Exercices résolus de mathématiques. ANA 24 EXANA240 EXANA249. Jacques Collot Benoit Baudelet Steve Tumson.

Transcription

1 Ercics résolus d mathématiqus. ANA 4 EXANA4 EXANA49 Jacqus Collot Boit Baudlt Stv Tumso Novmbr ANA 4 - -

2 EXANA4 FACS ULBL Brulls, sptmbr 8. L arêt latéral d u cô circulair droit msur 5 cm. Pour qull valur du rayo d la bas l volum d c cô st-il maimum? V r h or r g si t h g cos V g si cos C volum sra maimum si la dérivé st ull. dv d d g si cos g si cos d d d d si cos si cos si si d si cos si ) si Solutio trivial. ) cos si cos cos cos cos Soit u agl d 54.7 L rayo d la bas st doc : r g si cm l volum du cô st alors d : V 5 6 cm dv 54.7 O vérifi facilmt qu'il s'agit bi d'u maimum : d dv 54.7 d ovmbr ANA 4 - -

3 EXANA4 FACS ULBL Brulls, sptmbr 8. Calculr a) si 4 d b) si 4 d c) si 4 d 4 4 a) I si 4 d Sas fair d calcul, ous pouvos dirctmt affirmr qu I =, puisqu f si 4 st u foctio impair. Vérifios : I si 4 d si 4 d 4 cos 4 b) I si 4 d 6 si 4 d 6 cos cos cos c) I si 4 d Nous voyos sur l graphiqu ci-dssous qu f si 4 st u foctio pair t qu I si 4 d - ANA 4 - -

4 ovmbr ANA 4-4 -

5 EXANA4 EPL, UCL, Louvai, sptmbr 8. a) Soit la surfac délimité par la courb y cos, l'a ds abscisss t ls droits vrticals t. Calculz l volum du solid d révolutio gdré par la rotatio d ctt surfac autour d l'a ds abscisss. b) Calculr l'itégral défii c) Calculr la limit d) Soit f la foctio défii par /4 si(ta ) cos d si t t lim t t lorsqu f( ) si lorsqu Etudir la dérivabilité d la foctio Solutio proposé par Stv TUMSON a) b) c) d) cos si( ) si(), 85 V /4 /4 t t t si(ta ) /4 d si(ta ) d ta cos(ta ) cos(), 46 cos si HOSPITAL cos HOSPITAL si t si t lim lim lim lim t t t t t 6t 6 t t 6 lorsqu df ( ) cos si d lorsqu df ( ) cos si cos si si HOSPITAL cos lim lim lim lim lim lim d df ( ) lim d La foctio st dérivabl décmbr ANA 4-5 -

6 EXANA4 EPL, UCL, Louvai, sptmbr 8. Soit f la foctio f ( ) l défii partout sauf, t C la courb du pla défii par y f ( ) ) Etudir la parité d la foctio. Possèd-t-ll ds asymptots? Qull valur faudrait-il lui dor pour qu'll soit cotiu? ) Etudir l domai d croissac/décroissac d la foctio, aisi qu so domai d cocavité vrs l haut/bas. Not t :, 5,5 ) Rpréstr soigusmt la courb C t idiqur ls poits rmarquabls. 4) Sas ffctur d ouvll étud d focto, squissz l graph ds trois foctios suivats : g( ) l h( ) l l( 9) k( ) 4 l Solutio proposé par Stv TUMSON ) Parité : f ( ) ( ) l l f ( ) La foctio st impair, ous pouvos doc l'étudir uiqumt pour l domai Asymptots : * AV : lim l lim H lim / / / l 4l / 4l H 8/ lim lim lim 8 / / / / / / / Pas d'asymptot vrtical. O put cpdat répodr à la qustio suivat : pour qu la foctio soit cotiu, il faudrait lui dor la valur y ( résultat attdu, la foctio état impair...) f( ) * AH/AO y k t : k lim lim l Pas d'asymptot horizotal i obliqu - ANA 4-6 -

