Correction du devoir sur les situations de conjectures

Transcription

1 Corrction du dvoir sur ls situations d conjcturs no 1. n étant un nombr ntir... a. n + 1 b. n - 1 c. n d. n + 1. (n + 1) f. 5n + (5n + 5) g. 4 possibilités : i. n + 1 t n + 11 ii. n - 1 t n + 9 iii. n + 1 t n - 9 iv. n - 1 t n - 11 h. n - 1 i. n 3 = 6n (c st donc un multipl d 6!) j. 5(n + 1) = 10n + 5 (c st donc un nombr qui finit par 5) no. Si la variabl n rprésnt un nombr ntir t qu ls variabls a, b, c t d rprésntnt ds chiffrs ntirs positifs... a. 6n, 6n + 6, 6n + 1 b. 100a + 10b + c (c st important d choisir ds variabls qui n rprésntnt qu ds chiffrs d 0 à 9) c. n + (n + ) = 4n + d. n(n + 1) = n + n No 3. Prouvz qu cs affirmations sont vrais ou fausss. a. Si on rli trois sommts non consécutifs d un hxagon régulir, on obtint un triangl équilatéral. 1) Contr-xm pls on trac ds hxagons régulirs t on n chrch un dont ls som m ts non consécutifs définissnt un triangl non équilatéral ) démonstration (si on chrch ls propriétés ds polygons régulirs 1) ls angls intériurs d tout polygon régulir sont isométriqus ) ls côtés d tout polygon régulir sont isom étriqus il faut prouvr qu ls trois diagonals n pointillé sont isométriqus... 1) ls 3 triangls formés ds côtés d l hxagon t ds diagonals n pointillé sont isocèls parc qu form és d côtés d l hxagon ) ils sont égalmnt isom étriqus parc qu ils ont ds côtés d mêm longuur t ds angls au sommt isométriqus (angls intériurs d l hxagon) 3) lurs bass (n pointillé) sont donc isom étriqus 4) conclusion l triangl st équilatéral : vrai!

2 b. La somm d 3 nombrs ntirs consécutifs st un multipl d 3. 1) Contr-xmpls = 1 ntirs positifs : oui, c st un multipl d = -1 ntirs négatifs : oui, c st un multipl d = 0 ntirs positifs t négatifs : oui, c st un multipl d 3 prmir nombr ntir (il put êtr négatif, donc on utilis n) : n nombr : n nombr : n + Somm ds 3 : n + (n + 1) + (n + ) = 3n + 3 = 3(n + 1) 4) conclusion Conclusion : oui, qull qu soit la valur d n, l fait qu l xprssion algébriqu soit m ultiplié par 3 nous garantit un m ultipl d 3. vrai! c. La somm d 4 nombrs ntirs consécutifs st un multipl d 4. 1) Contr-xmpls = 6 du prmir coup, j ai trouvé un contrxm pl! pas nécssair... 4) conclusion Voilà! C st trm iné : fauss! d) L carré d un nombr pair st toujours divisibl par 4. 1) Contr-xm pls (4) = 16 ntir positif pair : oui, c st divisibl par 4 (-6) = 36 ntir négatif pair : oui, c st divisibl par 4 (0) = 0 oui, c st divisibl par 4 aussi... Nombr pair : n carré d c nombr : (n) NB : Vous avz pnsé aux parnthèss, n st-c pas? Réduisons : (n) = n n = 4n 4) conclusion Conclusion : oui, qull qu soit la valur d n, l fait qu l xprssion algébriqu soit m ultiplié par 4 nous garantit un multipl d 4 (un multipl d 4 st par définition divisibl par 4). vrai!

3 ) Si un nombr st un multipl d 5, alors il s trmin par 0. 1) Contr-xmpls 5 st un multipl d 5 t il n trmin pas par 0 4) conclusion fauss! f) Si l on additionn un multipl d 5 t l nombr ntir qui l suit, alors l résultat donn un nombr qui finit par 1. 1) Contr-xm pls C st domm ag : j aurais dû précisr qu il s agissait d nombrs ntirs positifs = ) conclusion affirmation fauss! g) La somm d un multipl d 3 t d un multipl d st un multipl d 5. 1) Contr-xmpls 9 + = 11 4) conclusion affirmation fauss!

4 h) La différnc ntr un multipl d 6 t un multipl d 3 st un multipl d 3. 1) Contr-xmpls 18-3 = 15 multipl d = -6 multipl d = 63 multipl d 3 multipl d 6 : 6n Multipl d 3 : 3x (j prnds variabls différnts pour m assurr d la plus grand variété d multipls possibl) 6n - 3x = 3(n - x) 4) conclusion Qull qu soit la valur obtnu dans la parnthès, l fait qu ll soit multiplié par 3 nous garantit un... multipl d 3! affirmation vrai! i) La différnc ntr un multipl d 6 t un multipl d st un multipl d 4. 1) Contr-xmpls 6 - = 4 oui, c st un multipl d = non, c n st pas un multipl d 4! 4) conclusion fauss! j) L produit d un multipl d 3 t d un multipl d 4 st un multipl d 1. 1) Contr-xmpls 3 8 = 4 oui, c st un multipl d = 7 oui, c st un multipl d = -7 oui, c st un multipl d 1 3a 4b = 1ab Qulls qu soint ls valurs d a t b, l fait qu l monôm soit multiplié par 1 nous garantit un multipl d 1. 4) conclusion vrai!

5 Défi. Lorsqu j additionn dux nombrs ntirs qui ont un différnc d, j obtins l doubl du nombr qui s situ ntr cs dux nombrs. 1) Contr-xmpls = 8 = = 66 = = 4 = = -1 = -6 r 1 nombr ntir : n nombr ntir : n + (un différnc d signifi qu on fait ds bonds d ) l nombr ntr ls dux : n + 1 n + (n + ) = n + = (n + 1) 4) conclusion Or, (n + 1) s traduit par «l doubl du nombr après n (clui ntr n t n + ), donc affirmation vrai!