Révision d algèbre et d analyse

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1 Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013

2 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale triple Changement de variables dans les intégrales triples

3 chapitre section suivante 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale triple Intégrale triple, motivation Définition de l intégrale sur un parallélépipède rectangle Calcul de l intégrale sur un parallélépipède rectangle Définition de l intégrale triple sur un domaine quelconque de l espace Calcul de l intégrale triple par la méthode des tranches Calcul de l intégrale triple par la méthode des bâtons

4 section suivant Intégrale triple, motivation Avant de voir comment se calcule une intégrale triple essayons de répondre à la question : pourquoi calcule-t-on une intégrale triple? Calcul de masse : On a vu dans le chapitre sur l intégrale double qu une plaque mince peut être représentée par un domaine D du plan xoy. Si sa masse surfacique est égale à µ(x, y), alors la masse m de la plaque vaut : m = µ(x, y)dx d y. D Si maintenant est un domaine de l espace constitué d un matériau de masse volumique µ(x, y, z), alors la masse m de est égale à m = µ(x, y, z)dx d y dz. (9.1.1) Calcul de volume : Lorsque, en particulier, µ(x, y, z) = 1, (x, y, z), cette masse est égale au volume du domaine multiplié par 1, ce qui permet de calculer le volume d un domaine quelconque de l espace par volume = dx d y dz. 4

5 section suivant Calcul des coordonnées du centre de gravité d un domaine de l espace. Les coordonnées (x G, y G, z G ) du centre de gravité d un domaine de masse volumique µ(x, y, z) sont données par x G = 1 xµ(x, y, z)dx d y dz, m y G = 1 yµ(x, y, z)dx d y dz, (9.1.2) m z G = 1 zµ(x, y, z)dx d y dz m etc... Intégrale triple, motivation 5

6 précédent section suivant Définition de l intégrale sur un parallélépipède rectangle : Exercice A.1.1 Soit f : [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] IR, on rappelle (voir chapitre sur l intégrale double) que l intégrale double de f sur le rectangle [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] est construite par passage à la limite quand h 0 de Dans cette expression, on a I h = N 1 N 2 h 1 h 2 f (x i, y j ). i=1 j =1 h 1 = b 1 a 1 N 1,h 2 = b 2 a 2 N 2, (x i, y j ) ω i j, ω i j = [a 1 + (i 1)h 1, a 1 + ih 1 ] [a 2 + (j 1)h 2, a 2 + j h 2 ]. Soit f : [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ] IR, on se propose de définir l intégrale de f sur le parallélépipède rectangle = [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ]. Dans le cas de l intégrale double I sur un domaine D du plan, si f (x, y) représente une masse surfacique alors I = f (x, y)dx d y représente la masse de D. D 6

7 précédent section suivant Pour l intégrale triple, cette dernière interprétation reste valable. Si est un domaine de l espace, si f est la masse volumique, alors f (x, y, z)dx d y dz représente la masse de. Ceci est un exemple, les intégrales triples, comme on l a évoqué, servent à faire bien d autres calculs. Soient N 1, N 2, N 3 trois entiers donnés, soit Définition de l intégrale sur un parallélépipède rectangle h 1 = b 1 a 1 N 1,h 2 = b 2 a 2 N 2,h 3 = b 3 a 3 N 3 et effectuons (voir la figure 9.1.1) le découpage du parallélépipède en parallépipèdes élémentaires ω i j k = [a 1 + (i 1)h 1, a 1 + ih 1 ] [a 2 + (j 1)h 2, a 2 + j h 2 ] [a 3 + (k 1)h 3, a 3 + kh 3 ]. On définit alors I h = N 1 N 2 N 3 i=1 j =1 k=1 h 1 h 2 h 3 f (x i, y j, z k ), (x i, y j, z k ) ω i j k. (9.1.3) Définition On appelle intégrale triple de f sur et on note I = f (x, y, z)dx d y dz la limite I = lim h 0 I h. Appliquer cette définition dans l exercice A.1.1 référencé. 7

8 précédent section suivant Définition de l intégrale sur un parallélépipède rectangle z h 3 h 2 h 1 ω ijk y x FIGURE 9.1.1: Découpage du parallélépipède rectangle 8

9 précédent section suivant Calcul de l intégrale sur un parallélépipède rectangle : Exercice A.1.2 Le calcul pratique de cette intégrale triple va se ramener au calcul pratique d une intégrale simple et d une intégrale double, ou de trois intégrales simples comme on le démontre ci-dessous. ( ) N 1 I h = h 1 i=1 N 2 h 2 h 3 N 3 j =1 k=1 f (x i, y j, z k ) soit en passant à la limite quand h = (h 1,h 2,h 3 ) tend vers 0 ( ) lim I h = lim h N 1 N 2 N 3 1 lim h 2 h 3 f (x i, y j, z k ). h 0 h1 0 i=1 (h 2,h 3 ) (0,0) j =1 k=1 D où, par définition de l intégrale simple et de l intégrale double, ( I = lim h N1 ) 1 f (x i, y, z)d y dz h1 0 i=1 D où D représente le rectangle [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ] c est à dire l intersection du domaine de IR 3 avec un plan perpendiculaire avec l axe Oz. Si l on pose g (x) = f (x, y, z)d y dz, D 9

