Thème 19: Probabilités

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1 PROBABILITÉS 79 Thème 19: Probabilités Introduction: Blaise Pascal Andrey Nikolaevich Kolmogorov La théorie des probabilités est née de l étude par les mathématiciens des jeux de hasard. D ailleurs, le mot hasard provient du mot arabe «az-zahr» signifiant dé à jouer. On attribue au mathématicien et philosophe français Blaise Pascal ( ) les premières pierres de cet édifice théorique. Cette théorie s est ensuite développée au cours des siècles pour devenir une discipline mathématique à part entière. On doit au mathématicien russe Andrey Kolmogorov en 1933, une formalisation de la théorie des probabilités. Quant à nous, nous pouvons prendre conscience de l utilité d un tel calcul si nous gardons à l esprit le fait que la majorité des décisions que nous devons prendre comportent des éléments d incertitude. C est donc le cas en économie lorsque l on décide d introduire un nouveau produit, de lancer une campagne de publicité, d investir une somme importante pour accroître la capacité de production d une usine, de choisir le niveau d un stock, d accepter ou rejeter un lot de pièces peut-être défectueuses, de fixer le prix d un produit par exemple. Dans chaque cas l avenir est entaché d un élément d incertitude qu il est impossible d éliminer, mais dont il est possible de calculer la probabilité de réalisation Premières notions Exemple d introduction: On lance deux dés bien équilibrés: un bleu et un rouge et on s intéresse au total des points obtenus sur les deux faces supérieures. Ce total est un nombre entier compris entre 2 et 12. Avant de lancer les dés, on ne peut prévoir quel sera ce total: on dira alors que l on a à faire à une expérience aléatoire. L ensemble de tous les résultats que l on peut obtenir au cours de cette expérience, ici exprimant le total des 2 dés, est appelé l univers de l expérience. On peut s intéresser à la réalisation de certains événements tels que: «obtenir un total de 8 points» ou bien «obtenir un total de 8 ou 3 points» ou «obtenir un total de points pairs», etc Voici les résultats obtenus: Total des points Nbre. d apparitions

2 80 THÈME 19 L événement «le total est 8» est réalisé 66 fois sur 500 lancers soit une fréquence de 0,132 = 13,2%. L événement «le total est 3» est réalisé a une fréquence de 0,056 = 5,6 %. La fréquence de l événement «le total est pair» s obtient en ajoutant les fréquences de tous les totaux pairs: on trouve 0,496 = 49,6% La fréquence de l événement contraire «le total est impair» est la différence 1 0,496 = 0,504 = 50,4%. Si ces deux dés sont utilisés à l occasion d un jeu de hasard, le joueur qui parie sur un total de 8 semble avoir une plus grande probabilité de gagner que celui qui parie sur un total de 3, si l on estime que cette simulation de 500 lancers est digne de confiance Une probabilité est un modèle théorique pour rendre compte des chances de réalisation d un événement, conforme aux fréquences. Dans le cas précédent, on tentera de développer un modèle mathématique permettant d éviter la simulation des 500 lancers.?? Le saviez-vous?? Buffon (~1750) lança 4040 fois une pièce de monnaie et constata que face était apparu dans 50,69 % des lancés. Pearson (au début du 20 ème siècle) fit la même expérience, mais fois; il s aperçut qu il y avait 50,05 % de faces.

