Transformateur électrique

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1 Transformateur électrique Pour des raisons pratiques (voir chapitre suivant), le courant produit par les centrales électriques est sinusoïdal dont la valeur efficace n est pas la même partout sur le réseau : V dans les lignes hautes tension, V dans une ligne moyenne tension et 220 V aux bornes d une prise de courant (là encore pour des raisons pratiques : transporter une grande puissance est plus efficace à haute tension, donc à basse intensité, en raison de l effet Joule). Le but du transformateur électrique est de convertir une tension alternative en une tension alternative de même fréquence mais de valeur efficace différente. Le principe du transformateur repose sur le couplage par inductance mutuelle de 2 circuits, donc sur l induction de Neumann. C est une conversion statique de puissance. I Ferromagnétisme Les matériaux magnétiques se caractérisent par leur comportement lorsqu ils sont soumis à un champ magnétique extérieur. Ils s aimantent plus ou moins lors de l application du champ, et certains matériaux sont capables de conserver un champ magnétique après disparition du champ magnétique extérieur. I. Rappel : Moment magnétique d un circuit Un circuit délimitant une surface ÝÑ S orientée en fonction de l intensité i qui parcourt le circuit possède un moment magnétique m i ÝÑ S I.2 Aimantation On modélise la matière magnétique par un ensemble de dipôles magnétiques. Le moment dipolaire magnétique d m (A m 2 ) d un volume mésoscopique dτ (m 3 ) de matière magnétique est alors donné par d m ÝÑ Mdτ où ÝÑ M (en A m ) est le vecteur aimantation qui est par définition un vecteur densité volumique de moment dipolaire. I.3 Excitation magnétique On peut montrer que le champ vectoriel aimantation ÝÑ M est équivalent à un champ crée par une distribution de courants électriques volumiques j ÝÑ rot ÝÑ M. Ces courants volumiques sont aussi appelés courants ampèriens. Ils imposent, dans le cadre de l ARQS (qui sera toujours le cadre d étude des transformateurs), de modifier l équation de Maxwell Ampère ÝÑ rot ÝÑ B µ 0 p j Si on remplace j par son expression, on obtient ÝÑ rot ÝÑB ÝÑ M µ 0 j q j

2 On définit alors l excitation magnétique ÝÑ H ÝÑ H ÝÑ B µ 0 ÝÑ M Dans la matière aimantée, l équation de Maxwell-Ampère devient ÝÑ rot ÝÑ H j et en version intégrale, le théorème d Ampère ¾ ÝÑ H d l ¼ j d ÝÑ S I enlacé Γ Σ Remarques Le champ magnétique ÝÑ B est désormais difficilement calculable puisqu il dépend des courants ampèriens dont on ne sait rien à notre niveau, à part qu ils sont une modélisation correcte des phénomènes microscopiques. Il faut donc se contenter de calculer l excitation magnétique ÝÑ H en utilisant les méthodes que l on utilisait pour calculer le champ ÝÑ B dans le vide ou dans la matière non aimantée. La description plus fine des mécanismes produisant l aimantation fait appel à une description quantique de la matière. S il est aisé de comprendre, avec la représentation classique d un électron tournant autour du noyau, la présence de moments dipolaires magnétiques dans la matière sous forme de petites spires de courant, il en va autrement lorsque l on passe à une représentation quantique qui détruit la notion de trajectoire. On gardera cependant à l esprit que le mouvement de rotation est souvent lié à la conservation d un moment cinétique, notion qui elle garde tout son sens en mécanique quantique, et est même étendue à la notion de moment cinétique intrinsèque, le spin. I.4 Milieux magnétiques linéaires, homogènes et isotropes (LHI) Milieu linéaire Un milieu linéaire est un milieu tel que, localement ÝÑ MpMq KpMq ÝÑ H pmq où KpMq est à priori une matrice qui dépend du point M. Milieu homogène La matrice KpMq ne dépend pas du point M. Milieu isotrope La matrice K ne dépend pas de la direction de l espace. C est donc une matrice diagonale dont les coefficients sont tous égaux. K est donc simplement une constante scalaire (tout ça pour ça!). Susceptibilité magnétique La constante K, souvent notée χ m est appelée susceptibilité magnétique, et est une grandeur sans dimension. Perméabilité magnétique relative Dans un matériau LHI, on peut donc écrire ÝÑ H ÝÑ B µ 0 χ m ÝÑ H 2

