Intégrales multiples. V. Borrelli. Intégrale simple de Riemann. Vincent Borrelli. Intégrale double. Université de Lyon.

Transcription

1 s triple s Vincent Borrelli Université de Lyon

2 s Le programme triple Partie I : Fonctions (6 semaines) CM 1. Coordonnées, topologie CM 2. Fonction, graphe, composition CM 3. Limite, différentielle CM 4. Jacobienne, règle de la chaîne CM 5. Hessienne, Taylor, extrema CM 6. s simples et s CM 7. s triples et applications

3 s Le programme triple Partie II : Champs de vecteurs (5 semaines) CM 8. Champs de vecteurs et lignes de champs CM 9. Champs conservatifs CM 1. Champs incompressibles CM 11. Circulation sur les courbes CM 12. Flux et surfaces

4 s Adresses utiles triple Deux adresses : borrelli/espace_etudiant frabetti/math2/

5 s Chapitre 3 Fonctions de plusieurs variables triple Dans ce chapitre : 1. s de 2. s s 3. s triples

6 s triple Rappel. On appelle SUBDIVISION de [a, b] un ensemble fini de points S = {x,..., x n } tel que a = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Le PAS δ(s) de la subdivision est le plus grand des nombres x i x i 1 où i {1,..., n}.

7 s triple Rappel. On appelle SUBDIVISION de [a, b] un ensemble fini de points S = {x,..., x n } tel que a = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Le PAS δ(s) de la subdivision est le plus grand des nombres x i x i 1 où i {1,..., n}. Pour tout choix de n points h i I i = [x i 1, x i ], i {1,..., n}, on appelle SOMME DE RIEMANN DE f le nombre R(f ; S, {h 1,..., h n }) := n (x i x i 1 )f (h i ) i=1

8 s triple Dans cette somme, chaque terme (x i x i 1 )f (h i ) représente l aire algébrique du rectangle de base I i et hauteur f (x i ).

9 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h i}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h i I i, on la note b a f (x) dx := lim R(f ; S, {h i}) δ(s) Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DE f SUR [a, b] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN

10 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h i}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h i I i, on la note b a f (x) dx := lim R(f ; S, {h i}) δ(s) Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DE f SUR [a, b] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN Proposition. Toute fonction continue f : [a, b] R est intégrable au sens de. Toute fonction monotone sur [a, b] est intégrable au sens de.

11 s triple Signification géométrique de l intégrale simple. Cette limite s interprète comme l «aire algébrique» de la portion du plan comprise entre le graphe de f et l axe des abscisses.

12 s triple Définition. On dit que F : [a, b] R est une PRIMITIVE de f : [a, b] R si F est dérivable et que x [a, b], F (x) := f (x).

13 s triple Définition. On dit que F : [a, b] R est une PRIMITIVE de f : [a, b] R si F est dérivable et que x [a, b], F (x) := f (x). Théorème fondamental de l analyse (partie I). Soit f : [a, b] R une fonction intégrable au sens de et F : [a, b] R définie par x [a, b], F(x) = x a f (t)dt Alors F est continue sur [a, b]. Si, de plus, f est continue alors F est dérivable et F = f ; autrement dit, F est une primitive de f.

14 s triple Théorème fondamental de l analyse (partie II). Si f : [a, b] R est intégrable et admet une primitive F alors b a f (x) dx = F(b) F (a) = [F(x)] b a Cas des fonctions continues. Au bilan, toute fonction continue f : [a, b] R est intégrable au sens de, admet une primitive F donnée par F(x) := x a f (t)dt et l on a b a f (x) dx = F(b) F (a).

15 s triple Techniques pour calculer une intégrale Le changement de variable : on pose x = h(t) où h est un difféomorphisme c est-à-dire une bijection dérivable telle que la réciproque h 1 soit aussi dérivable. On a alors b a f (x) dx = h 1 (b) h 1 (a) f ( h(t) ) h (t) dt.

