Intégrales multiples. V. Borrelli. Intégrale simple de Riemann. Vincent Borrelli. Intégrale double. Université de Lyon.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Intégrales multiples. V. Borrelli. Intégrale simple de Riemann. Vincent Borrelli. Intégrale double. Université de Lyon."

Transcription

1 s triple s Vincent Borrelli Université de Lyon

2 s Le programme triple Partie I : Fonctions (6 semaines) CM 1. Coordonnées, topologie CM 2. Fonction, graphe, composition CM 3. Limite, différentielle CM 4. Jacobienne, règle de la chaîne CM 5. Hessienne, Taylor, extrema CM 6. s simples et s CM 7. s triples et applications

3 s Le programme triple Partie II : Champs de vecteurs (5 semaines) CM 8. Champs de vecteurs et lignes de champs CM 9. Champs conservatifs CM 1. Champs incompressibles CM 11. Circulation sur les courbes CM 12. Flux et surfaces

4 s Adresses utiles triple Deux adresses : borrelli/espace_etudiant frabetti/math2/

5 s Chapitre 3 Fonctions de plusieurs variables triple Dans ce chapitre : 1. s de 2. s s 3. s triples

6 s triple Rappel. On appelle SUBDIVISION de [a, b] un ensemble fini de points S = {x,..., x n } tel que a = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Le PAS δ(s) de la subdivision est le plus grand des nombres x i x i 1 où i {1,..., n}.

7 s triple Rappel. On appelle SUBDIVISION de [a, b] un ensemble fini de points S = {x,..., x n } tel que a = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Le PAS δ(s) de la subdivision est le plus grand des nombres x i x i 1 où i {1,..., n}. Pour tout choix de n points h i I i = [x i 1, x i ], i {1,..., n}, on appelle SOMME DE RIEMANN DE f le nombre R(f ; S, {h 1,..., h n }) := n (x i x i 1 )f (h i ) i=1

8 s triple Dans cette somme, chaque terme (x i x i 1 )f (h i ) représente l aire algébrique du rectangle de base I i et hauteur f (x i ).

9 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h i}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h i I i, on la note b a f (x) dx := lim R(f ; S, {h i}) δ(s) Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DE f SUR [a, b] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN

10 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h i}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h i I i, on la note b a f (x) dx := lim R(f ; S, {h i}) δ(s) Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DE f SUR [a, b] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN Proposition. Toute fonction continue f : [a, b] R est intégrable au sens de. Toute fonction monotone sur [a, b] est intégrable au sens de.

11 s triple Signification géométrique de l intégrale simple. Cette limite s interprète comme l «aire algébrique» de la portion du plan comprise entre le graphe de f et l axe des abscisses.

12 s triple Définition. On dit que F : [a, b] R est une PRIMITIVE de f : [a, b] R si F est dérivable et que x [a, b], F (x) := f (x).

13 s triple Définition. On dit que F : [a, b] R est une PRIMITIVE de f : [a, b] R si F est dérivable et que x [a, b], F (x) := f (x). Théorème fondamental de l analyse (partie I). Soit f : [a, b] R une fonction intégrable au sens de et F : [a, b] R définie par x [a, b], F(x) = x a f (t)dt Alors F est continue sur [a, b]. Si, de plus, f est continue alors F est dérivable et F = f ; autrement dit, F est une primitive de f.

14 s triple Théorème fondamental de l analyse (partie II). Si f : [a, b] R est intégrable et admet une primitive F alors b a f (x) dx = F(b) F (a) = [F(x)] b a Cas des fonctions continues. Au bilan, toute fonction continue f : [a, b] R est intégrable au sens de, admet une primitive F donnée par F(x) := x a f (t)dt et l on a b a f (x) dx = F(b) F (a).

15 s triple Techniques pour calculer une intégrale Le changement de variable : on pose x = h(t) où h est un difféomorphisme c est-à-dire une bijection dérivable telle que la réciproque h 1 soit aussi dérivable. On a alors b a f (x) dx = h 1 (b) h 1 (a) f ( h(t) ) h (t) dt.

16 s triple Techniques pour calculer une intégrale Le changement de variable : on pose x = h(t) où h est un difféomorphisme c est-à-dire une bijection dérivable telle que la réciproque h 1 soit aussi dérivable. On a alors b a f (x) dx = L intégration par parties : b a f (x) g (x) dx = h 1 (b) h 1 (a) f ( h(t) ) h (t) dt. [ ] b b f (x) g(x) f (x) g(x) dx a a

17 s triple Exemple Aire d un disque. On désire calculer l intégrale suivante x 2 dx On effectue pour cela le changement de variable x = sin t avec t [ π/2, π/2]. Puisque 1 x 2 = cos t et dx = cos t dt, on obtient x 2 dx = 2 = 2 = π/2 π/2 π/2 π/2 cos 2 t dt cos(2t) [ 1 2 sin(2t) + t ] π/2 π/2 = ( + π 2 + π 2 ) = π dt

18 s Exemple triple Notons que l intégrale x 2 dx s interprète comme l aire de la portion de plan située en dessous du graphe de y = 1 x 2 et au dessus de l axe des abscisses. Cette portion de plan est un demi-disque centré en l origine et de rayon 1. L intégrale x 2 dx 1 s interprète donc comme l aire d un disque de rayon 1.

19 s triple Définition. Une SUBDIVISION S de [a, b] [c, d] est une partition du pavé [a, b] [c, d] en nm pavés I i J j = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i {1,..., n}, j {1,..., m} avec x = a, x n = b, y = c et y m = d.. Le PAS δ(s) de la partition est le maximum des x i x i 1 et y j y j 1.

20 s triple Définition. Une SUBDIVISION S de [a, b] [c, d] est une partition du pavé [a, b] [c, d] en nm pavés I i J j = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i {1,..., n}, j {1,..., m} avec x = a, x n = b, y = c et y m = d.. Le PAS δ(s) de la partition est le maximum des x i x i 1 et y j y j 1. Pour tout choix de nm points h ij I i J j, i {1,..., n}, j {1,..., m}, on appelle SOMME DE RIEMANN DE f : [a, b] [c, d] R le nombre R(f ; S, {h ij }) := n m (x i x i 1 )(y j y j 1 )f (h ij ) i=1 j=1

21 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h ij}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h ij I i J j, on la note f (x, y) dxdy := lim R(f ; S, {h ij}) δ(s) [a,b] [c,d] Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DOUBLE DE f SUR [a, b] [c, d] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN sur [a, b] [c, d]

22 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h ij}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h ij I i J j, on la note f (x, y) dxdy := lim R(f ; S, {h ij}) δ(s) [a,b] [c,d] Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DOUBLE DE f SUR [a, b] [c, d] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN sur [a, b] [c, d] Proposition. Toute fonction continue f : [a, b] [c, d] R est intégrable au sens de.

23 s On note D un sous-ensemble de R 2 contenu dans un rectangle [a, b] [c, d] (autrement dit, D est bornée). triple

24 s triple On note D un sous-ensemble de R 2 contenu dans un rectangle [a, b] [c, d] (autrement dit, D est bornée). Définition. On appelle FONCTION INDICATRICE de D l application notée 1 D : R 2 R définie par 1 D (x, y) = 1 si (x, y) D, 1 D (x, y) = sinon.

25 s triple On note D un sous-ensemble de R 2 contenu dans un rectangle [a, b] [c, d] (autrement dit, D est bornée). Définition. On appelle FONCTION INDICATRICE de D l application notée 1 D : R 2 R définie par 1 D (x, y) = 1 si (x, y) D, 1 D (x, y) = sinon. Définition. On dit qu une fonction f : [a, b] [c, d] R est INTÉGRABLE sur D [a, b] [c, d] si 1 D f est intégrable sur [a, b] [c, d] et on pose f (x, y)dxdy := 1 D (x, y)f (x, y)dxdy D [a,b] [c,d]

26 s triple Signification géométrique de l intégrale. On interprète l intégrale de f sur D comme le «volume algébrique» de la portion de l espace comprise entre le graphe de f et le plan (Oxy).

