Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose
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- Timothée Métivier
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1 [ édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = b u = c u = + + d u = Exercice [ 055 ] [Correctio] Détermier les ites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a u = + b u = c u = si d u = + / Exercice 3 [ 056 ] [Correctio] Détermier par comparaiso, la ite des suites u suivates : a u = b u =! si + + c u = + d u = e e u = + Exercice 6 [ 060 ] [Correctio] Soit u N ue suite de réels strictemet positifs. O suppose u + u + a Motrer que si l < alors u + 0. b Motrer que si l > alors u + +. c Observer que das le cas l = o e peut rie coclure. Exercice 7 [ 06 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = a Établir que pour tout p >, E déduire la ite de S. + et S = p+ p l x p p p x b Établir que S = S. E déduire la ite de S. Exercice 4 [ 057 ] [Correctio] Détermier les ites des sommes suivates : a S = b S = c S = + d S = =+ e S = f S = + + g S =! Exercice 8 [ 063 ] [Correctio] Détermier la ite de u = Exercice 9 [ 064 ] [Correctio] Soit p N \ {0, }. Pour N o pose Exercice 5 [ 058 ] [Correctio] Comparer m, m m + m et + a Motrer que + p u = et S = u N, + p + u + = + u + Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
2 [ édité le 9 mai 07 Eocés b Motrer par récurrece S = p + p + u + c O pose N v = + pu. Motrer que v coverge vers 0. d E déduire S e foctio de p. Exercice 0 [ ] [Correctio] Soit z C avec z <. Existece et calcul de + + z Exercice [ 0396 ] [Correctio] Étudier la covergece de deux suites réelles u et v vériat + u + v = 0 et + e + eu v = Exercice [ 06 ] [Correctio] Soit a R et pour N, Motrer que et détermier P. P = cos a a si P = sia Exercice 3 [ 0098 ] [Correctio] Détermier les ites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a u = b u = + x c u = + + d u = cos cos + e u = ta π f u = l+ l 4 + α l Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
3 [ édité le 9 mai 07 Eocés 3 g u = h u = Exercice 4 [ 0030 ] [Correctio] Nature de la suite de terme gééral Exercice 5 [ 078 ] [Correctio] Étudier la covergece de la suite u = cosπ l / a /, où a > 0. arcta+ arcta Exercice 6 [ ] [Correctio] Soit u ue suite d'etiers aturels deux à deux disticts. Motrer que u +. Exercice 9 [ 0039 ] [Correctio] a Soit u = p + où p N est xé. Motrer que la suite u coverge. Sa ite sera otée l o e demade pas ici de la calculer b Soit f : R + C de classe C et telle que f0 = 0. Soit p v = f + Motrer que v coverge. Exprimer sa ite e foctio de l. c Calculer l e utilisat fx = l + x. d Si f de R + das C est cotiue et vérie f0 = 0, motrer qu'il peut y avoir divergece de la suite v. Exercice 7 [ 0030 ] [Correctio] Soiet α > 0 et u = α + α a Motrer que si α > alors u 0 tadis que si α <, u +. b Motrer que si α =, la suite est mootoe et covergete. c Toujours das le cas α = et e exploitat l'ecadremet l + x x l x valable pour tout x [0 ; [, établir u l. Exercice 8 [ 003 ] [Correctio] a Établir que pour tout x 0 o a x x l + x x b E déduire la ite de u = + Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
4 [ édité le 9 mai 07 Correctios 4 Correctios Exercice : [éocé] a b c d u = Exercice : [éocé] u = /3 + / = u = + / + / 0 u = + a u = e l+/ or l + = / l + l+x car x Par suite u e. b u = e l car l 0. c si d + / = e lsi or l si = e l + or l + Exercice 3 : [éocé] a u 0 doc u 0. b 0 u doc u 0. c + u + avec +, + doc u. d Pour 3, 0 u e 3 0 doc u 0. e u 3 = e l 3 doc u. x 0. l 0 doc si /. doc + e. Exercice 4 : [éocé] a S = + b S = +. c 0 S + = + 0 doc u 0. d 0 S = e f + S + doc = + S + gedarmes : S. + S = puis u. par le théorème des g S =!! +! + +. Par regroupemet de termes. Si est pair alors S!! et si est impair S!!. Puisque!! =.! +, o a S +. Exercice 5 : [éocé] + m = m et m + + m =. m + m = 0 et + m + m = 0. = e l e. Exercice 6 : [éocé] a Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ <. Comme u+ u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel O a alors u + u ρ 0 u = u u u u un+ u N u N ρ N u N 0 doc u 0. O peut aussi raisoer e observat que la suite u est décroissate à partir d'u certai rag, doc covergete et que sa seule ite possible est ulle. b Même démarche mais par mioratio ou par croissace. c u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu'o e peut rie dire. Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