7 ) Rapplos qu la foctio st ici étudié uiqumt pour (voir parité) df ( ) d l 4l l l 4 df ( ) d l 4 l 4,5 4l d f ( ) 8 l 4l d 4 l d f ( ) d l,5 ) Voir graph.,5,5 f '( ) / f ''( ) / Variatio / MAX MIN Cocavité / PI.. 4) g( ) l l l l f ( ) h ( ) l l 9 l l f 9 k( ) 4 l foctio pair, travaillos sur k( ) 4 l l l f ( ) - ANA 4-7 -

8 décmbr ANA 4-8 -

9 EXANA44 EPL, UCL, Louvai, sptmbr 8.. U amatur d bièr fraîch, qui rstra aoym, boit toujours das ds vrrs dot l volum total st actmt d'u litr t dot la form st parfaitmt cylidriqu. O chrch ls dimsios du vrr qui prmttt à la bièr d gardr sa fraîchur l plus logtmps possibl. O supposra pour cla qu la prt d fraîchur st proportioll à la surfac total d la bièr (c'st-à-dir la somm d la surfac cotact avc l vrr t d la surfac posé à l'air), t o égligra l'épaissur du vrr.. Modélisz c problèm d faço mathématiqu, idtifiat ls variabls à détrmir, ls quatités prtits t ls cotraits à rspctr ('oubliz pas d précisr ls uités).. Calculz ls dimsios optimals à dor au vrr. Solutio proposé par Stv TUMSON. Ls variabls à détrmir so la hautur h t l rayo R du vrr. Ls quatités utils sot l volum du vrr, sa surfac t la prt d fraîchur d la bièr : V R h [m ] S Rh R [m ] F ks [ C] avc k u costat d dimsio [ C/m ] Ls cotraits à rspctr sot qu : V [L], [m ] F soit miimum. V V V h S R F k R R R R df V k 4R dr R V V 5,4 [cm],8[ cm] R R h d F 4V * k 4 C'st bi u miimum! dr R Not : Comm vous l'aurz compris, l problèm rvit just à miimisr la surfac d'u cylidr. E fft, vu qu la prt d fraîchur st proportioll à la surfac du vrr, pour gardr plus d fraîchur, il faut u surfac miimum! décmbr 8. df d ks ds ds Ou cor k dr dr dr dr - ANA 4-9 -

10 EXANA45 FACSA, ULG, Lièg, sptmbr 8. Soit la foctio f défii par où a st u paramètr rél o ul. a f a) Das l cas où a st u costat positiv, i. détrmir l domai d défiitio d f ; ii détrmir ls évtulls asymptots du graph d f ; iii détrmir t caractérisr ls évtuls trma; iv étudir la cocavité du graph t situr ls évtuls poits d'iflio; v squissr l graph d f. b) Ds résultats du poit i., déduir l'allur du graph d f das l cas où a. c) Das l cas où a, détrmir la (ls) valur(s) d pour laqull (lsqulls) la droit y st tagt au graphiqu d la foctio f décmbr 8. a) i. dom f ii. AV : lim f AV AH à droit : lim f AH y Pas d AO a a a a iii f ' 4 a Il y a u trémum si f ' a a a a Comm a, il s'agit d'u miimum a f ' f Mi a Coordoés du mimia : Mi, a a a a a a a a a IV f '' 6 4 a 4a 6 L discrimiat du duièm factur st égatif f '' st toujours positif. f a u cocavité toujours positiv. Il 'y a pas d poit d'iflio. - ANA 4 - -

11 b) O ot qu g f a a Autrmt dit f t g sot symétriqus par rapport à l'a ds y. c) Soit, ls coordoés d'u poit d tagc, s'il ist. O a alors :, f O sait aussi qu f ' Efi, l'équatio d la tagt st : y y y Comm ctt tagt pass par l'origi, il faut qu : Compt tu d ) soit. ) soit. C qui 'st possibl qu si l poit d tagc s trouv à + t das c cas - ANA 4 - -

12 décmbr ANA 4 - -

13 EXANA46 FACSA, ULG, Lièg, sptmbr 8. O cosidèr l'prssio m, où m t sot ds tirs positifs ou uls. a) Calculr I b) Calculr I c) Calculr I,,, d) Motrr qu I I m,, m m I si cos ) Par l biais d'u itégratio par partis, détrmir u rlatio tr I I m m, valabl das l cas où d m, t - ANA 4 - -

