Riemann-intégrabilité sur un segment

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1 POIRET Aurélie Riem-itégrbilité sur u segmet Tble des mtières 1 - Esembles de foctios Foctio e esclier Foctio cotiue pr morceux Foctio réglée Itégrle des foctios e esclier Itégrle d'ue foctio e esclier Propriétés de l'itégrle d'ue foctio e esclier Foctio Riem-itégrble Déitio et exemples Crctéristio des foctios Riem-itégrble Costructio de l'itégrle des foctios Riem-itégrble Propriétés de l'itégrle de Riem Sommes de Riem Exercices

2 Ds ce cours, o déit ce que l'o ppelle ue foctio Riem-itégrble sur u segmet. 1 Esembles de foctios 1.1 Foctio e esclier Déitio A : Foctio e esclier Ue foctio f : [, b] R est dite e esclier s'il existe ue subdivisio σ = ( 0, 1,, ) de [, b] telle que f est costte sur chque itervlle de subdivisio ] i 1, i [. Ue telle subdivisio est lors dite dptée à f. O ote E([, b], R) l'esemble des foctios e esclier de [, b] ds R. Remrque I Les vleurs prises pr ue foctio e esclier ux poits de subdivisio ' ps d'importce. Remrque II Si ue subdivisio σ est dptée à ue foctio e esclier f, toute subdivisio plus e que σ l'est ussi. Exemple 1 : Les foctios costtes, l foctio Heviside et l foctio sige sot des exemples de foctios e esclier. Théorème 1 Soiet f, g : [, b] R et λ R. Si f et g sot e esclier lors λf, f + g, fg, f le sot ussi. Démostrtio. Soit σ ue subdivisio dptée à f. Sur chque itervlle de l subdivisio σ, l foctio f est costte et doc les foctios λf et f sot ussi costtes sur ces itervlles. Aisi les foctios λf et f sot e esclier. Esuite, si σ est ue subdivisio dptée à g lors déissios σ l réuio des subdivisios σ et σ. L subdivisio σ est dptée à l fois à f et g et doc, sur chque itervlle de cette subdivisio, les foctios f et g sot costtes puis les foctios f + g et fg le sot ussi. Aisi les foctios f + g et fg sot e esclier. 2

3 Corollire 2 E([, b], R) est u sous-eu et sous-espce vectoriel de F([, b], R). 1.2 Foctio cotiue pr morceux Déitio B : Foctio cotiue pr morceux Ue foctio f : [, b] R est dite cotiue pr morceux s'il existe ue subdivisio σ = ( 0, 1,, ) de [, b] vérit : i {1,, }, f est cotiue ] i 1, i [, i {1,, }, f( + i 1 ) et f( i ) existet et sot ies Ue telle subdivisio σ est lors dite dptée à l foctio f. O ote Cm([, 0 b], R) l'esemble des foctios cotiue pr morceux de [, b] ds R. Remrque III Les vleurs prises pr ue foctios cotiue pr morceux ux poits de subdivisio 'importet ps. Remrque IV Si ue subdivisio σ est dptée à ue foctio cotiue pr morceux lors toute subdivisio plus e que σ l'est ussi. Remrque V D'près le théorème de prologemet pr cotiuité, o e déduit que f : [, b] R est dite cotiue pr morceux si, et seulemet si, il existe ue subdivisio σ = ( 0, 1,, ) de [, b] telle que i {1,, }, f est cotiue sur ] i 1, i [ et se prologe e ue foctio cotiue sur [ i 1, i ]. Exemple 2 : Les foctios cotiues et les foctios e esclier sot des exemples de foctios cotiues pr morceux. 3

4 Théorème 3 Soiet f, g : [, b] R et λ R. Si f et g sot cotiues pr morceux lors λf, f + g, fg, f le sot ussi. Démostrtio. Il s'git essetiellemet de l même preuve que pour les foctios e esclier e remplçt le mot esclier pr cotiue pr morceux. Corollire 4 C 0 m([, b], R) est u sous-eu et sous-espce vectoriel de F([, b], R). Théorème 5 Toute foctio cotiue pr morceux de [, b] ds R est borée. Démostrtio. Soiet f : [, b] R ue foctio cotiue pr morceux et σ = ( 0, 1,, ) ue subdivisio dptée à f. Sur chque itervlle ] i 1, i [, l foctio f se prologe e ue foctio cotiue sur le segmet [ i 1, i ] qui est doc borée sur ce segmet e vertu du théorème de cotiuité sur u segmet. Pr coséquet f est boré sur chque itervlle ] i 1, i [ pr u certi réel M i E post M = mx(m 1,, M, f( 0 ),, f( ) ), o obtiet que f est borée pr M. 1.3 Foctio réglée Déitio C : Foctio réglée O dit qu'ue foctio f : [, b] R est réglée si elle est limite uiforme d'ue suite de foctio e esclier, c'est-à-dire si pour tout ɛ > 0, il existe ϕ E([, b], R) telle que f ϕ ɛ. O ote R([, b], R) l'esemble des foctios réglées. Théorème 6 Toute foctio réglée sur [, b] est borée. Démostrtio. Proviet du fit qu'ue foctio e esclier est borée. Théorème 7 Soiet f, g : [, b] R et λ R. Si f et g sot réglées lors λf, f + g, fg, f le sot ussi. 4