10 précédent section suivant on obtient d où I = lim h 1 h1 0 i=1 f (x, y, z)dx d y dz = N 1 g (x i ) = b1 a 1 ( b1 a 1 D g (x)dx ) f (x, y, z)d y dz dx. (9.1.4) On pourrait démontrer de la même manière, en regroupant différemment les sommes, que ( b3 ) f (x, y, z)dx d y dz = f (x, y, z)dz dx d y, (9.1.5) D 0 a 3 où D 0 représente le rectangle [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ], qui peut être considéré aussi comme la projection du domaine de IR 3 sur le plan xoy. En effet, on aurait soit Si l on pose f (x, y, z)dx d y dz = lim h 1h 2 (h 1,h 2 ) (0,0) N 1 f (x, y, z)dx d y dz = lim h 1h 2 (h 1,h 2 ) (0,0) N 2 ( N 3 lim h 3 i=1 j =1 h 3 0 k=1 N 1 i=1 j =1 N 2 b3 b3 h(x, y) = f (x, y, y, z)dz, a 3 a 3 ) f (x i, y j, z k ) f (x i, y j, z)dz. on retouve la définition de l intégrale double de h sur D 0, ce qui donne l équation Puisque le calcul d une intégrale double se ramène au calcul de deux intégrales simples, Calcul de l intégrale sur un parallélépipède rectangle 10

11 précédent section suivant le calcul de l intégrale triple se ramène donc au calcul de trois intégrales simples, soit f (x, y, z)dx d y dz = b1 ( b2 ( b3 a 1 a 2 a 3 ) ) f (x, y, z)dz d y dx. Il est facile de voir que l on peut écrire les intégrales simples dans n importe quel ordre puique les bornes de ces intégrales sont indépendantes lorsque le domaine d intégration est un parallélépipède rectangle. Calcul de l intégrale sur un parallélépipède rectangle Traiter l exercice de TD A

12 précédent section suivant Définition de l intégrale triple sur un domaine quelconque de l espace : Exercice A.1.3 Soit le domaine de l espace représenté sur la figure et considérons le domaine h constitué des parallélépipèdes rectangles ω i j k qui sont à l intérieur de. Il est clair que si est un parallélépipède rectangle, alors h =. z ω ijk y x FIGURE 9.1.2: Domaine 12

13 précédent section suivant On définit alors pour f (x, y, z) donné, l intégrale approchée I h = h 1 h 2 h 3 f (x i, y j, z k ), i,j,k où (x i, y j, z k ) est un point quelconque de ω i j k et où le triplet (i, j,k) parcourt un sousensemble de IN 3 tel que ω i j k h. Chacun des éléments de cette somme représente la "masse" d un parallépipède rectangle élémentaire de masse volumique f (x i, y j, z k ). On a alors le résultat (non démontré) suivant Définition de l intégrale triple sur un domaine quelconque de l espace Théorème Quand h = (h 1,h 2,h 3 ) tend vers (0,0,0) le domaine h "tend" vers, I h tend vers le réel I, appelé l intégrale triple de f sur et noté I = f (x, y, z)dx d y dz. Comme on l a déjà vu Si f (x, y, z) = 1, f (x, y, z)dx d y dz est égal au volume de. Si f (x, y, z) est la masse volumique, f (x, y, z)dx d y dz est égal à la masse de. On verra d autres utilisations de l intégrale triple plus loin. 13

14 précédent section suivant Calcul de l intégrale triple par la méthode des tranches : Exercice A.1.4 Exercice A.1.5 Cours : Intégrale sur un parallélépipède rectangle - calcul Lorsque le domaine de l espace n est pas un parallélépipède rectangle on peut refaire le raisonnement du paragraphe référencé et ramener le calcul de l intégrale triple à celui d une intégrale simple et d une intégrale double. La difficulté consiste à trouver les "bonnes" bornes de cette intégrale simple et de cette intégrale double. On suppose que le domaine peut être défini par : = {(x, y, z) IR 3, a 3 z b 3,(x, y) D z } où D z est le domaine (plan) intersection du volume avec le plan parallèle à xoy qui a pour cote z, ce domaine D z varie avec z en général. a 3 est la plus petite cote des points du domaine et b 3 la plus grande cote des points de comme le montre la figure On peut montrer que f (x, y, z)dx d y dz = b3 a 3 ( D z f (x, y, z)dx d y ) dz, (9.1.6) 14