14 , a) I si cos d si d cos 4 4, b) I si cos d cos d cos cos cos si c) I si d d, 4 m d) I si co m s cos si m, d d dt d Soit t t t m m I m, t t dt t t dt I, m m m, Doc cos si cos si ) I si cos d m u u m m m si ' si cos cos v ' cos si v m cos m m si si cos m, I d m I m, décmbr ANA 4-4 -

15 EXANA47 FPMS, Mos, group C, juillt 9. Soit u ombr tir positif. Trouvz la ou ls valur(s) du paramètr d sort qu la rlatio suivat soit vérifié : si d si d si d a) I si d cos cos cos b) I si d si d cos cos cos 4 c) I si d si d cos cos cos si st pair 4 si st impair - ANA 4-5 -

16 4 4 si st pair Doc : I I I si st impair Rportos tout cla das la rlatio doé pair I I I A rjtr car impair 4 4 I I I 8 8 A rjtr Coclusio L juillt ANA 4-6 -

17 EXANA48 FACSA, ULG, Lièg, juillt 9. i. Soit la foctio a b c d f a c qui s ot égalmt f p a f où a st u paramètr rél o ul. E discutat s'il y a liu foctio d a, détrmiz l domai d défiitio d f; détrmiz la parité évtull d f ; détrmiz ls évtulls asymptots du graph d f; détrmiz t caractérisr ls évtuls trma; étudiz la cocavité du graph t sirus ls évtuls poits d'iflio; squissz l graph d f ii E vous basat sur l'étud précédt, détrmiz la (ls) coditios qu doivt rmplir ls paramètrs réls o uls t pour qu la foctio soit défii sur arcsi i. a Dom f c a a b Parité : f.. f Doc la foctio st impair. ) a Il 'y a pas d'asymptots (i AV, i AH, i AO) ) a Pas d AV Pas d AO a Hospital lim f lim. lim lim a a a a d f '. a a Si a f ' si a C qui do l tablau a AH a a a f ' f m ; M ; a a a a Si a f ' st toujours positif t f st toujours croissat. - ANA 4-7 -

18 a a a a f '' a ' a a 4a a. a f L graph d f Si a f '' si ou a C qui do l tablau suivat : a a a a a f '' f I I I Si a U sul poit d'iflio st doé ci-dssous. - ANA 4-8 -

19 ii. La foctio arcsi.. sra défii sur si.. Il suffit d vérifir qu l miimum d la foctio st t qu l maimum st a) Ma.. D'après l poit i, ous savos qu Ma. puisqu a) Mi.. D'après l poit i, ous savos qu Mi. puisqu Nous pouvos coclur qu la foctio sra défii sur si L juillt ANA 4-9 -

20 EXANA49 FACSA, ULG, Lièg, juillt 9. i. Calculr d ii. Calculr cos d iii. Calculr cos d iv Pour qulls valurs d a-t-o cos d Justifir sas ffctur plicitmt l calcul d l'itégral;? i. I. d ii. I.cos. d f f ' Par partis : g ' cos g si I.si si. d cos cos iii. I.cos. d.. d. d.cos. d si cos - ANA 4 - -

21 iv La figur ci dssus do qulqus graphs d la foctio pour divrss valurs d. Il st immédiat qu pour pair, l'itégral sra toujours positiv. Etudios l cas impair. La foctio f.cos Il suffit qu la coditio : prést l tablau d sigs suivat f d f d soit vérifié C qui sigifi simplmt qu la parti égativ d l'air doit êtr plus ptit qu la parti positiv. Cosidéros la foctio g f cos cos Il st immédiat qu,, f g puisqu das c cas b b Or ous savos qu si a, b, f g alors f d g d. f d cos d cos. d I Faisos u chagmt d variabl das I : si t t dt d si t I t cos t. dt t cos t. dt Rmplaços das :.cos. d t cos t. dt qui st la coditio dmadé. E coclusio :.cos. d si st impair. a f a L juillt ANA 4 - -