3 PROBABILITÉS Approche intuitive de la notion de probabilité Dans cette approche, nous allons utiliser les méthodes de dénombrements étudiés précédemment, c est-à-dire l analyse combinatoire. Si on tire deux cartes d un jeu de 36 cartes bien brassé et si le tirage se fait au hasard, sans tricher. L univers sera constitué de tous les tirages possibles de 2 cartes parmi les 36. Sans les décrire, nous savons qu il y en a : C 2 36 = 36! 34! 2! = 630. Si maintenant, on s intéresse parmi ces possibilités à l événement A = «obtenir deux as». Nous pouvons calculer le nombre de possibilités d obtenir 2 as à l aide de : C 2 4 = 4! 2! 2! = 6 possibilités. La probabilité d obtenir 2 as en tirant au hasard 2 cartes au hasard dans un jeu de 36 cartes est donc: P(A) = 6 chances parmi les 630 = 6 = 0,00952 = 0,95%. 630 Cette approche intuitive conduit à la définition suivante: Définition: Soit U l univers d une expérience aléatoire. La probabilité d un événement A, notée P(A), est définie par le rapport: P(A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles Remarques: 1) Cette définition est valable uniquement si tous les tirages ont la même chance de se réaliser. On dira alors que les tirages sont équiprobables. Par exemple, les résultats «j obtiens pile» ou «j obtiens face» en lançant une pièce de monnaie pourraient ne pas être équiprobables si la pièce était faussée. Dès lors, on ne pourrait plus utiliser la formule précédente. 2) La probabilité d un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. On l exprime volontiers en pour cent.

4 82 THÈME 19 Modèle 1: En jetant un dé deux fois de suite, quelle est la probabilité d'obtenir: a) 2 nombres pairs? b) 2 nombres impairs? c) 1 nombre pair et 1 nombre impair? Exercice 19.1: On dispose de 26 jetons, gravés avec les 26 lettres de l alphabet. On tire successivement et sans remise trois jetons. Quelle est la probabilité d obtenir: 1) 3 consonnes? 2) 3 voyelles? 3) le mot MOI? 4) le mot MOI ou l une de ses anagrammes? Exercice 19.2: La file de camélidés se compose de 4 chameaux et de 4 dromadaires répartis au hasard. Calculer la probabilité pour que les chameaux alternent avec les dromadaires. Exercice 19.3: Exercice 19.4: On lance quatre fois une pièce de monnaie. Quelle est la probabilité d'obtenir: 1) exactement 2 fois faces? 2) au moins trois fois face? L agence CHKultur organise des visites culturelles dans 8 villes de Suisse (parmi celles-ci, on y trouve Lausanne, Genève, Fribourg et Berne). Chaque visite comprend 4 villes, chaque ville n est visitée qu une fois et l ordre de passage dans les 4 villes choisies a de l importance. Parmi toutes les visites possibles, calculer la probabilité qu'elles 1) débutent à Lausanne? 2) débutent à Lausanne et comprennent la visite de Genève? 3) comprennent une visite à Berne et à Fribourg?

5 PROBABILITÉS 83 Modèle 2: Il y a 5 calculatrices défectueuses dans un lot de 25 calculatrices. On en choisit 4 au hasard. Quelle est la probabilité que a) toutes les calculatrices fonctionnent? b) au moins 3 calculatrices fonctionnent? Modèle 3: On tire au hasard 5 cartes d un jeu de 36 cartes. Déterminons la probabilité des événements: A = «on tire deux coeurs» ; B = «on tire deux rois» ; C = «on tire au moins un roi» ; D = «on tire au plus un as». Exercice 19.5: On tire simultanément 8 cartes d un jeu de 36 cartes. Quelle est la probabilité des événements? 1) A = «parmi les 8 cartes, il y a l as de coeur». 2) B = «il n y a aucun as parmi les 8 cartes». 3) C = «il y a au moins un as parmi les 8 cartes».

6 84 THÈME 19 Exercice 19.6: Un sac contient trois objets rouges, quatre objets bleus et cinq objets jaunes. On tire simultanément trois objets. Quelle est la probabilité des événements : 1) A = «les trois objets tirés sont jaunes»? 2) B = «il y a un objet de chaque couleur»? 3) C = «aucun objet n est rouge»? 4) D = «il y a au moins un objet rouge»? 5) E = «il y a au moins un objet bleu»? 6) F = «il y a au plus un objet bleu»? Exercice 19.7: Un récipient contient 70 boules sur lesquelles sont inscrits les 70 premiers nombres entiers non nuls. On tire trois boules simultanément. Quelle est la probabilité que parmi ces trois nombres: 1) figurent deux multiples de 5? 2) ne figure aucun carré parfait? 3) figure au moins un carré parfait? Exercice 19.8: Un paquet de 12 cartes est composé de 4 rois, 4 dames et 4 valets. On tire 5 cartes simultanément. Quelle est la probabilité de tirer: 1) 2 rois, 2 dames et 1 valet? 2) les 4 rois? Exercice 19.9: Exercice 19.10: On tire simultanément 5 cartes d un jeu de 36 cartes. Quelle est la probabilité de tirer : 1) 5 carreaux? 2) 2 carreaux et 3 coeurs? 3) 5 carreaux ou 5 coeurs? 4) 5 cartes de la même famille? 5) les 4 rois? 6) 3 rois et 2 dames? 7) aucun roi? 8) au moins un roi? 9) au plus un roi? 10) 2 cartes d une famille et 3 d une autre famille? On jette un dé trois fois. Quelle est la probabilité d obtenir un total: 1) de 15 points? 2) d au moins 15 points? 3) de strictement moins de 15 points?