15 précédent section suivant Une manière imagée d expliquer cette première méthode est de dire que l on découpe le domaine en "tranches" (penser à un saucisson! ) et on parlera alors de la méthode de calcul par tranches de l intégrale triple. z b 3 Calcul de l intégrale triple par la méthode des tranches z=ζ k a 3 y x FIGURE 9.1.3: Bornes de l intégrale triple Dans la formule on a priviligié l axe Oz. On aurait pu aussi bien priviligier l axe Oy, ce qui donnerait f (x, y, z)dx d y dz = b2 a 2 ( D y f (x, y, z)dx dz ) d y, (9.1.7) où a 2 est la plus petite ordonnée des points du domaine et b 2 la plus grande ordonnée des points de, et le domaine plan D y est l intersection de avec le plan parallèle au plan xoz et d ordonnée y. 15

16 précédent section suivant On obtient une formule similaire en privilégiant Ox. Traiter l exercice de TD A.2.2. Dans la méthode des tranches, on a exprimé une intégrale triple I comme une intégrale simple d intégrale double, on peut également exprimer I comme une intégrale double d intégrale simple, c est la méthode des bâtons qui va être décrite dans le paragraphe suivant. Calcul de l intégrale triple par la méthode des tranches 16

17 précédent section Calcul de l intégrale triple par la méthode des bâtons : Exercice A.1.6 Exercice A.1.7 Exercice A.1.8 Exercice A.1.9 On suppose maintenant que le domaine peut être décrit par : = {(x, y, z) IR 3,(x, y) D,α(x, y) z β(x, y)}. L expression de l intégrale triple par la méthode des bâtons est la suivante : ( β(x,y) ) f (x, y, z)dx d y dz = f (x, y, z)dz dx d y. (9.1.8) D α(x,y) Le domaine plan D est la projection orthogonale de sur le plan xoy. On pourrait dire que D est l ombre de sur le plan xoy, si on éclaire parallèlement à Oz. Soit un point de coordonnées (x, y) dans D, on considère alors la droite parallèle à Oz et qui passe par ce point. Cette droite coupe le domaine en deux points dont les cotes sont notées α(x, y) et β(x, y) conformément à la figure

18 précédent section z β(x,y) α(x,y) Calcul de l intégrale triple par la méthode des bâtons x x y D y FIGURE 9.1.4: Bornes de l intégrale triple En fait z = α(x, y) est la surface qui limite le domaine vers le bas (la surface à l ombre si l on reprend l éclairage parallèlement à Oz). z = β(x, y) est la surface qui limite le domaine vers le haut (la surface éclairée). Une manière imagée d expliquer cette deuxième méthode est de dire que l on découpe le domaine en "bâtons" (penser à une pomme de terre découpée en frites!) d où le nom de méthode "bâtons" de calcul de l intégrale triple. On aurait aussi, en privilégiant l axe O y ( β(x,z) ) f (x, y, z)dx d y dz = f (x, y, z)d y dx dz, (9.1.9) D α(x,z) 18

19 précédent section où D est la projection de dans le plan xoz et [α(x, z),β(x, z)] est l intersection de la droite parallèle à Oy passant par le point (x, z) du domaine D avec. Si le domaine est symétrique par rapport au plan d équation z = 0 ( le plan xoy), si la fonction f est impaire en z (c est à dire f (x, y, z) = f (x, y, z)), alors : f (x, y, z)dx d y dz = 0, Calcul de l intégrale triple par la méthode des bâtons en effet dans ce cas α(x, y) = β(x, y), en utilisant les propriétés de l intégrale simple β(x,y) α(x,y) f (x, y, z)dz = 0. Des résultats similaires en x et y peuvent être énoncés. Traiter les exercices de TD A.2.3, A.2.4 et A

20 section précédente chapitre 9.2 Changement de variables dans les intégrales triples Déterminants jacobiens Calcul des intégrales triples par changement de variables

21 section suivant Déterminants jacobiens : Exercice A.1.10 On considère le changement de variables suivant x = a(u, v, w), y = b(u, v, w), z = c(u, v, w), (9.2.1) où a, b et c sont supposées continûment différentiables sur un domaine Ω de l espace IR 3. Définition On appelle matrice jacobienne, la matrice J(u, v, w) suivante : a a (u, v, w) u b b J(u, v, w) = (u, v, w) u c c (u, v, w) u a (u, v, w) v b (u, v, w) v c (u, v, w) v (u, v, w) w (u, v, w), (9.2.2) w (u, v, w) w 21

22 section suivant et on appelle déterminant jacobien ou jacobien le déterminant : D J(u, v, w) = détj(u, v, w), (9.2.3) Déterminants jacobiens où le déterminant de la matrice peut être défini comme le produit mixte des trois vecteurs dont les composantes sont données par les colonnes de la matrice. 22

