Calcul de primitives et d intégrales. () Calcul de primitives et d intégrales 1 / 53
|
|
- Richard Ricard
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Calcul de primitives et d intégrales () Calcul de primitives et d intégrales 1 / 53
2 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 2 / 53
3 Plan 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 3 / 53
4 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I à valeurs réelles. On appelle primitive de f sur I toute fonction F à valeurs réelles définie et dérivable sur I telle que F = f. () Calcul de primitives et d intégrales 4 / 53
5 Proposition Soit f une fonction continue sur I. Si F est une primitive de f, alors les primitives de f sur I sont toutes les fonctions de la forme F + C où C R. Démonstration. Il est clair que toute fonction de la forme F + C est une primitive de f sur I. Réciproquement, si G est une primitive de f sur I alors la fonction G F est dérivable sur I de dérivée (G F ) = G F = f f = 0. Ainsi, la fonction G F est constante sur I et il existe C R tel que G = F + C. () Calcul de primitives et d intégrales 5 / 53
6 Exemple: Les primitives sur R de la fonction polynomiale f : x x 3 + 2x + 3 sont toutes les fonctions F de la forme : x R, F (x) = 1 4 x 4 + x 2 + 3x + C, où C R. () Calcul de primitives et d intégrales 6 / 53
7 Nous admettrons le résultat d existence suivant : Théorème Soit I un intervalle de R. Toute fonction continue sur I à valeurs réelles possède une primitive sur I. () Calcul de primitives et d intégrales 7 / 53
8 Corollaire Soit I un intervalle de R, a un élément de I et k un réel quelconque. Pour toute fonction réelle f continue sur I, il existe une unique primitive F de f vérifiant F (a) = k. Démonstration. Existence : D après le théorème précédent, f possède une primitive H. Posons F = H + k H(a). D après la proposition 1, la fonction F est une primitive de f. On a F (a) = H(a) + k H(a) = k. Unicité : Si G est une primitive de f telle que G(a) = k, il existe une constante réelle C telle que : x I, F (x) = G(x) + C. Comme F (a) = k et G(a) = k, on a k = k + C donc C = 0 et F = G. Exemple: La fonction ln est l unique primitive sur ]0, + [ de la fonction x 1 x qui s annule en 1. () Calcul de primitives et d intégrales 8 / 53
9 Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a et b appartenant à I, l intégrale de f entre a et b est le nombre réel par b a f (x)dx = F (b) F (a) où F désigne une primitive quelconque de f sur I, et ce quel que soit l ordre des réels a et b. Remarque: b a f (x) dx Cette définition est licite puisque si F 2 désigne une autre primitive de f sur I, il existe C R tel que F 2 = F + C et on a alors F 2 (b) F 2 (a) = F (b) + C (F (a) + C) = F (b) F (a). La variable x qui apparait sous le signe intégral est une variable muette. Les deux notations même intégrale. b a f (x) dx et b a f (t) dt représentent la () Calcul de primitives et d intégrales 9 / 53
10 Relation de Chasles Proposition Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c appartenant à I, on a b a f (x) dx = c et ce quel que soit l ordre des réels a, b et c. a b f (x) dx + f (x) dx c Démonstration. Soit F une primitive de f sur I. On a c a b f (x)dx + f (x)dx = F (c) F (a) + F (b) F (c) c = F (b) F (a) = b a f (x)dx. () Calcul de primitives et d intégrales 10 / 53
11 Linéarité Proposition Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soit a, b I et λ R. On a b b b (λf (x) + g(x))dx = λ f (x)dx + g(x)dx. a a a Démonstration. On note F et G des primitives respectives de f et g sur I. La fonction λf + G est alors une primitive de λf + g sur I. On a alors b a (λf (x) + g(x))dx = (λf + G)(b) (λf + G)(a) = λf (b) + G(b) λf (a) G(a) = λ(f (b) F (a)) + (G(b) G(a)) = λ b a f (x)dx + b a g(x)dx. () Calcul de primitives et d intégrales 11 / 53