7 PROBABILITÉS 85 Exercice 19.11: On jette un dé deux fois. Quelle est la probabilité que le total des points obtenus soit: 1) strictement supérieur à 8? 2) un multiple de 3? 3) strictement supérieure à 8 et un multiple de 3? 4) supérieure à 8 ou un multiple de 3? 5) supérieure à 8 ou bien un multiple de 3? Modèle 4: Jouer à l EURO MILLIONS, c est choisir cinq nombres parmi les nombres 1 à 50 et deux étoiles parmi 11 (numérotées de 1 à 11). Quelle est la probabilité des événements suivants: 1) A = «gagner le gros lot»? 2) B = «trouver 3 bons numéros et 1 étoile»? Exercice 19.12: Suite du modèle ci-dessus, quelle est la probabilité de : 1) n'avoir aucun bon numéro et aucune étoile? 2) trouver 2 bons numéros et au moins 1 étoile? Exercice 19.13: Exercice 19.14: On tire d un paquet de 52 cartes deux cartes au hasard. Quelle est la probabilité qu elles forment un black jack, ou autrement dit, que l une soit un as et l autre un dix, un valet, une dame ou un roi? Lors d un examen, un candidat doit tirer trois questions d oral sur 22 questions proposées par l examinateur comprenant les 3 domaines: 10 questions d algèbre, 7 questions de trigonométrie et 5 questions d analyse. Le candidat tire simultanément les 3 questions. 1) Quelle est la probabilité de tirer trois questions d algèbre? 2) Quelle est la probabilité de tirer une question de chaque domaine? 3) Quelle est la probabilité de ne tirer aucune question de trigonométrie? 4) Quelle est la probabilité de tirer au moins une question de trigonométrie?

8 86 THÈME Calculs de probabilité en utilisant des diagrammes de Venn Modèle 4: Dans un groupe de 35 élèves, 19 font du volley, 22 du basket et 14 pratiquent les 2 sports. Calculer la probabilité des événements suivants: A = «en choisissant un élève au hasard, qu il pratique les deux sports». B = «en choisissant un élève au hasard, qu il ne pratique aucun sport». C = «en choisissant un élève au hasard, qu il ne pratique que du volley». D = «en choisissant un élève au hasard, qu il pratique du basket ou du volley». E = «en choisissant un élève au hasard, qu il pratique du basket ou bien du volley». F = «en choisissant deux élèves au hasard, qu ils pratiquent uniquement du basket».