23 précédent section Calcul des intégrales triples par changement de variables : Exercice A.1.11 : Document B.1.1 Soit l intégrale triple I = f (x, y, z)dx d y dz. On suppose que le changement de variables x = a(u, v, w), y = b(u, v, w), (u, v, w) Ω, z = c(u, v, w) définit une bijection entre et Ω (voir figure 9.2.5),. On a l équivalence (x = a(u, v, w), y = b(u, v, w) z = c(u, v, w)) (u, v, w) Ω. On peut définir une nouvelle fonction g (u, v, w) par g (u, v, w) = f (a(u, v, w),b(u, v, w),c(u, v, w)). Théorème Par le changement de variables ci-dessus, on a f (x, y, z)dx d y dz = g (u, v, w) D J(u, v, w) du dv dw. (9.2.4) Ω 23

24 précédent section Le terme D J(u, v, w) représente bien la valeur absolue du jacobien, ce qui signifie que cette quantité ne dépend heureusement pas de l ordre choisi pour les variables. w x= a(u,v,w) y= b (u,v,w) z= c (u,v,w) z Calcul des intégrales triples par changement de variables u Ω v x y FIGURE 9.2.5: Changement de domaine La démonstration repose sur une partition particulière du domaine en éléments qui sont les images par le changement de variables d une partition de Ω en parallélépipèdes rectangles élémentaires (voir le document référencé). La principale application du changement de variables dans les intégrales triples concerne les intégrales sur des cylindres ou sur des sphères. Par exemple, pour calculer le volume (bien connu! ) d un cylindre d axe Oz, de rayon R et de "hauteur" h, on utilise les coordonnées cylindriques et le domaine Ω correspondant est le parallélépilède rectangle Ω = [0,R] [0,2π] [0,h]. Le jacobien a été calculé dans un exemple précédent, il vaut r. D où on retrouve le 24

25 précédent section volume bien connu du cylindre : dx d y dz = r dr dθ dz = Ω Traiter les exercices de TD A.2.6 et A.2.7. R 0 r 2π h 0 0 dz dθ dr = πr 2 h. Calcul des intégrales triples par changement de variables 25

26 précédent suivant Annexe A A.1 du chapitre A.2 de TD

27 chapitre section suivante A.1 du chapitre 9 A.1.1 Ch9-Exercice A.1.2 Ch9-Exercice A.1.3 Ch9-Exercice A.1.4 Ch9-Exercice A.1.5 Ch9-Exercice A.1.6 Ch9-Exercice A.1.7 Ch9-Exercice A.1.8 Ch9-Exercice A.1.9 Ch9-Exercice A.1.10 Ch9-Exercice A.1.11 Ch9-Exercice

28 section suivant Exercice A.1.1 Ch9-Exercice1 Que vaut dx d y dz où = [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ]? retour au cours Solution 28

29 précédent section suivant Exercice A.1.2 Ch9-Exercice2 Exprimer f (x)g (y)k(z)dx d y dz où = [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ] sous la forme d un produit de trois intégrales simples. En déduire la valeur de (1 + x)zdx d y dz où = [0,1] [0,2] [0,1]. Solution retour au cours 29

30 précédent section suivant Exercice A.1.3 Ch9-Exercice3 Donner les équations et inéquations qui permettent de caractériser les domaines représentés sur la figure suivante. z 1 z 1 R R=1 1 y y x x FIGURE A.1.1: Domaines de l espace Solution retour au cours 30

31 précédent section suivant Exercice A.1.4 Ch9-Exercice4 Soit = {(x, y, z) IR 3, x 2 +y 2 +(z 1) 2 1, z 1}. Montrer que f (x, y, z)dx d y dz peut b3 ( ) b1 ( ) s écrire : f (x, y, z)dx d y dz ou f (x, y, z)dz d y dx. a 3 D z a 1 D x Préciser les valeurs de a 3,b 3, a 1,b 1. Faire une figure représentant D z et D x. Solution retour au cours 31

32 précédent section suivant Exercice A.1.5 Ch9-Exercice5 Calculer par la méthode des tranches le volume du domaine = {(x, y, z), x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. Solution retour au cours 32

33 précédent section suivant Exercice A.1.6 Ch9-Exercice6 Soit = {(x, y, z) IR 3, x 2 +y 2 +(z 1) 2 1, z 1}. Montrer que ( β(x,y) ) s écrire : f (x, y, z)dz dx d y D 0 α(x,y) f (x, y, z)dx d y dz peut Faire une figure représentant D 0. Donner les expressions des fonctions α,β. Solution retour au cours 33

34 précédent section suivant Exercice A.1.7 Ch9-Exercice7 Calculer par la méthode des bâtons le volume du domaine = {(x, y, z), x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}. Solution retour au cours 34

35 précédent section suivant Exercice A.1.8 Ch9-Exercice8 En vous aidant de la définition du moment d inertie d un domaine plan par rapport à un axe, donner la définition du moment d inertie d un domaine de l espace par rapport à un axe. Solution retour au cours 35