12 Théorème Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit a I. La fonction P définie pour tout x I par P(x) = x a f (t)dt est l unique primitive de f sur I qui s annule en a. Démonstration. Puisque f est continue sur I, elle admet une primitive F sur I. Pour tout x I, on a P(x) = F (x) F (a) donc P est bien une primitive de f sur I. On a P(a) = F (a) F (a) = 0. Elle est unique d après le corollaire 1. () Calcul de primitives et d intégrales 12 / 53
13 Définition On dit qu une fonction f est de classe C 1 sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable sur I et si sa dérivée f est continue sur I. () Calcul de primitives et d intégrales 13 / 53
14 Plan 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 14 / 53
15 Primitives usuelles La façon la plus simple de trouver une primitive d une fonction f est de reconnaître en f la dérivée d une fonction usuelle. On omet à chaque fois la constante dans l expression des primitives. x k (k R\{ 1}) x k+1 k x k (k R\{1}) k x k 1, 1 x 2 1 x, 1 x 2 x, x R + x R + ou R 1 x ln x, x e x e x, R + ou R a x ax ln a () Calcul de primitives et d intégrales 15 / 53
16 cos x sin x, sin x cos x 1 cos 2 (x) ou 1 + tan2 x tan x, tan x ln cos x, x ] π 2 + kπ; π [ 2 + kπ x ] π 2 + kπ; π [ 2 + kπ (k Z) (k Z) ch x sh x; sh x ch x 1 ch 2 (x) ou 1 th2 x th x th x ln(ch x) () Calcul de primitives et d intégrales 16 / 53
17 1 1 x x 2 Arctan x arcsin x, x ] 1; 1[ () Calcul de primitives et d intégrales 17 / 53
18 Reconnaître la dérivée de la composée de deux fonctions Il est facile de trouver une primitive d une fonction lorsque celle-ci s exprime sous la forme de la dérivée de la composée de deux fonctions. Proposition Soit u est une fonction de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et g est une fonction continue sur J. On note G une primitive de g sur J. Une primitive sur I de la fonction f définie par est la fonction F = G u. x I, f (x) = u (x) g(u(x)) () Calcul de primitives et d intégrales 18 / 53
19 u (x)(u(x)) k Fonction u (x) u(x) (k R\{ 1}) Primitive (u(x)) k+1 k+1 2 u u (x) u(x) u (x) e u(x) u (x) cos(u(x)) ln u(x) e u(x) sin(u(x)) () Calcul de primitives et d intégrales 19 / 53
20 Fonction u (x) sin(u(x)) u (x) ch(u(x)) u (x) sh(u(x)) Primitive cos(u(x)) sh(u(x)) ch(u(x)) u (x) 1 + (u(x)) 2 Arctan(u(x)) u (x) 1 (u(x)) 2 Arcsin(u(x)) () Calcul de primitives et d intégrales 20 / 53
21 Plan 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 21 / 53
22 Transformations d expressions Pour obtenir une primitive d une fonction f continue sur I, il est parfois nécessaire de transformer l expression de f pour reconnaitre des fonctions que l on sait intégrer. () Calcul de primitives et d intégrales 22 / 53
23 Linéarisation d un polynôme trigonométrique Si f contient des produits ou des puissance de cosinus et/ou sinus, on linéarise l expression (en remplaçant chaque sinus/cosinus l aide de la formule d Euler, puis en développant tout). On obtient alors une somme de termes en cos(lx) ou sin(mx) qu on sait primitiver. Exemple: Calculer π 0 sin 2 (x) cos 2 (x) dx () Calcul de primitives et d intégrales 23 / 53
24 Cas des fractions rationnelles simples Pour trouver une primitive d une fraction rationnelle, on la décompose en éléments simples (c.f le cours sur les fractions rationnelles). Les termes de la décomposition en éléments simples sont alors plus faciles à intégrer : 1 Les termes de la forme ax+b (avec a, b des constantes) ont une primitive de la forme C ln(ax + b) avec C une constante. 1 Les termes de la forme avec k 1 ( et a, b des constantes) (ax+b) k ont une primitive de la forme Les termes de la forme 1 Les termes de la forme changement de variable. x 2 +1 λx+µ ax 2 +bx+1 C (ax+b) k 1 avec C une constante. ont une primitive de la forme arctan(x). seront primitivés avec la formule de () Calcul de primitives et d intégrales 24 / 53
25 Exemple: Calculer 1 0 x 3 x + 2 dx. En effectuant la division euclidienne de X 3 par X + 2, on obtient X 3 = (X 2 2X + 4)(X + 2) 8 de sorte que pour tout x [0; 1], on a On obtient ainsi x 3 x + 2 = x 2 2x x + 2. () Calcul de primitives et d intégrales 25 / 53
