Chapitre 2 : LES NOMBRES COMPLEXES : FORME ALGEBRIQUE

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1 SOMMAIRE 1.ACTIVITES... 2 ACTIVITE ACTIVITE NOTION DE NOMBRE COMPLEXE... 3 DEFINITIONS ET PROPRIETES INTERPRETATION GEOMETRIQUE AFFIXE D UN VECTEUR, D UN BARYCENTRE NOMBRES COMPLEXES CONJUGUES REGLES DE CALCULS SUR LES NOMBRES COMPLEXES MODULE D UN NOMBRE COMPLEXE OPERATIONS SUR CONJUGUES ET MODULES SECOND DEGRE A COEFFICIENTS REELS...8 touchap2seuls 1/9

2 1.Activités Activité 1 En 1545 le mathématicien italien Jérôme Cardan ( ) publia une formule permettant sous certaines conditions de trouver une solution à une équation du troisième degré. On montre qu une équation du troisième degré quelconque peut toujours s écrire sous la forme : x 3 + px + q =0 p et q étant deux nombres réels. Une solution à cette équation est alors donnée par la formule suivante : 1. On considère les deux fonctions f et g définies sur R par f (x)= x 3 +2x +3 et g(x)= x 3-15x - 4 a) Etudier les variations de ces deux fonctions sur R et dresser leur tableau de variations. (On pourra s aider de la calculatrice) b) En déduire le nombre de solutions sur R des équations f (x) = 0 puis g(x) = Etude de l équation (F) : x 3 +2x +3 = 0. a) Appliquer la formule de Cardan à cette équation. b) Vérifier que : = et que c) En déduire une expression simple d une solution à l équation (F). = Etude de l équation (G) : x 3-15x 4 = 0. a) Appliquer la formule de Cardan à cette équation, que se passe t-il? b) Le mathématicien italien Bombelli ( ) eu l idée d appliquer la formule de Cardan à l équation (G) et de poursuivre les calculs en considérant que -484 existe et on le qualifie de "nombre imaginaire". Par utilisation des règles usuelles de calcul on a alors - 22² = 22² (-1) = 22-1 Ce "nombre imaginaire", -1 reçut en 1777 une notation particulière, Euler nota i ce nombre imaginaire, et il posa i² = -1 ;ce qui permet de poser -484 =22i Avec cette notation écrire la formule de Cardan obtenue pour l équation (G). c) En appliquant les formules usuelles de calcul dans R, développer (2 + i) 3 et (2 - i) 3 d) En déduire une expression simple d une solution à l équation (G). f) Vérifier que x 3-15x 4 = (x 4) (x² + 4x + 1) puis résoudre (G). Activité 2 2 p.284 touchap2seuls 2/9

3 2. Notion de nombre complexe Définitions et propriétés. Définition n 1 : On appelle nombre complexe un nombre de la forme z = a + ib où a et b sont deux réels et i un symbole tel que i 2 = -1. Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre complexe z. L ensemble de tous les nombres complexes se note C. Les règles de calculs pour l addition et la multiplication restent les mêmes que dans R. Exemples : 2 + 3i ; i 2 sont des nombres complexes i = 0est un nombre complexe particulier et d une façon générale : si x est un nombre réel alors x + 0 i = x est un nombre complexe. Propriété 1: Tout nombre réel est un nombre complexe particulier, on dit que l ensemble des nombre réels est inclus dans l ensemble des nombres complexes et on note R C NB : 3i = 0 + 3i et -2i = 0 + (-2)i sont des nombres complexes. On dit que ce sont imaginaires purs. Définition n 2 : On appelle imaginaire pur tout nombre complexe de la forme ib où b est un nombre réel. L ensemble des nombres imaginaires purs se note ir. Remarque : 0 est imaginaire pur. Parmi les nombres complexes a + ib, les deux cas particuliers des nombres réels et imaginaires purs, sont obtenus en faisant a = 0 ou b = 0. C est ainsi que l on définit la partie réelle et la partie imaginaire d un nombre complexe. Définition n 3 : Soient a et b deux nombres réels, et z le nombre complexe a + ib. a est appelé partie réelle de z et b partie imaginaire de z. On note a = Re(z) et b = Im(z). Remarque : la partie imaginaire d un nombre complexe est un nombre réel, il n y a pas de "i". Exemples : z = 2 + i 3 La partie réelle de z est 2 et sa partie imaginaire est 3. Puisque 0 = i il s ensuit que la partie réelle et la partie imaginaire de 0 sont toutes deux nulles. Réciproquement si a = b = 0, alors z = a + ib = i = 0 Propriété 2: Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont nulles. z = 0 Re(z) = Im(z) = 0 touchap2seuls 3/9