16 s triple Techniques pour calculer une intégrale Le changement de variable : on pose x = h(t) où h est un difféomorphisme c est-à-dire une bijection dérivable telle que la réciproque h 1 soit aussi dérivable. On a alors b a f (x) dx = L intégration par parties : b a f (x) g (x) dx = h 1 (b) h 1 (a) f ( h(t) ) h (t) dt. [ ] b b f (x) g(x) f (x) g(x) dx a a

17 s triple Exemple Aire d un disque. On désire calculer l intégrale suivante x 2 dx On effectue pour cela le changement de variable x = sin t avec t [ π/2, π/2]. Puisque 1 x 2 = cos t et dx = cos t dt, on obtient x 2 dx = 2 = 2 = π/2 π/2 π/2 π/2 cos 2 t dt cos(2t) [ 1 2 sin(2t) + t ] π/2 π/2 = ( + π 2 + π 2 ) = π dt

18 s Exemple triple Notons que l intégrale x 2 dx s interprète comme l aire de la portion de plan située en dessous du graphe de y = 1 x 2 et au dessus de l axe des abscisses. Cette portion de plan est un demi-disque centré en l origine et de rayon 1. L intégrale x 2 dx 1 s interprète donc comme l aire d un disque de rayon 1.

19 s triple Définition. Une SUBDIVISION S de [a, b] [c, d] est une partition du pavé [a, b] [c, d] en nm pavés I i J j = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i {1,..., n}, j {1,..., m} avec x = a, x n = b, y = c et y m = d.. Le PAS δ(s) de la partition est le maximum des x i x i 1 et y j y j 1.

20 s triple Définition. Une SUBDIVISION S de [a, b] [c, d] est une partition du pavé [a, b] [c, d] en nm pavés I i J j = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i {1,..., n}, j {1,..., m} avec x = a, x n = b, y = c et y m = d.. Le PAS δ(s) de la partition est le maximum des x i x i 1 et y j y j 1. Pour tout choix de nm points h ij I i J j, i {1,..., n}, j {1,..., m}, on appelle SOMME DE RIEMANN DE f : [a, b] [c, d] R le nombre R(f ; S, {h ij }) := n m (x i x i 1 )(y j y j 1 )f (h ij ) i=1 j=1

21 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h ij}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h ij I i J j, on la note f (x, y) dxdy := lim R(f ; S, {h ij}) δ(s) [a,b] [c,d] Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DOUBLE DE f SUR [a, b] [c, d] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN sur [a, b] [c, d]

22 s triple Théorème. Si la limite lim R(f ; S, {h ij}) existe alors elle δ(s) est indépendante du choix des points h ij I i J j, on la note f (x, y) dxdy := lim R(f ; S, {h ij}) δ(s) [a,b] [c,d] Définition. Lorsqu elle existe, on appelle cette limite l INTÉGRALE DOUBLE DE f SUR [a, b] [c, d] et on dit que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN sur [a, b] [c, d] Proposition. Toute fonction continue f : [a, b] [c, d] R est intégrable au sens de.

23 s On note D un sous-ensemble de R 2 contenu dans un rectangle [a, b] [c, d] (autrement dit, D est bornée). triple

24 s triple On note D un sous-ensemble de R 2 contenu dans un rectangle [a, b] [c, d] (autrement dit, D est bornée). Définition. On appelle FONCTION INDICATRICE de D l application notée 1 D : R 2 R définie par 1 D (x, y) = 1 si (x, y) D, 1 D (x, y) = sinon.

25 s triple On note D un sous-ensemble de R 2 contenu dans un rectangle [a, b] [c, d] (autrement dit, D est bornée). Définition. On appelle FONCTION INDICATRICE de D l application notée 1 D : R 2 R définie par 1 D (x, y) = 1 si (x, y) D, 1 D (x, y) = sinon. Définition. On dit qu une fonction f : [a, b] [c, d] R est INTÉGRABLE sur D [a, b] [c, d] si 1 D f est intégrable sur [a, b] [c, d] et on pose f (x, y)dxdy := 1 D (x, y)f (x, y)dxdy D [a,b] [c,d]

26 s triple Signification géométrique de l intégrale. On interprète l intégrale de f sur D comme le «volume algébrique» de la portion de l espace comprise entre le graphe de f et le plan (Oxy).

27 s triple Exemple : volume de la boule Expression intégrale du volume de la boule. Le volume de la boule B = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1 } est deux fois le volume de la demi-boule B + = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1, y }, comprise entre le plan (Oxy) et le graphe de la fonction z = 1 x 2 y 2. On a Vol (B) = 2 1 x 2 y 2 dxdy D où D = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 }.