5 Démostrtio. Soit ɛ > 0. Comme f est réglée, il existe ϕ E([, b], R) telle que f ϕ ɛ. Pr l'iéglité trigulire, f ϕ ɛ. Or ϕ est ue foctio e esclier doc f est ue foctio réglée. De plus, λf λϕ = λ f ϕ λ ɛ. Or λϕ est ue foctio e esclier doc λϕ est ue foctio réglée. Comme g est réglée, il existe ψ E([, b], R) telle que g ψ ɛ. Pr l'iéglité trigulire, (f + g) (ϕ + ψ) = (f ϕ) + (g ψ) f ϕ + g ψ 2ɛ. Or ϕ + ψ est ue foctio e esclier doc f + g est ue foctio réglée. Comme f et g sot réglées lors elles sot borées. Doc, il existe m, M R tels que f m et g M. Pr l'iéglité trigulire, fg ϕψ = f(g ψ) + (f ϕ)(ψ g) + (f ϕ)g f g ψ + f ϕ ψ g + f ϕ g Mɛ + ɛ 2 + mɛ. Or ϕψ est ue foctio e esclier doc fg est doc ue foctio réglée. Corollire 8 R([, b], R) est u sous-eu et sous-espce vectoriel de F([, b], R). Théorème 9 : Approximtio uiforme Soit f : [, b] R ue foctio cotiue pr morceux. Pour tout ɛ > 0, il existe ϕ, ψ E([, b], R) telles que ϕ f ψ et 0 ψ ϕ ɛ. E prticulier, ue foctio cotiue pr morceux est ue foctio réglée. Démostrtio. Commeços pr le cs d'ue foctio f déie et cotiue sur [, b]. Soit ɛ > 0. Pr le théorème de Heie, o peut dire que f est uiformémet cotiue sur [, b] et pr coséquet, il existe δ > 0 vérit x, y [, b], y x δ f(x) f(y) ɛ. Soit N susmmet grd pour que b δ et σ = ( 0, 1,, ) l subdivisio à ps costt détermiée pr i = + i ( ) b. Pour tout 1 i, l foctio f est cotiue sur le segmet [ i 1, i ] et y dmet doc u miimum et u mximum e des poits α, β [ i 1, i ]. Posos m i = f(α) et M i = f(β). Comme β α i i 1 δ o f(β) f(α) ɛ et o e déduit que 0 M i m i ɛ. Déissos mitet des foctios ϕ et ψ qui vot être solutios de otre problème. Pour 1 i, o pose ϕ costte égle à m i et ψ costte égle à M i sur ] i 1, i [. Pour 0 i, o pose ϕ( i ) = ψ( i ) = f( i ). 5

6 Les foctios ϕ et ψ sot bie déies sur [, b] et ce sot évidemmet des foctios e esclier. L'ecdremet ϕ(x) f(x) ψ(x) est vérié sur chque itervlle ] i 1, i [ et ussi e les i. E, l'ecdremet 0 ψ(x) ϕ(x) ɛ est vérié pour les mêmes risos. Il reste à géérliser le résultt ux foctios cotiues pr morceux. Soiet f ue foctio cotiue pr morceux sur [, b], σ = ( 0, 1,, ) ue subdivisio dptée à f et ɛ > 0. Pour 1 i, otos f i le prologemet sur [ i 1, i ] de f ]i 1, i [. E ppliqut le résultt précédet ux foctios f i cotiues sur les segmets [ i 1, i ], il existe des foctios e escliers ϕ i et ψ i déies sur [ i 1, i ] vérit x [ i 1, i ], ϕ i (x) f(x) ψ i (x) et 0 ψ i (x) ϕ i (x) ɛ O peut lors déir deux foctios e esclier ϕ et ψ qui vot résoudre otre problème. Pour 1 i, o pose ϕ(x) = ϕ i (x) et ψ(x) = ψ i (x) sur ] i 1, i [. Pour 0 i, o pose ϕ( i ) = ψ( i ) = f( i ). Les foctios ϕ et ψ sot bie déies sur [, b] et ce sot évidemmet des foctios e esclier. Pr costructio, l'ecdremet ϕ(x) f(x) ψ(x) est vérié sur chque itervlle ] i 1, i [ mis ussi e les i. E, l'ecdremet 0 ψ(x) ϕ(x) ɛ est ussi vérié pour les mêmes risos. Théorème 10 L'esemble des poits de discotiuité d'ue foctio réglée est, u plus, déombrble. Démostrtio. Toute foctio réglée est limite uiforme d'ue suite (ϕ ) de foctios e esclier. Si x [, b] est tel que, pour tout N, ϕ est cotiue e x, lors, f est cotiue e x. L'esemble des poits de discotiuité de f est doc iclus ds l réuio des esembles des poits de discotiuité des ϕ. Comme l'esemble des poits de discotiuité d'ue foctio e esclier est i et qu'ue réuio déombrble d'esembles is est u plus déombrble, o l coclusio. Théorème 11 : Crctéristio des foctios réglées Soit f : [, b] R. f est réglée si, et seulemet si, f dmet ue limite à guche et à droite e tout poit de [, b]. Démostrtio. : Fixos x 0 [, b[ et motros que f dmet ue limite à droite e x 0 à l'ide du critère de Cuchy. Soit ɛ > 0. Comme f est réglée lors il existe ϕ E([, b], R) tel que f ϕ ɛ. Comme ϕ est ue foctio e esclier lors elle dmet ue limite à droite e x 0. Pr coséquet, il existe δ > 0 tel que, x [, b], x 0 x x 0 + δ ϕ(x) ϕ(x + 0 ) ɛ. Aisi, x, y [, b], si x 0 x x 0 + δ et si x 0 y x 0 + δ lors, pr l'iéglité trigulire, f(x) f(y) f(x) ϕ(x) + ϕ(x) ϕ(x + 0 ) + ϕ(x+ 0 ) ϕ(y) + ϕ(y) f(y) ɛ + ɛ + ɛ + ɛ 4ɛ. Pr le critère de Cuchy, o e déduit que f dmet ue limite à droite e x 0. O motre de même que f dmet ue limite à guche e tout poit x 0 de ], b]. 6