36 précédent section suivant Exercice A.1.9 Ch9-Exercice9 Calculer le centre de gravité du domaine, de masse volumique 1, défini par = {(x, y, z) IR 3, x 2 + y 2 1,0 z 1}. Solution retour au cours 36

37 précédent section suivant Exercice A.1.10 Ch9-Exercice10 Quelles sont les matrices jacobiennes des changements de variable x = r cosθ, y = r sinθ, z = z? et Quel sont les jacobiens associés? x = r cosφcosθ, y = r cosφsinθ, z = r sinφ? Solution retour au cours 37

38 précédent section Exercice A.1.11 Ch9-Exercice11 Calculer le volume d une sphère centrée en O et de rayon R. Solution retour au cours 38

39 section précédente chapitre A.2 de TD A.2.1 TD9-Exercice A.2.2 TD9-Exercice A.2.3 TD9-Exercice A.2.4 TD9-Exercice A.2.5 TD9-Exercice A.2.6 TD9-Exercice A.2.7 TD9-Exercice

40 section suivant Exercice A.2.1 TD9-Exercice1 Soit = [0,1] [0,2] [ 1,1], calculer Réponse : e2 e Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 x 2 ye x yz dx d y dz. 40

41 précédent section suivant Exercice A.2.2 TD9-Exercice2 Calculer le volume de l ellipsoïde } = {(x, y, z) IR 3, x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1. On suppose que a, b et c sont des nombres réels donnés strictement positifs. Réponse : 4πabc. 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 41

42 précédent section suivant Exercice A.2.3 TD9-Exercice3 Calculer I 1 = xz dx d y dz et I 2 = x 2 z dx d y dz où = {(x, y, z) IR 3, z 1, x 2 + y 2 z} en utilisant la méthode des bâtons et la méthode des tranches. Réponses : I 1 = 0, I 2 = π 16 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Aide 6 42

43 précédent section suivant Exercice A.2.4 TD9-Exercice4 Calculer l intégrale triple de f (x, y, z) = z sur le domaine situé dans le 1/8ème d espace défini par x 0, y 0, z 0 et limité par les plans : et le cylindre : y = 0, z = 0, x + y = 2, 2y + x = 6, y 2 + z 2 = 4. (Quelle est la projection du domaine sur le plan xoy ou sur le plan yoz?) Réponse : Aide 1 Aide 2 Aide 3 43

44 précédent section suivant Exercice A.2.5 TD9-Exercice5 Calculer le centre de gravité du domaine = {(x, y, z), x 0, y 0, z 0, x a + y b + z c 1}, on suppose que a,b,c sont des constantes strictement positives et que le domaine est homogène, c est à dire de masse volumique µ constante. Réponse : x G = a 4. Aide 1 Aide 2 Aide 3 44

45 précédent section suivant Exercice A.2.6 TD9-Exercice6 Soit une boule B de centre 0, de rayon R et dont la densité µ ne dépend que de la distance au centre de la sphère et soit P(0,0,d) un point extérieur à B situé sur l axe 0z. On appelle potentiel Newtonien en P, la fonction U(d) = B µ(x, y, z) dx d y dz, ρ(x, y, z) où ρ désigne la distance de P au point M(x, y, z) de la boule. Montrer que U(d) = m d. Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 45

46 précédent section Exercice A.2.7 TD9-Exercice7 Soient la demi-boule de centre O et de rayon R contenue dans le demi-espace {z 0} et le cylindre de révolution de rayon R 2 et d axe {x = 0, y = R 2 }. Calculer le volume commun à la boule et au ( cylindre. π Réponse : 3 4 ) R 3. 9 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 46

47 précédent Annexe B B.1 du chapitre

48 chapitre B.1 du chapitre 9 B.1.1 Introduction du jacobien dans l intégrale triple

49 section Document B.1.1 Introduction du jacobien dans l intégrale triple w x= a(u,v,w) y= b(u,v,w) z= c (u,v,w) u u 0 w 0 A 0 v 0 v T w T v T u FIGURE B.1.1: Changement de variable dans les domaines d intégration La figure B.1.1 montre l image d un parallélépipède rectangle élémentaire par le changement de variables x = a(u, v, w) y = b(u, v, w) z = c(u, v, w) On obtient ainsi un élément volumique limité par 12 arcs de courbes. En faisant un raisonnement analogue à celui que l on a fait pour les intégrales doubles (en document), 49

50 section on peut approcher le volume de cet élément par celui d un parallélepipède construit sur les vecteurs T u, T v et T w dont les composantes sont : T u = δu( a u (u 0, v 0, w 0 ), b u (u 0, v 0, w 0 ), c u (u 0, v 0, w 0 )), T v = δ v( a v (u 0, v 0, w 0 ), b v (u 0, v 0, w 0 ), c v (u 0, v 0, w 0 )), T w = δ w( a w (u 0, v 0, w 0 ), b w (u 0, v 0, w 0 ), c w (u 0, v 0, w 0 )). Le volume d un tel parallépipède est donné par la valeur absolue du produit mixte : Document B.1.1 Introduction du jacobien dans l intégrale triple ( T u, T v, T w ) = ( T u T v ). T w ). retour au cours 50