3 donc ÝÑ B µ0 p χ m q ÝÑ H On définit alors la perméabilité magnétique relative, grandeur sans dimension µ r χ m et on écrit ÝÑ B µ0 µ r ÝÑ H µ ÝÑ H On peut donc traiter les milieux LHI comme les milieux non aimantés en remplaçant simplement µ 0 par µ (voir sujet DST sur l induction). Types de milieux LHI On distingue deux types de milieu LHI : les milieux diamagnétiques, pour lesquels χ m 0 est faible. L aimantation est opposée à l excitation magnétique imposée. les milieux paramagnétiques, pour lesquels χ m 0 est faible. L aimantation est de même sens que l excitation magnétique imposée. Milieux non linéaires, homogènes et isotropes Dans le cas des transformateurs, afin d obtenir une bonne canalisation du flux du champ magnétique, on utilise des matériaux ferromagnétiques dont la perméabilité magnétique relative est très grande. Le matériau n est cependant plus linéaire. En particulier, µ r dépend en général de l excitation magnétique, mais aussi de l état magnétique antérieur du matériau (on parle de phénomène d hystérésis). On simplifiera l étude des transformateurs utilisant ce type de matériau en considérant une aire de cycle d hystérésis suffisamment faible pour assimiler le cycle à une droite. II II. Transformateur électrique Couplage magnétique entre 2 circuits Soient deux circuit filiformes d inductances propres L et L 2. Soit M le coefficient d inductance mutuelle entre ces deux circuits. Les coefficients vérifient M 2 L L 2 3

4 Démonstration On note ÝÑ B le champ crée par les courants parcourant les 2 circuits. Par définition, l énergie magnétique E m est égale à l intégrale sur tout l espace de la densité volumique d énergie magnétique B 2 2µ 0. Elle est donc positive ou nulle. Par ailleurs, cette énergie s exprime en fonction des coefficients d induction et des courants En factorisant par, on obtient E E m 2 L Mi m 2 2 L 2 2 L 2 2 M i 2 L 2 qui est un polynôme de degré 2 de variable i i2. Ce polynôme est positif ou nul quelque soit la valeur de la variable puisque E m 0, ce qui implique que le discriminant est négatif (pas de racines réelles non nulles) M L L 2 0 et donc M 2 L L 2 On appelle couplage magnétique parfait un couplage entre deux circuit filiformes tels que II.2 M 2 L L 2 Constitution du transformateur électrique Quelques métaux, dont le fer, ont la propriété de canaliser les lignes de champ magnétique. Ces matériaux sont dits ferromagnétiques. Un transformateur électrique est un quadrupôle composé de deux enroulements de fil autour d un tore de matériau ferromagnétique. L enroulement de gauche, constitué de N spires, est appelé enroulement primaire. L enroulement de droite, constitué de N 2 spires, est appelé enroulement secondaire. En canalisant les lignes de champ magnétique, le matériau ferromagnétique assure un couplage presque parfait entre les deux enroulements. On peut trouver deux type de schéma conventionnels du transformateur électrique. Nous utiliserons dans la suite le schéma (b). 4

5 Bornes homologues L orientation des enroulements primaire et secondaire est telle que leur normale (obtenue avec les règles habituelles) est dans le sens choisi pour l orientation du circuit magnétique. On repère alors par deux points une paire de bornes homologues du transformateur : cette paire est composée de la borne du primaire et de celle du secondaire par où rentre un courant qui donne un flux positif avec la convention d orientation précédente. i i i ÝÑ S S eθ i ÝÑ S S eθ n i ÝÑ S 0 n i2 ÝÑ S 0 n i ÝÑ S 0 n i2 ÝÑ S 0 i u u 2 II.3 Modèle du transformateur parfait Un transformateur est dit parfait ou idéal si : le couplage magnétique entre les deux enroulements est parfait la puissance électrique reçue par le primaire est intégralement transférée au secondaire : il n y a pas de pertes dans le transformateur. Ce modèle permet des calculs simples et une compréhension du comportement du transformateur électrique. Le champ magnétique étant parfaitement canalisé, le flux φ a la même valeur à travers toute section du tore. On l appelle flux commun. On oriente la section ÝÑ S du tore. On considère par ailleurs pour faciliter le calcul que l excitation magnétique est homogène sur une section du tore, ce qui est vrai si la dimension caractéristique de 5