7 Aisi, f dmet ue limite à droite et à guche e tout poit. : Soiet ɛ > 0 et x ], b[. Comme f dmet ue limite à guche et à droite e x lors il existe δ x > 0 tel que y [, b] [x δ x, x[, f(y) f(x ) ɛ et y [, b] ]x, x + δ x ], f(y) f(x + ) ɛ. Comme [, b] ]x δ x, x+δ x [ et que [, b] est compct lors, pr l propriété de Borel-Lebesgue, x ],b[ il existe < x 1 < < x p < b tels que [, b] ]x i δ xi, x i + δ xi [. 1 i p Notos σ = ( 0,, ) l subdivisio de [, b] formée des poits x i δ xi, x i et x i + δ xi qui sot ds [, b], de et de b. O déit l foctio ϕ de l fço suivte : ( Pour 1 i, o pose ϕ costte égle à f i 1 + i 2 sur ] i 1, i [. Pour 0 i, o pose ϕ( i ) = f( i ). L foctio ϕ est cliremet ue foctio e esclier. Soit y [, b]. Motros que f(y) ϕ(y) 2ɛ. Si y est égl à l'u des i lors l'iéglité est ble. Sio, il existe 1 i tel que y ] i 1, i [. Pr costructio de l subdivisio σ, il existe x {x 1,, x p } tel que ] i 1, i [ [x δ x, x[ ou ] i 1, i [ ]x, x + δ x ]. Ds le premier cs, pr l'iéglité trigulire, f(y) ϕ(y) = f(y) f(x ) + f(x ) ϕ(y) f(y) f(x ) + f(x ) ϕ(y) ɛ + ɛ 2ɛ. Le secod cs est idetique et ous vos étbli que f ϕ 2ɛ. L foctio f est doc bie ue foctio réglée. ) Corollire 12 Toute foctio mootoe est réglée Démostrtio. E eet, toute foctio mootoe dmet des limites à droite et à guche e tous poits. Exemple 3 : L foctio suivte f : [0, 1] R x 0 si x = 0, 1 s'il existe N tel que 1 si x = x < 1, est réglée mis o cotiue pr morceux. Remrque VI O retiet isi E([, b], R) C 0 m([, b], R) R([, b], R). 7

8 2 Itégrle des foctios e esclier 2.1 Itégrle d'ue foctio e esclier Soit f : [, b] R ue foctio e esclier et σ = ( 0,, ) ue subdivisio dptée à f. Pour tout i {1,, } otos h i l vleur de f sur l'itervlle ] i 1, i [ et posos I σ (f) = h i ( i i 1 ). i=1 Lemme 13 L qutité I σ (f) e déped ps de l subdivisio σ dptée à f. Démostrtio. E eet si l'o forme ue subdivisio σ e djoigt u poit à l subdivisio σ, o se covic fcilemet que I σ (f) = I σ (f). E risot pr récurrece, o motre que l propriété perdure si σ est plus e que σ. E, e trsitt pr l réuio des deux subdivisios, o observe que l propriété est ecore vlble qud σ et σ sot des subdivisios toutes deux dptées à f. Déitio D : Itégrle d'ue foctio e esclier L qutité I σ (f) est ppelée itégrle de l foctio e esclier f sur le segmet [, b]. O l ote f(t) dt. Exemple 4 : Si f est l foctio costte égle à 1 lors I [,b] (f) = b. 2.2 Propriétés de l'itégrle d'ue foctio e esclier Lemme 14 : Liérité de l'itégrle Pour f : [, b] R e esclier et λ R, o λf(t) dt = λ f(t) dt. Démostrtio. Soit σ = ( 0,, ) ue subdivisio dptée à f. Pour tout i {1,, }, otos h i l vleur de l foctio f sur ] i 1, i [. Puisque σ est dptée à λf et que λh i est l vleur de l foctio λf sur ] i 1, i [, o λf(t) dt = λh i ( i i 1 ) = λ h i ( i i 1 ) = λ f(t) dt. i=1 i=1 8

