Le problème de Cauchy

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1 Le problème de Cuchy Deis Vekems Ds cet exposé, [, b] est u segmet de R. Soit f ue foctio de R R ds R et soit y ue foctio de R ds R, différetible. O ppelle équtio différetielle du premier ordre l reltio dy = f(x, y(x. dx O dit que y est solutio de cette équtio différetielle sur [, b] si y vérifie l reltio précédete pour tout x de [, b]. Ett doé y 0 R, o ppelle problème de Cuchy le système suivt { dy dx = f(x, y(x. y( = y 0 O ote C([, b] l espce des foctios défiies et cotiues sur [, b]. Théorème Si f C([, b] et si f vérifie l coditio (dite de Lipschitz x [, b], y C([, b], z C([, b], L > 0 tel que f(x, y(x f(x, z(x L y(x z(x, lors, le problème de Cuchy dmet ue solutio et ue seule sur [, b] (et ceci pour tout y 0 R. Démostrtio Uicité Si le problème de Cuchy dmet ue solutio y, cette solutio vérifie x [, b], y(x = y 0 + f(t, y(tdt. Supposos qu il existe deux solutios y et z à ce même problème de Cuchy. De x [, b], y(x = y 0 + f(t, y(tdt et x [, b], z(x = y 0 + f(t, z(tdt, ous obteos fcilemet, x [, b], y(x z(x = Or, f vérifie ue coditio de Lipschitz, d où x [, b], y(x z(x L f(t, y(t f(t, z(tdt. y(t z(t dt L y z x, Lbortoire de mthémtiques pures et ppliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdid Buisso BP 699 ; Clis cedex ; Frce

2 où ω = sup x [,b] ω(x, pour ω C([, b]. Aisi, pr récurrece, x [, b], y(x z(x L x y z.! E fist tedre vers l ifii, o obtiet x [, b], y(x z(x 0, puis y = z. Existece (itértios de Picrd O défiit l suite de foctios (y k telle que Pr défiitio, y k C ([, b]. Aisi, { y0 (x = y 0 y k+ (x = y 0 + f(t, y k(tdt x [, b], y k+ (x y k (x = Or, f vérifie ue coditio de Lipschitz, d où x [, b], y k+ (x y k (x L Puis, pr récurrece, f(t, y k (t f(t, y k (tdt.. y k (t y k (t dt L y k y k x. x [, b], y k+ (x y k (x L k y y 0 x k Esuite, comme (k + i! k!i!, k! L k b k y y 0. k! k b k p i b i x [, b], y k+p (x y k (x L y y 0 L. k! i! Or, p i=0 Li b i i! e L b, doc k b k x [, b], y k+p (x y k (x L y y 0 e L b. k! Il s esuit que (y k est de Cuchy ds C ([, b], doc (y k coverge uiformémet vers y de C ([, b]. De plus, l limite y stisfit x [, b], y(x = y 0 + f(t, y(tdt. Remrque sur l importce de l coditio de Lipschitz Soit le problème de Cuchy i=0 { dy dx = 3y 2 3 y(0 = 0. L coditio de Lipschitz est ps vérifiée u voisige de 0. y(x = x 3 est solutio sur [0, ], et y(x = 0 est solutio sur [0, ] églemet. Méthodes umériques pour résoudre le problème de Cuchy. Ds l suite de l exposé, l foctio f stisfit les coditios du théorème. 2/8 Mthémtiques

3 Soit x ue bscisse, o oter lors y(x l vleur théorique de l foctio y évluée e x et y s vleur pprochée. Méthodes à ps séprés Ces méthodes sot du type x 0 = x + = x + h h = b y 0 est l coditio iitile doée y + = y + hφ(x, y, h pour lesquelles il fut détermier ue foctio Φ cotiue cdidte. L détermitio de Φ est rélisée e foctio de qutre otios.... L cosistce L méthode est cosistte vec l équtio différetielle si ( lim mx h 0 h (y(x + y(x Φ(x, y(x, h pour y C([, b] solutio de l équtio différetielle. Théorème 2 Ue coditio écessire et suffiste pour que l méthode soit cosistte vec l équtio différetielle est Démostrtio Coditio écessire x [, b], y C([, b], Φ(x, y,0 = f(x, y. L méthode est cosistte, doc ( lim mx h 0 m h (y(x m+ y(x m Φ(x m, y(x m, h ou ecore, = 0, = 0, ( xm+ lim mx f(t, y(tdt Φ(x m, y(x m, h = 0. h 0 m h x m Pour tout x [, b], il existe u ecdremet [x m, x m+ ] tel que, même lorsque h ted vers 0 (i.e. lorsque ted vers l ifii, x [x m, x m+ ]. Ds ces coditios, lim h 0 x m = x et lim h 0 x m+ = x. L cotiuité des foctios f et φ permet lors d écrire ( xm+ lim mx f(t, y(tdt Φ(x m, y(x m, h h 0 m h x m Coditio suffiste = f(x, y(x Φ(x, y(x, 0 = 0. 3/8 Mthémtiques

