Fonctions logarithmes

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1 La fonction logarithme népérien. Définition et propriétés Fonctions logarithmes La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d affirmer que quel que soit le réel a strictement positif, il eiste un réel unique tel que e = a. Définition Si a est un réel strictement positif, la solution unique sur R de l équation e = a, d inconnue, s appelle Définition La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; + [ par : Autrement dit, pour tout strictement positif, On dit que la fonction ln est la de la fonction ep. Ainsi : ln = 0 puisque e 0 = et ln e = puisque e( = ) e. De plus : si ln = y alors = e y et = e y soit ln On obtient donc, pour tout réel strictement positif : = y. ln = Propriété Pour tout réel, ln(e ) = et pour tout réel strictement positif, e ln =.2 Variations et ites Propriété La fonction logarithme népérien est partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; + [. Si on pose f() = ep(ln ) =, alors f () = Or f ) =, d où ln () =... La fonction logarithme népérien est

2 ln () = et > 0 pour tout > 0 ; puisque sa dérivée est strictement positive sur ]0; + [, on conclut que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [. Corollaire : Pour tout réels a et b strictement positifs, En particulier : 0 < < équivaut à ln < 0 et > équivaut à ln > 0. + ln = et ln = >0 On utilise la définition d une ite infinie à l infini : Ensuite : ln = ln ; or, >0 0 >0 Donc, par composition, on obtient Tableau de variation et représentation graphique On construit le tableau de variation à l aide des résultats précédents. Puisque la fonction ln est la réciproque de la fonction ep, les courbes représentatives de ces deu fonctions sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. La courbe passe par les points de coordonnées (; 0) et (e; ). La tangente à la courbe au point d abscisse a pour coefficient directeur ln () =. Puisque ln =, la courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une 0 >0 asymptote d équation = 0, soit l ae des ordonnées. 0 + ln () ln 2

3 .3 Relation fonctionnelle La fonction ln est la réciproque de la fonction ep. On peut donc déduire une relation fonctionnelle pour la fonction ln à partir de celle eistant pour la fonction ep : pour tout réels et y, ep() ep(y) = ep( + y) donc ln(ep() ep(y)) = ln(ep( + y)) = + y ; si on pose a = ep() et b = ep(y), soit = ln a et y = ln b on obtient : Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : Si a = b, la relation fonctionnelle nous donne : ln(a 2 ) = 2 ln a. On peut alors en déduire : ln = ln(( ) 2 ) = 2 ln( ), soit ln( ) = 2 ln..3. Propriétés Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l entier relatif n : La deuième propriété a déjà été prouvée. pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle : ln a b = pour la troisième propriété notée P n : " ln(a n ) = n ln a " ; nous allons d abord démontrer par récurrence que P n est vraie pour tout n N. Initialisation : Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit Alors ln(a k+ ) = Conclusion : Maintenant, si n est un entier relatif négatif, ln(a n ) = ln a n = ln(a n ) or ( n) N ; on peut donc écrire ln(a n ) = ( n) ln a On en déduit que : ln(a n ) = n ln a. 3

4 .4 Compléments.4. Calcul de ites ln ln( + ) =... et = On sait que pour tout a réel, a < ep(a) donc pour tout a strictement positif, ln a a. (Croissance de la fonction ln). On en déduit que pour tout strictement positif ln d où 2 ln et donc ln 2. Alors, pour tout : 0 ln 2 De plus + ln, c est-à-dire : = 0, donc par application du théorème des gendarmes, On pouvait aussi écrire ln = X ep(x) = X et l inverse de ites. ln( + ) ln( + ) ln = ep(x) ln + = 0., et appliquer les théorèmes sur la composition est Sa ite quand tend vers 0 est ln( + ) ln( + ) ln Donc = = Calcul de dérivées On montre que : si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R, alors la fonction composée ln u, notée aussi ln u, est dérivable sur I et (ln u) () = Par eemple, on obtient pour tout > b a : (ln(a + b)) = u étant strictement positive, le signe de (ln u) est le même que celui de u. Cette dérivée satisfait à la formule générale : (f(u()) = u () f (u()) 4

5 2 Fonction logarithme décimal 2. Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log, définie sur ]0; + [ par : En particulier : log =..., log 0 = Propriétés Les propriétés de la fonction logarithme décimal se déduisent immédiatement de celles de la fonction ln. Par eemple, pour tout entier relatif n, log 0 n = Dérivée La fonction logarithme décimal est Variations La fonction logarithme décimal est Limites + log = et log = > Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a b) = Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l entier relatif n : ( a ) ( ) log = log = log(a n ) = b b 5