28 s triple Définition. Si 1 D est intégrable, on dit que 1 D dxdy est l aire de D. D

29 s triple Définition. Si 1 D est intégrable, on dit que 1 D dxdy est l aire de D. D Si D est un point, un segment, un cercle ou plus généralement une courbe régulière, alors Aire(D) =.

30 s triple Définition. Si 1 D est intégrable, on dit que 1 D dxdy est l aire de D. D Si D est un point, un segment, un cercle ou plus généralement une courbe régulière, alors Aire(D) =. Proposition. Si D = D 1 D 2 et Aire(D 1 D 2 ) = alors f (x, y) dxdy = D f (x, y) dxdy + D 1 f (x, y) dxdy D 2

31 s Proposition triple Proposition. 1) Pour tout λ, µ R, on a ( ) λ f + µ g dxdy = λ f dxdy + µ D D D dxdy 2) On a D f (x, y) dxdy D f (x, y) dxdy 3) Si f (x, y) g(x, y) pour tout (x, y) D, alors f (x, y) dx dy g(x, y) dxdy D D

32 s triple Le théorème de Fubini Théorème de Fubini sur le rectangle. Soit f : [a, b] [c, d] R une fonction continue, on a ( b ) d f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx D a c ( d ) b = f (x, y)dx dy c a et on note b a dx d c f (x, y)dy := b a ( ) d f (x, y) dy dx c

33 s triple Le théorème de Fubini Théorème de Fubini sur le rectangle. Soit f : [a, b] [c, d] R une fonction continue, on a ( b ) d f (x, y) dxdy = f (x, y) dy dx D a c ( d ) b = f (x, y)dx dy c a et on note b a dx d c f (x, y)dy := b a ( ) d f (x, y) dy dx c Corollaire. On a f 1 (x) f 2 (y) dxdy = [a,b] [c,d] b a f 1 (x)dx d c f 2 (y)dy

34 s triple Exemple 1. x cos y dxdy = [,1] [,π/2] = 1 Exemples x dx [ 1 2 x 2] 1 π/2 [ sin y cos y dy ] π/2 = 1 2

35 s triple Exemple 1. x cos y dxdy = [,1] [,π/2] = Exemple 2. (x 2 y 1) dxdy = [ 1,1] [,1] = = = 1 Exemples x dx [ 1 2 x 2] 1 1 dx π/2 [ sin y 1 cos y dy ] π/2 = 1 2 (x 2 y 1) dy [ 1 dx 2 x 2 y 2 y ( ) 1 2 x 2 1 dx [ 1 6 x 3 x ] 1 1 = 5 3 ] y=1 y=

36 s triple Le théorème de Fubini Soit D un domaine délimité par deux courbes, c est-à-dire un domaine pour lequel il existe deux applications continues c, d : [a, b] R telles que D = {(x, y) R 2 a x b, c(x) y d(x)}

37 s triple Le théorème de Fubini Théorème de Fubini sur D. Soit f : D R 2 R une fonction continue alors ( b ) d(x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx D a c(x) Si D est décrit avec deux applications continues a, b : [c, d] R telles que D = {(x, y) R 2 c y d, a(y) x b(y)} alors D f (x, y) dx dy = d c ( ) b(y) f (x, y) dx dy a(y)

38 s Exemple 1. Soit D = { (x, y) R 2 x [ 1, 1], y [x 2, 1] }. Exemples triple On a D x 2 y dx dy = = = = x 2 dx 1 x 2 y dy x 2 [ 1 2 y 2 ] 1 x 2 dx 1 2 (x 2 x 4 ) dx [ 1 3 x x 5 ] x=1 x= 1 = 2 15

39 s triple Exemples Exemple 2 : Volume de la boule (suite). Rappelons que Vol (B) = 2 1 x 2 y 2 dxdy D où D = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 }. On a donc aussi { D = (x, y) R 2 x [ 1, 1], y [ 1 x 2, 1 x 2] }

40 s triple Ainsi 1 Vol (B) = 2 = dx dx 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Exemples 1 x 2 y 2 dy 1 x 2 1 y 2 1 x 2 dy.