6 la section est petite devant le rayon R du tore. Le matériau est un matériau LHI de perméabilité magnétique relative µ r que l on considérera comme très grande. i u u 2 i ÝÑ S S eθ Calcul du flux du champ magnétique Par symétrie, l excitation magnétique ÝÑ H est un vecteur orthoradial, puisque le plan po, e z q est plan de symétrie. Par ailleurs, il y a invariance par rotation autour de po, e z q, donc ÝÑ H ne dépend pas de θ. Pour finir, on suppose que le tore est suffisamment grand pour que l excitation soit homogène dans une section du tore, donc la valeur de ÝÑ H est constante. On a donc ¾ ÝÑ H H eθ On applique le théorème d Ampère à un cercle d axe po, e z q et de rayon R pour calculer l excitation magnétique ÝÑ H d l H N i N 2 Γ Le signe venant de l orientation relative des spires parcourues par i et ÝÑ S. On a donc ÝÑ B µ0 µ r ÝÑ H donc ÝÑ B a les mêmes propriétés géométriques que ÝÑ H. On peut alors calculer le flux magnétique commune à travers la section S du tore φ ÝÑ B ÝÑ S N i N 2 µ 0 µ r S Coefficients d inductance D après la loi de Faraday e dφ N dφ u et u 2 sont en convention générateur donc u e N dφ et e 2 dφ 2 N dφ 2 et 6 u 2 e 2 N 2 dφ

7 que l on peut exprimer en explicitant φ et u N µ 0 µ r S u 2 N 2 µ 0 µ r S Par ailleurs, par définition, en convention générateur di u L M d N di N di et u 2 N 2 d N 2 d L 2 d M di donc par identification L N 2 µ 0µ r S M N N 2 µ 0 µ r S L 2 N 2 2 µ 0µ r S On trouve que la condition de couplage parfait M 2 L L 2 est bien remplie. II.4 Propriétés du transformateur parfait Rapport de transformation en tension où m est appelé rapport de transformation. On peut calculer le rapport u 2 u N 2 N m Rapport de transformation en intensité On a vu que φ N i N 2 µ 0 µ r S Si µ r Ñ 8, alors le le flux doit rester borné, ce qui impose N i N 2 0 soit, en faisant intervenir le rapport de transformation m i m donc i m Transfert de puissance La puissance consommée dans l enroulement primaire p vaut p u i. La puissance consommée dans l enroulement secondaire vaut p 2 u 2, donc la puissance cédée par l enroulement secondaire vaut p 2 p 2 u 2. On peut alors exprimer le rapport p 2 p u 2 u i u 2 u i m m ce qui montre que la puissance consommée dans l enroulement primaire est intégralement fournie par le secondaire au circuit qui lui est attaché. 7

8 II.5 Transfert d impédance Vu de l enroulement primaire, l ensemble secondaire+charge est équivalent à un dipôle dont on peut déterminer l impédance ramenée en entrée Z r. i u u 2 Z On se place donc en régime sinusoïdal de pulsation ω avec une impédance en circuit avec l enroulement secondaire. Par définition Z u 2 car on est en convention générateur. u 2 mu et m i donc et donc Z mu m i m 2 u i u m 2 Zi Z r i où Z r est bien l impédance totale de l enroulement secondaire et de la charge Z vus du primaire. III Transformateur réel et applications III. Transformateur réel Cette partie traite d un certain nombre de phénomènes intervenant dans le transformateur réel, en particulier les pertes ignorées jusque là. On ne donnera ici que quelques indications dans la mesure ou le traitement de ces pertes est hors programme. III.. Courant magnétisant On reprend l étude du transformateur en supposant cette fois ci que la perméabilité magnétique relative µ r n est pas infinie. Dans ce cas On en déduit N i φ N i N 2 µ 0 µ r S µ 0 µ r S φ N 2 donc i N µ 0 µ r S φ N 2 N Si le secondaire ne débite pas de courant, on constate cependant que l intensité i est non nulle. Ce courant est appelé courant magnétisant i m N µ 0 µ r S φ 8

