Chapitre 2. Variables Qualitatives. La variable qualitative découpe une population en catégories.

Transcription

1 Chapitre 2 Variables Qualitatives La variable qualitative découpe une population en catégories. Le seul traitement statistique possible sur une variable qualitative est de représenter graphiquement les données. On ne peut calculer aucun paramètre numérique. 1. Organisation des données 2. Représentations graphiques 3. Mode

2 1 Organisation des données On recense les k différentes modalités A 1,A 2,...,A k prises par la variable. Pour chaque modalité, on compte le nombre d individus pour lesquels la variable prend cette modalité. On appelle ce nombre effectif de la modalité et on note n i l effectif de la i ème modalité A i. On regroupe dans un tableau les différentes modalités et leurs effectifs respectifs. Modalité A i A 1 A 2 A 3... A k Effectif n i n 1 n 2 n 3... n k

3 Exemple On a demandé aux élèves d une classe de terminale composée de dix élèves quelle est leur chaîne de télévision préférée. Population : classe de terminale. Effectif total N =10 Individu : un élève de la classe. Variable : chaîne de TV préférée. Modalités:TF1,F2,F3,C+,M6. C est une variable qualitative nominale. Données individuelles : TF1 ; C+ ; TF1 ; M6 ; F2 ; M6 ; F2 ; TF1 ; F2 ; TF1 Tableau de distribution des effectifs Chaîne TV A i TF1 F2 F3 C+ M6 Effectifs n i

4 Remarques La somme des effectifs des différentes modalités doit être égale à l effectif total. kp i=1 n i = n 1 + n n k = N Le tableau de distribution des effectifs contient autant d information que les données individuelles.

5 Souvent, plutôt que de considérer le nombre d individus pour lesquels la variable prend une valeur donnée, on préfère considérer le pourcentage d individus, appelé proportion ou fréquence pour lesquels la variable prend cette valeur. effectif de la valeur proportion d une valeur = effectif total On note p i la proportion de la i ème modalité. p i = n i N Une proportion est soit exprimée en pourcentage (par exemple 20%) soit par un nombre compris entre 0 et 1 (par exemple 0,2). Règle : 0,2 = 20% 0,45=45% 0,005=0,5%

6 Exemple : Quelle est votre chaîne de télévision préférée? Tableau de distribution des effectifs : Chaîne TV A i TF1 F2 F3 C+ M6 Effectifs n i effectif total N = =10 Tableau de distribution des proportions Modalité A i TF1 F2 F3 C+ M6 Proportion p i 0,4 0,3 0 0,1 0,2 Effectif total N =10 Remarques : - La somme des proportions est égale à 1 ou 100%. kx i=1 p i = p 1 + p p k =1 - Il faut indiquer l effectif total pour avoir l équivalence avec le tableau des effectifs.

7 Réciproquement, supposons qu on dispose du tableau de distribution des proportions et qu on connaisse l effectif total, on peut alors déterminer le tableau de distribution des effectifs en calculant pour chaque valeur son effectif par effectif = proportion effectif total n i = p i N Exemple : Dans une autre classe de terminale composée de 20 élèves, on a étudié la même variable chaîne de télévision préférée et on dispose du tableau de distribution des proportions suivant : Chaîne TV A i TF1 F2 F3 C+ M6 Proportions p i 0,3 0,1 0,1 0,2 0,3 Effectif total N =20 On obtient le tableau de distribution des effectifs : Chaîne TV A i TF1 F2 F3 C+ M6 Effectifs n i

8 2 Représentations graphiques Pour représenter une variable qualitative, on peut utiliser un graphique appelé diagramme en tuyaux d orgues. Le principe de ce graphique consiste à dessiner pour chaque modalité de la variable un rectangle de hauteur égale à l effectif de cette modalité ou à sa proportion. Exemple Chaîne TV A i TF1 F2 F3 C+ M6 Effectifs n i Effectif TF1 F2 F3 C+ M6 Réponse Préférence des chaînes de télévision pour 10 élèves de terminale

9 Chaîne TV TF1 F2 F3 C+ M6 Proportions p i 0,4 0,3 0 0,1 0,2 Effectif total N =10 Proportion 0,4 0,3 0,2 0,1 TF1 F2 F3 C+ M6 Réponse Préférence des chaînes de télévision pour 10 élèves de terminale

10 Autre représentation graphique usuelle : le diagramme en secteurs 0,2 2 0,1 0 0,4 TF1 F2 F3 C+ M TF1 F2 F3 C+ M6 0,3 3

11 3 Mode On appelle mode d une variable qualitative la ou les valeur(s) ayant le plus grand effectif ou la plus grande proportion. Remarque : le mode correspond aussi à la ou aux modalité(s) ayant la plus grande hauteur dans la représentation graphique de la variable en tuyaux d orgue. Exemple : le mode de la variable chaîne de télévision préférée est : TF1 car l effectif de TF1 (= 4) est le plus grand des effectifs, ou car la proportion de TF1 (= 0,4) est la plus élevée des proportions.