Nombres entiers rationnels - PGCD - Exercices

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1 Nombres entiers rationnels - PGCD - Exercices Exercice 1 a. Ecrire la liste par ordre croissant : Des diviseurs de 36 Des diviseurs de 6 b. Quels sont les diviseurs communs à 36 et 6? c. Quel est le PGCD de 36 et 6? Exercice 2 Expliquer, sans faire de calculs, pourquoi les nombres suivants ne sont pas premiers entre eux : a. 218 et 162 b. 21 et 18 c. 175 et 19 Exercice 3 Dans la division euclidienne d un nombre entier n par 5, le quotient est 14 et le reste est 4. Quel est ce nombre n? Exercice 4 Effectuer la division euclidienne : a. de 915 par 12 à la main. b. de par à la calculatrice. Exercice 5 Un nombre est dit premier s il n a pour diviseurs 1 et lui-même. Donner la liste de tous les nombres de 15 à 3 premiers. Exercice 6 Trouver, si possible (sans justifier) : a. Deux nombres pairs dont le PGCD est 1. b. Deux multiples de 5 ont le PGCD est 1 c. Deux nombres dont le PGCD est 2. d. Deux nombres impairs supérieurs à 2 dont le PGCD est 3. Exercice 7 Dans chaque cas, déterminer en indiquant la propriété utilisée : PGCD 5 ;1 a. ( ) b. PGCD( 1;35 ) c. PGCD( 48 ; 48 ) - 1 -

2 Exercice 8 Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant la méthode indiquée : a et (divisions successives - méthode d Euclide) b. 357 et 721 (divisions successives - méthode d Euclide) c et (divisions successives) d et 62 (soustractions successives) Exercice 9 Grâce à un tableur, déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l algorithme d Euclide. Voici une capture d écran, vous devez réaliser toutes les actions permettant de l obtenir. Aide : partie entière d un quotient : =ENT(A1/B1) reste d une division euclidienne : =MOD(A1 ;B1) Exercice 1 Calculer le PGCD des deux nombres en utilisant l algorithme d Euclide (divisions successives) : a. 846 et 1 44 b et 5128 c et d et Exercice 11 a. Calculer le PGCD d de et b. Calculer et. d d c. Vérifier que ces quotients sont premiers entre eux

3 Exercice 12 Grâce à un tableur, déterminer le PGCD de deux nombres en utilisant l algorithme des soustractions successives. Voici une capture d écran, vous devez réaliser toutes les actions permettant de l obtenir. Aide : obtenir le minimum de 2 nombres : =min(a1 ;B1) obtenir le maximum de deux nombres : =max(a1 ;B1) Exercice 13 Effectuer, par soustractions successives, la recherche du PGCD des nombres : a. 192 et 12 b et Exercice 14 a. Calculer le PGCD de et b. Expliquer comment, sans utiliser la touche «fraction» d une calculatrice, qui simplifie automatiquement, rendre irréductible la fraction Exercice 15 Écrire sous forme irréductible la fraction en donnant le détail du calcul. Exercice Soient les nombres : A = et B = a. Expliquer pourquoi la fraction A n est pas irréductible. b. Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible. c. Montrer, en indiquant les étapes de calcul, que A B est un nombre entier

