Annexe du chapitre 9: Primitives et intégrales
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- Suzanne Bruneau
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1 PRIMITIVES ET INTEGRALES I Aee du chpitre 9: Primitives et itégrles Ojectif : L ojectif de cette ee est de défiir plus rigoureusemet l otio de foctio itégrle (u ses de Riem), de doer ue preuve du théorème fodmetl du clcul itégrl (près quelques résultts prélles) et filemet de vous pporter quelques ouvelles démrches pour clculer des itégrles pour des foctios prticulières. A. Ue défiitio plus rigoureuse de l itégrle défiie : L itégrle de Riem L itégrle u ses de Riem : Cosidéros ue foctio f cotiue sur [ ; ] et, pour ous fciliter l iterpréttio géométrique, supposos-l positive sur cet itervlle. Fisos ue prtitio de l itervlle [ ; ], c est à dire divisos l itervlle e sous-itervlles de logueur Δ, Δ, Δ 3,, Δ où vec Δ =, Δ =, Δ 3 = 3,, Δ = Notos que ces sous-itervlles e sot ps écessiremet de logueur égle. Soit M et m respectivemet le mimum et le miimum de l foctio sur [ ; ]. E voici ue représettio grphique. y y = f () M Y i y i m 3 i- i - i Ds l itervlle [ i- ; i ] de logueur Δ i, ppelos y i, l ordoée du poit miimum et Y i, l ordoée du poit mimum. Cosidéros l somme s = y Δ + y Δ + + y Δ = que l o ppelle somme itégrle iférieure. i= y i Δ i 3M ref JtJ 7
2 II ANNEXE CHAPITRE 9 De l même fço, cosidéros : S = Y Δ + Y Δ + + Y Δ = que l o ppelle somme itégrle supérieure. i= Y i Δ i Géométriquemet, c est l somme des ires des rectgles omrés uquels o joute les petits rectgles lcs u-dessus. O m( ) s S M( ) Remrquos que chcue des 4 epressios que l o trouve ds l epressio précédete représete l ire d u ou de plusieurs rectgles. Visulisez-les ie ds l figure précédete. Mitet, ds chcu des sous-itervlles formés, choisissos u poit quelcoque o écessiremet cetré,, 3,,. E chcu de ces poits cosidéros l vleur de l foctio, c est-àdire f ( ), f ( ), f ( 3 ),, f ( ). Costtos que pour chque i, y y i f ( i ) Y i y = f () f ( i ) 3 i i- i - Berhrd Riem (86 866) Clculos les ires des rectgles et formos-e l somme, o otiet S R = f ( ) Δ + f ( ) Δ + + f ( ) Δ = i= f ( i ) Δ i Ue telle somme s ppelle ue somme de Riem de f sur [ ; ] et pproime l ire sous l coure etre et. Cette pproimtio s méliore si l o divise l itervlle [ ; ] plus fiemet, c est-à-dire si l o ugmete le omre de sous-itervlles et si l o fit chcu de ces sous-itervlles de plus e plus petits. Si lim f ( i ) Δ i eiste, o dit que l foctio est itégrle m Δ i i= (u ses de Riem) sur [ ; ] et cette limite s ppelle l itégrle défiie de f sur [ ; ] que l o ote f (). 3M ref JtJ 7
![PRIMITIVES ET INTEGRALES III Eercice A9.: Cosidéros l foctio f défiie sur l itervlle [ ; 9] pr f () = l().](/docs-images/65/52531239/images/3-0.jpg "y y = l() 3 4 5 6 7 8 9 E sudivist cet itervlle e qutre sous-itervlles d égle logueur, trouver l somme itégrle iférieure, l somme itégrle supérieure et l somme de Riem lorsque l o utilise le poit")
3 PRIMITIVES ET INTEGRALES III Eercice A9.: Cosidéros l foctio f défiie sur l itervlle [ ; 9] pr f () = l(). y y = l() E sudivist cet itervlle e qutre sous-itervlles d égle logueur, trouver l somme itégrle iférieure, l somme itégrle supérieure et l somme de Riem lorsque l o utilise le poit milieu de chcu des sous-itervlles. Eercice A9.: Cosidéros 3. 7 E sudivist l itervlle [ ; 7] e si sous-itervlles, clculer ) l somme itégrle iférieure ) l somme itégrle supérieure c) ue somme de Riem e utilist les poits situés u er qurt des sous-itervlles d) l itégrle défiie à l ide du théorème fodmetl du clcul itégrl. À clrifier Mitet que ous vos défii cette itégrle, il reste deu questios à clrifier : ) «Si lim m Δ i eiste-t-elle? f ( i ) Δ i eiste», mis ds quelles coditios i= ) Cette limite déped-elle du choi des i ds chcu des sousitervlles? E répose à l première questio, o peut ffirmer que, pour toute foctio f cotiue sur [ ; ], ue telle limite eiste. L répose à l deuième questio est o. Pour epliquer ces deu réposes, rppelos que y i f ( i ) Y i pour tout i et pour toute vleur i [ i- ; i ]. 3M ref JtJ 7