27 s triple Exemple : volume de la boule Expression intégrale du volume de la boule. Le volume de la boule B = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 } est deux fois le volume de la demi-boule B + = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1, y }, comprise entre le plan (Oxy) et le graphe de la fonction z = 1 x 2 y 2. On a Vol (B) = 2 1 x 2 y 2 dxdy D où D = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 }.

28 s triple Définition. Si 1 D est intégrable, on dit que 1 D dxdy est l aire de D. D

29 s triple Définition. Si 1 D est intégrable, on dit que 1 D dxdy est l aire de D. D Si D est un point, un segment, un cercle ou plus généralement une courbe régulière, alors Aire(D) =.

30 s triple Définition. Si 1 D est intégrable, on dit que 1 D dxdy est l aire de D. D Si D est un point, un segment, un cercle ou plus généralement une courbe régulière, alors Aire(D) =. Proposition. Si D = D 1 D 2 et Aire(D 1 D 2 ) = alors f (x, y) dxdy = D f (x, y) dxdy + D 1 f (x, y) dxdy D 2

31 s Proposition triple Proposition. 1) Pour tout λ, µ R, on a ( ) λ f + µ g dxdy = λ f dxdy + µ D D D dxdy 2) On a D f (x, y) dxdy D f (x, y) dxdy 3) Si f (x, y) g(x, y) pour tout (x, y) D, alors f (x, y) dx dy g(x, y) dxdy D D

32 s triple Le théorème de Fubini Théorème de Fubini sur le rectangle. Soit f : [a, b] [c, d] R une fonction continue, on a ( b ) d f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx D a c ( d ) b = f (x, y)dx dy c a et on note b a dx d c f (x, y)dy := b a ( ) d f (x, y) dy dx c

33 s triple Le théorème de Fubini Théorème de Fubini sur le rectangle. Soit f : [a, b] [c, d] R une fonction continue, on a ( b ) d f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx D a c ( d ) b = f (x, y)dx dy c a et on note b a dx d c f (x, y)dy := b a ( ) d f (x, y) dy dx c Corollaire. On a f 1 (x) f 2 (y) dxdy = [a,b] [c,d] b a f 1 (x)dx d c f 2 (y)dy

34 s triple Exemple 1. x cos y dxdy = [,1] [,π/2] = 1 Exemples x dx [ 1 2 x 2] 1 π/2 [ sin y cos y dy ] π/2 = 1 2

35 s triple Exemple 1. x cos y dxdy = [,1] [,π/2] = Exemple 2. (x 2 y 1) dxdy = [ 1,1] [,1] = = = 1 Exemples x dx [ 1 2 x 2] 1 1 dx π/2 [ sin y 1 cos y dy ] π/2 = 1 2 (x 2 y 1) dy [ 1 dx 2 x 2 y 2 y ( ) 1 2 x 2 1 dx [ 1 6 x 3 x ] 1 1 = 5 3 ] y=1 y=

36 s triple Le théorème de Fubini Soit D un domaine délimité par deux courbes, c est-à-dire un domaine pour lequel il existe deux applications continues c, d : [a, b] R telles que D = {(x, y) R 2 a x b, c(x) y d(x)}

37 s triple Le théorème de Fubini Théorème de Fubini sur D. Soit f : D R 2 R une fonction continue alors ( b ) d(x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx D a c(x) Si D est décrit avec deux applications continues a, b : [c, d] R telles que D = {(x, y) R 2 c y d, a(y) x b(y)} alors D f (x, y) dx dy = d c ( ) b(y) f (x, y) dx dy a(y)

38 s Exemple 1. Soit D = { (x, y) R 2 x [ 1, 1], y [x 2, 1] }. Exemples triple On a D x 2 y dx dy = = = = x 2 dx 1 x 2 y dy x 2 [ 1 2 y 2 ] 1 x 2 dx 1 2 (x 2 x 4 ) dx [ 1 3 x x 5 ] x=1 x= 1 = 2 15

39 s triple Exemples Exemple 2 : Volume de la boule (suite). Rappelons que Vol (B) = 2 1 x 2 y 2 dxdy D où D = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 }. On a donc aussi { D = (x, y) R 2 x [ 1, 1], y [ 1 x 2, 1 x 2] }

40 s triple Ainsi 1 Vol (B) = 2 = dx dx 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Exemples 1 x 2 y 2 dy 1 x 2 1 y 2 1 x 2 dy.

41 s triple Ainsi 1 Vol (B) = 2 = dx dx 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Exemples 1 x 2 y 2 dy 1 x 2 1 y 2 1 x 2 dy. On effectue le changement de variable y = y(t) = 1 x 2 sin t, dy = 1 x 2 cos t dt d où Vol (B) = dx π/2 π/2 1 x 2 1 sin 2 t 1 x 2 cos t dt

42 s triple Par conséquent Vol (B) = dx π/2 π/2 Or, d après l exemple précédent, d où 2 Vol (B) = 2 = π π/2 π/ cos 2 t dt = π (1 x 2 ) dx (1 x 2 ) dx Exemples (1 x 2 ) cos 2 t dt π/2 π/2 [ = π x 1 ] 1 3 x 3 = 4π 1 3. cos 2 t dt

43 s triple Soit Changement de variables h : D (u, v) (x(u, v), y(u, v)) un C 1 -difféomorphisme, c est-à-dire une application C 1 qui est bijective et dont la réciproque h 1 : D est aussi C 1. Rappelons que la jacobien Jac h est le déterminant de la matrice jacobienne J h x x (u, v) (u, v) u v Jac h(u, v) = det J h (u, v) = det y y (u, v) u (u, v) v

44 s triple Changement de variables Théorème. Soit f : D R 2 R continue et h : D un C 1 -difféomorphisme alors f (x, y) dxdy = f ( x(u, v), y(u, v) ) det Jh (u, v) dudv D

45 s triple Changement de variables Théorème. Soit f : D R 2 R continue et h : D un C 1 -difféomorphisme alors f (x, y) dxdy = f ( x(u, v), y(u, v) ) det Jh (u, v) dudv D Passage en polaire. L application h : R + ] π, π[ R 2 \ {y =, x } (ρ, ϕ) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) est un C 1 -difféomorphisme et cos ϕ Jac h(ρ, ϕ) = det sin ϕ ρ sin ϕ = ρ ρ cos ϕ

46 s Changement de variables triple Si D R 2 \ {y =, x } alors f (x, y) dxdy = f ( ρ cos ϕ, ρ sin ϕ ) ρ dρdϕ D h 1 (D) Remarque. Puisque {y =, x } et ( R + {π} ) ({} ] π, π]) sont d aire nulle, la formule ci-dessus est valide pour D R 2.

47 s triple Exemple Volume de la boule (suite). On effectue le calcul de Vol (B) = 2 1 x 2 y 2 dxdy où D D = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 } au moyen d un passage en coordonnées polaires h : [, 1] [, 2π[ D (ρ, ϕ) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) La formule de changement de variable s écrit Vol (B) = 2 1 ρ 2 ρ dρ dϕ [,1] [,2π[

48 s triple Exemple Le théorème de Fubini permet de séparer les variables : Vol (B) = 2 = 4π ρ 2 ρ dρ 1 ρ 2 ρ dρ. 2π dϕ.