4 Exercice 17 a. Démontrer que les nombres 65 et 42 sont premiers entre eux b. Démontrer que = Exercice 18 Rendre irréductible les fractions : a b Exercice 19 Les fractions et sont-elles égales? Exercice 2 Un philatéliste possède timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. a. Calculer le nombre maximum de lots qu il pourra réaliser. b. Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots? Exercice 21 Un collège décide d organiser une épreuve sportive pour tous les élèves. Les professeurs composent le plus grand nombre possible d équipes. Chaque équipe doit comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons. a. Sachant qu il y a 294 garçons et 21 filles, quel est le plus grand nombre d équipes que l on peut composer? b. Combien y a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe? Exercice 22 Deux livres ont respectivement 48 et 68 pages. Chacun de ces livres est formé de fascicules, ou «cahiers», qui ont tous un même nombre de pages, compris entre 3 et 5. a. Quel est le nombre de pages d un cahier? b. Quel est le nombre de cahiers qui composent chacun des deux livres? Exercice 23 Un fleuriste dispose de 98 roses rouges et 7 roses blanches. Il veut composer le plus grand nombre de bouquets contenant le même nombre de fleurs de chaque sorte en les utilisant toutes. a. Combien de bouquets peut-il composer? b. Combien de fleurs de chaque sorte contient chaque bouquet? Exercice 24 Les côtés d un terrain triangulaire mesurent 33 m, 27 m et 255 m. On plante des arbres le long des côtés, également espacés, avec un arbre à chaque sommet. La distance qui sépare deux arbres consécutifs est mesurée par un nombre entier de mètres. Quel est le nombre minimum d arbres qu il faut acheter? Conseil : calculer le PGCD de deux premiers nombres et vérifier qu il divise le troisième nombre

5 Exercice 25 Un chocolatier vient de fabriquer œufs de Pâques et 2484 poissons en chocolat. Il souhaite vendre des assortiments d œufs et de poissons de façon que : tous les paquets aient la même composition ; après la mise en paquet, il ne reste ni œufs, ni poissons. Aider ce chocolatier à choisir la composition de chaque paquet : donner toutes les possibilités. Exercice 26 Dire qu un nombre est abondant signifie qu il est inférieur à la somme de ses diviseurs propres, c està-dire ses diviseurs différents de lui-même. Dire qu un nombre entier est déficient signifie qu il est supérieur à la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, considérons le nombre 1 : ses diviseurs propres sont 1, 2 et 5. La somme de ses diviseurs propres est = 8 et 8< 1 donc 1 est déficient. Parmi les nombres compris entre 16 et 25, quels sont ceux qui sont abondants, quels sont ceux qui sont déficients? Exercice 27 Un artisan doit réaliser le carrelage d une pièce dont les dimensions et la forme sont données par la figure ci-contre. L artisan souhaite utiliser des carreaux de forme carrée dont le côté soit un nombre entier de centimètres. a. Quel est le plus grand carreau possible? b. Combien de carreaux dont le côté est le plus grand possible, l artisan doit-il utiliser? Exercice 28 Dans un grand hôtel, on répartit en paquets, 552 serviettes blanches et 782 serviettes bleues. Tous les paquets de serviettes sont identiques, et contiennent les deux couleurs de serviettes. On veut constituer un maximum de paquets, et ne pas laisser une seule serviette seule. a. Combien y a-t-il de paquets? b. Quel est le nombre de serviettes blanches et bleues? Exercice On pose M = a. Calculer le PGCD de et b. Écrire, en détaillant les calculs, le nombre M sous la forme d une fraction irréductible. c. M est-il décimal? Rationnel? Justifier

6 Exercice 3 Voici une liste de nombres : 2 3 ; 7 ; 56 7 ; 9 4 ; 1π ; 5 1 ; ; Recopier les nombres de cette liste qui sont : a. entiers b. décimaux et non entiers c. rationnels et non décimaux d. irrationnels Exercice 31 Indiquer pour chacun de ces quatre nombres s il est : un nombre entier ; un nombre décimal non entier ; un nombre rationnel non décimal. A = 7, B = C = ( ) D = Exercice 32 Trouver les nombres entiers dont le PGCD est égal à 542 et la somme est égale à Exercice 33 Cette année, le 1 er janvier est un dimanche. Quel jour correspond au 3 ème jour de l année? Exercice 34 Soit n un nombre entier tel que le reste de la division euclidienne de n par 8 soit égale à 5. a. Quel est le reste de la division euclidienne du nombre n + 1 par 8? b. Quel est le reste de la division euclidienne de n + 4 par 8? Exercice 35 Martin a cuit 125 gâteaux pour l'anniversaire de sa sœur. ll les aligne pour les décorer. ll met une noix sur un gâteau sur deux, une fraise sur un gâteau sur trois et une dragée sur un gâteau sur quatre. ll n'y a rien sur le premier gâteau. Une fois décorés, Martin range les gâteaux sur 4 plateaux : les gâteaux sans décoration, les gâteaux avec une seule décoration, les gâteaux avec deux décorations, les gâteaux avec trois décorations. Combien y-a-t-il de gâteaux sur chaque plateau? Les quatre premiers gâteaux, de gauche à droite - 6 -