26 Exemple: Calculer une primitive sur R de x x 2 x Exemple: Calculer 3 2 dx x 2 1 On a x 2 1 = (x 1)(x + 1). On sait qu il existe deux nombres réels a et b tels que pour tout x [2; 3], 1 x 2 1 = 1 (x 1)(x + 1) = a x 1 + b x + 1. Les techniques de calcul du chapitre sur les fractions rationnelles donnent a = 1 2 et b = 1 2. On en déduit : () Calcul de primitives et d intégrales 26 / 53
27 Plan 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 27 / 53
28 La méthode d intégration par parties Théorème Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle I et soit a, b deux éléments de I. On a b [ ] b b u (x)v(x) dx = u(x)v(x) u(x)v (x) dx. a a a () Calcul de primitives et d intégrales 28 / 53
29 Démonstration. Les fonctions u, v, u et v étant continues sur I, les fonctions u v et uv le sont également et possèdent donc des primitives sur I. Puisque uv est dérivable de dérivée (uv) = u v + uv, la fonction uv est une primitive de la fonction u v + uv. Autrement dit, b ce qui donne l égalité b a a ( u (t)v(t) + u(t)v (t) ) dt = [ ] b u(x)v(x) a b [ ] b u (x)v(x) dx + u(x)v (x) dx = u(x)v(x) a a d où provient la formule d intégration par parties. () Calcul de primitives et d intégrales 29 / 53
30 Remarque: La méthode d intégration par parties sert à calculer des primitives de produit de deux fonctions, en primitivant l une et dérivant l autre. Elle peut être utile pour éliminer dans un produit une fonction qui n est pas simple à primitiver (comme ln, Arcsin, Arctan...) et dont la dérivée s intègre plus aisément. Elle permet aussi de calculer des intégrales dépendant d un paramètre par récurrence (par exemple les intégrales de Wallis, voir exercice). () Calcul de primitives et d intégrales 30 / 53
31 Une petite astuce... Il arrive souvent qu on utilise la formule d intégration par parties, alors qu aucun produit n apparaît à priori dans la fonction f à primitiver... L astuce consiste à considérer que l on intègre le produit 1 f. Exemple: Calculer une primitive de ln sur R +. () Calcul de primitives et d intégrales 31 / 53
32 Intégrales de fonctions de la forme f (x) = P(x) e ax où P R[X ] et a R Le principe est d appliquer plusieurs fois la méthode d intégration par parties en dérivant le polynôme, ce qui finit par le faire disparaitre. Exemple: Calculer une primitive sur R de la fonction f : R R t (t 2 + 3t) e t. Remarque: Plus généralement, on peut montrer par récurrence que si P est un polynôme de degré n, alors il existe un polynôme Q de degré n tel que les primitives sur R de x P(x) e x sur R sont les fonctions de la forme x Q(x) e x +C où C R. () Calcul de primitives et d intégrales 32 / 53
33 Fonctions de la forme f (x) = P(x) cos(ax) ou f (x) = P(x) sin(ax) où P R[X ] et a R On applique plusieurs fois la méthode d intégration par parties en dérivant le polynôme. Exemple: Calculer π 0 (x 2 + 2x 3) sin(2x)dx. () Calcul de primitives et d intégrales 33 / 53
34 Plan 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 34 / 53
35 Changement de variable Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle J à valeurs dans R. Soit ϕ une fonction de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans J. Soit a et b deux éléments de I. On a b a (f ϕ)(x) ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ(a) f (y) dy. () Calcul de primitives et d intégrales 35 / 53
36 Démonstration. Soit F une primitive de f sur J. La fonction (f ϕ) ϕ est la dérivée de la fonction F ϕ et elle est continue sur [a, b] car f ϕ et ϕ le sont. Par conséquent, on a b a (f ϕ)(x) ϕ (x) dx = F ϕ(b) F ϕ(a) = F (ϕ(b)) F (ϕ(a)) = ϕ(b) ϕ(a) f (y) dy. () Calcul de primitives et d intégrales 36 / 53
37 Technique Disons que l on veuille effectuer un changement de variable dans l intégrale b a f (x) dx. Cette méthode s applique de deux manières différentes : () Calcul de primitives et d intégrales 37 / 53