4 IV ANNEXE CHAPITRE 9 De ceci découlet : et y i Δ i f ( i ) Δ i Y i Δ i i= i= i= m( ) s f ( i ) Δ i S M( ) i= Si l o rffie mitet l sudivisio de l itervlle [ ; ], s croît tout e demeurt iférieure à M( ), isi doc lim m Δ i s eiste. Pr u risoemet logue, S décroît tout e demeurt supérieure à m( ) doc lim m Δ i S eiste. Compros ces deu sommes itégrles e fist l différece : S s = (Y y ) Δ + (Y y ) Δ + + (Y y ) Δ Pour simplifier l epressio, ppelos w l vleur mimle de tous les (Y i y i ), lors S s w Δ + w Δ + + w Δ De plus, pr costructio S s O lors S s w (Δ + Δ + + Δ ) Si l o dmet que l foctio y = f() est cotiue, e psst à l limite o ur w lim m Δ i S s Selo le théorème des gedrmes : lim w ( ) m Δ i lim m Δ i S s = Doc lim m Δ i S = lim m Δ i s E vertu de l iéglité s f ( i ) Δ i S i= 3M ref JtJ 7
5 PRIMITIVES ET INTEGRALES V Aisi e utilist ue deuième fois le théorème des gedrmes : lim m Δ i s lim m Δ i f ( i ) Δ i lim i= m Δ i S A. Théorème de Lgrge Joseph-Louis Lgrge (736 83). Il fut u eft prodige et devit professeur à Turi à l âge de 9 s. Aisi, l limite du terme cetrl eiste qud f est cotiue et ce idépedmmet du choi des i [ i- ; i ]. CQFD. Ce théorème est ussi cou sous le om de théorème des ccroissemets fiis. Il v ous être utile pour l démostrtio du théorème fodmetl de clcul itégrl. Cosidéros ue foctio f et soit A( ; f ()) et B( ; f ()), deu poits sur l coure représettive de f. Supposos, de plus, que l foctio f est cotiue sur l itervlle [ ; ] et qu e tout poit de l itervlle ] ; [ o peut trcer l tgete à cette coure. Portos otre ttetio sur l droite psst pr les poits A et B. Cette droite, qu o ppelle sécte, pour pete : y m = Δy f () f () = Δ Tgete C Sécte B A y = f () c Imgios mitet que l o déplce cette sécte (vers le hut ds le grphique précédet) prllèlemet à elle-même. Ds ce cs, les deu poits A et B se rpprochet de plus e plus. À u momet doé, ces deu poits vot coïcider e u poit C et lors l sécte deviet tgete à l coure. Cette tgete u poit C dot l pete est f (c) f () f () vérifie doc l reltio f (c) =. 3M ref JtJ 7
6 VI ANNEXE CHAPITRE 9 O peut risolemet supposer que ce poit de tgece C est le poit de l coure où l distce etre l coure et l sécte est mimle. Cet rgumet grphique eposé ici est ps ue preuve formelle du théorème de Lgrge, mis cotiet l idée de cette preuve. Nous ous e coteteros. Théorème : Soit f ue foctio défiie sur l itervlle fermé [ ; ] et soit : i) f est cotiue sur [ ; ] ii) f est dérivle sur ] ; [ Alors, il eiste ue vleur c ds l itervlle ] ; [ telle que : f (c) = f () f (). Eercice A9.3: Cosidéros l foctio f défiie sur l itervlle [ ; ] dot o doe l représettio grphique suivte: y B A Détermier grphiquemet l ou les vleurs de c vérifit le théorème de Lgrge. Eercice A9.4: Eercice A9.5: Détermier l vleur c prévue pr le théorème de Lgrge pour l foctio f défiie sur l itervlle [ ; 4] pr f () = Esquisser l situtio. ) O cosidère l foctio f défiie sur l itervlle [-5 ;-] pr: f () = ) Détermier si possile l vleur de c vérifit f (c) = f () f (). ) Si ce est ps possile, epliquer pourquoi. ) Mêmes questios pour l foctio f défiie sur l itervlle [ ; 4] pr: f () = ( ) /3 3M ref JtJ 7
7 PRIMITIVES ET INTEGRALES VII A.3 Théorème fodmetl du clcul itégrl Théorème : Si f est ue foctio cotiue sur [ ; ] et s il eiste ue foctio F telle que F () = f() lors : Preuve : f () = F() F() L foctio f étt cotiue sur [ ; ], divisos cet itervlle e sous itervlles [ i- ; i ] de logueur Δ i, i =,,,, Soit F, ue primitive (doc dérivle) cotiue de f. F est doc ue foctio dérivle sur tout itervlle ] i- ; i [ et cotiue sur tout itervlle [ i- ; i ]. Selo le théorème de Lgrge, il eiste ue vleur i ] i- ; i [ telle que pour tout i =,,, 3M ref JtJ 7 Alors : F( i ) F( i ) = F ( i i ) i f ( i ) Δ i = F( i ) F( i ) i= i= ( ) F( i ) F( i ) = F ( Δ i ) i F( i ) F( i ) = F ( i ) Δ i = ( F( ) F( ))+ ( F ( ) F ( ))+ + ( F ( ) F ( ))+ F( ) F( ) = F( ) F( ) = F() F() e psst à l limite pour et tous les Δ i lim m Δ i f ( i ) Δ i = F() F() et isi doc : i= ( ) f () = F() F() CQFD.