7 Exercice 1 - correction Nombres entiers rationnels - PGCD - Correction a. 36 a pour diviseurs : 1,2,3, 4,6,9,12,18,36. 6 a pour diviseurs : 1,2,3, 4, 5,6,1,12,15,2,3,6. b. Les diviseurs communs à 36 et 6 sont : 1,2,3, 4,6,12. c. PGCD( 36 ;6) = 12. Exercice 2 - correction a. 218 et 162 sont divisibles par 2, donc PGCD( 218 ;162) 1. Ils ne sont pas premiers entre eux. b. 21 et 18 sont divisibles par 3, donc ( ) PGCD 21;18 1. Ils ne sont pas premiers entre eux. c. 175 et 19 sont divisibles par 5, donc PGCD( 175;19) 1. Ils ne sont pas premiers entre eux. Exercice 3 - correction n= = 74 Exercice 4 - correction a. Calcul posé à la main : b. À la machine : = Exercice 5 - correction Les nombres cherchés sont : Exercice 6 - correction a. C est impossible car ils sont forcément divisibles par 2. b. C est impossible car ils sont forcément divisibles par 5. c. 2 et 4 par exemple. d. 21 et 27 par exemple

8 Exercice 7 - correction a. PGCD ( 5 ; 1) = 5 car 5 est un diviseur de 1. b. PGCD ( 1 ; 35 ) = 1 car PGCD ( 1 ; ) 1 c. PGCD ( 48 ; 48 ) = 48 car PGCD ( a ; a ) a a = quel que soit le nombre entier a >. = quel que soit le nombre entier a >. Exercice 8 - correction a. Utilisons la méthode d Euclide : PGCD ( ; ) = b. Utilisons la méthode d Euclide : PGCD ( 721 ; 357 ) = 7 c. Utilisons la méthode d Euclide : PGCD ( ; ) = = = = = = = = = = d. Utilisons la méthode des soustractions successives : PGCD ( ; 62 ) = = = = = = = = Exercice 9 - correction voir vidéo sur le site - 8 -

9 Exercice 1 - correction a. Par méthode d Euclide : 1 44= = = = = PGCD( 846 ;1 44) = 18 b. Par méthode d Euclide : 9 615= = = PGCD( 9 615; 5128) = 641 c. Par méthode d Euclide : 1789= = = = = = PGCD( 1 515;1789) = 1, les deux nombres sont premiers entre eux. d. Par méthode d Euclide : PGCD( ;16 448) = = = = = Exercice 11 - correction a. Par méthode d Euclide : d= PGCD( ;13884) = = = = = = =

10 b. = 759 et = c. Par méthode d Euclide : 759= = = = = = 1 2+ PGCD( 759 ;89) = 1 donc ces deux nombres sont premiers entre eux. Exercice 12 - correction Voir vidéo. Exercice 13 - correction a. Par soustractions successives : PGCD( 192 ;12) = 24 b. Par soustractions successives : PGCD( 1764 ;1 71) = 63 Exercice 14 - correction a. Par méthode d Euclide : PGCD( ;6 775) = = = = = = = = = = = = = = = 114 4= = = =

