Partie numérique ( 3 ) 2

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1 Brevet blanc Janvier 07. La calculatrice est autorisée, mais les détails des calculs sont exigés. La clarté et la qualité de la rédaction prendront une part importante dans la notation. Partie numérique Exercice : ) Calculer les expressions suivantes et donner leur valeur exacte. A = ; B = 4 5 : ( ) ; C = ( ) 0 ) Ecrire sous la forme a avec a entier relatif : D = Calculer l'expression suivante et l'écrire sous la forme b c ou a + b c où c est un entier le plus petit possible. E = ( + ) + ( 7 5 ) ( ) ) Donner l'écriture scientifique et l'écriture décimale de l'expression suivante: F = Exercice : Soit l'expression E = ( 6 x ) ( 5 x 4 ) ( 5 x 4 ) ) Développer et réduire E. ) Factoriser E. ) Résoudre l'équation ( 5 x 4 ) ( x + ) = 0 4) Calculer E pour x = et pour x = 4 Exercice : Soit F = ) Calculer le PGCD des nombres 655 et 95. ) Ecrire la fraction 655 sous forme irréductible. 95 ) En déduire une écriture de F sous forme de fraction irréductible ) Ecrire alors F sous la forme a + b. (a, b et c désignent trois entiers naturels, a étant le plus grand possible.) c Partie géométrique Exercice :. Construire un triangle RST rectangle en R tel que ST = 8 cm et RT = 4,8 cm.. ontrer que RS = 6,4 cm.. Sur la demi droite [ RT ), placer le point U tel que RU = 6 cm. Sur la demi-droite [ RS ), placer le point V tel que RV = 8 cm a. ontrer que les droites ( TS ) et ( UV ) sont parallèles. b. Calculer UV. Exercice : B J On considère un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 9 cm et BC = 7 cm. Sur cette figure, les dimensions ne sont pas respectées. ) Quelle est la nature du triangle ABC? ) Le point E est le point de [AC] tel que AE = 4 cm. La médiatrice de [EC] coupe [EC] en H, [BC ] en J et ( BE ) en. a) Prouver que les droites ( JH ) et ( AB ) sont parallèles. b) Prouver que le segment [ HC ] mesure,5 cm. c) Calculer la valeur exacte de JH. d) Calculer H. A E H C Exercice : On considère la boule de centre O et de rayon 6 cm.. Calculer le volume exact de cette boule et en donner un arrondi au mm.. On note O' un point tel que O = 4 cm. (P) est le plan passant par le point et perpendiculaire à la droite ( O ). On note un point appartenant au plan (P) et à la sphère. Aucun calcul n'est nécessaire pour les deux constructions suivantes: a. Tracer en vraie grandeur le triangle OO'. b. Tracer en vraie grandeur l'intersection de la sphère et du plan (P). O ( P )

2 PROBLEE ( points) Dans tout le problème, l unité est le mètre. ) Un moulin à vent est constitué d'un cylindre surmonté d'un cône de révolution (figure ). Le cylindre et le cône ont la même hauteur et une base commune de centre O et de rayon R. a) Exprimer le volume du cylindre et du cône en fonction de R et de h. 4πR h b) En déduire que le volume du moulin est égal à. c) On donne R = et h = 5. Calculer la valeur exacte, puis la valeur arrondie au m de ce volume. ) Les ailes du moulin sont représentées par la région des arrondis de la figure. ABCD est un carré de centre O et de mètres de côté. Les triangles ON, OPQ, ORS et OUT sont isocèles en O. On pose N = x. a) ontrer que OH = 6 m b) Exprimer en fonction de x l'aire du triangle ON. En déduire que l'aire des ailes du moulin est égale à 44 x. c) Déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire des ailes est égale à 6 m. d) On suppose que x = 9. Calculer O. ontrer que le périmètre des ailes du moulin est égal à 7 m. ) Dans cette question, on suppose que x = 9. On a réalisé une de ce moulin au /. Calculer : a) le périmètre des ailes de la ; b) l'aire des ailes de la ; c) le volume de la du moulin et on donnera la réponse en m arrondie au millième.

3 Exercice : ) A = A = 4 5 B = 4 5 : ( ) Correction Partie numérique B = 4 5 : 7 40 B = B = B = 6 49 C = C = C = ) D = D = D = ( ) D = 4 E = ( ) ( 7) ( 5 ) E = E = ) F = 0 F = 5 0 F =,5 0 4 écriture scientifique F = 0,0005 écriture décimale Exercice : ) E = 0 x 4 x 5 x + ( ( 5 x ) 5 x ) E = 0 x 9 x + ( 5 x 40 x + 6 ) E = 0 x 9 x + 5 x + 40 x 6 E = 5 x + x 4 ) E = ( 5 x 4 ) ( ( 6 x ) ( 5 x 4 ) ) E = ( 5 x 4) ( 6 x 5 x + 4 ) E = ( 5 x 4 ) ( x + ) ) ( 5 x 4 ) ( x + ) = 0 Un produit de facteurs est nul lorsqu'au moins l'un des facteurs est nul. 5 x 4 = 0 ou x + = 0 5 x = 4 ou x = x = 4 5 ou x = L'équation admet donc deux solutions: 4 5 et. 4) Si x = 4 E = 5 ( /4 ) + /4 4 E = 5 9/6 + /6 64/6 E = /6 E = 7/6 Si x = E = 5 ( ) 4 E = E = 60 4 E = 56 Exercice : ) Pour trouver le PGCD de 655 et 95, on utilise l'algorithme d'euclide. 655 = = = 5 + 0