9 PROBABILITÉS 87 Exercice 19.15: Exercice 19.16: Exercice 19.17: Exercice 19.18: 60% des profs du gymnase de Morges ne portent ni bague ni collier. 20% portent une bague et 30% ont un collier. Si vous croisez un prof dans les couloirs, quelle est la probabilité qu il porte: 1) une bague ou un collier? 2) une bague et un collier? Un appareil, fabriqué en très grande série, peut être défectueux à cause de deux défauts différents désignés par A et B. 10% des appareils ont le défaut A, 8% le défaut B et 4% les deux défauts simultanément. Un client achète l un des appareils produits. Calculer: 1) la probabilité que cet appareil ne présente aucun défaut ; 2) la probabilité que cet appareil ne présente que le défaut A ; 3) la probabilité que cet appareil ne présente que le défaut B. Une agence de voyages fait un sondage statistique sur la connaissance de trois pays A, B et C. On constate que parmi les personnes interrogées, 42% connaissent A, 55% connaissent B, 34% connaissent C, 18% connaissent A et B, 10% connaissent A et C, 15% connaissent B et C, 8% connaissent A, B et C. Un voyage est prévu pour l une des personnes qui a répondu aux questions posées à l occasion de ce sondage. On tire au sort le nom du gagnant. Tous les noms ont la même probabilité d être tirés. Quelle est la probabilité que le gagnant soit une personne: 1) connaissant au moins l un de ces trois pays? 2) ne connaissant aucun de ces trois pays? 3) connaissant deux pays exactement? 4) connaissant A, mais ne connaissant ni B ni C? 5) connaissant A et B, mais ne connaissant pas C? Dans une assemblée de 500 personnes, 300 comprennent le français, 200 l italien, 90 l anglais, 160 à la fois le français et l italien, 60 à la fois le français et l anglais, 40 à la fois l italien et l anglais et 20 comprennent les trois langues. Si on choisit une personne au hasard dans cette assemblée, quelle est la probabilité que cette personne comprenne: 1) exactement deux de ces trois langues? 2) l une au moins de ces trois langues? Exercice 19.19: Lors d activités sportives, un groupe est formé de 9 garçons et 6 filles. On sait que parmi ces quinze élèves, 6 ont choisi le tennis, 5 le volley et 2 ont choisi à la fois le tennis et le volley. 1) Calculer le nombre d élèves inscrits sans mentionner un sport. 2) En prenant un élève au hasard, calculer la probabilité qu il ait choisi exactement un des deux sports.

10 88 THÈME Les diagrammes en arbre Les diagrammes en arbre constituent une représentation souvent utilisée pour décrire et étudier des expériences aléatoires se déroulant en plusieurs étapes. Illustrons cette méthode par un exemple. Modèle 5: Un sac contient 4 billes rouges, 2 billes bleues et 3 billes vertes. On tire successivement et sans remise deux billes. Trouver la probabilité des événements suivants: A = «les deux billes tirées sont rouges» ; B = «la première bille est bleue et la seconde est verte» ; C = «une des billes tirées est rouge et l autre est bleue». Toutes les issues possibles peuvent être représentées par un diagramme en arbre : On trouve ainsi les probabilités en multipliant les probabilités des branches correspondantes : P(A) = P(B) = P(C) =

11 PROBABILITÉS 89 Exercice 19.20: Un tireur à l arc atteint sa cible avec une probabilité de 60%. Il tire successivement 3 flèches. 1) Représenter la situation sur un arbre. 2) Quelle est la probabilité qu il atteigne exactement deux fois la cible? 3) Quelle est la probabilité qu il atteigne au moins une fois sa cible? Exercice 19.21: Deux urnes contiennent chacune 3 boules vertes et 2 jaunes. On tire une boule de la première urne que l on introduit dans la deuxième urne. Après avoir mélangé, on tire une boule de cette deuxième urne. 1) Quelle est la probabilité d obtenir une boule verte? 2) Quelle est la probabilité d obtenir une boule jaune? Exercice 19.22: Une urne contient au départ 5 boules blanches et 7 noires. Chaque fois que l on tire une boule, on note sa couleur, puis on la réintroduit ainsi que deux nouvelles boules de la même couleur qu elle. Quelle est la probabilité que les deux premières boules tirées soient noires, puis les deux suivantes blanches? Exercice 19.23: Une personne d humeur joyeuse essaie d ouvrir sa porte après une soirée bien arrosée. Il a un trousseau de 4 clés indiscernables vu son état! Elle essaie les clés en remettant chaque fois la clé utilisée dans le trousseau. 1) Représenter la situation sur un arbre Quelle est la probabilité d ouvrir la porte: 2) au premier essai? 3) au deuxième essai? 4) au cinquième essai? Exercice 19.24: La même personne d humeur joyeuse essaie toujours d ouvrir sa porte après cette fameuse soirée. Il a cette fois un trousseau de 10 clés indiscernables vu son état! Elle essaie les clés en remettant chaque fois la clé utilisée dans le trousseau. Quelle est la probabilité d ouvrir la porte: 1) au sixième essai? 2) en moins de 4 essais?