9 La puissance absorbée par le transformateur n est alors pas nulle. Par ailleurs, on peut remarquer que dφ u N N N µ 0 µ r S di m N 2 µ 0µ r S di m L m di m ce qui montre qu on peut modéliser le courant magnétisant par une inductance placée en parallèle à l entrée du transformateur. i u L m u 2 i m III..2 Pertes cuivre Les pertes cuivre sont les pertes liées à la résistance non nulle des enroulements secondaire et primaire. Elles sont prises en compte en rajoutant des résistances en série R et R 2. Ce sont des pertes par effet Joule. III..3 Inductances de fuite Dans le modèle du transformateur réel, le couplage entre les deux enroulements n est plus considéré comme parfait, en raison de la canalisation imparfaite du flux par le matériau ferromagnétique. On tient compte de cette imperfection en écrivant φ lomon N φ partie commune lomon L f i fuite au primaire et φ 2 lomon N 2 φ partie commune lomon L 2f fuite au secondaire où L f et F 2f sont appelées inductances de fuite. Le modèle devient alors (en incluant les résistances) R i L f L 2f R 2 u L m u 2 i m Ce modèle constitue le modèle linéaire du transformateur réel. III..4 Pertes fer Les pertes Fer sont les pertes intervenant dans le matériau ferromagnétique. Courants de Foucault Les courants de Foucault générés par les champs magnétiques variables sont responsables de pertes par effet Joule dans le matériau ferromagnétique. On diminue ces pertes en utilisant un matériau feuilleté (voir TD induction). 9

10 Pertes par hystérésis Les pertes par hystérésis sont liées au caractère non linéaire du matériau ferromagnétique. On retiendra que ces pertes sont proportionnelles à l aire du cycle décrit par le phénomène d hystérésis. On choisira donc pour les transformateurs des matériaux dits doux dont le cycle est peu étendu, pour limiter les pertes. III.2 III.2. Applications Adaptation d impédance Un GBF de résistance interne R g délivre une tension sinusoidale e e 0 exppjωtq. e i u R c R g La puissance moyenne reçue par la charge vaut p {2Rtuiu avec u R c R c R g e i R c e R g donc p R c e 2 R c 2 R c R g R c R g 2 pr c R g q 2 e2 0 0

11 p R c R g R c Puissance maximale On dérive la fonction ppr c q en posant R c {R g x dont la dérivée est ppxq e2 0 x 2R g p xq 2 p pxq e2 0 x 2R g p xq 3 qui s annule pour x. La puissance transmise est donc maximale pour R g R c. III.2.2 Transformateur d isolement On utilise souvent un transformateur d isolement de rapport de transformation m pour tracer les caractéristiques des dipoles. En effet, la masse de l oscilloscope étant reliée à la terre, la présence d une masse mise à la terre dans le générateur peut poser problème.

12 Table des matières I Ferromagnétisme I. Rappel : Moment magnétique d un circuit I.2 Aimantation I.3 Excitation magnétique I.4 Milieux magnétiques linéaires, homogènes et isotropes (LHI) II Transformateur électrique 3 II. Couplage magnétique entre 2 circuits II.2 Constitution du transformateur électrique II.3 Modèle du transformateur parfait II.4 Propriétés du transformateur parfait II.5 Transfert d impédance III Transformateur réel et applications 8 III. Transformateur réel III.. Courant magnétisant III..2 Pertes cuivre III..3 Inductances de fuite III..4 Pertes fer III.2 Applications III.2. Adaptation d impédance III.2.2 Transformateur d isolement