49 s triple Exemple Le théorème de Fubini permet de séparer les variables : Vol (B) = 2 = 4π ρ 2 ρ dρ 1 ρ 2 ρ dρ. 2π dϕ. Le changement de variable t = 1 ρ 2, dt = 2ρdρ donne Vol (B) = 2 2 2π t 1/2 dt = 2π = 2π 1 [ t ] 1 = 2π t 1/2 dt [ t 3 2 ] 1 = 4π 3

50 s Exercices Énoncé. Calculer l aire du domaine borné D R 2 délimité par les courbes d équation y = x 2 + 2x + 1 et y = x triple

51 s triple Exercices Énoncé. Calculer l aire du domaine borné D R 2 délimité par les courbes d équation y = x 2 + 2x + 1 et y = x Réponse. On constate rapidement que { } D = (x, y) R 2 1 x, x 2 + 2x + 1 y x

52 s Exercices triple On applique le théorème de Fubini pour séparer les variables : Aire(D) = = = D 1 dx dy = 1 dx x 3 +1 x 2 +2x+1 ( x x 2 2x 1 ) dx [ 1 4 x x 3 x 2 ] 1 = ( 1 4 ( 1)4 1 3 ( 1)3 ( 1) 2) = = 5 12 dy

53 s triple Énoncé. Calculer I := D (x 2 2y) dx dy Exercices où D est le domaine de l exercice précédent.

54 s triple Énoncé. Calculer I := D (x 2 2y) dx dy où D est le domaine de l exercice précédent. Exercices Réponse. Il suffit d appliquer le théorème de Fubini pour séparer les variables I = 1 dx x 3 +1 x 2 +2x+1 (x 2 2y) dy = [ 1 x 2 y y 2 ] x 3 +1 x 2 +2x+1 dx = ( 1 x 2 (x 3 + 1) (x 3 + 1) 2 ) x 2 (x 2 + 2x + 1) + (x 2 + 2x + 1) 2 dx = ( 1 x 6 + x 5 + 6x 2 + 4x ) dx [ ] = 1 7 x x 6 + 2x 3 + 2x 2 1 = = 13 42

55 s Fin CM 6 triple

56 s triple triple On définit l intégrale triple d une fonction f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R similairement à l intégrale au moyen de sommes de R(f ; S, {h ijk }) := n m q (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 )f (h ijk ) i=1 j=1 k=1 sur des subdivisions S en parallélépipèdes. Lorsque la limite lim R(f ; S, {h ijk}) existe, elle est δ(s) indépendante du choix des points h ijk et on la note f (x, y, z)dxdydz [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ]

57 s triple triple On dit alors que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN sur [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] et on appelle cette limite l INTÉGRALE TRIPLE DE f SUR [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] On dit enfin qu une fonction f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R est INTÉGRABLE sur D [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] si 1 D f est intégrable sur [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] et on pose f (x, y)dxdydz := 1 D (x, y)f (x, y, z)dxdydz D [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ]

58 s triple triple Théorème de Fubini I. Soit D = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] et f : D R une application continue alors D f (x, y, z) dx dy dz = (dans l ordre qu on voudra) b1 a 1 dx b2 a 2 dy b3 a 3 dz f (x, y, z) Théorème de Fubini II. Soient { D = (x, y, z) R 3 } x [a 1, b 1 ], y [a 2 (x), b 2 (x)], z [a 3 (x, y), b 3 (x, y)] et f : D R une application continue alors b1 b2 (x) f (x, y, z) dx dy dz = dx dy D a 1 a 2 (x) b3 (x,y) a 3 (x,y) dz f (x, y, z)

59 s triple Soit à calculer J = [,1] [1,2] [2,3] Exemples (x 2 2yz) dx dy dz. En appliquant le théorème de Fubini on obtient J = 3 2 dz 2 1 dy 1 dx (x 2 2yz) = 3 2 dz [ 2 1 dy 1 3 x 3 2xyz = 3 2 dz ( ) 2 1 dy 1 3 2yz = 3 2 = 3 2 = 3 2 ] y=2 ] x=1 x= [ 1 3 y y 2 z ( dz y=1 ) 2 3 4z z dz ( ) [ ] z dz = 1 3 z 3 2 z2 = = =

60 s Exemples triple Soit Ω le cylindre plein de hauteur 3 et de base le disque D = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = : Ω = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z 3 = { (x, y, z) R 3 x [ 1, 1], y [ 1 x 2, 1 x 2] }, z [, 3] On cherche à déterminer J = (1 2yz) dx dy dz Ω

61 s triple Exemples En appliquant la deuxième version du théorème de Fubini on obtient J = 3 dz D (1 2yz) dx dy = 3 dz 1 1 dx 1 x 2 2(1 2yz) dy = 3 dz 1 1 = 3 dz x ] y= 1 x 2 y= 1 x dx 2 [ y y 2 z ( 1 x 2 (1 x 2 )z + 1 x ) 2 +(1 x 2 )z dx = 3 dz x 2 dx = 3 π/2 π/2 2 cos2 t dt = 3π

62 s triple Changement de variables Théorème. Soit f : D R 3 R continue et h : D un C 1 -difféomorphisme alors f (x, y, z) dxdydz D = f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) det Jh (u, v, w) dudvdw Corollaire. En coordonnées cylindriques : dxdydz = det J h (ρ, ϕ, z) dρdϕdz = ρ dρ dϕ dz En coordonnées sphériques : dxdydz = det J h (r, ϕ, θ) drdϕdθ = r 2 sin θ dr dϕ dθ

63 s Exemple triple Considérons à nouveau l intégrale J de la fonction f (x, y, z) = 1 2yz sur le cylindre plein Ω de hauteur 3 et de base le disque D = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = En coordonnées cylindriques, on a Ω = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z 3 = { } (ρ, ϕ, z) ρ [, 1], ϕ [, 2π[, z [, 3]

64 s Exemple triple Puisque dx dy dz = ρ dρ dϕ dz, on a J = Ω (1 2yz) dx dy dz = 3 dz D (1 2yz) dx dy = 3 dz 1 ρ dρ 2π (1 2ρ sin ϕz) dϕ = 3 dz 1 = 3 dz 1 = 3 dz 1 2π ρ dρ [ ] 1 = 3 π ρ 2 = 3π ] ϕ=2π [ ρ dρ ϕ + 2ρ cos ϕz ( ) 2π + 2ρz 2ρz ρ dρ ϕ=

65 s triple Volume Définition. Soit D [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. On appelle VOLUME DE D le nombre Vol(D) := dx dy dz D Exemple : volume de la boule. En coordonnées sphériques, la boule unité B s écrit ainsi h 1 (B) = { (r, ϕ, θ) r [, 1], ϕ [, 2π[, θ [, π] } Vol (B) = B dx dy dz = [,1] [,2π[ [,π] r 2 sin θ dr dϕ dθ = 1 r 2 dr 2π dϕ π [ ] sin θ dθ π = 1 3 2π cos θ = 2π 3 (1 + 1) = 4π 3.

66 s Quantités totale et moyenne triple En physique, si f : D R + représente une concentration de matière (une densité volumique), une densité de courant ou une densité dénergie, alors on appelle QUANTITÉ TOTALE de matière /courant/énergie en D le nombre f (x, y, z)dxdydz D On appelle QUANTITÉ MOYENNE de matière /courant/énergie en D le nombre 1 f (x, y, z)dxdydz Vol (D) D

67 s triple Exemple Un matériau est réparti dans un cube D = [, R] 3 selon la densité volumique f (x, y, z) = x + y. La quantité totale (z + 1) 2 du matériau est alors D f (x, y, z)dxdydz = R dx R (x + y)dy R = [ ] [ R xy R y 2 dx = ( ) R Rx R2 = = [ ] R 1 2 Rx 2 + R 2 x ( ) 1 2 R3 + R 3 R dx R R+1 1 dz (z+1) ] 2 R 1 z+1 ( 1 1 R+1 R+1 = 3R4 2(R+1), ) Puisque Vol (D) = R 3, la quantité moyenne du matériau dans le cube est 1 Vol (D) D f (x, y, z) dx dy dz = 1 R 3 3R 4 2(R+1) = 3R 2(R+1).