8 VIII ANNEXE CHAPITRE 9 A.4 Itégrles impropres Itroductio : Le cocept d itégrle défiie été itroduit pour ue foctio cotiue (doc orée) sur u itervlle fermé [ ; ] fii et limité. À l ide de l otio de limite, ous étedros cette défiitio u cs où l itervlle est ifii, c est-à-dire pour des itervlles [ ; +[, ]- ; ] ou ecore ]- ; +[ et églemet u cs où l foctio f est discotiue e u omre fii de poits sur l itervlle cosidéré. Défiitios : f () = lim f () = lim f () = lim + f () f () f () Eemple : Clculer ( + ) f ( ) = ( +) Eercice A9.6: Trouver l ire sous l coure y = e - ds le premier qudrt. 3M ref JtJ 7
9 PRIMITIVES ET INTEGRALES IX Eemple : Clculer + f ( ) = Eemple : Clculer 3 e Eercice A9.7: Clculer les itégrles impropres suivtes ) ) c) ( ) 3 ( 4 + ) d) e 3 e) e f) M ref JtJ 7
10 X ANNEXE CHAPITRE 9 Défiitios : Si ue foctio est f discotiue e =, o défiit : f () = lim λ + f () λ Si ue foctio f est discotiue e =, o défiit : f () = lim λ λ f () Si ue foctio f est discotiue e = c, où < c <, o défiit : f () = lim λ c λ f () + lim λ c + f () Ds ce derier cs, l itégrle eiste si et seulemet si les deu limites d itégrles dmettet ue vleur fiie λ Eemple : Clculer l ire ds le premier qudrt sous l coure y = et à guche de l verticle = 4 y= 4 3M ref JtJ 7
11 PRIMITIVES ET INTEGRALES XI Eemple : Clculer 3 Eercice A9.8: Clculer les itégrles impropres suivtes ) 9 ) c) 3 d) 3 e) f) /3 3 g) 4 4 3M ref JtJ 7
12 XII ANNEXE CHAPITRE 9 A.5 Itégrtio pr prties Itroductio : Il est orml qu à chque règle de dérivtio correspode ue règle d itégrtio. L règle d itégrtio pr prties correspod à l règle de dérivtio de l multiplictio : ( f () g() ) = ( f () g() )+ ( f () g ()) Itégros des côtés du sige «égl» : Itégrtio pr prties : f () g () = f () g() f () g() Cette formule porte le om de formule d itégrtio pr prties, que l o utilise églemet sous l forme d itégrle défiie: f () g () = f () g() f () g() Eemple : Clculer si() = 3M ref JtJ 7
13 PRIMITIVES ET INTEGRALES XIII Questios : questios se poset ssez turellemet: Élémets de répose : ) Qud doit-o soger à fire ue itégrtio pr prties? ) Commet choisir, sur l foctio à itégrer, le terme jout le rôle de f et celui jout le rôle de g? Eemple : Clculer l() Eemple : Clculer ( + 5)e 3M ref JtJ 7
14 XIV ANNEXE CHAPITRE 9 Eercice A9.9: Clculer les itégrles suivtes : ) cos() ) e c) (4 -) e d) 4 l() Eercice A9.: Clculer les itégrles suivtes : ) t e t dt ) l() c) cos() 4 π / Eercice A9.: E prtt de l formule de dérivtio d ue multiplictio, retrouver l formule d itégrtio pr prties. A.6 Itégrtio pr décompositio e élémets simples Itroductio : Itégrer ue frctio de polyômes est chose isée si le umérteur cotiet u multiple de l dérivée du déomiteur. ( ) = E effet, o sit que l( f () f () f (), doc f () = l f () + c f () Ds ce prgrphe, ous oserveros commet itégrer certies frctios de polyômes e l eprimt comme ue somme de frctios plus simples, ppelées élémets simples, dot l itégrtio est immédite. Pour illustrer cette démrche, oservos les deu eemples suivts : Eemple : ( + ) ( ) = = + ( )( + ) Si mitet, ous lisos de droite à guche, ous compreos commet itégrer l foctio du memre de droite de cette chîe d églité : = + = l l + + c Mis repreos le clcul complet "ds le o ses" : 3M ref JtJ 7
15 PRIMITIVES ET INTEGRALES XV Eemple : Comme 3 + = + + +, ceci s otet pr divisio de polyômes, lors : 3 + = = l +c 3M ref JtJ 7
16 XVI ANNEXE CHAPITRE 9 Eercice A9.: Clculer ) 4 ( )( + ), e déduire ) ( +)( ), e déduire 7 3 c) +, e déduire 4 + d) , e déduire e) , e déduire Eercice A9.3: U pot-pourri d itégrles à clculer π / ) si () cos() ) 6 4 c) d) e e) 3 + f) M ref JtJ 7
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