5 [ édité le 9 mai 07 Correctios 5 Exercice 7 : [éocé] a O a p+ p p+ x p p = p car la foctio décroissate x x est majorée par p sur [p ; p + ]. Par u argumet semblable Pour, doe e sommat Or et doc S l. b O a p ++ + p p x p p = p x x x x S x = l + + l x = l S = = doc S = = =+ = + = S Par suite S l. De plus S + = S + + l doc S l Exercice 8 : [éocé] O a Or pour {,..., }, doc puis u. Exercice 9 : [éocé] a d'où la relatio. u = = = = p + + b Par récurrece sur N : Pour = : c p+ S = et = + p + + o Supposos la propriété établie au rag. + p + + p p + p + p + = p + S + = S +u + = HR p +p+u ++u + = p +u + = p Récurrece établie. d Par opératios 0 v = + p = +p!p! + p! p! + 0 S p Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
6 [ édité le 9 mai 07 Correctios 6 Exercice 0 : [éocé] O a z Or z + z = z doc z + z = z + z + z... + z E répétat la maipulatio Or z + 0 doc + z = z + z... + z z + + z = z + + z = z Exercice : [éocé] Exploitos S = e u + e v et P = e u.e v = e u+v Les ombres e u et e v sot solutios de l'équatio X e u X e v = 0 i.e.x S X + P = 0 À l'ordre près, o peut exprimer e u et e v à partir du discrimiat de cette équatio. Or S et P, le discrimiat ted alors vers 0 et les deux suites tedet vers. O e déduit u 0 puis v 0. Exercice : [éocé] E exploitat la formule six = si x cos x si a P = si a cos a cos a =... = sia Si a = 0 alors P =. Si a 0 alors, pour assez grad, sia/ 0 et P = sia si a Puisque o a puis car Exercice 3 : [éocé] six x a u = exp l /. = P = six si 0 x 0 si a/ a/ + x 0 cos0 = sia sia si a + a si a a + = a b u = exp l + x = exp x + o e x. c u = exp + l + = exp + o e. d u = si + + / si / = O 0. e ta π 4 + α = + α + o doc u = exp l + α + o = expα + o e α. f u = + l + o l l e. g = exp l = + l + o, u = + h Par le théorème des accroissemets is avec c + doc Exercice 4 : [éocé] l o 3 4. larcta + larcta = + c arcta c u = exp + c e /π arcta c E développat l / u = cos π + π + o = + sio 0 Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
7 [ édité le 9 mai 07 Correctios 7 Exercice 5 : [éocé] Si a ]0 ; [, la suite est costate égale à 0. Si a =, la suite est costate égale à. Si a > alors a < a a doe a / < a / a et doc, par ecadremet, la suite coverge vers a. Exercice 6 : [éocé] A R +, l'esemble E = { N u < A} est i car il cotiet au plus EA + élémets. Par suite il possède u plus grad élémet N et alors N +, u / E doc u A. Aisi u +. Exercice 7 : [éocé] a Si α > alors 0 u α + 0 doc u 0. Si α < alors u = α + doc u +. α + α b u + u = > 0 doc u est croissate. De plus u + doc u est majorée et par coséquet covergete. c u = + l = l + = l et u = + l + = l l doc u l. Exercice 8 : [éocé] a Il sut de dresser le tableau de variatio des foctios x l + x x + x et x x l + x. b et doc l u l u + = 4 = u e Exercice 9 : [éocé] a La suite u est croissate car u + u = p p et u p + p doc u coverge vers ue ite l. b Commeços par le cas où f 0 = 0. Soit ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x [0 ; α] o ait f x ε et par l'iégalité des accroissemets is, o obtiet O a alors x [0 ; α], fx ε x v = p ε + pε et doc v 0. Pour le cas gééral, il sut d'itroduire gx = fx xf 0. Puisque g 0 = 0, o a p g et doc et alemet v lf 0. c Pour fx = l + x, v u f p v = l + + l + = lp + + l + lp + O coclut l = lp +. d Pour fx = x, v = p + p + p + Diusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd
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