11 b. Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : = = Exercice 15 - correction Nous calculons le PGCD des nombres 63 et 924 par méthode d Euclide : 924= = = PGCD( 63 ;924) = 42. Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : = = Exercice 16 - correction a. Calculons le PGCD des nombres 117 et 63 par méthode d Euclide : 117= = = 9 6+ PGCD( 117 ;63) = 9. Comme le PGCD est différent de 1, A n est pas irréductible. b. Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : A= = = c A B= = + = =, qui est bien un nombre entier Exercice 17 - correction a. Calculons le PGCD des nombres 65 et 42 par méthode d Euclide : 65= = = = = = 1 3+ PGCD( 65;42) = 1, donc 65 et 42 sont premiers entre eux

12 b. La méthode la plus simple est la vérification des produits en croix : 52 42= = On a bien = Exercice 18 - correction a. Par la méthode d Euclide : 262 8= = = = = = = PGCD( ;34 398) = 1638 Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : b. Par la méthode d Euclide : = = = = = = = = = = = PGCD( ; ) = 91 Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : Exercice 19 - correction Vérification des produits en croix : = = On a bien = = =

13 Exercice 2 - correction a. On souhaite vendre toute la collection, le nombre de lots doit donc être un diviseur commun à 1631 et 932. On souhaite effectuer un maximum de lots, on cherche à déterminer le PGCD des deux nombres. Utilisons la méthode d Euclide : PGCD( 1631;932) = = = = Le philatéliste fera 233 lots identiques. b = 7 et = 4. Il y a donc dans chaque lot 7 timbres français et 4 timbres étrangers. Exercice 21 - correction a. Les professeurs souhaitent que tous les élèves participent donc le nombre d équipes doit être un diviseur commun à 294 et 21. Ils souhaitent composer le maximum d équipes, on cherche donc le PGCD de ces deux nombres. Utilisons la méthode d Euclide : PGCD( 294 ;21) = = = = Les professeurs vont composer 42 équipes. b = 7 et 21 42= 5. Il y a donc dans chaque équipe 7 garçons et 5 filles. Exercice 22 - correction a. On cherche des fascicules dont le nombre de pages divise à la fois 48 et 68. Nous calculons le PGCD des deux nombres par la méthode d Euclide. 68= = = = PGCD( 48 ;68) = 32. C est le plus grand des diviseurs communs à 48 et 68, il existe d autres diviseurs communs comme 16, 8, 4, 2 ou 1 mais 32 est le seul compris entre 3 et 5. Chaque cahier comporte donc 32 pages. b = 15 et 68 32= 19. Les deux livres sont donc composés respectivement de 15 cahiers et 19 cahiers

14 Exercice 23 - correction a. Le fleuriste souhaite utiliser toutes ses fleurs, donc le nombre de bouquets doit être un diviseur commun à 98 et 7. On souhaite faire le plus grand nombre de bouquets, donc on cherche le PGCD des deux nombres. Utilisons la méthode d Euclide : PGCD( 98 ;7) = = = = Le fleuriste fera 14 bouquets. b = 7 et 7 14= 5. Chaque bouquet est composé de 7 roses rouges et 5 roses blanches. Exercice 24 - correction Calculons le PGCD de deux nombres parmi 33, 27 et 255 : nous choisissons 33 et 27 et utilisons la méthode d Euclide : 33 = = = PGCD( 33 ;27) = 3. Il faut aussi diviser que la distance cherchée divise 255. Cherchons maintenant le PGCD de 3 et 255. Nous utilisons la méthode d Euclide : 255 = = PGCD( 3 ;255) = 15. La distance maximale entre 2 arbres est de 15 m, on lui fait correspondre le nombre minimal d arbres qu il faut acheter. ( ) 15= 57 (alternance un arbre - un espace) : il faudra acheter 57 arbres au minimum. Exercice 25 - correction On veut utiliser tous les œufs et tous les poissons. Le nombre de lots doit être un diviseur commun à et Cherchons le PGCD de ces deux nombres, en utilisant la méthode d Euclide : 2 668= = = ( ) PGCD ; =. On peut au maximum faire 92 lots, mais aussi un nombre de lots diviseur de 92 : 46, 23, 4, 2 voire 1 paquet(s)

