soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P

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1 Limite d une fonction Approche intuitive de la notion de limite Dans ce chapitre, nous avons besoin d un outil mathématique appelé «Limite» qui est une notion fort nécessaire pour la compréhension et la pratique des mathématiques. Pour introduire cette notion, je commence par un eemple géométrique : Considérons un polygone régulier de n côtés ( n 5 ), inscrit dans un cercle C. Soit P n ce polygone. À l aide du logiciel «Geogebra», j ai tracé P 5, P et P : Il semble que P soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P 5, on aura du mal à distinguer le polygone de son cercle circonscrit C. On dit alors que la limite de ces polygones est le cercle circonscrit C et mathématiquement, on écrit : lim = C P n n Eemple (d approche à l aide d une fonction) : 4 Soit la fonction f définie sur R { } par f ( ) =. f n'est pas définie en =. Evaluons f sur des nombres de plus en plus proches de = : f (-,99) =, 99 ; f (-,999) =, 999 ; f (-,9999) =, 9999 ; f (-,99999) =, f (-,) = 4, ; f (-,) = 4, ; f (-,) = 4, ; f (-,) = 4, On constate qu en évaluant f autour de, on se rapproche de plus en plus de 4. Limite de f (), pour tendant vers, est égale à 4 et on écrit lim f ( ) = 4. hosseini@maths-stan.fr Page Cours : Limites

2 I- Limite finie d une fonction en (avec fini ) Soit f une fonction définie sur R ou une partie de R. Soit R, le but de cette partie de ce chapitre est de savoir comment f se comporte, lorsque se rapproche de (où est une valeur finie). Définition : Un voisinage V d un réel, est un intervalle ouvert de la forme ] α α[ D f ] α [ ] ; α[ D f Eemples : ; ou ; ( suivant que est inclus dans D f ou non), avec α >. ) Les fonctions et ) Les fonctions et sont définies au voisinage de. sont définies respectivement au voisinage de et de,,,,. même si ces deu dernières fonctions sont définies sur ], [ ] [ et sur ] [ ] [ I-- Limite finie en (avec fini) Soit l R et f une fonction définie au voisinage de,, sauf peut-être en. Définition : On dit que f tend vers l, lorsque tend vers, si on peut rendre f() l «aussi petit que l on veut» à condition de prendre «suffisamment proche de».on écrit alors : lim f l. ( ) = Deuième variante de la définition précédente Définition : Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel, sauf peut-être en, on dit que f admet une limite réelle l au point si : ℇ >, α > tel que V, < α f() l<ℇ < Remarques : ) La définition précédente est valable, même si f n est pas définie en. ) ℇ est choisi arbitrairement. Interprétation : On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, f ( ) = lim l signifie que l on peut rendre la distance entre f() et l aussi petite que l on veut `a condition de prendre suffisamment proche de. hosseini@maths-stan.fr Page Cours : Limites

3 Eercice : Soit f une fonction définie sur R par ( ) = 5 f. Soit un nombre appartenant à R. Montrons que lim f ( ) = 5 Solution: I-- Limite à droite, limite à gauche de I--- Limite à droite Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ],b[, où b est un nombre réel ou. Définition 4: On dit que f admet une limite réelle l à droite de si : ℇ>, α > tel que ],b[, < < α f() l<ℇ On écrit alors : lim f ( ) = l, ou encore lim f ( ) = l. > Remarque : Cela signifie que tend vers, mais tout en restant supérieur à. I--- Limite à gauche Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] b [ ;, où b est un nombre réel ou. Définition 5: On dit que f admet une limite réelle l à gauche de si : ℇ>, α > tel que ],b[, α < < f() l<ℇ On écrit alors : lim f ( ) = l, ou encore f ( ) = < lim l. Remarque : Cela signifie que tend vers, mais tout en restant inférieur à. Théorème (admis): Soit f une fonction définie au voisinage V du réel, alors on a l équivalence suivante : lim f ( ) = l lim f ( ) = l = lim f ( ) > I-- Limite infinie d une fonction Soit f une fonction définie sur son ensemble de définition D f. Définitions 6: < - On dit que f est définie au voisinage V de, s il eiste un réel a tel que ], a [ D f. - On dit que f est définie au voisinage V de, s il eiste un réel a tel que ] a; [ D f. hosseini@maths-stan.fr Page Cours : Limites

