Calcul Différentiel. Automne f(x) = ax + b.

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1 Calcul Différentiel Automne Dérivabilité des fonctions réelles Une application affine de R dans R est une application de la forme f(x) = ax + b. Son graphe est une droite : Idée : On veut approcher localement une fonction quelconque par une fonction affine. Soit f une fonction d un intervalle I R vers R. Le taux d accroissement entre f(x) et f(x+h) est f(x + h) f(x). h 1

2 Définition 1.1. La fonction f est dérivable en x si la limite f(x + h) f(x) lim h 0 h existe. Dans ce cas, on la note f (x) et on l appelle dérivée de f en x. Géométriquement, cela signifie que le graphe de f admet une tangente en f(x). Si f est dérivable en x, la tangente en x est le graphe de la fonction A: h f (x) h + f(x). Dire que f est dérivable en x, c est équivalent à dire que la formule de Taylor est vérifiée. Géométriquement : f(x + h) = f(x) + h f (x) + o(h) 2

3 Comment généraliser cette idée à des champs de vecteurs C est la notion de différentiabilité! f : U R n R m? Définition 1.2. Soit f une fonction définie sur U un ouvert de R n et à valeurs dans R m (n, m N). La fonction f est différentiable en a U s il existe une application linéaire L de R n dans R m telle que f(a + h) = f(a) + L(h) + o(h). (1) Théorème Si elle existe, l application linéaire L définie plus haut est unique. 2. Si f est différentiable en a, alors f est continue en a. 3. Un champ vectoriel f = (f 1,..., f m ) est différentiable si et seulement si ses composantes f i, i = 1,..., m sont des champs scalaires différentiables. Définition 1.4. L application linéaire Df(a) définie dans le théorème précédent est appelée différentielle de f en a. Notations : La différentielle en a est aussi notée f (a), df a ou df(a). Si f : I R R alors f est dérivable en x si et seulement si f est différentiable en x. La différentielle est Df(x): h f (x)h. Autrement dit, la différentielle est la multiplication par la dérivée. Ce qu il faut retenir la différentiabilité en a d une fonction f de R n dans R m s écrit : f(a + h) = f(a) + Df(a)h + o(h) (2) L équation (2) est appelée formule de Taylor du premier ordre pour f au point a. Df(a) est une application linéaire de R n dans R m. C est une approximation linéaire de f(a + ) f(a), et o(h) est un reste qui tend vers 0 plus vite que h 0 (i.e. o(h) h 0 si h 0). 3

4 Linéarité : Si f et g sont différentiables en a, et si le scalaire λ est constant, alors f + g, et λf sont différentiables en a et on a : D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a), D(λf)(a) = λdf(a). Différentielle d une constante : Une application f : U R n R m constante est différentiable sur U, et pour tout x U, on a : Df(x) = 0. En effet : f(x + h) = f(x) + 0.h + o(h), où o(h) = 0. Différentielle d une application linéaire : Soit ϕ une application linéaire de R n dans R m, alors ϕ est différentiable sur U, et pour tout x R n, on a : Dϕ(x) = ϕ. En effet, ϕ(x + h) = ϕ(x) + ϕ(h) = ϕ(x) + Dϕ(x)(h) + o(h), où Dϕ(x)(h) = ϕ(h) et o(h) = 0. Remarque 1.5. Dϕ(x) est une application!! et Dϕ(x)(h) est un vecteur de R m!! Remarque 1.6. La fonction Identité est une application linéaire. Sa différentielle est donc elle-même, c est-à-dire la fonction Identité. Si f : U R n R est un champ scalaire différentiable en x, sa différentielle Df(x) est une forme linéaire. Ainsi, Df(x)(h) peut s exprimer comme produit scalaire entre h et un certain vecteur de R n appelé gradient et noté f(x). Ce qui s écrit Df(x)(h) = f(x) h. Dans le cas unidimensionnel, on sait calculer la dérivée d une fonction composée φ(t) = f(g(t)) par la formule φ (t) = f (g(t))g (t). Nous allons étendre cette formule lorsque f est remplacée par un champ vectoriel f : U R n R m g est remplacée par un champ vectoriel g : V R p U R n. Théorème 1.7. Soient f : U R n R m et g : V R p R n des champs de vecteurs tels que la composition f g soit définie dans un voisinage d un point x 0 V. Supposons que g soit différentiable en x 0, de différentielle Dg(x 0 ). Soit y 0 = g(x 0 ) et supposons que f soit différentiable en y 0, de différentielle Df(y 0 ). Alors, f g est différentiable en x 0, et la différentielle D(f g)(x 0 ) est donnée par D(f g)(x 0 ) = Df(y 0 ) Dg(x 0 ). 4

