IAE Poutres planes. Saber EL AREM. Centre des Matériaux MINES ParisTech

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1 IAE Poutres planes Saber EL AREM Centre des Matériaux MINES ParisTech

2 Plan Rappel Rappel Théorème de Castigliano Flambement d une poutre élastique Poutres composites Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

3 Plan Rappel Rappel Théorème de Castigliano Flambement d une poutre élastique Poutres composites

4 Plan Rappel Rappel Théorème de Castigliano Flambement d une poutre élastique Poutres composites

5 Rappel Rappel Pour permettre de préciser les relations entre les déformations et contraintes locales et les quantités résultantes au niveau d une section, il est nécessaire d adopter des hypothèses sur la cinématique des sections lors d une transformation de la poutre. On focalise l attention sur les changements de géométrie longitudinaux. Ainsi on s interesse pas aux éventuelles variations de géométrie des sections droites. L objet d étude (solide élancé) est considéré comme une ligne moyenne déformable à chaque point de laquelle est attachée une section droite rigide. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

6 Rappel Récapitulatif pour les poutres de Timoshenko Les lois de comportement globales de la structure s écrivent N = ESU,1 T = µs(θ + V,1 ) M = EIθ,1 On rappelle les équations d équilibre : N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 et les conditions aux limites N(0) = F 0 N(L) = F L T (0) = P 0 T (L) = P L M(0) = M 0 M(L) = M L Il vient : T,1 = µs(θ,1 + V,11 ) = p M,1 = T = EIθ,11 = µs(θ + V,1 ) on obtient EIθ,111 = p permettant de calculer θ. Ensuite la flèche est déduite par : T,1 = µs(θ,1 + V,11 ) = p Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

7 Rappel Récapitulatif pour les poutres de Navier Bernoulli On rappelle les équations d équilibre : et les conditions aux limites N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 N(0) = F 0 N(L) = F L T (0) = P 0 T (L) = P L M(0) = M 0 M(L) = M L Les lois de comportement globales de la structure s écrivent N = ESU,1 M = EIθ,1 = EIV,11 (T = M,1 = EIV,111 ) Il vient : T,1 = EIV,1111 = p La flèche est obtenue comme solution d un problème d ordre 4 par rapport aux efforts appliqués ; elle est d ordre 2 pour un moment constant : V,1111 = p EI La rotation de la section est déduite par : θ = V,1 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

8 Plan Rappel Rappel Théorème de Castigliano Flambement d une poutre élastique Poutres composites

9 Théorème de Castigliano Théorème de Castigliano Matériaux élastique linéaire Le matériaux constituant la structure étudiée ayant un comportement élastique linéaire, l énergie apportée par l extérieur sert intégralement à déformer le solide, de manière réversible. Enoncé Le théorème de Castigliano permet de calculer de déplacement i dans le sens et au point où s applique un effort F i, par la relation : i = W F i Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

10 Théorème de Castigliano Théorème de Castigliano Théorème de la charge fictive Si, à l endroit où l on désire calculer le déplacement, il n y a pas d effort appliqué, on fera intervenir un effort fictif X, au point et dans la direction de. L expression de sera obtenue en appliquant sur X le théorème de Castigliano : ( ) W(P,X) = X X=0 P désigne l ensemble des efforts extérieurs appliqués à la structure X désigne l effort fictif Généralisation : Théorème de Muller-Breslau Le travail d un effort unitaire appliqué à une structure chargée est égal au travail des efforts internes qu il développe dans cette structure, dans les déformations élastiques dues aux charges extérieures : i = R structure [ M M i EI + N Ni ES + T ] Ti GS Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

11 Théorème de Castigliano Illustration Considérons une poutre console soumise, à son extrémité libre (x 1 = L), à un moment concentré M L. M(x 1 ) = M L ; θ(x 1 ) = M L EI x 1; V(x 1 ) = M L 2EI x 2 1 θ(l) = L M L ainsi V(L) = L 2 M L EI 2EI L énergie de déformation élastique (potentiel élastique) s écrit : Z W = structure M 2 (x 1 ) 2EI dx 1 = L M2 L 2EI Il vient : θ(l) = W = L M L M L EI Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

12 Théorème de Castigliano Appliquons une charge fictive F en x 1 = L et déterminons V(L) : Z W = structure M 2 (x 1 ) 2EI Z dx 1 = structure (M L F(L x 1 )) 2 2EI ( ) W(ML,F) Il vient : V(L) = F dx 1 = L M2 L 2EI M LF L2 + L 3 F 2 2EI 6EI F=0 Maintenant appliquons le théorème de Muller-Breslau : F = 1 Z V(L) = structure M i (x 1 ) = x 1 L Z M M i dx 1 = EI structure M L (x 1 L) EI = L 2 M L 2EI dx 1 = L 2 M L 2EI Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

13 Plan Rappel Rappel Théorème de Castigliano Flambement d une poutre élastique Poutres composites

14 Flambement d une poutre élastique Flambement d une poutre élastique Le flambement est un phénomène d instabilité qui apparaît sur les poutres longues, les plaques et les coques minces, et qui conduit à des modes de déformation catastrophiques. Une poutre droite flambe en compression lorsque sa ligne neutre ne reste pas droite. La charge critique dépend étroitement du module du matériau qui constitue la poutre, de la forme de la section droite, de la longueur de la poutre, mais aussi des conditions aux limites. Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