4 Eemples : ) Les fonctions, et 4 sont définies au voisinage de et de.) Les fonctions et 4 sont définies respectivement au voisinage de et de, I---Limite infinie d une fonction à l infini Définition 7: ) On dit que lim f ( ) = si et seulement si: A >, B > tel que V, ( > B f()>a) lim f si et seulement si: ) On dit que ( ) = A >, B > tel que V, ( > B f()<a) Définition 8: ) On dit que lim f ( ) = f tend vers en si et seulement si: A >, B > tel que V, ( < B f()>a) lim f si et seulement si: ) On dit que ( ) = A >, B > tel que V, ( < B f()<a) Théorèmes (admis): Les fonctions, limite en ou. Les fonctions, n, ont pour limite, n (avec n entier naturel non nul), ont pour n ont pour limite en. en et, Eemples de fonctions qui n ont pas de limite en ou en -. Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque tend vers ou -. Eemples : Les fonctions sin et cos dont les courbes sont données ci-dessous n admettent pas de limite, lorsque tend vers ou - : hosseini@maths-stan.fr Page 4 Cours : Limites

5 I---Limite finie d une fonction en ou en -.. Définition 9: Si f est une fonction définie sur un voisinage V de réelle l en. On dit que f admet une limite, si : ℇ>, A > tel que V, ( < A f() l<ℇ). lim f l, On écrit alors : ( ) = Définition : Si f est une fonction définie sur un voisinage V de. On dit que f admet une limite réelle l en, si : ℇ>, A > tel que V, ( > A f() l<ℇ). On écrit alors : lim f ( ) = l. f tend vers l en Eercice : Soit f une fonction définie sur R* par f ( ) lim. Montrer que f ( ) = Solution: =. Théorèmes (admis): * Les fonctions,,, (avec n entier naturel n non nul), ont pour limite en. * Les fonctions,,, (avec n entier naturel non nul), ont pour n limite en. * Plus généralement, si une fonction f a une limite infinie en ou, alors a pour limite f en ou en. hosseini@maths-stan.fr Page 5 Cours : Limites

6 I-4-Asymptote horizontale Définition : On dit que la droite d équation D : y= l est une asymptote horizontale à la courbe f lim f l. de f lorsque lim ( ) = l ou ( ) = Eemple : On sait que : lim = et lim = donc lim = et lim =, d où la droite d équation y = représente une asymptote horizontale à la courbe de la fonction. f tend vers lorsque tend vers Théorème 4 (admis): Soit f une fonction définie au voisinage V de (nombre fini ou non) Si f admet une limite finie en alors cette limite est unique. I-5- Limite infinie en un réel Définition : Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel. lim f =, si et seulement si : ( ) ℇ>, α > tel que V, < α f() >ℇ < Définition : Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel. lim f = si et seulement si : ( ) ℇ>, α > tel que V, < α f() <ℇ < Interprétation : On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, lim f ( ) = ou lim f ( ) = signifie que l on peut rendre f() aussi grand en valeur absolue que l on veut à condition de prendre suffisamment proche de. f tend vers lorsque tend vers hosseini@maths-stan.fr Page 6 Cours : Limites

7 Eercice : Soit f une fonction définie sur R* par f ( ) =. Montrer que f ( ) = Solution: lim. Théorèmes 5 (admis):* Les fonctions,,, (avec n entier naturel non nul), ont n pour limite, lorsque tend vers. * La fonction a pour limite, lorsque tend vers. * Les fonctions,,, n (avec n entier naturel non nul), ont pour limite, lorsque tend vers et ont pour limite, lorsque tend vers. * Plus généralement, si une fonction f a une limite pour limite respectivement ou. ou, lorsque tend vers, alors f a I-6-Asymptote verticale Définition 4: On dit que la droite d équation D : = a est une asymptote verticale à la courbe de f lorsque lim f ( ) = ou lim f ( ) =. Remarque : Une asymptote verticale n eiste que pour tendant vers un nombre fini. Eemples : lim = lim = lim = < La droite d équation = représente une asymptote verticale à la courbe de la fonction > hosseini@maths-stan.fr Page 7 Cours : Limites