41 s triple Ainsi 1 Vol (B) = 2 = dx dx 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Exemples 1 x 2 y 2 dy 1 x 2 1 y 2 1 x 2 dy. On effectue le changement de variable y = y(t) = 1 x 2 sin t, dy = 1 x 2 cos t dt d où Vol (B) = dx π/2 π/2 1 x 2 1 sin 2 t 1 x 2 cos t dt

42 s triple Par conséquent Vol (B) = dx π/2 π/2 Or, d après l exemple précédent, d où 2 Vol (B) = 2 = π π/2 π/ cos 2 t dt = π (1 x 2 ) dx (1 x 2 ) dx Exemples (1 x 2 ) cos 2 t dt π/2 π/2 [ = π x 1 ] 1 3 x 3 = 4π 1 3. cos 2 t dt

43 s triple Soit Changement de variables h : D (u, v) (x(u, v), y(u, v)) un C 1 -difféomorphisme, c est-à-dire une application C 1 qui est bijective et dont la réciproque h 1 : D est aussi C 1. Rappelons que la jacobien Jac h est le déterminant de la matrice jacobienne J h x x (u, v) (u, v) u v Jac h(u, v) = det J h (u, v) = det y y (u, v) u (u, v) v

44 s triple Changement de variables Théorème. Soit f : D R 2 R continue et h : D un C 1 -difféomorphisme alors f (x, y) dxdy = f ( x(u, v), y(u, v) ) det Jh (u, v) dudv D

45 s triple Changement de variables Théorème. Soit f : D R 2 R continue et h : D un C 1 -difféomorphisme alors f (x, y) dxdy = f ( x(u, v), y(u, v) ) det Jh (u, v) dudv D Passage en polaire. L application h : R + ] π, π[ R 2 \ {y =, x } (ρ, ϕ) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) est un C 1 -difféomorphisme et cos ϕ Jac h(ρ, ϕ) = det sin ϕ ρ sin ϕ = ρ ρ cos ϕ

46 s Changement de variables triple Si D R 2 \ {y =, x } alors f (x, y) dxdy = f ( ρ cos ϕ, ρ sin ϕ ) ρ dρdϕ D h 1 (D) Remarque. Puisque {y =, x } et ( R + {π} ) ({} ] π, π]) sont d aire nulle, la formule ci-dessus est valide pour D R 2.

47 s triple Exemple Volume de la boule (suite). On effectue le calcul de Vol (B) = 2 1 x 2 y 2 dxdy où D D = { (x, y) R 2 x 2 + y 2 1 } au moyen d un passage en coordonnées polaires h : [, 1] [, 2π[ D (ρ, ϕ) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) La formule de changement de variable s écrit Vol (B) = 2 1 ρ 2 ρ dρ dϕ [,1] [,2π[

48 s triple Exemple Le théorème de Fubini permet de séparer les variables : Vol (B) = 2 = 4π ρ 2 ρ dρ 1 ρ 2 ρ dρ. 2π dϕ.

49 s triple Exemple Le théorème de Fubini permet de séparer les variables : Vol (B) = 2 = 4π ρ 2 ρ dρ 1 ρ 2 ρ dρ. 2π dϕ. Le changement de variable t = 1 ρ 2, dt = 2ρdρ donne Vol (B) = 2 2 2π t 1/2 dt = 2π = 2π 1 [ t ] 1 = 2π t 1/2 dt [ t 3 2 ] 1 = 4π 3

50 s Exercices Énoncé. Calculer l aire du domaine borné D R 2 délimité par les courbes d équation y = x 2 + 2x + 1 et y = x triple

51 s triple Exercices Énoncé. Calculer l aire du domaine borné D R 2 délimité par les courbes d équation y = x 2 + 2x + 1 et y = x Réponse. On constate rapidement que { } D = (x, y) R 2 1 x, x 2 + 2x + 1 y x

52 s Exercices triple On applique le théorème de Fubini pour séparer les variables : Aire(D) = = = D 1 dx dy = 1 dx x 3 +1 x 2 +2x+1 ( x x 2 2x 1 ) dx [ 1 4 x x 3 x 2 ] 1 = ( 1 4 ( 1)4 1 3 ( 1)3 ( 1) 2) = = 5 12 dy

53 s triple Énoncé. Calculer I := D (x 2 2y) dx dy Exercices où D est le domaine de l exercice précédent.