51 Index des concepts Le gras indique un grain où le concept est défini ; l italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné. C Calcul pratique de l intégrale triple-méthode des bâtons Calcul pratique de l intégrale triple-méthode des tranches I Intégrale sur un parallélépipède rectangle - calcul , 14 Intégrale sur un parallélépipède rectangle - définition Intégrale triple - domaine quelconque.. 12 Intégrales triples - changement de variables 23 J Jacobiens M Motivation

52 Solution de l exercice A.1.1 On a ou soit N 1 I h = I h = N 2 h 1 i=1 j =1 N 1 N 2 N 3 i=1 j =1 k=1 N 3 h 2 k=1 h 1 h 2 h 3 h 3 = (N 1 h 1 )(N 2 h 2 )(N 3 h 3 ) I h = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )(b 3 a 3 ) et comme I h ne dépend plus alors de h, quand h 0 on a dx d y dz = I h = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )(b 3 a 3 ) ce qui représente la masse du parallépipède rectangle si sa masse volumique est égale à 1. Retour à l exercice

53 On a montré dans le cours que f (x)g (y)h(z)dx d y dz = Solution de l exercice A.1.2 b1 ( b2 ( b3 Ce qui peut se récrire, puisque f (x)g (y) ne dépend pas de z b1 ( b2 f (x)g (y)h(z)dx d y dz = f (x)g (y) et puisque b 3 a 3 k(z)dz est une constante indépendante de x et y, b3 f (x)g (y)h(z)dx d y dz = k(z)dz De même, on a Si l on applique ce résultat à on obtient soit f (x)g (y)h(z)dx d y dz = a 1 a 1 a 3 b3 a 3 a 2 a 2 a 3 k(z)dz ) ) f (x)g (y)k(z)dz d y dx. ( b3 a 3 b1 ( b2 a 1 b2 a 2 a 2 ) ) k(z)dz d y dx. ) f (x)g (y)d y dx. b1 g (y)d y f (x)dx. a 1 (1 + x)zdx d y dz où = [0,1] [0,2] [0,1] (1 + x)zdx d y dz = 1 0 (1 + x)dx 2 0 d y (1 + x)zdx d y dz = = zdz Retour à l exercice

54 Solution de l exercice A.1.3 Le premier domaine est l intérieur d un cône défini par {(x, y, z) IR 3, 0 z 1, x 2 + y 2 1 z}. Le deuxième domaine est l intérieur d un paraboloïde défini par {(x, y, z) IR 3, z 1, x 2 + y 2 z}. Retour à l exercice

55 Solution de l exercice A.1.4 Le volume est la demi boule de centre (0,0,1), de rayon 1 située au dessous du plan d équation z = 1. Donc z varie de 0 à 1 : a 3 = 0,b 3 = 1. D z0 est l intersection de avec le plan d équation z = z 0, il s agit donc d un disque situé dans le plan d équation z = z 0, centré en (0,0, z 0 ) et de rayon 1 (z 0 1) 2. x varie de 1 à 1 : a 1 = 1,b 1 = 1 D x0 est un demi disque situé dans le demi-plan x = x 0, z 1, de centre (x 0,0,1) et de rayon 1 x0 2 Retour à l exercice

56 Solution de l exercice A.1.5 dx d y dz = où D z est le triangle {x 0, y 0, x + y 1 z}, ce qui donne dx d y dz = Tous calculs faits, on trouve que ce volume est égal à ( D z dx d y 1 ( 1 z 1 z x ) dz, ) d y dx dz. Retour à l exercice

57 Solution de l exercice A.1.6 Le volume est la demi boule de centre (0,0,1), de rayon 1 située au dessous du plan d équation z = 1. Donc D 0, projection de sur le plan xoy est un disque de centre O et de rayon 1. La surface qui limite le volume au dessus est le plan z = 1, la surface qui limite le volume en dessous est la demi sphere inférieure d équation z = 1 1 x 2 y 2. D où α(x, y) = 1 1 x 2 y 2, β(x, y) = 1 Retour à l exercice

58 Solution de l exercice A.1.7 ( 1 x y ) dx d y dz = dz dx d y, D 0 où D est le triangle (du plan xoy) {x 0, y 0, x + y 1}, ce qui donne dx d y dz = 1 1 x Tous calculs faits, on trouve aussi que ce volume est égal à (1 x y)d y dx. Retour à l exercice

59 Solution de l exercice A.1.8 Le moment d inertie d un domaine de l espace par rapport à un axe est donné par d(m, ) 2 µ(x, y, z)dx d y dz où M(x, y, z) est un point de et d(m, ) est la distance du point M à la droite et µ est la masse volumique de. Retour à l exercice