15 Résumons les possibilités dans un tableau : Nombre de lots Œufs par lot Poissons par lot Exercice 26 - correction = 15 : déficient 17 1 : déficient = 21 : abondant 19 1 : déficient = 22 : abondant = 11 : déficient = 14 : déficient 23 1 : déficient = 36 : abondant = 6 : déficient Exercice 27 - correction a. Nous convertissons les longueurs en cm afin de travailler avec des nombres entiers. 5,2m= 52 cm 3,6 m= 36 cm 2,56 m= 256 cm Calculons le PGCD de deux nombres parmi 52, 36 et 256 : nous choisissons 52 et 36 et utilisons la méthode d Euclide : 52 = = = PGCD( 52 ;36) = 4. Il faut aussi diviser que la distance cherchée divise 256. Cherchons maintenant le PGCD de 4 et 256. Nous utilisons la méthode d Euclide : 256 = = = PGCD( 4 ;256) = 8. Chaque carreau aura pour côté 8 cm. b. Calculons le nombre de carreaux en considérant la pièce comme l assemblage de deux rectangles : l un, à gauche, aurait pour dimensions 52 cm et 36 cm. 52 8= 65 et 36 8= = : il faut donc carreaux pour la partie rectangulaire gauche. L autre, à droite, aurait pour dimensions 256 cm et 36 cm = = 1 44 : il faut donc 1 44 carreaux pour la partie rectangulaire droite = : l artisan aura besoin de poser carreaux de 8 cm de côté

16 Exercice 28 - correction a. On veut répartir toutes les serviettes, donc on cherche un diviseur commun à 552 et 782. PGCD 552 ; 782. On veut faire le maximum de paquets, on cherche donc le ( ) PGCD ( 552 ; 782 ) = 46 On fera donc 46 paquets. 782 = = = = b = 12 et = 17 Dans chaque paquet, il y aura 12 serviettes blanches et 17 serviettes bleues. Exercice 29 - correction a. Utilisons la méthode d Euclide : 2 755= = = PGCD( 2 755;9 488) = 593 Pour réduire au maximum une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : = = b. c M= = = la virgule. Mais il est aussi rationnel (le mot «ration» se rapporte au mot «fraction»), puisqu il s écrit comme le rapport de 29 par 16. = 1,812 5 est un nombre décimal, puisqu il possède un nombre fini ( 4 ) de chiffres après Exercice 3 - correction Quelques calculs avant le classement : 2, , = 9 3 1,5 4 = 2 = 1π 31, = + + = = = =, 1 a. entiers : 56 7, 5 1 et b. décimaux non entiers : et 7 1. c. rationnels et non décimaux : 2 3 d. irrationnels : 7 et 1π