38 1er cas. On exprime une nouvelle variable en fonction de l ancienne : t = ϕ(x). Cette technique est très utilisée lorsque la fonction f est presque sous la forme f (x) = ϕ (x)g(ϕ(x)). Il faut alors effectuer chacune des étapes suivantes : 1 Vérification du caractère C 1 : On verifie que ϕ est bien de classe C 1 sur le segment d extrémités a et b. 2 Transformation des bornes : On transforme les bornes de l intégrale : si x = a, alors t = ϕ(a) et si x = b, alors t = ϕ(b). 3 Transformation de l intégrande : On transforme ensuite f (x) dx en effectuant les opérations suivantes : 1 calcul de la différentielle dt = ϕ (x) dx ; 2 écriture de f sous la forme f (x) = g ( ϕ(x) ) ϕ (x) dx ; 3 remplacement de ϕ (x) dx par dt et de ϕ(x) par t. 4 Écriture de la nouvelle intégrale.. et calcul, bien sûr. () Calcul de primitives et d intégrales 38 / 53
39 Exemple: Calculer 5π/2 0 cos(x) cos(sin x) dx () Calcul de primitives et d intégrales 39 / 53
40 2ème cas : On exprime l ancienne variable en fonction d une nouvelle : x = ψ(t). Il s agit de reprendre le processus à l envers. Il faut alors effectuer chacune des étapes suivantes : 1 Transformation des bornes de l intégrale. On détermine α et β tel que ψ(α) = a et ψ(β) = b. 2 Vérification du caractèrec 1 On vérifie que ψ est de classe C 1 sur le segment d extrémités α et β. 3 Transformation de l intégrande On effectue ensuite la transformation de f (x) dx en effectuant les opérations suivantes : 1 calcul de la différentielle dx = ψ (t) dt ; 2 remplacement de dx par ψ (t) dt 3 remplacement de x par ψ(t) ; 4 Écriture de la nouvelle intégrale Exemple: Calculer x 2 dx. () Calcul de primitives et d intégrales 40 / 53
41 Attention : Lorsqu on exprime la nouvelle variable en fonction de l ancienne t = ϕ(x), on doit voir apparaître dans l intégrale ϕ (x)dx et ϕ(x). Si on n y arrive pas, on peut essayer de transformer la relation t = ϕ(x) pour exprimer x en fonction de t (x = ψ(t)), ce qui ramène à la deuxième méthode. Lorsqu on exprime l ancienne variable en fonction de la nouvelle, il faut bien vérifier que le changement de variable est bien de classe C 1 entre les bornes de la nouvelle l intégrale... sinon on court à la catastrophe. () Calcul de primitives et d intégrales 41 / 53
42 Calcul de primitives d éléments simples par changement de variable affine On veut primitiver dx + e ax 2 + bx + c, a, b, c, d, e R, = b2 4ac < 0. On fait ces trois étapes dans l ordre, en sautant les étapes si nécessaire (voir exemples plus bas). Si d 0 (c est à dire si il y a du x au numérateur), on fait apparaitre la dérivée du dénominateur au numérateur en ajustant les constantes. Ce qui permet de séparer l élément simple en deux fractions. Une fraction est de la forme u u (de primitive en ln u ) et une autre est de 1 la forme ax 2 +bx+c. 1 On s occupe de. Si au dénominateur, on a le terme bx, on ax 2 +bx+c utilise une identité remarquable pour faire apparaitre un carré + une constante. On fait un changement de variable pour se ramener à une 1 fraction du type Ax 2 +B. () Calcul de primitives et d intégrales 42 / 53
43 1 Quand il ne reste qu un élément de la forme, on fait un Ax 2 +B deuxième changement de variable pour se ramener à une fraction du 1 type, dont une primitive est arctan x. x 2 +1 Il est possible de faire en une seule fois les deux changements de variable pour aller plus vite. () Calcul de primitives et d intégrales 43 / 53
44 Faire apparaitre au numérateur la dérivée du dénominateur Si y a du x au numérateur, on fait apparaitre la dérivée du dénominateur au numérateur. Ce qui permet de calculer le début de la primitive. Il 1 restera un terme en à primitiver ensuite. Exemple: Calculer ax 2 +bx+c 1 0 2x x 2 + 2x + 2 dx. Le discriminant du trinôme x 2 + 2x + 2 est strictement négatif, donc on ne peut pas décomposer davantage, c est un élément simple. On utilise le x du numérateur pour faire apparaitre la dérivée du dénominateur. () Calcul de primitives et d intégrales 44 / 53
45 Faire apparaitre un carré + constante au dénominateur On fait apparaître une identité remarquable au dénominateur en utilisant le terme en x 2 et le terme en x, et on compense avec une constante. Après 1 le changement de variable, on a une fraction du type avec a, b at 2 +b constantes non nulles. Exemple: (suite) Il reste à calculer 1 0 dx x 2 + 2x + 2 On fait apparaître une identité remarquable au dénominateur en utilisant le terme en x 2 et le terme en x () Calcul de primitives et d intégrales 45 / 53