9 Lemme 15 : Liérité de l'itégrle Pour f, g : [, b] R e esclier, o (f + g)(t) dt = f(t) dt + g(t) dt. Démostrtio. Soit σ = ( 0,, ) ue subdivisio dptée à f et à g. Pour tout i {1,, }, otos h i l vleur de l foctio f sur ] i 1, i [ et k i l vleur de l foctio g sur ] i 1, i [. Puisque σ est dptée à f + g et que h i + k i est l vleur de l foctio f + g sur ] i 1, i [, o (f +g)(t) dt = (h i +k i )( i i 1 ) = h i ( i i 1 )+ k i ( i i 1 ) = f(t) dt+ g(t) dt. i=1 i=1 i=1 Lemme 16 : Positivité et croissce de l'itégrle Pour f, g : [, b] R e esclier lors si f 0 lors f(t) dt 0, si f g lors f(t) dt g(t) dt. Démostrtio. Soit σ = ( 0,, ) ue subdivisio dptée à f. Pour tout i {1,, }, otos h i l vleur de l foctio f sur ] i 1, i [. Puisque f est positive lors h i 0. O obtiet lors f(t) dt = h i ( i i 1 ) 0 i=1 Pour l secode iéglité, puisque l foctio h = f g est positive, o e déduit que h(t) dt 0. Or h(t) dt = f(t) dt g(t) dt pr ce qui précède et f(t) dt g(t) dt. Lemme 17 : Iéglité trigulire Si f : [, b] R e esclier lors b f(t) dt f(t) dt. Démostrtio. O : f f f. Le résultt suit imméditemet e utilist l croissce de l'itégrle. Lemme 18 : Reltio de Chsles Soiet f : [, b] R e esclier et c ], b[ lors f(t) dt = c f(t) dt + c f(t) dt. 9

10 Démostrtio. Soit σ = ( 0,, ) ue subdivisio dptée à f. Quitte à jouter u poit à l subdivisio σ, o peut supposer qu'il existe k {1,, 1} tel que c = k. Pour tout i {1,, }, otos h i l vleur de l foctio f sur ] i 1, i [. Puisque ( 0,, k ) est ue subdivisio de [, c] dptée à f, o c f(t) dt = k h i ( i i 1 ). i=1 Puisque ( k,, ) est ue subdivisio de [c, b] dptée à f, o c f(t) dt = h i ( i i 1 ). b i=k+1 O e déduit f(t) dt = h i ( i i 1 ) = i=1 k h i ( i i 1 ) + h i ( i i 1 ) = i=1 i=k+1 c f(t) dt + c f(t) dt. 3 Foctio Riem-itégrble 3.1 Déitio et exemples Déitio E : Foctio Riem-itégrble O dit qu'ue foctio f : [, b] R est Riem-itégrble si, pour tout ɛ > 0, il existe deux foctios e esclier ϕ et µ telles que f ϕ µ et µ(t) dt ɛ, ou ecore, si pour tout ɛ > 0, il existe deux foctios e esclier ϕ et ψ telles que ϕ f ψ et (ψ ϕ)(t) dt ɛ. O ote L 1 ([, b], R) l'esemble des foctios Riem-itégrble sur [, b]. Théorème 19 Ue foctio f : [, b] R Riem-itégrble est borée. Démostrtio. E utilist que ϕ f ψ et qu'ue foctio e esclier est borée. Théorème 20 Soiet f, g : [, b] R et λ R. Si f et g sot Riem-itégrble lors λf, f + g, f le sot ussi. 10

11 Démostrtio. Soit ɛ > 0. Comme f est Riem-itégrble, il existe ϕ, µ E([, b], R) telle que f ϕ µ et µ(t) dt ɛ. Pr l'iéglité trigulire, f ϕ µ. Or ϕ est ue foctio e esclier doc f est ue foctio Riem-itégrble. De plus, λf λϕ = λ f ϕ λ µ. Or λϕ est ue foctio e esclier et λ µ(t) dt λ ɛ doc λϕ est ue foctio Riem itégrble. Comme g est Riem-itégrble, il existe ψ, µ E([, b], R) telle que g ψ µ et µ (t) dt ɛ. Pr l'iéglité trigulire, (f + g) (ϕ + ψ) = (f ϕ) + (g ψ) f ϕ + g ψ µ + µ. Or ϕ + ψ est ue foctio e esclier et (µ + µ )(t) 2ɛ doc f + g est ue foctio Riemitégrble. Corollire 21 L 1 ([, b], R) est u sous-espce vectoriel de F([, b], R). Remrque VII O motrer, u peu plus trd, que L 1 ([, b], R) est stble pr produit et qu'il s'git d'u sous-eu de F([, b], R). Théorème 22 Ue foctio f : [, b] R réglée est Riem-itégrble. Démostrtio. Soit ɛ > 0. Comme f est réglée lors il existe ϕ E([, b], R) telle que f ϕ ɛ. Or ɛ dt = (b )ɛ et doc f est Riem-itégrble. Exemple 5 : L foctio 1 [0,1] Q 'est ps Riem-itégrble. Exemple 6 : L foctio est Riem-itégrble mis o réglée. f : [0, 1] R { ( si 1 x x) si x 0 0 si x = Crctéristio des foctios Riem-itégrble et Pour f : [, b] R ue foctio, posos { } I (f) = ϕ(t) dt / ϕ E([, b], R) et ϕ f { I + (f) = } ψ(t) dt / ψ E([, b], R) et f ψ. 11