68 s triple La MASSE TOTALE de D est le nombre µ(x, y, z) dx dy dz où µ : D R + la densité de masse D Barycentre Le CENTRE DE MASSE (ou CENTRE D INERTIE, ou encore BARYCENTRE) est le point G de coordonnées x G = 1 x µ(x, y, z)dx dy dz M D y G = 1 y µ(x, y, z)dx dy dz M D z G = 1 z µ(x, y, z)dx dy dz M D

69 s Moment d inertie triple Un matériau est dit HOMOGÈNE si sa densité de masse µ : D R + est constante. Soit r(x, y, z) la distance d un point (x, y, z) depuis une origine P ou une droite Le MOMENT D INERTIE par rapport à P ou à est le nombre 1 r 2 (x, y, z) µ(x, y, z) dx dy dz M D

70 s triple Exemple On cherche à déterminer le centre de masse du demi-cylindre homogène D = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 R 2, z [, H], y }. Il est naturel de travailler en coordonnées cylindriques et d écrire h 1 (D) = { (ρ, ϕ, z) ρ [, R], ϕ [, π], z [, H] }. Le calcul de la masse totale donne M = D dx dy dz = h 1 (D) ρ dρ dϕ dz = R ρ dρ π dϕ H dz = π R2 H 2.

71 s triple = 2 π R 2 H Exemple Le centre de masse G a pour coordonnées cartésiennes x G = 1 M D x dx dy dz = 1 M h 1 (D) ρ cos ϕ ρ dρ dϕ dz = 1 R M ρ2 dρ π cos ϕ dϕ H dz = y G = 1 M D y dx dy dz = 1 R M ρ2 dρ π sin ϕ dϕ H dz 2 R = 3 π R 2 H 3 2 H = 4R 3π z G = 1 M D z dx dy dz = 1 R M ρ dρ π dϕ H z dz R 2 2 π H2 2 = H 2 Ainsi G = (, 4R 3π, H 2 ).

72 s triple Exercice Exercice 1. Une poudre est répartie sur une plaque infinie selon la densité f (x, y) = 1 ( x 2 + y 2 + 1) 2 où (x, y) R 2. Calculer la quantité totale et moyenne de poudre sur un disque de rayon R > et centré en l origine. Réponse. Il est naturel de passer en coordonnées polaires. La fonction f s écrit alors f (ρ, ϕ) = 1 (ρ + 1) 2 et le disque de rayon R peut se décrire comme D R = { (ρ, ϕ) ρ [, R], ϕ [, 2π[ }.

73 s triple Ainsi on a Quantité totale = D R 1 = R = 2π R ρ dρ dϕ Exercice ( (ρ+1) 2 ) ρ+1 1 (ρ+1) ( 2 (ρ+1) 2 ) 1 ρ+1 1 (ρ+1) 2 ] R dρ 2π dϕ dρ [ = 2π ln(ρ + 1) + 1 ρ+1 ( ) = 2π ln(r + 1) + 1 ( R+1 ) ln 1 = 2π ln(r + 1) R R+1 et Aire (D R ) = D R ρ dρ dϕ = R ρ dρ 2π dϕ 2π = πr2 = R2 2

74 s Exercice triple Enfin 1 Quantité moyenne = Aire (D R ) = 2 R 2 D R 1 (ρ+1) 2 ln(r + 1) ρ dρ dϕ ) R R+1 Exercice 2. Calculer le centre de masse du solide Ω composé de la demi-boule B R et du cylindre C R suivants : B R = C R = { (r, ϕ, θ) } r [, R], ϕ [, 2π], θ [π/2, π] { (ρ, ϕ, z) } ρ [, R], ϕ [, 2π], z [, R], et avec la densité de masse µ(x, y, z) = z 2.

75 s triple Exercice Réponse. La masse totale de Ω est M Ω = M B R avec µ(x, y, z) = r 2 cos 2 θ sur B R. On a donc et M B R + M CR, = B r 2 cos 2 θ r 2 sin θ dr dϕ dθ R = R r 4 dr 2π dϕ π π/2 cos2 θ sin θ dθ [ ] π = R5 5 2π 1 3 cos3 θ = 2πR5 15 π/2 M CR = C R z 2 ρ dρ dϕ dz = R ρ dρ 2π dϕ R = R2 2 = πr5 3 2π R3 3 z2 dz

76 s triple Au bilan Puisque M Ω = M B R + M CR = ( ) 3 Exercice πr 5 = 7πR5 15 2π cos ϕ dϕ = et 2π sin ϕ dϕ = les coordonnées cartésiennes du barycentre G de Ω sont : x G = 1 M Ω Ω xµ(x, y, z) dx dy dz = 1 M Ω R = + 1 M Ω R r 5 dr 2π cos ϕ dϕ π π/2 cos2 θ sin 2 θ dθ ρ2 dρ 2π cos ϕ dϕ R z2 dz

77 s Exercice triple y G = 1 M Ω R = + 1 M Ω R r 5 dr 2π sin ϕ dϕ π π/2 cos2 θ sin 2 θ dθ ρ2 dρ 2π sin ϕ dϕ R z2 dz z G = 1 M Ω Ω z3 dx dy dz = 1 R M Ω r 5 dr 2π dϕ π [ = 15 R 6 6 2π 1 4 cos4 θ 7πR 3 ( ( = 15πR6 7πR = 15R3 7 = 5R ) π/2 cos3 θ sin θ dθ + ) 1 ] π + R2 π/2 2 2π R4 4 M Ω R ρ dρ

78 s Exercice triple En conclusion, le barycentre G a pour coordonnées G = (,, 5R 3 /14) Puisque 5R 3 /14 >, il se trouve dans la partie cylindrique. Le barycentre se trouve à l intérieur de Ω si 5R 3 /14 R c est-à-dire si R 14/5.

79 s Fin CM 7 triple

LM 256 : Travaux dirigés - Feuille 3

LM 256 : Travaux dirigés - Feuille 3 Université Paris 6 - Année 28-29 1 LM 256 : Travaux dirigés - Feuille 3 Exercice 1 Calculer 1 π 1 1 dy dz 2 dx x z dz dy 4 z 2 y dy x 2 dx, sin(x 2 )dy, y 2xyzdx, 2z sin ydx, 1 1 1 dx 3 y dy dx 1+x 1 x

Plus en détail

Fonctions de R n dans R p et intégrales () 1 / 40

Fonctions de R n dans R p et intégrales () 1 / 40 Fonctions de R n dans R p et intégrales () 1 / 4 1 Applications de R n dans R p 2 Intégrales doubles 3 Intégrales triples () 2 / 4 ans tout ce cours, n et p seront des entiers. On rappelle que R n est

Plus en détail

Chapitre XII. Intégrales Multiples

Chapitre XII. Intégrales Multiples ! " #$ % $ &' ( $ Chapitre XII Intégrales Multiples Introduction On se place dans R n, n 1, muni de la distance suivante d(x, y) = sup x i y i 1 i n On ne considère que des fonctions définie sur R n à

Plus en détail

Formules intégrales. Chapitre Intégrales curvilignes Définition. On appelle intégrale curviligne de V le long de γ, l intégrale :

Formules intégrales. Chapitre Intégrales curvilignes Définition. On appelle intégrale curviligne de V le long de γ, l intégrale : Chapitre 6 Formules intégrales 6.1 Intégrales curvilignes Soit : t (t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe paramétrée régulière de l espace R 3 et V = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.

