TERMINALE S Les nombres complexes [forme algébrique]

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1 Définitions et propriétés. Il existe un ensemble de nombres, noté C, qui contient tous les nombres réels et qui de plus : -contient un nombre noté i, un symbole tel que i 2 = -1. -tous les nombres de C s écrivent d une unique façon sous ma forme a + ib avec a et b réels. Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre complexe z. - Les règles de calculs pour l addition et la multiplication restent les mêmes que dans R. L ensemble de tous les nombres complexes se note C. On a R C Le nombre a s appelle la partie réelle de z. On note a = Re(z) Le nombre b s appelle la partie imaginaire de z. On note b = Im(z). Remarque : la partie imaginaire d un nombre complexe est un nombre réel, il n y a pas de "i". Exemples : 2+3i ; -1+i 2 sont des nombres complexes i = 0est un nombre complexe particulier et d une façon générale : si x est un nombre réel alors x + 0 i = x est un nombre complexe. z = 2 i 3 La partie réelle de z est 2 et sa partie imaginaire est - 3. NB : 3i = 0 + 3i et -2i = 0 + (-2)i sont des nombres complexes. On dit que ce sont imaginaires purs. On appelle imaginaire pur tout nombre complexe de la forme ib où b est un nombre réel. L ensemble des nombres imaginaires purs se note ir. Remarque : 0 est imaginaire pur. Propriété : Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont nulles. z = 0 Re(z) = Im(z) = 0 Conséquences : Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. z R Im(z) = 0 et z ir Re(z) = 0 0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur. Calculs : On calcule dans C comme dans R. Deux nombres complexes z = a + ib et z = a + ib, il vient z = z z z = 0 (a + ib) - (a + ib ) = 0 a a + ib ib = 0 a a + ib ib = 0 Soit z = z (a a ) + i(b b ) = 0 a a = 0 et b b = 0 a = a et b = b. Ce qui signifie que z et z on même partie réelle et même partie imaginaire, d où : nombrescomplexes1 1/6

2 Propriétés: Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. z = z Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ) Tout nombre complexe non nul admet un inverse. Ainsi : L inverse de 1 + i est et l inverse de i est i Calculs: z 1 =(2+5i) + (1-2i); z 2 = (-2+4i) - (1+3i); z 3 =(3+2i) (1-i); z 4 = 2 + 3i 3 ; z 5 = 1 + 2i 1 + i Solution z 1 =3+3i ; z 2 =-3+i ; z 3 =3-3i +2i - 2i 2 = 5- i ; z 4 = i; z 5 = i 2 Identités remarquables: (z +z )² = z² +2zz + z ² (z - z )² = z² - 2zz + z ² z ² - z ² =(z z )(z + z ) z ² + z ² =(z + iz )(z iz ) Nombres complexes conjugués Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib avec a et b réel, on appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe noté z défini par z = a - ib Exemples 1+ i =1- i ; 3-2i = 3+2 ; i = 0 + i = 0 i = -i ; 1 = i =1-0 i =1 On remarque que i et i sont opposés alors que 1et 1 sont égaux. Ceci est général, en effet si M(z) avec z réel, M sera invariant par la symétrie d axe (Ox) et donc M(z) et M ( z )seront confondus d où z = z, et réciproquement. Dans le cas où M(z) avec z imaginaire pur, M appartient à l axe (Oy) et son symétrique par rapport à (Ox) aura pour affixe -z, d où z = -z, et réciproquement. Propriété: Un nombre complexe est réel si et seulement s il est égal à son conjugué. Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement s il est égal à l opposé de son conjugué. z R z = z et z ir z = -z conséquences : nombrescomplexes1 2/6

3 z = z z = a + ib, avec a et b réels: z + z = a + ib + a - ib = = 2Re(z) z - z = a + ib - (a - ib) = a + ib - a+ ib = 2ib = 2iIm(z) ce qui permet d obtenir: Re(z) = z + z 2 Im(z) = z - z 2i Module d un nombre complexe. Définition : On appelle module du nombre complexe z = a + ib, le nombre z = a + ib = a² + b² Opérations sur conjugués et modules Propriétés de la conjugaison et du module. Dans tout ce qui suit z =a + ib et z =a + ib sont deux nombres complexes écrits sous forme algébrique. Conjugué d une somme ou d une différence : Module d une somme ou d une différence : Conjugué d un produit. z z = (a + ib)(a + ib )=aa bb + iab + ia b = aa bb + i(ab + a b) z z = aa bb + i(ab + a b) = aa bb - i(ab + a b) z z = (a - ib)(a - ib )=aa bb - iab - ia b = aa bb - i(ab + a b) Donc : Le conjugué d un produit est égale au produit des conjugués Module d un produit. z z ² = a² + b² = z z z z. = z ² z ² = z ² z ² d après le résultat précédent. Les quantités ont donc des carrés égaux, or comme ce sont des nombres réels positifs nous pouvons en conclure qu ils sont égaux, d où : on retiendra que : Le module d un produit est égal au produit des modules nombrescomplexes1 3/6