12 Théorème 23 f est Riem-itégrble si, et seulemet si, les bores sup(i ) et if(i + ) existet et sot égles. Démostrtio. : f est lors borée et il existe m, M R tel que m f M. L'esemble I est lors o vide (puisque m I ) et mjorée pr M : il dmet doc ue bore supérieure. L'esemble I + est lors o vide (puisque M I + ) et mioré pr m : il dmet doc ue bore iférieure. Pour tout ϕ f ψ, o : ϕ(t) dt ψ(t) dt. Aisi, e psst à l bore supérieure puis à l bore iférieure, o obtiet sup(i ) if(i + ). Soit ɛ > 0. Comme f est Riem-itégrble lors il existe deux foctios e esclier ϕ et ψ telles que ϕ f ψ et ψ(t) ϕ(t) dt + ɛ. Pr coséquet, o e déduit que if(i+ ) sup(i ) + ɛ. E fist tedre ɛ vers 0, o e déduit que if(i + ) sup(i ) puis que if(i + ) = sup(i ). : Soit ɛ > 0. Pr crctéristio de l bore supérieure, il existe ϕ E([, b], R) telle que ϕ f et sup(i ) ɛ ϕ(t) dt. Pr crctéristio de l bore iférieure, il existe ψ E([, b], R) telle que f ψ et if(i + ) + ɛ ψ(t) dt. Or sup(i ) = if(i + ) doc (ψ ϕ)(t) dt 2ɛ. Théorème 24 Soit f : [, b] R. f est Riem-itégrble si, et seulemet si, f est borée et l'esemble des poits de discotiuité de f est de mesure de Lebesgue ulle. Remrque VIII Ue prtie X de [, b] est de mesure de Lebesgue ulle si, et seulemet si, pour tout ɛ > 0, il existe ue fmille, u plus déombrble, d'itervlles dot l réuio cotiet X et dot l somme des logueurs est iférieure à ɛ. Démostrtio. Soit x 0 [, b] et itroduisos l'oscilltio de f e x 0. { } ω(f, x 0 ) = if ρ>0 sup f(x) f(y). x x 0 <ρ y x 0 <ρ 12

13 Pour tout ɛ > 0, o ote A ɛ = { x 0 [, b] / ω(f, x 0 ) ɛ }. Commeços pr motrer que A ɛ est fermée e motrt que so complémetire B ɛ = { x 0 [, b] / ω(f, x 0 ) < ɛ }. est ouvert. Soit x 0 B ɛ. Comme ω(f, x 0 ) < ɛ lors, pr l crctéristio de l bore iférieure, il existe ρ > 0 tel que { } sup x x 0 <ρ y x 0 <ρ f(x) f(y) < ɛ. Cosidéros mitet x 1 [, b] tel que x 1 x 0 < ρ et r = ρ x 0 x 1. O Doc ω(f, x 1 ) ]x 1 r, x 1 + r[ [, b] ]x 0 ρ, x 0 + ρ[ [, b]. { } { } sup x,y ]x 1 r,x 1 +r[ [,b] f(x) f(y) sup x x 0 <ρ y x 0 <ρ f(x) f(y) < ɛ. Pr coséquet, x 1 B ɛ et B ɛ est ouvert. O e déduit que l'esemble A ɛ est fermé ds le segmet [, b] : il s'git doc d'u compct. : Supposos que l'esemble A des poits où f est discotiue est de mesure de Lebesgue ulle. Soit ɛ > 0. Comme f est cotiue e x 0 si, et seulemet si, ω(f, x 0 ) = 0 lors A ɛ A. L'esemble A ɛ est doc de mesure de Lebesgue ulle et il existe ue fmille, u plus déombrble, d'itervlles (] i, b i [) i I telle que A ɛ ] i, b i [ et (b i i ) ɛ. i I i I Comme A ɛ est compcte, o peut supposer que I est i et il existe p N, il existe ue fmille d'itervlles (] i, b i [) 0 i p telle que Pr coséquet, si x [, b] \ Prouvos que A ɛ p ] i, b i [ et p (b i i ) ɛ. p ] i, b i [ lors ω(f, x) < ɛ. δ > 0 / x, y [, b] \ p ] i, b i [, x y δ f(x) f(y) ɛ. ( ) O risoe pr l'bsurde et o obtiet deux suites (x ) et (y ) à vleurs ds [, b]\ Comme [, b] \ N, x y et f(x ) f(y ) > ɛ. p ] i, b i [ est u compct (cr fermé et boré), il existe x, y [, b] \ p ] i, b i [ vérit ϕ : N N strictemet croisste tels que (x ϕ() ) coverge vers x et (y ϕ() ) coverge vers y. E psst à l limite ds N, x ϕ() y ϕ() 13 1 ϕ() , p ] i, b i [, il existe