54 s triple Énoncé. Calculer I := D (x 2 2y) dx dy où D est le domaine de l exercice précédent. Exercices Réponse. Il suffit d appliquer le théorème de Fubini pour séparer les variables I = 1 dx x 3 +1 x 2 +2x+1 (x 2 2y) dy = [ 1 x 2 y y 2 ] x 3 +1 x 2 +2x+1 dx = ( 1 x 2 (x 3 + 1) (x 3 + 1) 2 ) x 2 (x 2 + 2x + 1) + (x 2 + 2x + 1) 2 dx = ( 1 x 6 + x 5 + 6x 2 + 4x ) dx [ ] = 1 7 x x 6 + 2x 3 + 2x 2 1 = = 13 42

55 s Fin CM 6 triple

56 s triple triple On définit l intégrale triple d une fonction f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R similairement à l intégrale au moyen de sommes de R(f ; S, {h ijk }) := n m q (x i x i 1 )(y j y j 1 )(z k z k 1 )f (h ijk ) i=1 j=1 k=1 sur des subdivisions S en parallélépipèdes. Lorsque la limite lim R(f ; S, {h ijk}) existe, elle est δ(s) indépendante du choix des points h ijk et on la note f (x, y, z)dxdydz [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ]

57 s triple triple On dit alors que f est INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN sur [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] et on appelle cette limite l INTÉGRALE TRIPLE DE f SUR [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] On dit enfin qu une fonction f : [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R est INTÉGRABLE sur D [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] si 1 D f est intégrable sur [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] et on pose f (x, y)dxdydz := 1 D (x, y)f (x, y, z)dxdydz D [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ]

58 s triple triple Théorème de Fubini I. Soit D = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] et f : D R une application continue alors D f (x, y, z) dx dy dz = (dans l ordre qu on voudra) b1 a 1 dx b2 a 2 dy b3 a 3 dz f (x, y, z) Théorème de Fubini II. Soient { D = (x, y, z) R 3 } x [a 1, b 1 ], y [a 2 (x), b 2 (x)], z [a 3 (x, y), b 3 (x, y)] et f : D R une application continue alors b1 b2 (x) f (x, y, z) dx dy dz = dx dy D a 1 a 2 (x) b3 (x,y) a 3 (x,y) dz f (x, y, z)

59 s triple Soit à calculer J = [,1] [1,2] [2,3] Exemples (x 2 2yz) dx dy dz. En appliquant le théorème de Fubini on obtient J = 3 2 dz 2 1 dy 1 dx (x 2 2yz) = 3 2 dz [ 2 1 dy 1 3 x 3 2xyz = 3 2 dz ( ) 2 1 dy 1 3 2yz = 3 2 = 3 2 = 3 2 ] y=2 ] x=1 x= [ 1 3 y y 2 z ( dz y=1 ) 2 3 4z z dz ( ) [ ] z dz = 1 3 z 3 2 z2 = = =

60 s Exemples triple Soit Ω le cylindre plein de hauteur 3 et de base le disque D = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = : Ω = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z 3 = { (x, y, z) R 3 x [ 1, 1], y [ 1 x 2, 1 x 2] }, z [, 3] On cherche à déterminer J = (1 2yz) dx dy dz Ω

61 s triple Exemples En appliquant la deuxième version du théorème de Fubini on obtient J = 3 dz D (1 2yz) dx dy = 3 dz 1 1 dx 1 x 2 2(1 2yz) dy = 3 dz 1 1 = 3 dz x ] y= 1 x 2 y= 1 x dx 2 [ y y 2 z ( 1 x 2 (1 x 2 )z + 1 x ) 2 +(1 x 2 )z dx = 3 dz x 2 dx = 3 π/2 π/2 2 cos2 t dt = 3π

62 s triple Changement de variables Théorème. Soit f : D R 3 R continue et h : D un C 1 -difféomorphisme alors f (x, y, z) dxdydz D = f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) det Jh (u, v, w) dudvdw Corollaire. En coordonnées cylindriques : dxdydz = det J h (ρ, ϕ, z) dρdϕdz = ρ dρ dϕ dz En coordonnées sphériques : dxdydz = det J h (r, ϕ, θ) drdϕdθ = r 2 sin θ dr dϕ dθ