5 2 Dérivée par rapport à un vecteur On veut ramener la différentiabilité à des dérivations usuelles. Définition 2.1. Soit f : U R n R m une fonction donnée. Soit a U et soit v un vecteur arbitraire dans R n. La dérivée de f en a par rapport au vecteur v, ou la dérivée directionnelle en a dans la direction v, notée v f(a), est définie par l équation v f(a) = lim t 0 f(a + tv) f(a) t lorsque la limite définie dans le membre de droite de l équation ci-dessus existe. Autrement dit, v f(a) est la vitesse en 0, ou la dérivée en 0, de la courbe de variable réelle t f(a + tv). Exercice 2.2. Calculer v f(a) si la fonction f est définie par f(x) = x 2, pour tout x R n. Théorème 2.3. Si f est différentiable en a R n, alors, pour tout v R n, v f(a) existe et s exprime suivant la relation : v f(a) = Df(a)(v) Attention : La réciproque est fausse! 3 Dérivées partielles On munit R n de la base orthonormée (e 1,..., e n ). Soit f un champ vectoriel (f : R n R m ). Définition 3.1. Dans la définition de dérivée selon un vecteur, si on prend v = e k (le k-ième vecteur unitaire des coordonnées), la dérivée directionnelle ek f(a) est appelée la dérivée partielle de f par rapport à e k et est également notée k f(a). Ainsi, nous notons k f(a) = ek f(a). Remarque : On trouve aussi la notation f x k. Attention, cette notation peut être très ambiguë. Exercice 3.2. Dans chacun des exemples suivants, calculer les dérivées partielles du premier ordre des champs scalaires : 1. f(x, y) = x 2 + y 2 sin(xy), 2. f(x, y) = x + y, pour x y, x y 3. f(x, y, z) = x 2 y 2 + 2z Dans R n, muni de la base orthonormée B = (e 1,..., e n ), on note x = n i=1 x ie i la décomposition de x R n dans B. Calculer les dérivées partielles du premier ordre des champs scalaires suivants (a) f(x) = v x, le vecteur v étant fixé (forme linéaire), n (b) f(x) = a ij x i x j, la matrice A = (a ij ) i,j étant fixée (forme quadratique), i,j=1 (3) 5

6 4 Relation entre la différentielle et les dérivées partielles Théorème 4.1. Si f : U R n R m est différentiable en a, alors pour tout i {1,..., n}, i f(a) existe et on a la relation : n Df(a)(h) = h i i f(a), où h = (h 1,..., h n ) dans la base (e 1,..., e n ). Attention : La réciproque est fausse! Exercice 4.2. Si f est une fonction différentiable de R 2 dans R, dériver les fonctions i=1 u(x) = f(x, x) et g(x, y) = f(y, x). Théorème 4.3. Si les différentielles partielles i f existent et sont continues sur U, alors l application f : U R n R m est différentiable sur U. Définition 4.4. Une fonction f satisfaisant les hypothèses du théorème précédent est dite continûment différentiable sur U. Soit f(x) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) différentiable sur U ouvert de R n et à valeurs dans R m : f : U R n R m Soit a U. La différentielle Df(a) est l application linéaire définie, dans les bases canoniques de R n et R m, par la matrice jacobienne : 1 f 1... n f f m... n f m où les dérivées partielles sont calculées au point a. Ici, Df(a)(h) est le produit matriciel de la matrice jacobienne de f en a par le vecteur h :, Df(a)(h) = Df(a) h, pour tout h R n. Df(a) = 1 f 1... n f f m... n f m Dans la matrice jacobienne Df(a), la première ligne est la différentielle de la première composante f 1 de f, la première colonne est la première dérivée partielle de f, etc... Définition 4.5. Le déterminant de Df(a) s appelle le déterminant jacobien de f en a. Soit f : U R R m définie sur un ouvert U de R. Ici, Df(a) est la dérivée classique de f : f (a), définie par la limite suivante 1 1. comme h R, on peut diviser par h f f(a + h) f(a) (a) = lim R m, h 0 h 6

7 La différentielle Df(a) est l application linéaire h hf (a) de R dans R m. Ici, Df(a)(h) est le produit de h par le vecteur f (a) : Df(a)(h) = hf (a) pour tout h R. La formule de Taylor au premier ordre s écrit Plus concrètement, l application f s écrit f 1 (x) f(a + h) = f(a) + hf (a) + o(h).. f m (x), d où f (a) = f 1(a). f m(a) R m. La différentiabilité de f équivaut ici à la dérivabilité des composantes f 1,..., f m. Remarque 4.6. f (a) est appelé vecteur dérivé ou vecteur vitesse de f en a. Soit f un champ scalaire : f : U R n R défini sur un ouvert U de R n, et soit a U. La différentielle Df(a) est la forme linéaire sur R n, de composantes ( 1 f(a),..., n f(a)) dans la base canonique de R n. Dans ce contexte, la notation df(a), ou f(a) est souvent préférée à Df(a). Ici, Df(a)(h) est le produit scalaire entre f(a) et h : Df(a)(h) = f(a) h pour tout h R n. La formule de Taylor au premier ordre s écrit f(a + h) = f(a) + f(a) h + o(h). Comme la composition d applications linéaires correspond à la multiplication des matrices associées, on obtient : où y 0 = g(x 0 ). D(f g)(x 0 ) = Df(y 0 ) Dg(x 0 ) (4) Exemple 4.7. Dans le cas d un champ scalaire composé avec un champ vectoriel : où y 0 = g(x 0 ). (f g) (x 0 ) = f(y 0 ) g (x 0 ) Proposition 4.8 (La différentielle de l inverse). Soit f : E F bijective et différentiable, où E et F sont deux ouverts de R n et R m. Supposons que, pour y E, la différentielle de f en f 1 (y) soit inversible (i.e. le Jacobien de f en f 1 (y) est non nul). Alors, Df 1 (y) = (Df(f 1 y)) 1. 7