14 ous obteos x = y. Comme ω(f, x) < ɛ, il existe ρ > 0 tel que sup z x <ρ z x <ρ { } f(z) f(z ) < ɛ. Aisi, pour tous z, z ]x ρ, x + ρ[, f(z) f(z ) ɛ. Comme (x ϕ() ) et (y ϕ() ) coverget vers x, à prtir d'u certi rg, C'est cotrdictoire et ( ) est vériée. f(x ϕ() ) f(y ϕ() ) ɛ. Pr ( ), o costruit isémet ϕ, ue foctio e esclier déie sur [, b] \ x [, b] \ f est borée, doc e ott M = sup x [,b] p ] i, b i [, f(x) ϕ(x) ɛ. ϕ : [, b] R p 0 si x ] i, b i [ x ϕ(x) sio f(x), o pose et ψ : [, b] R M x ɛ p ] i, b i [, vérit si x sio p ] i, b i [ Les foctios ϕ et ψ sot des foctios e esclier sur [, b] et, de mière immédite, f ϕ ψ. De plus, p i ψ(x) dx ψ(x) dx + p ψ(x) dx i [,b]\ ] i, b i [ p M M dx + i i [,b]\ p (b i i ) + ɛ(b ) ɛ(b + M). p ɛ dx ] i, b i [ L foctio f est doc bie Riem-itégrble. : Pr u résultt précédet, si f est Riem-itégrble lors f est borée. O motre le résultt pr cotrposée e suppost que A e soit ps égligeble. Comme f est cotiue e x si, et seulemet si, ω(f, x) = 0 lors A = N A 1 Comme ue uio déombrble d'esembles égligebles est égligeble, lors il existe N tel que e soit ps égligeble. A 1 Pr coséquet, il existe ɛ > 0 tel que pour tout fmille, u plus déombrble, d'itervlles (] i, b i [) i I,. A 1 i I ] i, b i [ i I (b i i ) > ɛ. 14

15 Il s'git de démotrer que f 'est ps Riem-itégrble. Soiet ϕ et ψ deux foctios e esclier quelcoques vérit f ϕ ψ. Cosidéros ue subdivisio σ = ( ) x 0 x 1 x p 1 x p de [, b] dptée à l fois à ϕ et ψ. L'esemble { } I = i [0, p 1] / A 1 ]x i, x i+1 [ vérie A 1 i I ]x i, x i+1 [. Aisi, o e déduit que Motros que (x i+1 x i ) > ɛ. i I, x ]x i, x i+1 [ / ϕ(x) f(x) 1 3. O risoe pr l'bsurde et o suppose i I i I / z ]x i, x i+1 [, ϕ(z) f(z) < 1 3. Soit u tel i I. Comme ϕ est costte sur ]x i, x i+1 [ lors z, z ]x i, x i+1 [, f(z) f(z ) < 2 3. Soit x ]x i, x i+1 [. E post ρ = mi(x i+1 x, x x i ), o e déduit que { } ω(f, x) sup f(z) f(z ) 2 z x <ρ 3. z x <ρ ( ) Pr coséquet, Or ]x i, x i+1 [ A 1 ω(f, x) 2 3 x ]x i, x i+1 [, ω(f, x) 2 3. doc il existe x ]x i, x i+1 [ tel que ω(f, x) 1. C'est e cotrdictio vec et ( ) est vériée. O e déduit que i I, x ]x i, x i+1 [ / ψ(x) 1 3. Or ψ est costte sur ]x i, x i+1 [ doc o peut rmer que Aisi, i I, x ]x i, x i+1 [ / ψ(x) 1 3. ψ(t) dt i I i I xi+1 x i ψ(t) dt xi+1 x i 1 3 dt i I Cel motre que f 'est ps Riem-itégrble sur [, b]. x i+1 x i 3 ɛ 3. Remrque IX O e déduit isémet que L 1 ([, b], R) est stble pr produit et qu'il s'git d'u sous-eu de F([, b], R). 15