12 90 THÈME 19 Exercice 19.25: Exercice 19.26: Exercice 19.27: Exercice 19.28: On sait que lors des naissances, 48% des bébés sont des filles et 52% sont des garçons. Calculer la probabilité qu une famille de quatre enfants ait : 1) uniquement des garçons ; 2) au moins une fille ; 3) le même nombre de filles que de garçons. Curieux climat que celui de la petite île d Eigoloroetem. Il y fait: soit beau toute la journée, soit mauvais toute la journée. L affirmation demain, il fera le même temps qu aujourd hui est vraie dans 70% des cas. Il a fait beau le vendredi de Pâques, calculer la probabilité des événements suivants: 1) A: «il a fait beau le dimanche de Pâques». 2) B: «il a fait beau le samedi et le dimanche de Pâques». 3) C: «il a fait beau le samedi ou le dimanche de Pâques». L éclairage d une pièce nécessite l emploi de deux lampes A et B différentes. Les probabilités de défaillance de ces lampes après 100 heures d utilisation sont de 0,12 pour A et 0,18 pour B. 1) Représenter la situation sur un arbre. 2) Calculer la probabilité que les deux lampes tombent en panne toutes les deux. 3) En déduire la probabilité d avoir au moins une lampe qui fonctionne. 4) Quelle est la probabilité qu une lampe, et une seule tombe en panne? À Morges, le temps au petit jour suit la loi suivante: temps pluie nuages ciel bleu probabilité 0,2 0,5 0,3 Monsieur Amiguet prend son parapluie en partant le matin avec une probabilité de: 100% s il pleut ; 60% s il y a des nuages ; 20% si le ciel est bleu. Calculer la probabilité que monsieur Amiguet parte demain matin en emportant son parapluie.

13 PROBABILITÉS Un petit mélange Exercice 19.29: Exercice 19.30: Exercice 19.31: On sort d un jeu de cartes les 4 as et les 4 rois. On tire ensuite simultanément 2 cartes de ces 8 cartes. Quelle probabilité a-t-on de tirer: 1) deux as? 2) deux as rouges? 3) un as au moins? On sort d un jeu de cartes les 4 as et les 4 rois. On tire ensuite successivement au hasard 4 cartes de ces 8 cartes. Quelle probabilité a-t-on de tirer: 1) les quatre as? 2) un as au moins? 3) 4 cartes rouges? 4) 4 cartes de familles différentes? Une forêt abrite vingt cerfs. Cinq sont capturés, marqués et relâchés. Un peu plus tard, quatre sont de nouveau capturés. Quelle est la probabilité que deux d entre eux soient marqués? Exercice 19.32: Le mercredi 22 décembre 2004 à 23h22, Grégory remportait la finale de Star Academy contre Lucie. Une enquête a montré que 9 filles sur 10 ont préféré Grégory à Lucie, contre un garçon sur deux seulement. 1) Supposons que parmi tous les votes enregistrés, 60% provenaient de filles, et donc 40% de garçons. Avec quel pourcentage de voix Grégory a-t-il gagné? 2) On prend à présent cinq filles au hasard. Quelle est la probabilité qu au moins l une d entre elles ait opté pour Lucie? 3) En réalité, Grégory a reçu 80% des voix. Si l enquête est fiable, calculer la proportion effective de votes féminins (qui n est donc pas 60%) Indication : poser x la proportion recherchée et à l aide d un arbre, montrer que l équation à résoudre est 0,9x + 0,5(1 x) = 0,8. 4) Grégory a emporté un million d euros. Plutôt que de l investir dans un disque dont il doute lui-même déjà de la qualité, il décide de le placer à intérêts composés. Quel taux doit-il choisir pour que son capital double en 20 ans.