8 5 Dérivées d ordres supérieurs Pour les fonctions de deux variables, il y a quatre dérivées partielles secondes que l on écrit En général, 1 ( 1 f) = 2 f x 2, 1( 2 f) = 2 f x y, 2( 1 f) = 2 f y x, 2( 2 f) = 2 f y 2. 2 f x y n est pas la même chose que 2 f y x! Théorème 5.1. (Une condition suffisante pour l égalité des dérivées partielles mixtes). Supposons que f soit un champ scalaire tel que les dérivées partielles 1 f, 2 f, 1,2 f et 2,1 f existent sur un ouvert S. Si (x 0, y 0 ) est un point de S où 1,2 f et 2,1 f sont continues, nous avons alors 1,2 f(x 0, y 0 ) = 2,1 f(x 0, y 0 ). Définition 5.2. Soit f une fonction telle que ses dérivées partielles premières et secondes existent et sont continues sur un ouvert S de R n, alors f est dite de classe C 2 sur S ou encore deux fois continûment différentiable sur S. Exercice 5.3. On suppose que toutes les dérivées des fonctions suivantes sont continues et existent. Les équations u = f(x, y), x = X(t), y = Y (t), définissent u comme une fonction de t, que nous notons u = F (t). a) Montrer que F (t) = f x X (t) + f y Y (t), où f f et sont évaluées en (X(t), Y (t)). x y b) De la même manière, calculer F (t) en fonction de f, X et Y. c) Appliquer ces résultats aux fonctions f(x, y) = x 2 + y 2, X(t) = t, Y (t) = t 2. 6 Hessienne, Formule de Taylor au second ordre Définition 6.1. Soit f une fonction C 2 au voisinage de x C R n, à valeurs dans R. On note H(x) ou D 2 f(x) la matrice hessienne de f en x C, i.e. H(x) = [ xi,x j f(x)] 1 i,j n. La formule de Taylor au second ordre s écrit au point x : f(x + y) = f(x) + f(x) y H(x)y y + o( y 2 ). Si f est C 2 sur C, on en déduit que H(x) est symétrique. C est le lemme de Schwarz. Si x est un point critique alors la formule de Taylor s écrit f(x + y) = f(x) H(x)y y + o( y 2 ). points critiques Si x est un point critique alors la formule de Taylor s écrit f(x + y) = f(x) H(x)y y + o( y 2 ). 8

9 Ainsi, le terme prépondérant au voisinage de x (après le terme constant) correspond à une forme quadratique donné par la matrice symétrique 1/2 H(x). Pour comprendre les fonctions différentiables deux fois au voisinage de point critique, on a besoin de comprendre les matrices symétriques et les formes quadratiques associées. Rappels sur les matrices réelles symétriques Théorème 6.2. Soit A M n (R) une matrice réelle symétrique. Alors les valeurs propres de A sont réelles, et A est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres de A. Remarque 6.3. Les vecteurs propres de A sont donc orthogonaux. Il suffit de les normer pour en faire une base orthonormée. Avec une matrice symétrique A M n (R), on définit la forme quadratique : y R n Ay y, ce qui s écrit si A = [a ij ] 1 i,j n et y = y i e i dans la base orthonormée (e i ) 1 i n de R n : Ay y = n a ij y i y j. i,j=1 Définition 6.4. La matrice symétrique A M n (R) est définie positive si y R n, y 0, Ay y > 0. La matrice symétrique A M n (R) est définie négative si y R n, y 0, Ay y < 0. On peut relier le signe de la forme quadratique associée à A au signe du spectre de A : Théorème 6.5. Soit A M n (R) une matrice réelle symétrique, alors A est définie positive toutes les valeurs propres de A sont strictement positives. A est définie négative toutes les valeurs propres de A sont strictement négatives. Nature des points stationnaires Le théorème suivant relie la nature des points stationnaires et le spectre de la matrice hessienne. Théorème 6.6. Soit f : C R n R et x 0 un point stationnaire de f. On suppose que f est de classe C 2 au voisinage B(x 0 ) de x 0. Soit H(x 0 ) la hessienne de f au point x 0. Alors Si toutes les valeurs propres de H(x 0 ) sont positives strictement, f a un minimum relatif en x 0, Si toutes les valeurs propres de H(x 0 ) sont négatives strictement, f a un maximum relatif en x 0, Si H(x 0 ) possède au moins une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative, alors x 0 est un point-selle pour f. 9