17 Exercice 31 - correction A= 7 est un nombre entier. B= 4 999,98 est un nombre décimal non entier. C= 1 est un nombre entier. 2 D= 6, est un nombre rationnel non décimal. 3 Exercice 32 - correction Après avoir remarqué que 542 divise ( = 9), il suffit d utiliser 542 et = car leur somme vaut naturellement et 542 étant un diviseur de 4 336, PGCD ( 542 ; ) = 542. On utilise ici deux propriétés du cours : Si k divise a et b alors k divise a b et a + b. PGCD a ; b = a Si a divise b, ( ) Mais il faut vérifier que d autres couples de nombres ne conviennent pas = 3794 et 2 542= 1 84 sont deux nombres qui sont des multiples de 542 et dont la somme vaut Utilisons la méthode d Euclide : 3794= = PGCD( 3794 ;1 84) = 542, donc 3794 et 1 84 conviennent = 3252 et 3 542= 1626 pourraient convenir, mais 3 252= donc PGCD( 3252 ;1626) = 1626, 3252 et 1626 ne conviennent pas = 2 71 et 4 542= 2168 sont deux nombres qui sont des multiples de 542 et dont la somme vaut Utilisons la méthode d Euclide : 2 71= = PGCD( 2 71 ;2168) = 542, donc 2 71 et 2168 conviennent. Le processus de recherche s arrête là, car = 2168 et 5 542= On retrouve les nombres précédemment étudiés. Conclusion : 542 et 4 336, 3794 et 1 84, 2 71 et 2168 sont les trois couples de nombres entiers dont le PGCD vaut 542 et dont la somme vaut Exercice 33 - correction Le 3 ème jour de l année s obtient en ajoutant 299 jours au 1 er. 299= jours = 42 semaines et 5 jours Le ème 3 jour sera un vendredi

18 Exercice 34 - correction a. n= 8 quotient+ 5 en utilisant la division euclidienne. donc n+ 1= 8 quotient+ 5+ 1= 8 quotient+ 6. Le reste est 6. b. En suivant le même raisonnement, le reste de la division de n+ 4 par 8 est 5+ 4= 9. Mais avec 9, on refait un paquet de 8 et le reste vaut alors 1. Exercice 35 - correction Pour qu un gâteau soit avec 3 décorations, il faut que sa position soit un multiple de 2 (noix), de 3 (fraise), et de 4 (dragées). Si la position est dans la table de 4, elle est dans la table de 2. Ainsi, pour qu un gâteau ait toutes les décorations, il faut qu il soit dans la table de 3 4 = 12. Comptions le nombre de paquets de 12 dans 125 avec une division euclidienne : 125 = Comme on ne peut faire que 1 paquets de 12 complets, il y a 1 nombres divisibles par 12 entre 1 et gâteaux ont les 3 décorations. Pour avoir 1 décoration, il faut avoir : Une noix uniquement, donc avoir une position divisible par 2 mais pas par 3, et pas par 4. De 2 à 125 : = 62 nombres pairs (5 par tranche de 1, et 12 tranches de 1. On ajoute les 2 positions 122 et 124). Parmi ces 62, un sur 3 est dans la table de 3 ( 2, 4, 6, 8, 1, 12...) Pour les 6 premiers, il y en a 6 3 = 2.Les deux derniers nombres pairs sont 122 et 124 qui ne sont pas dans la table de 3. Il reste donc 62 2 = 42 positions paires non multiples de 3 : 2, 4, 8, 1, 14, 16, 2, Cela donne 21 paires de nombres, avec dans chaque paire, l un des deux dans la table de positions sont donc des nombres divisibles par 2, mais pas par 3, ni par gâteaux ont seulement la noix pour décoration. Il est impossible de n avoir qu une dragée, car alors on a aussi la noix. Pour n avoir qu une noix : la position doit être un multiple de 3, mais pas de 2 (donc pas de 4). 125 = , il y a donc 41 positions divisibles par 3 : 3, 6, 9, 12, 15,..., 123 Un sur 2 n est pas divisible par 2, il y a donc 21 nombres divisibles par 3 mais pas par 2 (attention au 123). 21 gâteaux n ont que la fraise = 42 gâteaux ont donc une seule décoration. Pour ne pas avoir de décoration, il ne faut pas être un multiple de 2, ou de 3 (si l on n est pas multiple de 2, on n est pas multiple de 4). Nous avons déjà déterminé 62 nombres pairs, Et 21 nombres multiples de 3 non pairs. Il y a donc = 42 nombres qui ne sont ni multiples de 2, ni de gâteaux n on aucune décoration

19 Reste des gâteaux : = gâteaux ont 2 décorations. Autre méthode : avec tableur