15 Flambement d une poutre élastique Flambement d une poutre élastique Dans un monde parfait, l état de déformation est de la compression simple, la déformation axiale est uniforme sur l ensemble de la poutre, de valeur F/ES. Il en est tout autrement si on considère que la ligne neutre de la poutre peut ne pas rester droite. EIV,11 + FV = 0 (1) En posant w 2 = F/EI, l équation sans second membre s écrit : Elle admet donc des solutions de la forme : V,11 + w 2 V = 0 (2) V(x 1 ) = Acos(wx 1 ) + B sin(wx 1 ) (3) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

16 Flambement d une poutre élastique Flambement d une poutre élastique Si on considère le cas d une poutre simplement supportée aux deux extrémités, la flèche doit être nulle aux deux extrémités (x 1 = 0 et x 1 = l) : A = 0 B sin(kl) = 0 (4) Le cas B = 0 correspond à la situation triviale où la flèche reste nulle. Par contre, si on a kl = nπ, on trouve effectivement la possibilité d avoir une déformée non rectiligne. On trouve alors : ( V(x 1 ) = B sin nπ x ) 1 l F = n 2 π 2 EI l 2 (5) La charge critique d Euler F c correspond au premier mode (n = 1) : F c = π 2 EI l 2 Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

17 Flambement d une poutre élastique Flambement d une poutre élastique Dans le cas général on écrit la charge critique d Euler : avec : F c = π 2 EI (Kl) 2 1 K = 1 : Poutre simplement supportée aux deux extrémités 2 K = 0.7 : Poutre encastrée-simplement supportée 3 K = 0.5 : Poutre encastrée-encastrée 4 K = 2 : Poutre encastrée-libre Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

18 Plan Rappel Rappel Théorème de Castigliano Flambement d une poutre élastique Poutres composites

19 Poutres composites Poutre sandwich en flexion 3 points x 3 P e e 2l 2h x 1 On considère un sandwich, avec au centre ( h < x 3 < h) un matériau à faibles propriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques E m et µ m ), et, de chaque côté ( h e < x 3 < h et h < x 3 < h + e) une couche métallique (caractéristiques élastiques E a et µ a ). Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

20 Poutres composites Poutre sandwich : force axiale On a toujours : N = R S σ 11 ds ; il faut reconstruire une approximation de σ 11 La contrainte σ 11 est discontinue, et : σ 11 (x 3 ) = E(x 3 )ε 11 σ 11 = E(x 3 )(U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) Z Z N = U,1 E(x 3 )ds + θ,1 E(x 3 )x 3 ds S Si E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la seconde intégrale est nulle Z N =< ES > U,1 avec < ES >= E(x 3 )ds S S Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

21 Poutres composites Poutre sandwich : moment Z M = x 3 σ 11 ds S M = U,1 Z σ 11 = E(x 3 )(U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) S x 3 E(x 3 )ds + θ,1 Z S E(x 3 )x 2 3 ds E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la première intégrale est nulle Z M =< EI > θ,1 avec < EI >= E(x 3 )x3 2 ds S Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

22 Poutres composites Poutre sandwich : cisaillement La contrainte σ 13 est continue à l interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeur donnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x 1 est non nulle, alors que la surface x 3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ 13 n est pas égale à 2µε 13. x 3 σ 13 = 0 σ 31 x 3 σ 13 x 1 σ 11 Z T = σ 13 ds S Z b Z +h 0 h Z +h σ 13 dx 2 dx 3 = (V,1 + θ) 2bµ(x 3 )dx 3 h T < µs > +h h (V,1 + θ) Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

23 Poutres composites Forme générale des équations pour une poutre composite Si la distribution des modules n est pas paire en x 3, il y a un couplage entre traction et flexion. On doit écrire : Z Z N E i ds E i x 3 ds 0 U,1 S S M = Z Z E i x 3 ds E i x3 2 ds 0 S S Z = θ,1 T 0 0 µ i ds V,1 + θ S (6) Unités N N.m = N N.m 0 N.m N.m 2 0 = m 1 (7) N 0 0 N Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

24 Poutres composites Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d utiliser les valeurs homogénéisées des produits EI et µs : v = Pl3 6 < EI > + Pl 2 < µs > L aluminium (E a, µ a ), est situé entre les cotes ±h et ±(h + e). La mousse (E m, µ m ) entre les cotes ±h. Il vient donc : < EI >= 2 3 b(e a((h + e) 3 h 3 ) + E m h 3 ) < µs >= 2bhµ m Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

25 Poutres composites Poutre sandwich en flexion 3 points Application numérique : L ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E a = MPa, E m = 20 MPa, ν m = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à : < EI >= (75000 ( ) ) = N.mm 2 < µs >= = N V = ( ) mm C est maintenant le terme lié à l effort tranchant qui est prépondérant. On note l importance qu il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d Young de 0,80 MPa au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l avantage de l assemblage «sandwich». Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

26 Poutres composites Finite element computations Material parameter Aluminium alloy : Young s modulus E a, Poisson s ratio ν a = 0.3 Foam, calcul B : Young s modulus E f, Poisson s ratio ν f Geometry Foam thickness 2h, Alu thickness = e Length Width of the plate = 500 mm 100 mm F Loading Force/unit width F = 1.5 N/mm 2h e e Aluminium Foam Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

27 Poutres composites Mesh and boundary conditions Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3 Foam, calcul B : E = MPa, ν=0.2 Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2 Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm Force SYM V1 V2 V3 Bottom Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

28 Poutres composites Coarse and Fine meshes Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

29 Poutres composites Deformed y shapes z x A y z x B z x C Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

30 Poutres composites Vertical displacement 2 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet coarse A fine A bending shear total -2 U2 (mm) < center - - Y - - right support > Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

31 Poutres composites Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core fine B bending shear total U2 (mm) < center - - Y - - right support > Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32

32 Poutres composites 5 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core fine B bending shear total U2 (mm) < center - - Y - - right support > Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai / 32