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1 TE/pé TL Elémnts d corrction du D. n 2 du Vndrdi 2 0ctobr 2012 sans documnt, avc calculatric 1h1min Ercic 1 :(1 points) À l occasion d un fstival culturl, un agnc d voyags propos trois typs d transport pour prmttr à chaqu clint d s rndr dans la vill organisatric afin d assistr à la cérémoni d ouvrtur. Ls trois moyns d transport proposés sont l avion, l train ou l car. À chacun ds clints qui achètnt un billt d transport, l agnc propos d souscrir un assuranc multirisqu qui prmt, sous crtains conditions, un indmnisation n cas d rtard ou d vol d bagags. Un nquêt montr qu % ds clints choisissnt l avion, qu 40 % choisissnt l train t qu ls autrs choisissnt l car. D plus, parmi ls clints ayant choisi l avion, 20 % ont souscrit l assuranc multirisqu ; ils sont 8 % à choisir ctt assuranc parmi cu qui ont choisi l voyag n train t sulmnt 4 % parmi cu qui ont choisi l car. On prnd au hasard l dossir d un clint qui s rndra à la cérémoni d ouvrtur du fstival, chaqu dossir ayant la mêm probabilité d êtr choisi. On not : A l évènmnt : «L clint a achté un billt d avion» ; T l évènmnt : «L clint a achté un billt d train» ; C l évènmnt : «L clint a achté un billt d car» ; l évènmnt : «L clint a souscrit un assuranc multirisqu» t son évènmnt contrair. 1. Construir un arbr pondéré décrivant la situation. 0, 0,40 A T 0,20 (0,80) 0,08 (0,0) (0,92) 0,04 C (0,9) 2. Calculr la probabilité qu l dossir choisi soit clui d un clint qui voyagra n train t qui a souscrit un assuranc multirisqu. On donnra la valur act d ctt probabilité. p(t ) p(t) p T () 0,40 0,08 p(t ) 0,032 La probabilité qu l dossir choisi soit clui d un clint qui voyagra n train t qui a souscrit un assuranc multirisqu st égal à 0, Montrr qu la probabilité d l évènmnt st égal à 0,144. A, T t C formnt un partition d l univrs, donc d après la formul ds probabilités totals : p() p( A) + p( T) + p( C) p() p(a) p A () + 0,032 + p(c) p C () p() 0, 0,20 + 0, ,0 0,04 p() 0, , ,0020 p() 0,144

2 4. On prnd un dossir au hasard parmi ls clints n ayant pas souscrit un assuranc multirisqu. Calculr la probabilité qu c dossir soit clui d un clint voyagant n train. L résultat sra donné arrondi au millièm. p (T) p(t ) p( ) p(t) p T ( ) 1 p ( ) 0,4 0,92 1 0,144 0,38 0, ,430 achant qu l dossir tiré au hasard st clui d un clint n ayant pas souscrit un assuranc multirisqu, la probabilité qu c dossir soit clui d un clint voyagant n train st d nviron 0,430.. On choisit trois dossirs au hasard, indépndammnt ls uns ds autrs. Calculr la probabilité, arrondi au millièm, qu actmnt du ds dossirs concrnnt un clint ayant souscrit l assuranc multirisqu. «Tirr au hasard un dossir» st un épruv d Brnoulli. En fft, pour chaqu dossir tiré au hasard, il y a du issus possibls, succès ou échc, l succès : «êtr clui d un clint ayant souscrit un assuranc multirisqu» ayant un probabilité p égal à 0,144. D plus, on tir au hasard trois dossirs indépndammnt ls uns ds autrs, cci rvint à répétr trois fois d façon idntiqu t indépndant l épruv d Brnoulli précédnt : on a ainsi un schéma d Brnoulli qu l on put schématisr au moyn d l arbr ci-dssous. 0,144 0,144 0,8 0,144 0,8 0,144 0,8 0,144 0,8 0,144 0,8 0,8 0,144 0,8 oit X l nombr d dossirs d clints ayant souscrit un assuranc multirisqu, X st l nombr d succès. X suit donc la loi binomial d paramètrs 3 t 0, ,144 0,8 3 Pour compris ntr 0 t 3, on a : p ( X ) 3 On chrch ici p ( X 2) p ( X 2) 2 0,1442 0, , ,8 0,03 rmarqu : p ( X 2) p ( ) + p ( ) + p ( ) La probabilité, arrondi au millièm, qu actmnt du ds 3 dossirs concrnnt un clint ayant souscrit l assuranc multirisqu t égal à 0,03 BONU : Calculr la probabilité, arrondi au millièm, qu au moins du ds dossirs concrnnt un clint ayant souscrit l assuranc multirisqu. p ( X 2) p( X 2) + p(x 3) 3 0, ,8 + 0, ,0 La probabilité, arrondi au millièm, qu au moins du ds trois dossirs concrnnt un clint ayant souscrit l assuranc multirisqu st égal à 0,0