4 Module et conjugué d une puissance. Soit n un entier naturel non nul.: Conjugué d un quotient. Le conjugué d un quotient est égal au quotient des conjugués : Second degré à coefficients réels Racines carrées d un réel dans C. Définition : les solutions de l équation z² = a, avec a réel, sont appelées racines carrées de a dans C. Propriété : Tout réel non nul admet deux racines carrées dans C. Si a > 0, z² = a admet deux racines réelles a et - a Si a < 0, z² = a admet deux racines complexes conjuguées i -a et -i -a Exemples : z² = -3 admet deux solutions i 3 et i 3 Résolution de az² + bz + c = 0, avec a,b, c réels et a non nul. Définition : Soit = b² - 4ac, si = 0, une solution réelle est b si > 0, deux solutions réelles -b + si < 0, deux solutions complexes conjuguées et -b - -b + i - et -b i - Exemples z² + z + 2 = 0 si = -7, deux solutions complexes conjuguées -1 + i 7 2 et -1 i 7 2 Interprétation géométrique. (O ; OU, OV) étant un repère du plan, A tout nombre complexe z = a + ib, a et b étant deux réels, on associe un unique point M du plan qui aura pour coordonnées (a, b), et réciproquement à tout point M du plan on associe l unique nombre complexe z = a + ib où a et b sont respectivement l abscisse et l ordonnée de ce point M. Ce nombre complexe z se nomme affixe du point M. Le plan est appelé plan complexe. nombrescomplexes1 4/6

5 Définition: On appelle affixe du point M, le nombre complexe z = a + ib où, a et b sont dans cet ordre, l abscisse et l ordonnée du point M. M est appelé point image du nombre complexe z = a + ib. Notation : M(z) exprime le fait que l affixe de M est z. Si l on considère plusieurs points, on notera z A l affixe de A, z B l affixe de B, etc... On nomme l axe des abscisses "axe des réels" et l axe des ordonnées "axe des imaginaires purs". Affixe d un vecteur Définition: L affixe du vecteur u (x, y) est le nombre complexe, qu on peut noter z = x + iy. D où pour u = AB avec A et B qui ont pour affixes respectives z A = x A + iy A et z B = x B + iy B, le vecteur AB ayant pour coordonnées (x B - x A ; y B - y A ), on a donc: z( AB ) = x B - x A + i( y B - y A ) = x B - x A + iy B - iy A =(x B + iy B ) - (x A + iy A )= z B - z A Propriété: Soient deux points A(z) et B(z) alors le vecteur AB a pour affixe z B - z A Un nombre complexe est réel si et seulement si son point image appartient à l axe des abscisses. un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si son point image appartient à l axe des ordonnées. Exercice : Placer les points suivants dans le plan complexe muni d un repère orthonormal (O, u, v ) A(1) ; B(i); C(1+ i); C (1 - i); D(3-2i); D (3 + 2i) Règles de calculs sur les nombres complexes. nombrescomplexes1 5/6

6 Exercice : Effectuer les opérations suivantes puis placer les points obtenus dans le plan complexe muni d un repère orthonormé (O, u, v ): z 1 =(2+5i) + (1-2i); z 2 = (-2+4i) - (1+3i); z 3 =(3+2i) (1-i); z 4 = 2 + 3i 3 ; z 5 = 1 + 2i 1 + i Solution z 1 =3+3i ; z 2 =-3+i ; z 3 =3-3i +2i - 2i 2 = 5- i ; z 4 = i; z 5 = i 2 Soient les points M 1 (3+3i); M 2 (-3+i); M 3 (5- i); et M 4 ( i) et M5 (3 2 + i 2 ) Règle pratique. Pour mettre un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur de ce quotient par le conjugué du dénominateur Soit, z 2 non nul alors : z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 Donc si le dénominateur est sous la forme z = a + ib, avec a et b réels, on obtient alors z z =(a +ib) (a - ib) = a² - (ib)² = a² - i²b² = a² + b² Propriété è: Soit z = a + ib avec a et b réels, alors z z = a² + b² Application : Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : z 1 = (2+3i)(2-3i); z 2 = (2+3i) 2 ; z 3 = 1 i et z 4 = 2-3i 2 - i nombrescomplexes1 6/6

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