Plus en détail

Changement de variables dans une intégrale multiple

Changement de variables dans une intégrale multiple Chapitre 1 Changement de variables dans une intégrale multiple Dans ce chapitre on poursuit l étude des intégrales multiples. Pour calculer une intégrale double, la méthode de base donnée par le théorème

Plus en détail

Faculté : ST TD de Maths 3 : Série 1. Départements : G.C et ELN. [ x. dy 5)

Faculté : ST TD de Maths 3 : Série 1. Départements : G.C et ELN. [ x. dy 5) Université A/MIRA de Béjaia Année : 5-6 Faculté : ST T de Maths : Série. épartements : G.C et ELN. Exercice :Intervertir l ordre d intégration dans les intégrales suivantes : y ) f(x, y)dy dx ) f(x, y)dy

Plus en détail

8.2 Calcul intégral à plusieurs variables

8.2 Calcul intégral à plusieurs variables 8.2 Calcul intégral à plusieurs variables La notion d intégrale d une fonction à une variable, telle qu on l a vue jusqu ici, peut être généralisée à des fonctions à plus grand nombre de variables. Nous

Plus en détail

MT22 - Corrigé du Final P002

MT22 - Corrigé du Final P002 MT - Corrigé du Final P Problème ( points) On considère le volume de R 3 défini par (x,y,z) R 3 : x + y x y +, z x + y } et la courbe d équation x + y x y + x + y z. (description géométrique,.5 points)

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 1 Courbes prmétrées Outils Mthémtiques 4 Intégrtion résumé éfinition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Pierre & Marie Curie Année 2016-2017 Module 2M256 Analyse vectorielle, intégrales multiples Fonctions de plusieurs variables 1 Calcul vectoriel Exercice 1. (Produit scalaire) Soient u, v, w

Plus en détail

Math IV, analyse (L2) Fiche 10

Math IV, analyse (L2) Fiche 10 UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux dirigés: T. Altınel, T. Eisenkölbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) Fiche 9 mai 28 Exercice. Un astroïde est la courbe

Plus en détail

Analyse pour l Ingénieur

Analyse pour l Ingénieur Analyse pour l Ingénieur p 2 Analyse pour l Ingénieur Georges KOEPFLER UFR de Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes 45 rue des Saints-Pères 75270 PARIS cedex 06, France Analyse pour

Plus en détail

Calcul Différentiel et Intégral. Examen final - Mardi 13 janvier 2015

Calcul Différentiel et Intégral. Examen final - Mardi 13 janvier 2015 Université Toulouse 3 Année 214-215 Département de Mathématiques L2 Parcours Spécial Calcul Différentiel et Intégral Examen final - Mardi 13 janvier 215 Durée : 2h Aucun document (ni calculatrice, ni téléphone,

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue 1 Nécessité de l intégrale de Lebesgue Une fonction f : [a,b] R est dite intégrable au sens de Riemann si les sommes de Riemann N 1 i=0 f(ξ i )(x i+1 x i ), a = x 0 x 1 x 2 x N =

Plus en détail

Intégrales curvilignes Intégrales de surface Théorèmes de Stokes. Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs

Intégrales curvilignes Intégrales de surface Théorèmes de Stokes. Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Définition On a vu que l orientation d une surface S était la donnée d un champ de vecteur normal unitaire, c est-à-dire une application continue

Plus en détail

Outils Mathématiques 4: Exercices. Fonctions de plusieurs variables et calcul vectoriel

Outils Mathématiques 4: Exercices. Fonctions de plusieurs variables et calcul vectoriel Université de Rennes 1 Année 2006/2007 A savoir Outils Mathématiques 4: Exercices Fonctions de plusieurs variables et calcul vectoriel 1. Définition du graphe G(f) d une fonction f 2. Courbes de niveau.

Plus en détail

Formule de Green Riemann

Formule de Green Riemann [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 Formule de Green Riemann Exercice 1 [ 69 ] [correction] Soit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions

Plus en détail

Licence Sciences Technologies Santé

Licence Sciences Technologies Santé Licence Sciences Technologies Santé Outils mathématiques 4 Travaux dirigés UFR Mathématiques Rennes Janvier 2017 Intégrales doubles calculables par intégration itérée 1. Calculer les intégrales D f (x,

Plus en détail

Exercice 5 [ ] [Correction] Calculer. avec. Exercice 6 [ ] [Correction] Calculer. Exercice 7 [ ] [Correction] Calculer

Exercice 5 [ ] [Correction] Calculer. avec. Exercice 6 [ ] [Correction] Calculer. Exercice 7 [ ] [Correction] Calculer [http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés Intégrales doubles Calculs d intégrales doubles Exercice [ 947 ] [Correction] avec Exercice [ 949 ] [Correction] x = { (x, R x, et x + } où

Plus en détail

Intégrales curvilignes

Intégrales curvilignes IUT Orsay Mesures Physiques Intégrales curvilignes Cours du ème semestre A L intégrale curviligne de première espèce A-I Longueur d un élément différentiel de courbe 1 Le cas des équations paramétriques

Plus en détail

Chapitre VI. Intégrales doubles

Chapitre VI. Intégrales doubles Chapitre VI Intégrales doubles. PARTIES QUARRABLES..... PAVÉS..... PARTIES PAVABLE....3. PARTIES QUARRABLES.... INTÉGRALE OUBLE... 3.. ÉFINITION... 3.. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES E L INTÉGRALE OUBLE... 5

Plus en détail

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications Chapitre 5 : Intégrale triple ÉQUIPE E MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC-UTT suivant Chapitre 5 Intégrale triple 5.1 Construction.....................................

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre8 : Intégrale curviligne-théorème de Green-Riemann Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Février 2006 suivant Chapitre VIII Intégrale curviligne VIII.1 Abscisse

Plus en détail

Résumé 19 : calcul différentiel

Résumé 19 : calcul différentiel http://mpbertholletwordpresscom Résumé 19 : calcul différentiel E sera un R espace vectoriel normé de dimension n, F un R espace vectoriel normé et Ω un ouvert de E Nous noterons aussi B = e 1,, e n )

Plus en détail

Changement de variables dans les intégrales sur un ouvert de R N. 1 Propriétés de la mesure de Lebesgue.

Changement de variables dans les intégrales sur un ouvert de R N. 1 Propriétés de la mesure de Lebesgue. Université d Artois Faculté des Sciences ean Perrin Mesure et Intégration Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Changement de variables dans les intégrales sur un ouvert de R N Daniel Li April

Plus en détail

Chapitre IX. Cinématique du solide. Axe instantané de rotation

Chapitre IX. Cinématique du solide. Axe instantané de rotation Chapitre IX ÉLÉMENTS DE DYNAMIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE IX.A. Cinématique du solide Un solide indéformable est un corps dont les distances entre les points matériels qui le constituent sont indépendantes

Plus en détail

Licence 2-ième année, parcours PC. 11 semaines de cours, 10 semaines de TD

Licence 2-ième année, parcours PC. 11 semaines de cours, 10 semaines de TD Licence 2-ième année, parcours PC semaines de cours, 0 semaines de TD CH. Fonctions de plusieurs variables (,5 semaines) Une description très sommaire sur le contenu et le but de notre cours: étendre le

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 1 Université de Rennes1 Année 2005/2006 Outils Mathématiques 4 Extrema résumé 1 Fonctions implicites Soit F (x, y, z) une fonction de trois variables définie dans un domaine D de R 3. Considérons l équation

