droites parallèles : Tracer les droites D : y = x + et D : y = x Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page 7 /

8 4 j o i o Deux droites qui ont un même coefficient directeur sont parallèles. ) Droites perpendiculaires : Dans un repère orthonormal d unité cm, tracer les droites D : y = -,5x 4 D : y = 4x - et j o i o - - Calculer le produit des coefficients directeurs des droites précédentes. -4 Dans un repère orthonormal, deux droites dont le produit des coefficients directeurs est égal à sont perpendiculaires. VI) Exercices : Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page 8 /

9 Exercice N : Dans un repère orthonormal, placer les points A(- ; ) et B( ; -). 4 j o i o a) Déterminer une équation de la droite (AB). b) Tracer la droite D d équation y =,4x +. c) Ces droites sont-elles perpendiculaires, justifier? Exercice N : Déterminer une équation de la droite D dans chacun des cas suivants : ) La droite D a pour coefficient directeur et pour ordonnée à l origine,5. ) La droite D a pour coefficient directeur et passe par le point A( ; 6). ) La droite D a pour coefficient directeur et passe par le point B(- ; 4). 4) La droite D passe par le point M(4 ; -) et est parallèle à la droite d équation y = x ) La droite D passe par le point N(6 ; ) et est perpendiculaire dans un repère orthonormal, à la droite d équation y = x 8. Exercice N : Les droites y 9x + = et y 6x 4 = sont-elles parallèles? Exercice N 4 : Donner les équations des droites D, D, D, D 4, D 5 et D 6. Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page 9 /

10 D 5 D D D D 6 D 4 Exercice N 5 : Sans faire de tracé de droites, indiquer parmi les droites suivantes, celles qui sont parallèles. D : y = x + D : y = - x + D : y = x D 4 : y = 5 x D 5 : y = x D 6 : y = - x + 5 Exercice N 6 : Dans un repère orthonormal, sans faire de tracé de droites, indiquer parmi les droites suivantes celles qui sont perpendiculaires. D : y = x D : y =,5x + D : y = -,5x + N.B. : Si vous avez internet chez vous. Vous pouver vous connecter sur le site et télécharger dans logiciels gratuits : repérage. Vous aurez la possibilité de faire de nombreux exercices à la maison. Cours CH V Fonctions linéaire affine équation de droite NII Page /