60 Solution de l exercice A.1.9 Puisque la masse volumique est constante et que le domaine est de révolution d axe Oz, le centre de gravité est sur l axe Oz. On a donc x G = 0, y G = 0. La cote du centre de gravité est donnée par Or z G = 1 m z dx d y dz = 1 où D z est un disque de rayon 1 et donc d aire π. Donc 0 z G = 1 m Or la masse de ce cylindre est égale à π, ce qui donne ce que l on pouvait deviner a priori! z G = 1 2, z dx d y dz. ( ) z dx d y dz D z π 2. Retour à l exercice

61 Solution de l exercice A.1.10 On a : J(r,θ, z) = J(r,θ,φ) = cos θ r sin θ 0 sinθ r cosθ cosφcosθ r cosφsinθ r sinφcosθ cosφsinθ r cosφcosθ r sinφsinθ sinφ 0 r cosφ D J(r,θ, z) = r, D J(r,θ,φ) = r 2 cosφ. Retour à l exercice

62 Solution de l exercice A.1.11 Pour calculer le volume (bien connu! ) d une sphère centrée en O et de rayon R, on "passe" en coordonnées spériques et le domaine Ω correspondant est le parallélépilède rectangle D où le volume de la sphère : Ω = [0,R] [0,2π] [ π 2, π 2 ]. dx d y dz = r 2 cosφdr dθ dφ = Ω R 2π 0 0 π 2 π 2 r 2 cosφdφdθ dr = 4 3 πr3. Le jacobien a été calculé dans le paragraphe "Intégrales triples - changement de variables". Retour à l exercice

63 Aide 1, Exercice A.2.1 Il faut bien choisir l ordre des intégrales simples. Retour à l exercice

64 Aide 2, Exercice A.2.1 Puisque la dérivée par rapport à z de e x yz est x ye x yz, on peut commencer par intégrer en z, ce qui donne Que représente D? ( 1 ) x 2 ye x yz dx d y dz = x x ye x yz dz dx d y. D 1 Retour à l exercice

65 Aide 3, Exercice A.2.1 x 2 ye x yz dx d y dz = x(e x y e x y )dx d y D où D = [0,1] [0,2]. Par rapport à quelle variable vaut-il mieux intégrer ensuite? Retour à l exercice

66 Aide 4, Exercice A.2.1 Solution : soit x 2 ye x yz dx d y dz = 1 0 ( 2 x 2 ye x yz dx d y dz = 0 ) (xe x y xe x y )d y dx = (e 2x + e 2x 2)dx = sh [ e x y + e x y] 2 0 dx Retour à l exercice

67 Aide 1, Exercice A.2.2 Il suffit d intégrer la fonction constante 1 sur. Choisissez une méthode de calcul. Retour à l exercice

68 Aide 2, Exercice A.2.2 c ( ) dx d y dz = dx d y dz. c D z Quelle est la définition de D z? Ne peut-on pas en déduire immédiatement la valeur de l intégrale double? Retour à l exercice

69 Aide 3, Exercice A.2.2 Solution : Puisque D z est le domaine situé à l intérieur de l ellipse d équation x 2 a 2 (1 z2 c 2 ) + y 2 b 2 (1 z2 c 2 ) = 1 l intégrale double D z dx d y représente l aire de D z soit πab(1 z2 c 2 ). On a donc c dx d y dz = πab(1 z2 c c 2 )dz = 4 3 πabc. Retour à l exercice

70 Aide 1, Exercice A.2.3 Représenter le domaine d intégration et regarder s il est de révolution. Retour à l exercice

71 Aide 2, Exercice A.2.3 est un paraboloïde de révolution d axe Oz on va donc faire le calcul de l intégrale triple en privilégiant l axe Oz. Retour à l exercice

72 Aide 3, Exercice A.2.3 La première méthode donne I 1 = 1 0 ( ) z x dx d y dz, D z or D z est symétrique par rapport à la droite x = 0, la fonction à intégrer est impaire en x donc D z x dx d y = 0. De même, on a 1 ( ) I 2 = z x 2 dx d y dz, D z 0 où, puisque D z est un disque, vous pourrez passer en coordonnées polaires pour calculer l intégrale double. Retour à l exercice

73 Aide 4, Exercice A.2.3 Solution : I 2 = 1 0 z ( z 2π 0 0 r 2 cos 2 θr dr dθ ) dz = 1 0 z 3 π 4 dz = π 16. Retour à l exercice

74 Aide 5, Exercice A.2.3 La deuxième méthode donne ( 1 ) I 1 = x z dz dx d y, D 0 x 2 +y 2 où D 0 est le disque du plan xoy centré en O et de rayon 1. Ecrire de même l intégrale I 2. Retour à l exercice