8 II- Opérations sur les limites a désigne soit un réel, soit, soit. l et l désignent des réels. On admet les théorèmes suivants : II- Limite de f g Si lim f ( ) = a et lim g( ) = l l l a l alors lim f g l l a ( )( ) = II- Limite de f g Si lim f ( ) = a et lim g( ) = C.I. (cas indéterminé) l l> l> l< l< a l ou alors lim ( f g)( ) = l l C.I. a II- Limite de f / g a Si f ( ) = lim l l> et lim g ( ) = a alors lim f a g ( ) = l l l ou l> ou l> ou l< ou l< ou l < l < l > l > ou ou C.I. C.I. Remarque : D après les tableau précédents, les cas indéterminés (C.I.) sont,, et En aucun cas ces écritures ne doivent être utilisées dans une rédaction, sur une copie. Attention : Une indétermination ne signifie en aucun cas que la limite n eiste pas. Ces cas nécessiteront une étude particulière, chaque fois qu ils se présenteront. hosseini@maths-stan.fr Page 8 Cours : Limites

9 IV- Détermination de limites Théorème 6: Lorsque tend vers terme de plus haut degré. ou, une fonction polynôme a la même limite que son Démonstration : Eercice 4: Déterminer la limite suivante : ( ) Solution: lim. Théorème 7: Lorsque tend vers ou, une fonction rationnelle a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Démonstration : hosseini@maths-stan.fr Page 9 Cours : Limites

10 Page Cours : Limites Eercice 5: Déterminer les limites de f, g et h définies respectivement par : 5 4 ) ( f =, ) ( = g et ) ( 5 = h Solution: Eercice 6: Soit f la fonction définie sur R { },4 par ( ) 8 6 = f. Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de et au voisinage de 4 puis interpréter graphiquement ces résultats. Solution : Étudions d abord le signe de 8 6 : 8 6

11 Asymptote oblique Définition 5: On dit que la droite d équation : y = a b est une asymptote oblique à la courbe de f au voisinage ( resp.- ), si et seulement si : lim [ f ( ) ( a b) ] = ( resp. [ f ( ) ( a b) ] = lim ). Remarques : Une courbe et son asymptote peuvent se couper (même une infinité de fois) avant que la courbe et l asymptote deviennent voisines. Pour tout D f, le signe de φ ( ) = f ( ) ( a b), donne la position relative de C f par rapport à D. Eercice 7: Soit f la fonction définie sur R { } par f ( ) = et C f sa représentation graphique. c ) Déterminer les réels a, b et c tels que f ( ) = a b pour tout D f. En déduire que la droite D, d équation y = a b (avec les réels a et b définis précédemment) est asymptote oblique à C f au voisinage de et de - ) Étudier la position relative de C f et de D. Solution : hosseini@maths-stan.fr Page Cours : Limites

12 Comment peut-on lever l'indétermination? Eercice 8: Soit f une fonction définie sur R par : ( ) = 4 ) Déterminer lim f ( ) et lim f ( ). f. ) Démontrer que pour > la droite D, d équation y = est une asymptote oblique à C f. ) Étudier la position relative de C f et de D. Solution : hosseini@maths-stan.fr Page Cours : Limites