16 3.3 Costructio de l'itégrle des foctios Riem-itégrble Théorème 25 Soit f : [, b] R ue foctio Riem-itégrble. E dot à ɛ les vleurs d'ue suite (ɛ ) positive et tedt vers 0 ds l déitio de l Riemitégrbilité, o voit qu'il existe deux suites (ϕ ) et (µ ) deux foctios e esclier sur [, b] telles que L suite N, f ϕ µ et lim µ (t) dt = 0. ( ) b ϕ (t) dt est lors ue suite de Cuchy, doc covergete. S limite e déped ps du choix des foctios e escliers (ϕ ) et (µ ). O l ote f(t) dt. Démostrtio. Pr l'iéglité trigulire, ϕ ϕ +p ϕ f + f ϕ +p µ + µ +p. Aisi, pr l'iéglité trigulire pour les itégrles, ϕ (t) dt ϕ +p (t) dt ϕ (t) ϕ +p (t) dt µ (t) dt + µ +p (t) dt. Aisi, Or lim + sup ϕ (t) dt p N µ (t) dt = 0 doc ϕ +p (t) dt lim sup b + ϕ (t) dt p N ( et l suite ϕ (t) dt) est lors ue suite de Cuchy. ( ) µ (t) dt + sup µ +p (t) dt. p N ϕ +p (t) dt = 0 Soiet (ϕ ) et (µ ) deux foctios e esclier sur [, b] telles que N, f ϕ µ et lim µ (t) dt = 0. Alors, pr l'iéglité trigulire, ϕ ϕ ϕ f + f ϕ µ + µ. Aisi, pr l'iéglité trigulire pour les itégrles, ϕ (t) dt ϕ b (t) dt ϕ (t) ϕ +p(t) dt µ (t) dt + µ (t) dt. Pr pssge à l limite, o peut doc rmer que lim ϕ (t) dt ϕ + (t) dt = 0. ( ) ( b ) Comme les deux suites ϕ b (t) dt et ϕ (t) dt coverget, c'est écessiremet vers l même limite. 16

17 3.4 Propriétés de l'itégrle de Riem Théorème 26 : Liérité de l'itégrle Si f L 1 ([, b], R) et si λ R lors λf(t) dt = λ f(t) dt. Démostrtio. Soiet (ϕ ) et (µ ) deux suites de foctio e esclier vérit N, ϕ f µ et lim µ (t) dt = 0. Aisi, λϕ, λ µ E([, b], R) et O e déduit que λϕ λf λ µ et lim λ µ (t) dt = 0. ( ) b λϕ (t) dt coverge vers λf(t) dt. Or, comme ϕ est e esclier, ous vos λϕ (t) dt = λ ϕ (t) dt. Pr pssge à l limite ds cette églité, o e déduit le résultt escompté. Théorème 27 : Liérité de l'itégrle Si f, g L 1 ([, b], R) lors (f + g)(t) dt = f(t) dt + g(t) dt. Démostrtio. Soiet (ϕ ) et (µ ) deux suites de foctio e esclier vérit N, ϕ f µ et lim µ (t) dt = 0. Soiet (ϕ ) et (µ ) deux suites de foctio e esclier vérit N, ϕ g µ et lim µ (t) dt = 0. Pr l'iéglité trigulire, (f + g) (ϕ + ϕ ) µ + µ. De plus, lim + (µ + µ )(t) dt = 0. Comme ϕ + ϕ et µ + µ sot des foctios e esclier, o e ( ) b déduit que (ϕ + ϕ )(t) dt coverge vers λ(f + g)(t) dt. Or, comme ϕ et ϕ sot e esclier,, ous vos (ϕ + ϕ )(t) dt = ϕ (t) dt + ϕ (t) dt. Pr pssge à l limite ds cette églité, o e déduit le résultt escompté. 17

18 Théorème 28 : Positivité de l'itégrle Soit f L 1 ([, b], R). Si f 0 lors f(t) dt 0. Démostrtio. Soiet (ϕ ) et (µ ) deux suites de foctio e esclier vérit N, ϕ f µ et lim µ (t) dt = 0. Alors ϕ f ϕ µ. Pr croissce de l'itégrle des foctios e esclier, o peut rmer que ϕ (t) dt = f(t) dt et lim ϕ (t) µ (t) dt. µ (t) dt = 0. Doc, pr pssge à l limite ds Or lim + + l'iéglité précédete et théorème de compriso, ous obteos le résultt escompté. Théorème 29 : Croissce de l'itégrle Soiet f, g L 1 ([, b], R). Si f g lors f(t) dt g(t) dt. Démostrtio. L foctio h = f g est positive, o e déduit que h(t) dt 0. Or h(t) dt = f(t) dt g(t) dt pr liérité. O e déduit que f(t) dt g(t) dt. Théorème 30 : Iéglité trigulire Si f L 1 ([, b], R) lors f(t) dt f(t) dt. Démostrtio. O : f f f. Le résultt suit imméditemet e utilist l croissce de l'itégrle. Théorème 31 : Reltio de Chsles Si f L 1 ([, b], R) lors f L 1 ([, c], R), f L 1 ([c, b], R) et f(t) dt = c f(t) dt + c f(t) dt. 18