63 s Exemple triple Considérons à nouveau l intégrale J de la fonction f (x, y, z) = 1 2yz sur le cylindre plein Ω de hauteur 3 et de base le disque D = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z = En coordonnées cylindriques, on a Ω = { } (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, z 3 = { } (ρ, ϕ, z) ρ [, 1], ϕ [, 2π[, z [, 3]

64 s Exemple triple Puisque dx dy dz = ρ dρ dϕ dz, on a J = Ω (1 2yz) dx dy dz = 3 dz D (1 2yz) dx dy = 3 dz 1 ρ dρ 2π (1 2ρ sin ϕz) dϕ = 3 dz 1 = 3 dz 1 = 3 dz 1 2π ρ dρ [ ] 1 = 3 π ρ 2 = 3π ] ϕ=2π [ ρ dρ ϕ + 2ρ cos ϕz ( ) 2π + 2ρz 2ρz ρ dρ ϕ=

65 s triple Volume Définition. Soit D [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. On appelle VOLUME DE D le nombre Vol(D) := dx dy dz D Exemple : volume de la boule. En coordonnées sphériques, la boule unité B s écrit ainsi h 1 (B) = { (r, ϕ, θ) r [, 1], ϕ [, 2π[, θ [, π] } Vol (B) = B dx dy dz = [,1] [,2π[ [,π] r 2 sin θ dr dϕ dθ = 1 r 2 dr 2π dϕ π [ ] sin θ dθ π = 1 3 2π cos θ = 2π 3 (1 + 1) = 4π 3.

66 s Quantités totale et moyenne triple En physique, si f : D R + représente une concentration de matière (une densité volumique), une densité de courant ou une densité dénergie, alors on appelle QUANTITÉ TOTALE de matière /courant/énergie en D le nombre f (x, y, z)dxdydz D On appelle QUANTITÉ MOYENNE de matière /courant/énergie en D le nombre 1 f (x, y, z)dxdydz Vol (D) D

67 s triple Exemple Un matériau est réparti dans un cube D = [, R] 3 selon la densité volumique f (x, y, z) = x + y. La quantité totale (z + 1) 2 du matériau est alors D f (x, y, z)dxdydz = R dx R (x + y)dy R = [ ] [ R xy R y 2 dx = ( ) R Rx R2 = = [ ] R 1 2 Rx 2 + R 2 x ( ) 1 2 R3 + R 3 R dx R R+1 1 dz (z+1) ] 2 R 1 z+1 ( 1 1 R+1 R+1 = 3R4 2(R+1), ) Puisque Vol (D) = R 3, la quantité moyenne du matériau dans le cube est 1 Vol (D) D f (x, y, z) dx dy dz = 1 R 3 3R 4 2(R+1) = 3R 2(R+1).

68 s triple La MASSE TOTALE de D est le nombre µ(x, y, z) dx dy dz où µ : D R + la densité de masse D Barycentre Le CENTRE DE MASSE (ou CENTRE D INERTIE, ou encore BARYCENTRE) est le point G de coordonnées x G = 1 x µ(x, y, z)dx dy dz M D y G = 1 y µ(x, y, z)dx dy dz M D z G = 1 z µ(x, y, z)dx dy dz M D

69 s Moment d inertie triple Un matériau est dit HOMOGÈNE si sa densité de masse µ : D R + est constante. Soit r(x, y, z) la distance d un point (x, y, z) depuis une origine P ou une droite Le MOMENT D INERTIE par rapport à P ou à est le nombre 1 r 2 (x, y, z) µ(x, y, z) dx dy dz M D

70 s triple Exemple On cherche à déterminer le centre de masse du demi-cylindre homogène D = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 R 2, z [, H], y }. Il est naturel de travailler en coordonnées cylindriques et d écrire h 1 (D) = { (ρ, ϕ, z) ρ [, R], ϕ [, π], z [, H] }. Le calcul de la masse totale donne M = D dx dy dz = h 1 (D) ρ dρ dϕ dz = R ρ dρ π dϕ H dz = π R2 H 2.