3 Ercic 2 : (7 points)a traitr dirctmnt sur l sujt Pour tout rél, simplifir : ( ) (1 4 ) 2 (3) 3 4 Montrr qu, pour tout d IR, Ercic 3 :(9 points) Etud d un dmand Un ntrpris récolt t conditionn ds fruits otiqus. On stim qu la quantité dmandé, n tonns, n fonction du pri, n uros par g, st modélisé par la fonction f défini sur [ 1 ; 4] par : f() 7,4 0, 1. Etudir ls variations d la fonction f. Intrprétr économiqumnt c résultat. 0 < 0, < 1 donc la fonction : 0, st strictmnt décroissant sur IR donc sur [ 1 ; 4] En multipliant ctt fonction par l rél 7,4, strictmnt positif, on n conclut qu : la fonction f strictmnt décroissant sur [ 1 ; 4] Plus l pri au ilo augmnt, plus la quantité dmandé diminu. 2. L ntrpris a 2 tonns d fruits à vndr. a) Montrr qu l équation f() 2 admt un uniqu solution α dans [1 ; 4] f st continu sur [1 ; 4 ] f st strictmnt décroissant sur [ 1 ; 4 ], l rél 2 st compris ntr f(1) t f( 4) car f(1) 4,44 t f(4) 0,9904 donc, d après un corollair du théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation f() 2 possèd un uniqu solution dans [1 ;4 ]. b) A l aid du solvur d votr calculatric, donnrun valur approché par défaut d la solution α à 0,01 près.on précisra ls réglags utilisés t on fra un dssinrprésntant c qui st visualisé sur l écran d la calculatric. Mod Graph hift Window :

4 Draw hift ZOOM AUTO hift G-olv ICT On n déduit qu la valur approché par défaut d α à 0,01 près st 2, c) En déduir l pri maimal d un ilo d fruits prmttant d écoulr totalmnt la production. L ntrpris a 2 tonns d fruits à vndr. On vut qu tout ctt production soit écoulé. On chrch donc l pri n uros/g corrspondant soit la valur d tll qu f() 2 Il s agit donc d la valur α. Vu la décroissanc d f sur [ 1 ;4], il s agit donc d prndr un valur approché par défaut. Vu qu l pri st n uros, on prnd cll trouvé précédmmnt à 0,01 près. L pri maimal d un ilo d fruits prmttant d écoulr tout la production d 2 tonns st donc d 2,

5 Ercic 4 :(4points) A traitr dirctmnt sur l sujt oit un fonction f dérivabl sur son nsmbl d définition t dont on connaît l tablau d variation cidssous Variation d f Répondr par Vrai ou Fau n justifiant 1. L équation f() 0 admt un uniqu solution. VRAI α Variation d f 0 ur [ - 2 ; 3], la fonction f admt un minimum égal à donc l équation f() 0 n admt aucun solution dans ct intrvall ur [ 3 ; ], l a fonction f st continu, strictmnt décroissant t zéro st compris ntr f(3) t f() car f(3) t f() - 4 donc, d après un corollair du théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation f() 0 admt un uniqu solution dans ct intrvall En conclusion l équation f() 0 admt un uniqu solution 2. Il ist un rél tl qu l équation f() admt actmnt trois solutions VRAI α Variation d f 0 Il suffit d prndr comm valur d un rél compris ntr t ; par mpl 2 3. f (2 ) f ( 4) 0 VRAI Variation d f 2 appartint à [ 1 ; 3] t f st strictmnt croissant sur ct intrvall donc f (2) 0 4 appartint à [ 3 ; ] t f st strictmnt décroissant sur ct intrvall donc f (4) 0 Or l produit d du nombr d signs contrairs st un rél négatif On n déduit qu f (2 ) f ( 4) 0 4. Pour tous réls a t b d [1 ; 3], si a > b alors f(a) < f(b) FAUX 2 1 b a 3 f(a) Variation d f f(b) La fonction f st strictmnt croissant sur [ 1 ; 3] donc ls réls d ct intrvall t lurs imags sont rangés dans l mêm ordr On n déduit qu, pour tous réls a t b d [1 ; 3], si a > b alors f(a) > f(b)

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