Plus en détail

T. D. n o 15 Calcul différentiel. Intégrales multiples.

T. D. n o 15 Calcul différentiel. Intégrales multiples. T. D. n o 5 Calcul différentiel. Intégrales multiples. Exercice : D après le concours d inspecteur analyste, 008. Déterminer et représenter graphiquement les ensembles de définition des fonctions des variables

Plus en détail

Résumé 22 : Calcul Différentiel

Résumé 22 : Calcul Différentiel Résumé 22 : Calcul Différentiel E sera un R espace vectoriel normé de dimension n, F un R espace vectoriel normé et Ω un ouvert de E Nous noterons aussi B = e 1,, e n ) une base de E Dans la majorité des

Plus en détail

Calcul vectoriel. Chapitre Vecteurs

Calcul vectoriel. Chapitre Vecteurs Chapitre Calcul vectoriel Il s agit ici de réviser certaines notions quand aux calculs avec des vecteurs et des champs de vecteurs. On commence par deux définitions : Scalaire : Un scalaire est une grandeur

Plus en détail

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE. Michèle Audin

CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE. Michèle Audin CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL POUR LA TROISIÈME ANNÉE DE LICENCE 2012 2013 Michèle Audin 1. Espaces vectoriels normés Exercice 1.1 (Manhattan). Une ville est quadrillée par une famille

Plus en détail

Exo7. Intégrales. 1 Changements de coordonnées. Exercices : Jean-François Burnol Corrections : Volker Mayer Relecture : François Lescure

Exo7. Intégrales. 1 Changements de coordonnées. Exercices : Jean-François Burnol Corrections : Volker Mayer Relecture : François Lescure Exercices : Jean-François Burnol orrections : Volker Mayer Relecture : François Lescure Exo7 Intégrales hangements de coordonnées Dans ces exercices on est censé connaître un peu la notion de système de

Plus en détail

Corrigé des exercices de la feuille n o 5. 0 = Cov(2X + Y, X 3Y ) = 2Var(X) 3Var(Y ) 5Cov(X, Y ),

Corrigé des exercices de la feuille n o 5. 0 = Cov(2X + Y, X 3Y ) = 2Var(X) 3Var(Y ) 5Cov(X, Y ), Université Pierre et Marie Curie L3 - Mathématiques Année 3-4 Probabilités - LM39 Corrigé des exercices de la feuille n o 5 Exercice Puisque X et Y sont centrés, les données de l énoncé entraînent que

Plus en détail

INTEGRALES DE SURFACES

INTEGRALES DE SURFACES INTEGRALES DE SURFACES P. Pansu November 1, 4 1 Surfaces paramétrées Définition 1 Une surface paramétrée dans l espace, cela consiste à se donner trois fonctions définies sur un domaine D du plan, x s

Plus en détail

Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell Chapitre 1 Les équations de Maxwell La lumière est une onde électromagnétique qui se propage dans le vide ou un milieu matériel. Nous allons donc rappeler dans ce premier chapitre les postulats de l électromagnétisme.

Plus en détail

Couples aléatoires. 1. Loi d un couple aléatoire Un exemple. Licence MATH et MASS 3 e année. MATH504 : Probabilités et Statistiques

Couples aléatoires. 1. Loi d un couple aléatoire Un exemple. Licence MATH et MASS 3 e année. MATH504 : Probabilités et Statistiques Licence MATH et MASS 3 e année MATH54 : Probabilités et Statistiques Couples aléatoires Au chapitre précédent, nous avons étudié les variables aléatoires réelles c est à dire les variables aléatoires prenant

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue.

Intégrale de Lebesgue. Intégrale de Lebesgue. L. Quivy Ens Cachan 23 septembre 2013 1 Changement de variables 2 Le lien entre l intégrale de Lebesgue et l intégrale "usuelle" 3 L espace L 1 4 Intégrales dépendant d un paramètre

Plus en détail

26.1 Opérateurs de l analyse vectorielle

26.1 Opérateurs de l analyse vectorielle CHAPITRE 6 ANALYSE VECTORIELLE L analyse vectorielle fait intervenir à la fois des outils analytiques dérivées partielles et du calcul vectoriel. Les notions de base de l analyse vectorielle sont indispensables

Plus en détail

1. Intégrale : définitions

1. Intégrale : définitions . Intégrale : définitions. Eemple d approche E = P. t E b = a P ( t ). dt P moy = E b - a . Intégrale : définitions.3 Définition mathématique s = [ f( )+f( )+f( )+f( 4 ) ]. S = [ f( )+f( )+f( S )+f( 3

Plus en détail

Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-108

Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-108 Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-8 Commentaires à envoyer à gklein@vub.ac.be Fichier mis à jour disponible à http ://homepages.vub.ac.be/ gklein/ Travail Personnel Question page 6 révisée

Plus en détail

1 Couple de variables aléatoires discrètes

1 Couple de variables aléatoires discrètes Université de Reims Champagne Ardenne UFR Sciences Exactes et Naturelles Année universitaire 3-4 MA 84 - Master CM4 Couple de variables aléatoires, indépendance Couple de variables aléatoires discrètes.

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2006

CONCOURS COMMUN 2006 CONCOURS COMMUN 006 DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières PREMIER PROBLEME Etude d une fonction.. D = C \ {i}.. a Soient (x, y R, puis z = x + iy. z

Plus en détail

ANALYSE II, , 2e bachelier ingénieur civil Examen du 07 janvier 2013 Solutions Version : 11 février 2013 (V1 : 05/02/13)

ANALYSE II, , 2e bachelier ingénieur civil Examen du 07 janvier 2013 Solutions Version : 11 février 2013 (V1 : 05/02/13) ANALYSE II, -3, e bachelier ingénieur civil Examen du 7 janvier 3 Solutions Version : février 3 V : 5//3) THEORIE 35 points) Théorie.) Enoncer et démontrer le théorème de Liouville relatif à la caractérisation

Plus en détail

PARTIE I : ETUDE DE F

PARTIE I : ETUDE DE F Concours ESIM 999 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I - ANALYSE Durée : 3 heures Filière PC PRELIMINAIRES. f(, est défini si et seulement si :, et ( + ( + >. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O, i,

Plus en détail

Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables MTB - ch5 Page 1/19 Fonctions de deux variables I Topologie de R 2 On note R 2 l'ensemble des couples de nombres réels. On assimile R 2 au plan usuel muni d'un repère, en confondant un point géométrique

Plus en détail

Exercice 2. Calculer les dérivées partielles et la différentielle pour les fonctions suivantes : f 1 (x, y) = 4 x 5 y + 6 f 1 x = f 1

Exercice 2. Calculer les dérivées partielles et la différentielle pour les fonctions suivantes : f 1 (x, y) = 4 x 5 y + 6 f 1 x = f 1 L Chimie, 04-05 Léo Glangetas Université de Rouen NOM Prénom Groupe Note sur 0: Test en mathématiques note non retenue) Mercredi 8 octobre 04 documents, calculatrice interdits) Exercice. Calculer les dérivées

Plus en détail

1 + φ 2 (t) dt. b) En utilisant un raisonnement similaire, calculer l intégrale : cos(t) 4 + sin 2 (t) dt. (sin(sin(2x))) 2 lim

1 + φ 2 (t) dt. b) En utilisant un raisonnement similaire, calculer l intégrale : cos(t) 4 + sin 2 (t) dt. (sin(sin(2x))) 2 lim Analyse Série 1, juillet 2012 Question 1 1. Soit une fonction φ : [a, b] R de classe C 1 (c est-à-dire dérivable et dont la dérivée première est continue) telle que φ(a) = 1 et φ(b) = 1. a) Calculez l

Plus en détail

Compléments de calcul intégral

Compléments de calcul intégral [http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le juillet 4 Enoncés Compléments de calcul intégral Intégrale double sur un compact est compris entre C(R e x d et C(R e x d Exercice [ 85 ] [correction] où = { (x,

Plus en détail

6.1 Circulation du champ magnétique, théorème

6.1 Circulation du champ magnétique, théorème Chapitre 6 Le théorème d Ampère 6.1 Circulation du champ magnétique, théorème d Ampère 6.1.1 Circulation sur un circuit fermé du champ B créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant i Considérons

Plus en détail

CHAPITRE 9. Intégrales triples.