71 s triple = 2 π R 2 H Exemple Le centre de masse G a pour coordonnées cartésiennes x G = 1 M D x dx dy dz = 1 M h 1 (D) ρ cos ϕ ρ dρ dϕ dz = 1 R M ρ2 dρ π cos ϕ dϕ H dz = y G = 1 M D y dx dy dz = 1 R M ρ2 dρ π sin ϕ dϕ H dz 2 R = 3 π R 2 H 3 2 H = 4R 3π z G = 1 M D z dx dy dz = 1 R M ρ dρ π dϕ H z dz R 2 2 π H2 2 = H 2 Ainsi G = (, 4R 3π, H 2 ).

72 s triple Exercice Exercice 1. Une poudre est répartie sur une plaque infinie selon la densité f (x, y) = 1 ( x 2 + y 2 + 1) 2 où (x, y) R 2. Calculer la quantité totale et moyenne de poudre sur un disque de rayon R > et centré en l origine. Réponse. Il est naturel de passer en coordonnées polaires. La fonction f s écrit alors f (ρ, ϕ) = 1 (ρ + 1) 2 et le disque de rayon R peut se décrire comme D R = { (ρ, ϕ) ρ [, R], ϕ [, 2π[ }.

73 s triple Ainsi on a Quantité totale = D R 1 = R = 2π R ρ dρ dϕ Exercice ( (ρ+1) 2 ) ρ+1 1 (ρ+1) ( 2 (ρ+1) 2 ) 1 ρ+1 1 (ρ+1) 2 ] R dρ 2π dϕ dρ [ = 2π ln(ρ + 1) + 1 ρ+1 ( ) = 2π ln(r + 1) + 1 ( R+1 ) ln 1 = 2π ln(r + 1) R R+1 et Aire (D R ) = D R ρ dρ dϕ = R ρ dρ 2π dϕ 2π = πr2 = R2 2

74 s Exercice triple Enfin 1 Quantité moyenne = Aire (D R ) = 2 R 2 D R 1 (ρ+1) 2 ln(r + 1) ρ dρ dϕ ) R R+1 Exercice 2. Calculer le centre de masse du solide Ω composé de la demi-boule B R et du cylindre C R suivants : B R = C R = { (r, ϕ, θ) } r [, R], ϕ [, 2π], θ [π/2, π] { (ρ, ϕ, z) } ρ [, R], ϕ [, 2π], z [, R], et avec la densité de masse µ(x, y, z) = z 2.

75 s triple Exercice Réponse. La masse totale de Ω est M Ω = M B R avec µ(x, y, z) = r 2 cos 2 θ sur B R. On a donc et M B R + M CR, = B r 2 cos 2 θ r 2 sin θ dr dϕ dθ R = R r 4 dr 2π dϕ π π/2 cos2 θ sin θ dθ [ ] π = R5 5 2π 1 3 cos3 θ = 2πR5 15 π/2 M CR = C R z 2 ρ dρ dϕ dz = R ρ dρ 2π dϕ R = R2 2 = πr5 3 2π R3 3 z2 dz

76 s triple Au bilan Puisque M Ω = M B R + M CR = ( ) 3 Exercice πr 5 = 7πR5 15 2π cos ϕ dϕ = et 2π sin ϕ dϕ = les coordonnées cartésiennes du barycentre G de Ω sont : x G = 1 M Ω Ω xµ(x, y, z) dx dy dz = 1 M Ω R = + 1 M Ω R r 5 dr 2π cos ϕ dϕ π π/2 cos2 θ sin 2 θ dθ ρ2 dρ 2π cos ϕ dϕ R z2 dz

77 s Exercice triple y G = 1 M Ω R = + 1 M Ω R r 5 dr 2π sin ϕ dϕ π π/2 cos2 θ sin 2 θ dθ ρ2 dρ 2π sin ϕ dϕ R z2 dz z G = 1 M Ω Ω z3 dx dy dz = 1 R M Ω r 5 dr 2π dϕ π [ = 15 R 6 6 2π 1 4 cos4 θ 7πR 3 ( ( = 15πR6 7πR = 15R3 7 = 5R ) π/2 cos3 θ sin θ dθ + ) 1 ] π + R2 π/2 2 2π R4 4 M Ω R ρ dρ

78 s Exercice triple En conclusion, le barycentre G a pour coordonnées G = (,, 5R 3 /14) Puisque 5R 3 /14 >, il se trouve dans la partie cylindrique. Le barycentre se trouve à l intérieur de Ω si 5R 3 /14 R c est-à-dire si R 14/5.

79 s Fin CM 7 triple