75 Aide 6, Exercice A.2.3 Solution : 1 I 1 = D 0 2 x(1 (x2 + y 2 ) 2 )dx d y Or D 0 est symétrique par rapport à la droite x = 0, la fonction à intégrer est impaire en x, donc 1 I 1 = D 0 2 x(1 (x2 + y 2 ) 2 )dx d y = 0 On calcule I 2 en passant en coordonnées polaires. I 2 = 1 2π 0 0 r 2 cos 2 θ(1 r 4 )r dr dθ = π 16. Retour à l exercice

76 Aide 1, Exercice A.2.4 Faites une figure. Puis choisissez l une des deux méthodes d intégration. Retour à l exercice

77 Aide 2, Exercice A.2.4 Montrer que la projection de (voir la figure B.1.2) dans le plan xoy est le trapèze D 0 limité par les droites y = 2, y = 0, x + y = 2 2y + x = 6. z y Calculer alors l intégrale triple. x FIGURE B.1.2: Domaine d intégration Retour à l exercice

78 Aide 3, Exercice A.2.4 Solution : avec Tous calculs faits, on trouve ( ) 4 y 2 zdx d y dz = z dz dx d y, D 0 0 D 0 g (x, y)dx d y = 2 6 2y 0 2 y zdx d y dz = g (x, y)dx d y. On aurait pu faire le calcul en projetant sur le plan yoz. Quelle est cette projection? Puis quels sont les deux points d intersection de la droite parallèle à Ox, passant par le point (0, y, z) avec? ous pourriez alors refaire le calcul du volume de. Retour à l exercice

79 Aide 1, Exercice A.2.5 La masse d un domaine similaire a été calculé dans l exercice A.1.5. Aidez vous de cet exercice pour calculer l abscisse du centre de gravité. Retour à l exercice

80 Aide 2, Exercice A.2.5 Pour obtenir l abscisse il faut calculer x dx d y dz = c 0 ( où D z est le triangle {x 0, y 0, x a + y b 1 z c }, ce qui donne x dx d y dz = 0 0 D z x dx d y c ( a(1 z c ) ( b(1 z c x a ) 0 ) dz, ) ) xd y dx dz. Finissez les calculs et réfléchissez s il faut faire d autres calculs pour l ordonnée et la cote du centre de gravité. Retour à l exercice

81 Aide 3, Exercice A.2.5 Solution : On trouverait de façon analogue m = µ abc 6 x G = 1 m µ x dx d y dz = a 4. y G = b 4, z G = c 4. Retour à l exercice

82 Aide 1, Exercice A.2.6 Que vaut ρ? Faut-il faire un changement de variables et lequel? Retour à l exercice

83 B Aide 2, Exercice A.2.6 ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + (h z) 2 µ(x, y, z) dx d y dz = ρ(x, y, z) µ(r ) r 2 + h 2 2hr sinφ r 2 cosφdr dθ dφ. Quel est le domaine Ω? Dans quel ordre faut-il intégrer? Ω Retour à l exercice

84 Aide 3, Exercice A.2.6 La fonction à intégrer ne dépend pas de θ et il faut commencer à intégrer en φ puisque l on ne connait pas µ(r )! ( µ(x, y, z) R dx d y dz = 2π µ(r ) r π 2 rh cosφ )dr ρ(x, y, z) h r 2 + h 2 2hr sinφ dφ Intégrer en φ et calculer m. B 0 π 2 Retour à l exercice

85 Aide 4, Exercice A.2.6 Solution : B µ(x, y, z) dx d y dz = 2π ρ(x, y, z) R 0 µ(r ) r h ( ) (r h) 2 (r + h) 2 dr = 2π R 0 µ(r ) r ( 2r )dr h puisque (r h) 2 = h r (pourquoi? ). Or, il est facile de calculer m en utilisant les coordonnées sphériques et de voir que d où le résultat. m = 4π R 0 µ(r )r 2 dr, Retour à l exercice

86 Aide 1, Exercice A.2.7 Faire une figure et adopter un changement de variables. Retour à l exercice

87 Aide 2, Exercice A.2.7 y R R sin θ θ x FIGURE B.1.3: Domaine d intégration On passe en coordonnées cylindriques centrées à l origine. Alors le domaine d intégration (voir la figure B.1.3 pour les variations de r et θ) est décrit par : 0 θ π, 0 r R sinθ, 0 z R 2 r 2.

88 Retour à l exercice

89 Aide 3, Exercice A.2.7 Pour des raisons de symétrie, on peut considérer que le volume est deux fois le volume suivant : Finissez le calcul. π 2 0 R sinθ R 2 r rdz dr dθ. Retour à l exercice

90 Aide 4, Exercice A.2.7 Solution : soit π 2 dx d y dz = 2 0 dx d y dz = 2 3 π 2 0 R sinθ 0 R 2 r 2 rdr dθ, (R 3 cos 3 θ R 3 )dθ = ( π )R3. Retour à l exercice