4 Le PGCD est le dernier reste non nul. Donc PGCD (655 ; 95 ) = 5. ) Pour rendre irréductible une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Donc = = 9 ) F = F = 9 + F = 4) = + 5 Donc F = + 5 F = F= Exercice :. RST est un triangle rectangle en R. D'après le théorème de Pythagore, ST = RT + RS RS = ST RT RS = 8 4,8 RS = 64,04 RS = 40,96 RS est une longueur donc RS est positif RS = 40,96 RS = 6,4 cm. Partie géométrique U T a. Dans les triangles RST et RUV, T (RU) S (RV) R, T, U sont rangés dans le même ordre que R, S et V De plus RT RS RV = 6,4 8 Donc RT RU = 4,8 6 RS RV = 0,8 RT RU = 0,8 TU = RS RV D'après la réciproque du théorème de Thales, les droites (ST) et (UV) sont parallèles. R S V b. Dans les triangles RST et RUV, T (RU) S (RV) les droites (ST) et (UV) sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thales. RS RV = RT RU = ST UV En particulier RT RU = ST RU ST donc UV = UV RT UV = 6 8 4,8 UV = 0 cm

5 Exercice : ) Dans le triangle ABC, [ BC ] est le plus grand côté. BC = ( 7 ) BC = 7 AB + AC = AB + AC = AB + AC = 7 Donc AB + AC = BC D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A. ) a) ( JH) est la médiatrice de [ EC ]. Or la médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu du segment et perpendiculaire à sa droite support. Donc ( EC ) ( JH )., donc (AC ) ( JH ) Or ABC est rectangle en A. Donc ( AB) (AC). Deux droites perpendiculaires à une même droites sont parallèles. Donc ( AB ) // ( JH ). b) ( JH ) est la médiatrice de [EC], donc H est le milieu de [EC]. Donc EH = CH = CE. De plus E [ AC] donc AC = AE + EC EC = AC AE EC = 9 4 EC = 5 cm Donc CH = 5 H ( AC ) c) Dans les triangles ABC et HJC, J ( BC ) ( AB ) // ( JH ) On peut appliquer le théorème de Thalès. CJ CB = CH CA = JH BA. En particulier: CH CA = JH BA. Donc JH = CH BA CA d) Dans les triangles EAB et EH, On peut appliquer le théorème de Thalès. EA EH = EB E = AB H En particulier EA EH = AB H JH =,5 6 9 A ( HE ) B ( E ) ( AB ) // ( H) Donc H = JH = 5 9 EH AB EA CH =,5 cm JH = 5 cm H =,5 6 4 H =,75 cm

6 Exercice :. On note V le volume de la sphère. V = 4 π 6 V = 88 π cm. V 904,779 cm. C O )a) V cylindre = π R² h 0,5 pt V = V + V b) moulin cylindre cône πr² h V moulin = π R² h + πr ² h πr² h V moulin = + 4 R² h c) V moulin = π V moulin= 4 π ² 5 Problème pts V moulin = 60π m moulin Le volume du moulin est environ égal à 88 m R² h V cône = π 0,5 pt 4 R² h V moulin = π 0,5 pt V 88 m 0,5 pt )a) On sait que ABCD est un carré de centre O propriété : Si un quadrilatère un est un carré alors ses diagonales ont le même milieu, la même longueur et sont perpendiculaires. donc O est le milieu de [DB] et AOD est isocèle en O. 0,5 pt Comme AOD est un triangle isocèle en O et ( OH ) est la hauteur issue de O alors (OH) est aussi la médiatrice relative à [ AD ]. 0,5 pt Comme (OH) est la médiatrice relative à [AD] et H [AD] alors H est le milieu de [AD]. 0,5 pt On sait que dans le triangle ABD, H est le milieu de [ AD ] et O est le milieu de [ BD ] propriété : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux cotés est égale à la moitié de la longueur du ème côté. AB donc OH = OH = OH = 6 cm. pt

7 N OH A ON = A = A 4 A ailes ABCD A ailes = ² 4 x ON ( O D) A = x 6 ON A ON = x 0,5 pt P ailes = 4 + A ailes = 44 x pt b) A ailes = 6 m² 6 = 44 x x = 44 6 x = x = x = 9 pt c) On sait que le triangle OH est rectangle en H donc d après le théorème de Pythagore, on a : O = H + HO O =,5 + 6 O = 56,5 O est une longueur donc O est positif O = 56,5 O = 7,5 m pt Comme H est le milieu de [AD] alors H= N H= 9 H = 4,5m 0,5 pt Comme [HD] alors D = HD H D = 6 4,5 D =,5 cm P ailes = 8 ( 7,5 +,5 ) P ailes = 8 9 P ailes = 7 m Le périmètre des ailes du moulin est égal à 7 m. 0,5 pt )a) Comme la est une réduction du moulin dans le rapport k = alors P = k Pailes P = 7 P =,6 m Le périmètre des ailes de la est égal à,6 m. 0,5 pt b) Comme la est une réduction du moulin dans le rapport k = alors A = k² A ailes A = 6 A = 0,09 m² L aire des ailes de la est égale à 0,09 m². pt c) Comme la est une réduction du moulin dans le rapport V = 60π m V = 0,007 5π m Le volume de la est environ égal à 0,04 m. pt k = alors V = k Vmoulin V 0,04 m

8 U T R S V C O