4 De f(x, y(x = Φ(x, y(x, 0, il viet Et, d près l cotiuité de Φ, = h = h = h h (y(x + y(x Φ(x, y(x, h + x f(t, y(tdt Φ(x, y(x, h + x x+ x (f(t, y(t Φ(x, y(x, h dt (Φ(t, y(t, 0 Φ(x, y(x, h dt lim mx (Φ(t, y(t, 0 Φ(x, y(x, h = 0, h 0 puis 2. L stbilité Soit (y solutio de ( x+ lim mx f(t, y(tdt Φ(x, y(x, h = 0. h 0 h x { y0 est l coditio iitile doée y + = y + hφ(x, y, h, et (z solutio de { z0 est l coditio iitile doée z + = z + h(φ(x, z, h + ε. L méthode est stble si M, M 2 idépedts de h, tels que mx y z M y 0 z 0 +M 2 mx ε. Théorème 3 Si Φ vérifie l coditio (dite de Lipschitz pour h suffisemmet petit, x [, b], y C([, b], z C([, b], M > 0 tel que Φ(x, y(x, h Φ(x, z(x, h M y(x z(x, où M est ue costte idépedte de h, lors l méthode est stble. Démostrtio y + z + y z + h Φ(x, y, h Φ(x, z, h + h ε ( + hm y z + h ε. Aisi, pr récurrece, y + z + ( + hm + y 0 z 0 + ( + hm+ M mx ε. 4/8 Mthémtiques

5 D où y + z + e (+hm y 0 z 0 + e(+hm M mx ε e (b M }{{} =M y 0 z 0 + e (b M M } {{ } =M 2 mx ε. 3. L covergece. L méthode est covergete si lim mx y y(x = 0. h 0 Théorème 4 Si l méthode est stble et cosistte, elle est covergete. Démostrtio L solutio y de l équtio différetielle vérifie y(x + = y(x + h(φ(x, y(x, h + ε et y( = y 0, vec lim h 0 mx ε = 0, pr défiitio de l cosistce. Puis, pr stbilité, M, M 2 idépedts de h, tels que mx D où l covergece e fist tedre h vers L ordre de covergece. L méthode est covergete d ordre p si Théorème 5 mx y y(x M y 0 y( }{{} =0 ( h (y(x + y(x Φ(x, y(x, h = O(h p. +M 2 mx ε. Si l méthode est covergete d ordre p, et si l foctio Φ stisfit l coditio (dite de Lipschitz, pour h suffisemmet petit, x [, b], y C([, b], z C([, b], M > 0 tel que Φ(x, y(x, h Φ(x, z(x, h M y(x z(x, où M est ue costte idépedte de h, lors, Démostrtio mx y y(x = O(h p. y(x + y(x = Pr illeurs, y + y = hφ(x, y, h. + x f(t, y(tdt. 5/8 Mthémtiques

6 Soit e = y y(x. Alors Ou ecore, ( e + e = h Φ(x, y, h + f(t, y(tdt. h x e + = e + h(φ(x, y, h Φ(x, y(x, h + h ( Φ(x, y(x, h + f(t, y(tdt. h x D où Puis, e + e + h M e + Kh }{{}}{{ p+ }. cr Φ est de Lipschitz cr l méthode est d ordre p e + ( + hm e + Kh p+. Aisi, pr récurrece, e K M ( ( + hm + h p. Puis, e K M ( e (b M h p = O(h p. 6/8 Mthémtiques

7 L méthode d Euler Φ(x, y, h = f(x, y. L méthode est cosistte (trivil. L méthode est stble (cr f est de Lipshitz doc Φ églemet. L méthode est covergete d ordre (e effet, Φ(x, y(x, h y(x+h y(x h O(h si o suppose l foctio y dérivble deux fois. Les méthodes de Rüge et Kutt = f(x, y(x y(x+h y(x h = k = f(x, y, k 2 = f(x + Θ 2 h, y + h 2, k,..., k r = f(x + Θ r h, y + h Φ(x, y, h = r s ppelle le rg de l méthode de Rüge et Kutt. r r,i k i. i= r c i k i. L méthode est cosistte si et seulemet si r i= c i. L méthode est stble (cr f est de Lipshitz doc Φ églemet. E effet, k est trivilemet de Lipschitz ; i= f(x + Θ 2 h, y + h 2, f(x, y f(x + Θ 2 h, z + h 2, f(x, z L y + 2, hf(x, y z 2, hf(x, z L y z + hl 2, f(x, y f(x, z L y z ( + hl 2, doc k 2 est de Lipschitz. Pr suite, tous les k i sot de Lipschitz (pr récurrece. Quelles sot les méthodes de Rüge et Kutt qui sot d ordre 2? (y(x + h y(x = dy + h d 2 y h }{{} dx 2 dx 2 + O(h2, =f(x,y si o suppose l foctio y dérivble trois fois pr rpport à x. 7/8 Mthémtiques

8 Pr coséquet, d 2 y dx 2 = d (f(x, y(x = dx x (f(x, y(x + dy (f(x, y(x. y }{{} dx =f(x,y h (y(x + h y(x = f(x, y + h 2 x (f(x, y(x + h 2 f(x, y y (f(x, y(x + O(h2. Recherche prmi les méthodes de Rüge et Kutt de rg 2. Φ(x, y(x, h = c f(x, y + c 2 f(x + Θ 2 h, y + h 2, f(x, y = (c + c 2 f(x, y + c 2 Θ 2 h x (f(x, y(x + c 2 2, hf(x, y y (f(x, y(x + O(h2. o Pr idetifictio, o trouve Pr exemple, si o pred c + c 2 = c 2 Θ 2 =. 2 c 2 2, = 2 c = 0 c 2 =, Θ 2 = 2, = 2 y + = y + hf(x + h 2, y + h 2 f(x, y, méthode qui est coue sous le om de méthode d Euler méliorée. Référeces [] C. Breziski, Alyse Numérique Discrète, Publictios du Lbortoire de Clcul de l Uiversité des Scieces et Techiques de Lille. 8/8 Mthémtiques