4 Conséquences : Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. z R Im(z) = 0 et z ir Re(z) = 0 0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur. Calculs : On calcule dans C comme dans R. Deux nombres complexes z = a + ib et z = a + ib, il vient z = z z z = 0 (a + ib) - (a + ib ) = 0 a a + ib ib = 0 a a + ib ib = 0 Soit z = z (a a ) + i(b b ) = 0 a a = 0 et b b = 0 a = a et b = b. Ce qui signifie que z et z on même partie réelle et même partie imaginaire, d où : Propriété 2: Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. z = z Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ) 3. Interprétation géométrique. (O ; OU, OV) étant un repère du plan, A tout nombre complexe z = a + ib, a et b étant deux réels, on associe un unique point M du plan qui aura pour coordonnées (a, b), et réciproquement à tout point M du plan on associe l unique nombre complexe z = a + ib où a et b sont respectivement l abscisse et l ordonnée de ce point M. Ce nombre complexe z se nomme affixe du point M. Le plan est appelé plan complexe. Définition n 4 : On appelle affixe du point M, le nombre complexe z = a + ib où, a et b sont dans cet ordre, l abscisse et l ordonnée du point M. M est appelé point image du nombre complexe z = a + ib. Notation : M(z) exprime le fait que l affixe de M est z. touchap2seuls 4/9

5 Si l on considère plusieurs points, on notera z A l affixe de A, z B l affixe de B, etc... On nomme l axe des abscisses "axe des réels" et l axe des ordonnées "axe des imaginaires purs". 4. Affixe d un vecteur, d un barycentre Définition n 5 : L affixe du vecteur u (x, y) est le nombre complexe, qu on peut noter Aff ( u ), défini par z u = x + iy. D où pour u = AB avec A et B qui ont pour affixes respectives z A = x A + iy A et z B = x B + iy B, le vecteur AB ayant pour coordonnées (x B - x A ; y B - y A ), on a donc: Aff ( AB ) = xb - x A + i( y B - y A ) = x B - x A + iy B - iy A =(x B + iy B ) - (x A + iy A )= z B - z A Soit z AB = z B - z A Propriété 3 : Soient deux points A(z) et B(z) alors le vecteur AB a pour affixe = z B - z A De même le barycentre G des points pondérés (A,a), (B, b) avec a + b non nulle a pour affixe : z G = az A + bz B a + b Point image et affixe : Le point image M d un tel complexe aura comme affixe z = x + 0 i et donc comme coordonnées (x, 0) ce qui signifie qu il appartient à l axe des abscisses. Réciproquement, un point de l axe des abscisses a pour coordonnées (x, 0) et comme affixe z = x + 0 i = x, ce qui implique qu il soit réel. Un nombre complexe est réel si et seulement si son point image appartient à l axe des abscisses. Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si son point image appartient à l axe des ordonnées. Exercice : Placer les points suivants dans le plan complexe muni d un repère orthonormal (O, u, v) A(1) ; B(i); C(1+ i); C (1 - i); D(3-2i); D (3 + 2i) 5. Nombres complexes conjugués Définition 6 : Soit un nombre complexe z = a + ib avec a et b réel, on appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe noté z défini par z = a - ib Exemples 1+ i =1- i ; 3-2i = 3+2 ; i = 0 + i = 0 i = -i ; 1 = i =1-0 i =1 touchap2seuls 5/9

6 On remarque que i et i sont opposés alors que 1et 1 sont égaux. Ceci est général, en effet si M(z) avec z réel, M sera invariant par la symétrie d axe (Ox) et donc M(z) et M ( z )seront confondus d où z = z, et réciproquement. Dans le cas où M(z) avec z imaginaire pur, M appartient à l axe (Oy) et son symétrique par rapport à (Ox) aura pour affixe -z, d où z = -z, et réciproquement. Propriété 4 : Un nombre complexe est réel si et seulement s il est égal à son conjugué. Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement s il est égal à l opposé de son conjugué. z R z = z et z ir z = -z conséquences : z = z z = a + ib, avec a et b réels: z + z = a + ib + a - ib = 2a = 2Re(z) z - z = a + ib - (a - ib) = a + ib - a+ ib = 2ib = 2iIm(z) ce qui permet d obtenir: Re(z) = z + z 2 Im(z) = z - z 2i 6. Règles de calculs sur les nombres complexes. Exercice : Effectuer les opérations suivantes puis placer les points obtenus dans le plan complexe muni d un repère orthonormé (O, u, v): z 1 =(2+5i) + (1-2i); z 2 = (-2+4i) - (1+3i); z 3 =(3+2i) (1-i); z 4 = 2 + 3i 3 ; z 5 = 1 + 2i 1 + i Solution z 1 =3+3i ; z 2 =-3+i ; z 3 =3-3i +2i - 2i 2 = 5- i ; z 4 = i; z 5 = i 2 Soient les points M 1 (3+3i); M 2 (-3+i); M 3 (5- i); et M 4 ( i) et M5 (3 2 + i 2 ) Règle pratique. Pour mettre un quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur de ce quotient par le conjugué du dénominateur Soit, z 2 non nul alors : z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 touchap2seuls 6/9