14 92 THÈME 19 Exercice 19.33: Un prof de math (!!) donne à sa classe 10 problèmes en expliquant que l examen final consistera à résoudre 5 de ces 10 problèmes, choisis au hasard. Si un étudiant sait résoudre 7 des 10 problèmes, quelle est la probabilité qu il ou elle réponde correctement : 1) aux 5 problèmes ( note: 6)? 2) à au moins 3 problèmes ( note 4)? Le coin du philosophe! «Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe: la probabilité, opposée à la certitude, c est ce qu on ne sait pas, et comment peut-on calculer ce que l on ne connaît pas? Cependant, beaucoup de savants éminents se sont occupés de ce calcul, et l on ne saurait nier que la science n en ait tiré quelque profit. Comment expliquer cette apparente contradiction? La probabilité a-telle été définie? Peut-elle même être définie?» Henri Poincaré ( ) 19.6 Quelques exercices d examens (sans les réponses) Exercice 19.34: Exercice 19.35: À la cafétéria du gymnase, on veut dénombrer les différents types de pâtisseries proposés. On les classe selon 4 catégories : Catégorie 1 : Elles contiennent de la crème et des fruits. Catégorie 2 : Elles contiennent au moins de la crème. Catégorie 3 : Elles contiennent au moins des fruits. Catégorie 4 : Elles ne contiennent ni fruit, ni crème. Sur 45 pâtisseries proposées à la vente, on en a dénombré 27 de la deuxième catégorie, 22 de la troisième et 8 de la quatrième. 1) En choisissant au hasard une pâtisserie, déterminer la probabilité qu elle contienne de la crème et des fruits. 2) En choisissant au hasard deux pâtisseries, déterminer la probabilité qu une ne contienne que de la crème et l autre au moins des fruits. Un premier seau contient 25 balles de tennis orange et 35 jaunes tandis qu un deuxième contient 40 balles orange et 20 jaunes. On choisit au hasard une balle du premier seau, on note sa couleur puis on la dépose dans le deuxième seau. On choisit ensuite au hasard une balle de ce deuxième seau, déterminer : 1) la probabilité que les deux balles choisies soient orange ; 2) la probabilité que les deux balles choisies soient de couleurs différentes.

15 PROBABILITÉS 93 Exercice 19.36: Exercice 19.37: Exercice 19.38: Le jeune Harry Potter se promène dans la forêt interdite avec un sac contenant 5 dragées "surprise" au goût menthe et 1 dragée "surprise" au goût crotte de nez. Il en prend une au hasard. Si elle a un goût menthe, il la déguste puis en prend une nouvelle, si elle a un goût crotte de nez, il la crache et dégoûté il jette le reste des dragées. 1) Calculer la probabilité qu il mange et apprécie exactement 2 dragées. 2) Calculer la probabilité qu il mange et apprécie au moins 1 dragée. À l'école des sorciers de Poudlard, un oiselier élève 12 chouettes blanches, dont 8 mâles et 7 chouettes noires, dont 3 mâles. Afin de leur donner une mission, il choisit au hasard 5 chouettes. 1) Calculer la probabilité que ces 5 chouettes soient de la même couleur. 2) Calculer la probabilité que parmi ces 5 chouettes, il y a exactement 3 mâles. L aigle royal du zoo mange des souris. La réserve de souris héberge cinq souris blanches, dont deux femelles et sept souris grises, dont trois femelles. Le gardien chargé de nourrir l aigle attrape au hasard et simultanément deux souris. a) Calculer la probabilité des événements suivants : A : «les deux souris sont grises» ; B : «les deux souris sont des femelles» ; C : «il s agit d un mâle et d une femelle de la même couleur» ; D : «les deux souris sont de la même couleur». b) Sachant que les deux souris sont grises, calculer la probabilité d avoir deux femelles. Devinette: Quelle est la différence entre un probabiliste et un statisticien? Réponse: Le probabiliste se pose le problème suivant: «On lance fois de suite une pièce de monnaie non truquée, quelle est la probabilité d obtenir 5347 fois pile?» Pour le statisticien, c est : «Sur lancers, on a obtenu 5347 piles, peut-on en conclure que la pièce est non truquée?»

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