19 Démostrtio. Soiet (ϕ ) et (µ ) deux suites de foctio e esclier vérit N, ϕ f µ et lim µ (t) dt = 0. Les deux reltios précédetes étt vlides sur [, c] et sur [c, b], o peut rmer que f L 1 ([, c], R) et que f L 1 ([c, b], R). Or ϕ (t) dt = c ϕ (t) dt + c ϕ (t) dt. Pr pssge à l limite ds cette églité, ous obteos l'églité escomptée. 3.5 Sommes de Riem Théorème 32 : Sommes de Riem Si f est ue foctio Riem-itégrble sur le segmet [, b] à vleurs ds R lors lim ( b ) 1 f ( + k b ) = f(t) dt. Démostrtio. O remrque ds u premier temps que le résultt est ivrit e chget l vleur de f e u ombre i de poits. Pour 0 k, o pose k = + k b. Cs où f est ue foctio crctéristique d'u segmet : O suppose que f = 1 [c,d] vec [c, d] [, b]. Notos que k [c, d] si, et seulemet si, c + k b ( ) d (c ) b si, et seulemet si, b + ɛ k (d ) b vec ɛ = 0 ou 1. Pr coséquet, ( b ) 1 f( k ) = b ( (d ) b (c ) b Cs où f est ue foctio e esclier : E utilist l remrque prélimiire, o peut supposer que ( ) d si, et seulemet si, c b k ) ɛ d c = f(t) dt. + f = k i=1 α i 1 [i,b i ]. Le résultt s'obtiet esuite fcilemet pr liérité des deux qutités. Cs où f est Riem-itégrble : Soit ɛ > 0. Soiet ϕ et µ deux foctios e esclier vérit ϕ f µ et µ(t) dt ɛ. 19

20 De mière immédite, ous vos ( b ) 1 ( ) 1 b = f( k ) ϕ( k ) f(t) dt Pr l'iéglité trigulire, ( ) 1 b f( k ) f(t) dt ( ) 1 b ( b ϕ( k ) ϕ(t) dt + ( ) 1 b ( b ϕ( k ) ϕ(t) dt + ( ) 1 b ( b ϕ( k ) ϕ(t) dt + ( ) 1 b ( b ϕ( k ) ϕ(t) dt + Or µ et ϕ sot cotiue pr morceux doc lim ( b et lim ) 1 µ( k ) ( ) 1 b ϕ(t) dt + (f ϕ)( k ) ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ( b Pr coséquet, il existe N 0 N tel que si N 0 lors ( b µ(t) dt = 0. ) 1 f( k ) (f ϕ)( k ) + v µ( k ) + µ( k ) µ( k ) ) 1 ϕ( k ) f(t) dt ɛ + ɛ + 2ɛ. µ(t) dt (f ϕ)(t) dt. µ(t) dt + (f ϕ)(t) dt µ(t) dt + 2ɛ ϕ(t) dt = 0 µ(t) dt + ɛ O peut lors rmer que lim ( b ) 1 f( k ) = f(t) dt. 4 Exercices Exercice N o 1 : Soit f : [, b] R. 1. Motrer que, b R, mx(, b) = b + + b 2 et mi(, b) = b + + b Motrer que f L 1 ([, b]) si, et seulemet si, f +, f L 1 ([, b]). 20

21 3. Motrer que f L 1 ([, b]) si, et seulemet si, f L 1 ([, b]). Exercice N o 2 : Soit f L 1 ([, b]) telle qu'il existe m, M R vérit 0 < m f M. Motrer que 1 f L1 ([, b]). Exercice N o 3 : Soit f L 1 ([, b]). 1. Motrer que F : x x f(t) dt est ue foctio lipschitziee. 2. Soit c [, b[. Motrer que si f(c + ) existe lors F est dérivble à droite e c. 3. E déduire ue coditio suste sur f pour que F soit dérivble sur [, b]. 4. L coditio précédete est-elle écessire? Exercice N o 4 : Soit f l foctio déie sur [0, 1] pr { ( 1) f(x) = x 1 si x > 0, 0 sio. 1. Motrer que f L 1 ([, b]). 2. Clculer 1 0 f(x) dx. Exercice N o 5 : Secode formule de l moyee Soiet g ue foctio positive et décroisste sur [, b] et f L 1 ([, b]). O cherche à démotrer l'existece de c [, b] tel que f(t)g(t) dt = g() Pour cel, o déit F : [, b] R pr l reltio F (x) = x O rppelle que F est lipschitziee sur [, b]. Pour 1, o pose, pour 0 j, t j = + j b c f(t) dt. et f(t) dt. I = 1 j=0 tj+1 t j f(t)g(t j ) dt. 1. Motrer que N, I f(t)g(t) dt (g() g(b)) b mx t [,b] f(t). 2. Étblir que 3. E déduire que N, I = 1 j=0 (g(t j ) g(t j+1 )F (t j+1 ) + g(b)f (b). N, g() mi x [,b] F (x) I g() mx x [,b] F (x). 21

22 4. E déduire le résultt souhité. Est-il possible d'voir c ], b[? Exercice N o 6 : Soit f ue pplictio décroisste de [0, + [ ds R qui ted vers zero e +. Clculer lim + 2 f(t)e it dt. Idictio : O ppliquer, pr deux fois, l secode formule de l moyee. Exercice N o 7 : Le lemme de Riem-Lebesgue Pour tout réel λ, et toute foctio Riem-itégrble f de [, b] ds R o pose I(λ) = f(t)e itλ dt. 1. Si f est e esclier, motrer que I(λ) dmet 0 pour limite lorsque λ ted vers Étblir ce résultt ds le cs géérl. 3. Motrer que si f est décroisste et positive lors I(λ) = O 4. Motrer que si f est de clsse C 1 ( lors I(λ) = O 1 ) λ + λ. λ + ( 1 λ ). 22

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