13 Comment peut-on lever l'indétermination? Point méthode : Pour lever l'indétermination en un point a : - on commence par factoriser le numérateur et le dénominateur par a simplifier le quotient par a (quand cela est possible). et ainsi on peut - dans le cas des fonctions comportant des epressions racines, on utilise la multiplication du numérateur et du dénominateur de la fonction par son epression conjuguée. - l utilisation du nombre dérivé. Eercice 9: Soit f la fonction définie sur R {,4 } par f ( ) =.Étudier le 6 8 comportement de la fonction f au voisinage de, puis interpréter graphiquement ce résultat. Solution : La courbe précédente a été réalisée à l aide du logiciel «Geogebra». On constate que le trou n apparaît pas sur la courbe. La raison de cette absence est due à la façon dont le logiciel se charge à tracer la courbe, en effet, le logiciel calcule par eemple les images de plusieurs nombres compris dans l intervalle d étude, par eemple les images des nombres, comme :,,77,, etc, mais si l une de ces valeurs choisie n est pas le nombre, alors le trou n apparaîtra pas sur la courbe ( ce qui se passe dans la majorité des cas) sauf si la chance nous sourit. hosseini@maths-stan.fr Page Cours : Limites

14 Eercice : Soit f la fonction définie sur D f = [,4[ ] 4, [ par f ( ) = et C f 4 sa représentation graphique. Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de 4, puis interpréter graphiquement ce résultat. Solution : Comment peut-on lever l'indétermination? Eercice : Déterminons les limites de f et de g définies respectivement par : ( ) f ( ) Solution : =, ) = ( ) g ( en. hosseini@maths-stan.fr Page 4 Cours : Limites

15 V- Limite d une fonction composée Théorèmes 8 (admis): Soient f, g et h trois fonctions telles que f ( ) ( g h)( ) = g ( h( ) ) Soient a, b et c trois réels de valeurs finies ou ou encore -. lim h = et si lim g ( X ) = c alors lim f ( ) = c. Si ( ) b a X b a =. Eercice : Soit f la fonction définie par : Solution : 4 7 ( ) = f. Déterminer f ( ) lim. VI- Théorème de d encadrement (ou théorème des gendarmes) Théorème 9: Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou g f h ou, et l un nombre réel. g = lim h lim f l. Si pour tout réel voisin de a, ( ) ( ) ( ) et si lim ( ) ( ) = l, alors ( ) = Démonstration: a a a hosseini@maths-stan.fr Page 5 Cours : Limites

16 VII- Théorèmes de comparaison à l infinie Théorème : Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou f g ou. = lim f =. Si pour tout réel voisin de a, g( ) ( ) et si lim ( ), alors ( ) Si pour tout réel voisin de a, f ( ) h( ) et si lim h( ) =, alors f ( ) = a a a lim. a Démonstration: Eercice : ) Prouvez que la fonction f définie sur R par f ( ) sin ) Déduisez-en la limites suivante : lim. 5 sin Solution : = est bornée. 5 sin hosseini@maths-stan.fr Page 6 Cours : Limites

17 Tableau récapitulatif Hypothèse Hypothèse Conclusion inégalité pour proche de Comportement pour f g ( ) g( ) f f tend vers g tend vers ( ) f ( ) g f tend vers - g tend vers - ( ) f ( ) l f tend vers g tend vers l ( ) g( ) h( ) f et h ont la même limite l g tend vers l ( ) g( ) f f et g admettent des limites en lim f ( ) lim g( ) On retrouve les mêmes théorèmes avec les suites. hosseini@maths-stan.fr Page 7 Cours : Limites

18 Eercice 4: Déterminez les limites suivantes : ) lim 5 ) lim ) lim 5 5 4) lim ( 9 9 ) 5) lim ( ) Eercice 5: Soit f la fonction définie par : f ( ) a) Montrer que pour tout on a : f ( ) b) En déduire la limite de f lorsque tend vers. sin = Eercice 6: Soient f et g deu fonctions définies par : f ( ) = cos et g( ) cos Calculer : lim f ( ) et lim g ( ) =. Eercice 7: On considère la fonction f définie ( ) = 5 4 f. ) Démontrer la courbe (C f ) admet un ae de symétrie. ) a) Déterminer la limite en de ( ( ) ) Oblique à (C f ). b) Déterminer l équation de l autre asymptote. f puis en déduire l équation d une asymptote Eercice 8: Soit ( ) f =. 6 6 ) Déterminer l ensemble de f. ) Déterminer les limites en puis en. hosseini@maths-stan.fr Page 8 Cours : Limites