CHAPITRE 9. Intégrales triples. CHAPITE 9 Intégrales triples. Dans ce chapitre, nous définirons l intégrale triple d une fonction f(,, sur une région bornée de 3 et nous présenterons quelques-unes de ces propriétés. Ensuite nous verrons

Plus en détail

UGA 2017/18 Feuille d exercices 1 : courbes mat307

UGA 2017/18 Feuille d exercices 1 : courbes mat307 UGA 2017/18 Feuille d exercices 1 : courbes mat307 Exercice 0, rappels de géométrie analytique, complexes et trigonométrie 1. Déterminer la pente, le vecteur directeur et l équation cartésienne de la tangente

Plus en détail

Mathématique MATH-F-112/ Exercices

Mathématique MATH-F-112/ Exercices Mathématique MATH-F-112/1112 - Exercices 2016-2017 1 Analyse vectorielle 1.1 Vecteurs et opérateurs diérentiels 1. (a) Calculer le gradient de F au point (2, 1) si F (x, y) = x 3 + y 3 3xy (b) Calculer

Plus en détail

Courbes et intégrales de courbes

Courbes et intégrales de courbes Université laude Bernard - Lyon 1 emestre d automne 2016-2017 Maths 5 ours : P. Mironescu, TD : T. trobl Feuille d exercices n o 2 ourbes, urfaces, Intégration, tokes ourbes et intégrales de courbes Exercice

Plus en détail

UGA 2016/17 Feuille d exercices 1 : courbes mat307

UGA 2016/17 Feuille d exercices 1 : courbes mat307 UGA 2016/17 Feuille d exercices 1 : courbes mat307 Exercice 0, rappels de géométrie analytique, complexes et trigonométrie 1. Déterminer la pente, le vecteur directeur et l équation cartésienne de la tangente

Plus en détail

Formulation locale de l électrostatique

Formulation locale de l électrostatique Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 hapitre II Théorème de Gauss. Formulation locale de l électrostatique II.a. Angles solides 1. Rappel sur les angles plans L angle solide

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

Coniques. Ellipses. Définition monofocale. Hyperboles. Paraboles. Equations polaires

Coniques. Ellipses. Définition monofocale. Hyperboles. Paraboles. Equations polaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Coniques Ellipses Définition monofocale Exercice [ 099 ] [Correction] Soit D une droite du plan P et F un point non situé sur D. (a) Justifier

Plus en détail

Outils mathématiques

Outils mathématiques Année universitaire 216/217. U.E. 2P21 TD n o 1. Outils mathématiques Exercice I. Coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques Définir dans le système de coordonnées le plus approprié les surfaces

Plus en détail

CALCUL 1 LEÇON 2 : FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES

CALCUL 1 LEÇON 2 : FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES CALCUL 1 LEÇON 2 : FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES 1. Notions de base Les coordonnnées d un point x = (x 1,..., x n ) de R n sont les réels x 1,..., x n. On peut additionner deux éléments

Plus en détail

1, 2, 3... Sciences. Année académique Questionnaire et Corrigé Examen de mathématiques générales B du 25 mai 2016 biologistes

1, 2, 3... Sciences. Année académique Questionnaire et Corrigé Examen de mathématiques générales B du 25 mai 2016 biologistes ,,... Sciences Année académique 5- Questionnaire et Corrigé Eamen de mathématiques générales B du 5 mai biologistes Version 4 mai QUESTIONNAIRE. On donne eplicitement la fonction f par f(, ) = arcsin().

Plus en détail

LP215 : Opérateurs vectoriels et équations de Maxwell

LP215 : Opérateurs vectoriels et équations de Maxwell LP215 : Opérateurs vectoriels et équations de Maxwell Partie I. Analyse vectorielle TABLE DES MATIERES 1. Rappel, définitions 2 2. Bases mobiles dans les coordonnées curvilignes 5 2.1 Rappel sur la base

Plus en détail

Math IV, analyse (L2) Fiche 9

Math IV, analyse (L2) Fiche 9 UNIVERSITÉ CLAUE BERNAR LYON 1 Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux dirigés: T. Altınel, T. Eisenkölbl & S. Richard Math IV, analyse (L Fiche 9 5 mai 8 Exercice 1 (Hélice. L hélice circulaire

Plus en détail

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Chapitre 3 Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classe C 1 Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonction f de plusieurs variables. L objectif est évidemment

Plus en détail

CHAPITRE 2. Courbes paramétrées

CHAPITRE 2. Courbes paramétrées CHAPITRE Courbes paramétrées Dans tout ce chapitre nous choisissons un repère du plan affine ce qui permet d identifier les points du plan avec les éléments de R (par leurs coordonnées) et les vecteurs

Plus en détail

Correction du devoir surveillé

Correction du devoir surveillé ycée Saint ouis DS Correction du devoir surveillé Exercice. On cherche les racines carrées de 8 + i sous la forme u = x + iy avec x, y R. Ainsi, u = 8 + i. On obtient alors : x y = 8 égalité des parties

Plus en détail

Optimisation libre et sous contrainte (suite)

Optimisation libre et sous contrainte (suite) . Optimisation libre et sous contrainte (suite) 0.1 Extrema locaux de f : R 2 R On suppose f de classe C 2, c est-à-dire que ses dérivées partielles jusqu à l ordre 2 existent et sont continues. Définition

Plus en détail

Mathématiques II. Polycopié d exercices. Mat 4

Mathématiques II. Polycopié d exercices. Mat 4 POLYTECH MONTPELLIER Département Matériaux Mathématiques II [Pour le traitement du signal] Polycopié d exercices Mat 4 Feuille : Intégration et convolution des fonctions Exercice : / Déterminer si les

Plus en détail

BTS domotique 1 -Équations différentielles

BTS domotique 1 -Équations différentielles BTS domotique -Équations différentielles Premier ordre 4. Déterminer la solution ϕ de l équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ() =. Exercice BTS (E) : y 2y = xε x où y est une

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

Terminale S. Savoir-faire. Les équations différentielles de type y = ay + b avec a et b réels!

Terminale S. Savoir-faire. Les équations différentielles de type y = ay + b avec a et b réels! Les équations différentielles de type y = ay + b avec a et b réels! Comment résoudre une équation différentielle de type y = ay + b? On s assure qu elle est de la forme y = ay + b On applique les formules

Plus en détail

Fonctions de deux variables réelles

Fonctions de deux variables réelles [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juill 04 Enoncés Fonctions de deu variables réelles Généralités sur les fonctions de deu variables Eercice [ 0733 ] [correction] Déterminer tous les couples (α,

Plus en détail

Mathématiques pour chimistes. Notes de cours pour MAT 1958

Mathématiques pour chimistes. Notes de cours pour MAT 1958 Mathématiques pour chimistes Notes de cours pour MAT 1958 André Giroux Département de mathématiques et statistique Université de Montréal Décembre 2009 Table des matières 1 Séries 4 1.1 Sommes finies...........................

Plus en détail

Mat307 Feuille d exercices 2 : équations différentielles UGA

Mat307 Feuille d exercices 2 : équations différentielles UGA Mat37 Feuille d exercices 2 : équations différentielles UGA Exercice 1. 1. Résoudre l équation différentielle suivante x x + cos(t ; x( 1. 2. Tracer la solution et étudier son comportement en et en +.