46 Faire apparaitre la dérivée d une Arctangente. On veut calculer une 1 primitive de avec a et b deux nombres réels strictement positifs, at 2 +b c est à dire calculer pour tout x R : x dt at 2 + b L objectif est de faire apparaitre 1 y qu on sait primitiver. 1 On factorise b au dénominateur pour faire apparaître le at 2 + b = 1 b ( a b t2 + 1 ) 2 On regroupe l autre terme dans un seul carré : 1 at 2 + b = 1 ( ( ) b a b t) On fait le changement de variable y = a b t (le terme dans le carré). () Calcul de primitives et d intégrales 46 / 53
47 On fait le changement de variable y = a b t dans l intégrale x 0 dt at 2 + b On a dy = a b dt et les bornes qui deviennent 0 et a b x. Donc x 1 x 0 at 2 + b dt = 1 a ( ( ) b dt 0 b a b t) 2 a + 1 b = = 1 a b x ab 0 a b x 0 1 b b (y 2 + 1) a dy 1 y dy = 1 arctan ab ( ) a b x () Calcul de primitives et d intégrales 47 / 53
48 Quotients de polynômes trigonométriques Supposons que l on soit amené à calculer une primitive d une fonction rationnelle en sin et cos, c est-à-dire d un quotient de polynômes trigonométriques de la forme f (x) = P(sin(x), cos(x)) Q(sin(x), cos(x)) où P(X, Y ) et Q(X, Y ) désignent des polynômes à deux indéterminées. On pense alors à effecter un changement de variable du type u = cos(x), u = sin(x) ou u = tan(x). La plupart du temps, il est facile de voir le ou lesquels de ces changements de variable est possible et permet de mener à bien le calcul. () Calcul de primitives et d intégrales 48 / 53
49 Par exemple, pour calculer π/2 0 2 cos(x) sin(x) 2 + cos 2 (x) on voit sans peine que l intégrande s écrit sous la forme dx 2 cos(x) sin(x) 2 + cos 2 (x) = 2 cos(x) 2 + cos 2 (x) cos (x) dx si bien qu il est naturel de poser u = cos(x), la fonction cos étant bien de classe C 1 sur [0, π/2]. On obtient alors : = 1 0 π/2 0 2 cos(x) sin(x) 2 + cos 2 (x) dx = 0 1 2u 2 + u 2 du 2u [ ] u 2 du = ln(2 + u 2 ) = ln(3) ln(2). 0 () Calcul de primitives et d intégrales 49 / 53
50 Si le changement de variable à effectuer ne vous saute pas aux yeux, au-delà des classique u = cos x, u = sin x, u = tan x, on peut essayer u = cos(2x) ou u = tan( x 2 ) avec les formules de l angle moitié (qui sont à savoir!). Il faut faire attention lorsque l on effectue un changement de variable avec la fonction tangente de ne pas intégrer sur un intervalle contenant un élément de la forme π + kπ (k Z). 2 Exemple: Calculer une primitive sur R de la fonction x sin3 (x) 1 + cos 2 (x). () Calcul de primitives et d intégrales 50 / 53
51 Plan 1 Primitives et intégrale d une fonction continue sur un intervalle 2 Première méthode de calcul : reconnaître la dérivée d une fonction 3 Transformations d expressions 4 Intégration par parties 5 Changements de variables 6 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer () Calcul de primitives et d intégrales 51 / 53
52 Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer On peut exploiter certaines propriétés des fonctions pour simplifier le calcul d une intégrale : Soit a R et f une fonction paire et continue, alors a a f (t)dt = 0 a f (t)dt + a 0 f (t)dt = 2 a Soit a R et f une fonction impaire et continue, alors a a f (t)dt = 0 a f (t)dt + a 0 0 f (t)dt = 0 f (t)dt Soit a, b R et f une fonction T -périodique et continue, alors b+t a+t f (t)dt = b a f (t)dt Toutes ces propriétés se prouvent par changement de variable. () Calcul de primitives et d intégrales 52 / 53
53 Exemple: Calculer I = 2π 0 sin 3 (x) 1 + cos 2 (x) dx. () Calcul de primitives et d intégrales 53 / 53
Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailChapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse
Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCorrigé des TD 1 à 5
Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détail