7 Donc si le dénominateur est sous la forme z = a + ib, avec a et b réels, on obtient alors zz =(a +ib) (a - ib) = a² - (ib)² = a² - i²b² = a² + b² Propriété 5: Soit z = a + ib avec a et b réels, alors z z = a² + b² Application : Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants : z 1 = (2+3i)(2-3i); z 2 = (2+3i) 2 ; z 3 = 1 i et z 4 = 2-3i 2 - i Identités remarquables: (z +z )² = z² +2zz + z ² (z - z )² = z² - 2zz + z ² z ² - z ² =(z z )(z + z ) z ² + z ² =(z + iz )(z iz ) 7. Module d un nombre complexe. Définition 7: On appelle module du nombre complexe z = a + ib avec a et b réels la distance OM où M est le point du plan complexe d affixe z, on note ce module z donc : z = a + ib = a² + b²= OM Application: Considérons deux points A(x A,y A ) et B(x B,y B ) d affixes respectives z A = x A + iy A et z B = x B + iy B, puisque z B - z A =(x B + iy B ) - (x A + iy A )=(x B - x A )+ i(y B - y A ) d après la formule usuelle donnant la distance entre deux points du plan, AB = (x B - x A )² + (y B - y A )² donc AB = z B - z A Propriété 6: Soient A et B deux points d affixes respectives z A et z B alors AB = z A - z B Une conséquence de la définition du module est que zz = a ² + b² = z ² 8. Opérations sur conjugués et modules Propriétés de la conjugaison et du module. Dans tout ce qui suit z =a + ib et z =a + ib sont deux nombres complexes écrits sous forme algébrique et le plan complexe est muni d un repère orthonormal z = z -z = z (-z) = - z Conjugué d une somme ou d une différence : z + z = z + z et de même z z = z - z Module d une somme ou d une différence : Soient M(z), M (z ) et R(z +z ),alors z +z = OR, or d après l inégalité triangulaire valable pour tous les points du plan, on obtient z +z = OR OM+MR. z M + z R -z M = z + z +z -z = z + z On a donc z +z z + z touchap2seuls 7/9

8 Conjugué d un produit. z z = (a + ib)(a + ib )=aa bb + iab + ia b = aa bb + i(ab + a b) z z = aa bb + i(ab + a b) = aa bb - i(ab + a b) z z = (a - ib)(a - ib )=aa bb - iab - ia b = aa bb - i(ab + a b) Donc : Le conjugué d un produit est égale au produit des conjugués z z = z z Module d un produit. z z ² = a² + b² = z z z z. = z ² z ² = z ² z ²= d après le résultat précédent. Les quantités ont donc des carrés égaux, or comme ce sont des nombres réels positifs nous pouvons en conclure qu ils sont égaux, d où : on retiendra que : Le module d un produit est égal au produit des modules z z = z z Module et conjugué d une puissance. Soit n un entier naturel non nul.: z n = z n et z n =z n Conjugué d un quotient. Le conjugué d un quotient est égal au quotient des conjugués : En particulier si le numérateur vaut 1, 1 z = 1 z z z = z z Module d un quotient. Le module d un quotient est égal au quotient des modules : z z = z z En particulier si le numérateur vaut 1, 1 z = 1 z 9. Second degré à coefficients réels Racines carrées d un réel dans C. Définition : les solutions de l équation z² = a, avec a réel, sont appelées racines carrées de a dans C. Propriété : Tout réel non nul admet deux racines carrées dans C. Si a > 0, z² = a admet deux racines réelles a et - a Si a < 0, z² = a admet deux racines complexes i -a et -i -a Exemples : z² = -3 admet deux solutions i 3 et i 3 touchap2seuls 8/9

9 Résolution de az² + bz + c = 0, avec a,b, c réels et a non nul. Définition : Soit = b² - 4ac, si = 0, une solution réelle est b 2a si > 0, deux solutions réelles -b + 2a si < 0, deux solutions complexes conjuguées et -b - 2a -b + i - et 2a -b i - 2a Exemples z² + z + 2 = 0 si = -7, deux solutions complexes conjuguées -1 + i 7 2 et -1 i 7 2 touchap2seuls 9/9