Plus en détail

Intégrales doubles. Calculs d'intégrales doubles. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2017 Enoncés 1. Exercice 5 Calculer I =

Intégrales doubles. Calculs d'intégrales doubles. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 2017 Enoncés 1. Exercice 5 Calculer I = [http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 9 mai 7 Enoncés Intégrales doubles Calculs d'intégrales doubles Exercice avec Exercice [ 947 ] [Correction] x = { (x, R x, et x + } [ 949 ] [Correction] x où = {

Plus en détail

Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques Jérôme Germoni Novembre 2 Première étude : par équation différentielle.. Définition On s inspire de la définition de l exponentielle vue en terminale. Théorème (admis) Il existe

Plus en détail

Hervé Hocquard. Université de Bordeaux, France. 18 septembre 2013

Hervé Hocquard. Université de Bordeaux, France. 18 septembre 2013 Intégrales généralisées Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 septembre 203 Introduction Notation On pose R=R {,+ }. Introduction Notation On pose R=R {,+ }. Motivation Considérons la fonction

Plus en détail

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables:

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: N. Tsouli University Mohamed I Faculty of Sciences Department of Mathematics Oujda, Morocco. Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre

Plus en détail

Université Paris-Diderot M1 Mathématiques fondamentales deuxième semestre,

Université Paris-Diderot M1 Mathématiques fondamentales deuxième semestre, Université Paris-Diderot M1 Mathématiques fondamentales deuxième semestre, 2014-2015 Géométrie différentielle Fibré tangent, sous-variétés et plongements Feuille de TD 3 correction partielle Cours de Benjamin

Plus en détail

Solutions des exercices.

Solutions des exercices. Solutions des exercices. Exercice.. Montrons que si T est une distribution et si (ϕ j ) est une suite de D() qui tend vers 0, la suite T, ϕ j tend vers 0. Si la suite (ϕ j ) tend vers 0 dans D(), il existe

Plus en détail

Chapitre VI : Gradient d une fonction

Chapitre VI : Gradient d une fonction Chapitre VI : Gradient d une fonction de : Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable donner la signification du vecteur grad f calculer le vecteur grad f lorsque f est donnée en cartésienne,

Plus en détail

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born Devoir de Mathématiques : corrigé Exercice. Résolutions d inéquations (a) Disjonction de cas selon le signe de x. Si x [, ] alors x = x. Dans ce cas : x x

Plus en détail

1, 2, 3...Sciences. Année académique Listes type Répétitions Biologie

1, 2, 3...Sciences. Année académique Listes type Répétitions Biologie ,, 3...Sciences nnée académique 0-0 Mathématiques générales Listes type Répétitions Biologie Version 3 février 0 propos de cette liste Répétition : compléments Cette liste d exercices reprend des énoncés

Plus en détail

Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle

Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle 25 Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle Il y a beaucoup de résultats dans cette proposition de leçon (en prévision de questions que pourrait poser le jury). Comme il n

Plus en détail

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 Fonctions réelles de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables

Plus en détail

Corrigé du DS du 12 novembre 2007

Corrigé du DS du 12 novembre 2007 École des Mines de Douai FIA Mathématiques Année 7-8 Corrigé du DS du novembre 7 Problème. Étude des coordonnées polaires Soit f : R \ {(, )} R une fonction de classe C dont on convient de noter les variables

Plus en détail

Concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes.

Concours commun 2009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Concours commun 009 des écoles des mines d Albi, Alès, Douai, Nantes. Corrigé Problème (Algèbre et géométrie Partie (Étude de deu applications Nous noterons deg P le degré du polynôme P. Pour tout polynôme

Plus en détail

ANALYSE III. Hiver Exercice 1. On considère le morceau de surface Σ défini par

ANALYSE III. Hiver Exercice 1. On considère le morceau de surface Σ défini par érie 6 ANALYE III Hiver 9- informations: http://cag.epfl.ch sections IN + C Exercice. On considère le morceau de surface Σ défini par Σ{(x, y, z) :z x + y, z } orienté tel que sa normale unité n vérifie

Plus en détail

Différentielle seconde, extremums.

Différentielle seconde, extremums. Différentielle seconde, extremums Exercice 1 Soit A une matrice de taille n n Pour tout x R n, on pose qx) = x, Ax Montrer que q est C et calculer son gradient et sa matrice hessienne Indication On remarquera

Plus en détail

I Notion d intégrale sur un intervalle

I Notion d intégrale sur un intervalle Chapitre 10 CALCUL INTEGRAL Term S I Notion d intégrale sur un intervalle 1) Intégrale d une fonction en escalier a) Fonction constante sur un intervalle ; est une fonction définie sur ; telle que, pour

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL. A) Calcul direct à partir des formules fondamentales re C, D math II Calcul intégral

CALCUL INTEGRAL. A) Calcul direct à partir des formules fondamentales re C, D math II Calcul intégral CALCUL INTEGRAL Eercice Calculez les primitives suivantes : A Calcul direct à partir des formules fondamentales. (5 3d 3 4 3 5 5 ( 7, 4d 3 9 6 5 8 (7 4 6 3d ( t dt (sur t ( 5 3 8 d (sur 5 4 3 * R * R 6

Plus en détail

Examen de l UE LM110 Juin 2005

Examen de l UE LM110 Juin 2005 Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME Eamen de l UE LM110 Juin 2005 La durée de l eamen est de deu heures Les eercices sont indépendants les uns des autres Les notes de

Plus en détail

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR.

Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. I Notion de suite réelle ) Définition : Soit I une partie non vide de IN. On appelle suite réelle définie sur I, toute application U de I dans IR. Le réel U(n) est noté U n il est appelé terme général

Plus en détail

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Université Lyon Année 03-04 Master Mathématiques Générales ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 4. Intégration Notations n N λ n est la mesure de Lebesgue dans R n.

Plus en détail

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit (ABC) un vrai triangle du plan. Pour un point M du plan, on pose

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit (ABC) un vrai triangle du plan. Pour un point M du plan, on pose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le décembre 06 Enoncés Extremum sur compact Exercice [ 0059 ] [Correction] Déterminer le maximum de la fonction f définie sur le compact K = [0 ; ] donnée par f (x,

Plus en détail

E3A 2007 MP - Maths B

E3A 2007 MP - Maths B E3A 2007 MP - Maths B Exercice 1 1. Suivant l énoncé, soit y une fonction dérivable sur J, et soit z : x x α y(x). Puisque J ne contient pas 0, z est elle aussi dérivable sur J, et on a : si J R + : x

Plus en détail

UE MAT234 Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables

UE MAT234 Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables UE MAT234 Notes de cours sur les fonctions de plusieurs variables 1 Fonctions de plusieurs variables réelles 1.1 éfinitions générales 1.1.1 éfinition IR n = IR IR... IR est l ensemble des n-uplets de réels

Plus en détail

Outils mathématiques. Applications linéaires - Matrices

Outils mathématiques. Applications linéaires - Matrices Licence Sciences de la Terre et Environnement Outils mathématiques Applications linéaires - Matrices Exercice. On considère dans la base canonique de R les deux applications linéaires suivantes : σ u +

Plus en détail

1 Intégrales doubles. mathématiques - S2 Intégrales doubles, triples et curvilignes département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble.

1 Intégrales doubles. mathématiques - S2 Intégrales doubles, triples et curvilignes département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble. Guillaume Laget - version du 30-04-2006 22:32 (document mis à jour sur http ://maths.tetras.org/ - réutilisation et reproduction non commerciale de tout ou partie de ce document vivement encouragées mathématiques

Plus en détail