Redressement C22-TD/1 C22-1- Redressement non commandé monophasé Débit sur charge résistive. Débit sur charge R, E

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1 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/1 C22-1- edressement non commandé monophasé Un pont de Graetz monophasé non commandé (= pont de diodes à structure PD2) est alimenté par un transformateur fournissant une tension alternative dont l expression est u(t) = 3 sin(1t). 1 ) Débit sur charge résistive. a charge est une résistance = 1 Ω. - Dessiner l allure de la tension redressée. - Calculer la valeur moyenne de l intensité débitée dans la charge. 2 ) Débit sur charge, E a charge est maintenant constituée par une batterie de fem E = 1 V et de résistance interne négligeable en série avec une résistance r = 2 Ω. - Déterminer les instants de mise en conduction des diodes. - Dessiner (sur le graphique tracé au 1 ) l allure de la tension u c aux bornes de la charge. - Calculer la valeur moyenne de l intensité i c parcourant la charge. - a batterie a une capacité de 2 H. Calculer la durée d une charge complète. C22-2- edressement triphasé sur charge très inductive On considère un montage P3 (en régime triphasé équilibré direct, f = 5 Hz, V eff = 24 V entre phase et neutre). e courant dans la charge est ininterrompu et parfaitement lissé, c'est-à-dire que i c = I = constante. V 1 V 2 V 3 D1 D2 D3 i c u c 1) Tracer la courbe u c (t). 2) Etablir la relation donnant la valeur moyenne de la tension redressée, notée U, en fonction de V eff..n. : calculer numériquement U. 3) Tracer les courbes des courants i D1 (t), i D2 (t), i D3 (t). Calculer leur valeur moyenne et leur valeur efficace en fonction de I (formule littérale). 4) Calculer le facteur de puissance de ce montage au secondaire du transformateur. 5) On remplace les diodes par des thyristors. Pour des angles d'amorçage θ de /6 et /2 tracer u c (t). 6) Etablir la relation donnant la valeur moyenne de la tension redressée, notée U c, en fonction de V eff et θ..n. : calculer numériquement U c. 7) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace des courants i Th1 (t), i Th2 (t), i Th3 (t) en fonction de I. Ces valeurs dépendent-elles de θ? 8) Calculer le facteur de puissance au secondaire du transformateur en fonction de θ. Conclusion? On donne : cos(a + b) = cosa cosb sina sinb cos(a b) = cosa cosb + sina sinb sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a b) = sina cosb sinb cosa

2 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/2 C22-3- edressement monoalternance sur charge inductive (montage P1) 1- Décharge d'un circuit inductif par une diode 'interrupteur K est fermé depuis longtemps. l'instant t =, on ouvre K. Ecrire l'équation différentielle du courant traversant la branche pour t. ésoudre cette équation. N : = 3 Ω; =, 1 H ; E = 22 2 V E K D 1 2- égime harmonique d'un récepteur inductif Soit v(t) = V sinωt. Exprimer en fonction de V, et. N : V = 22 2 V ; f = 5 Hz v(t) 3- égime transitoire d'un récepteur inductif alimenté par une tension sinusoidale 3-1 Etablir l'équation différentielle du courant traversant la branche. 3-2 e circuit est au repos à l'instant initial. En s'aidant des résultats des 1 et 2 résoudre cette équation. Donner l'expression de i en fonction de t. N : mêmes valeurs qu'aux 1 et eprésenter les tensions v (t) et sur 6 périodes. Montrer qu'à l'intersection de ces deux courbes le graphe de présente une tangente horizontale. v(t) K 4- limentation d'un récepteur inductif à travers une diode On insère une diode D 2 supposée idéale. éexaminer l'étude précédente en indiquant les modifications apportées par D 2. On note v (t) la tension aux bornes du circuit. eprésenter (choisir des échelles convenables) : a) la tension et ses composantes transistoire et harmonique sur une période de v(t). quel instant le courant s' annule-t-il? b) les tensions v (t) et sur 6 périodes. Conclusion. 5- Circuit "roue libre" (diode de récupération) On insère la diode D 1 en parallèle sur le circuit. Mêmes questions. Conclusion. v(t) v(t) K K D 2 D 2 D 1

3 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/3 EPONSES C22-1- edressement non commandé monophasé 1 ) tension redressée : u c (t) = u(t) D 1 D 2 u(t) u c D 1 D 2 /2 3/2 2 D 1,D 2 D 2,D 1 e courant redressé a la même allure que la tension redressée, son amplitude crête est : I max = U max = 3 1 = 3 Donc : I = 1 I max sin x.dx = I max 2I [ cos x] = max 2 ) es diodes ne conduisent que si u(t) > E : 1,91 D 1 D 2 u(t) u c r D 1 D 2 E θ1 /2 θ2 3/2 2 D 1,D 2 D 2,D 1 a) Instants de mise en conduction des diodes D 1 et D' 2 : on calcule tout d'abord θ 1 : u(t) = E 3sin θ 1 =1 sin θ 1 = 1 3,33 θ 1 = arcsin,33 19,5 Par symétrie, l'extinction de ces diodes a lieu pour : θ 2 = 18 θ 1 16,5 Sachant que u(t) = 3 sin(1t), la fréquence de la source est f = 5 Hz et sa période T = 2 ms. a période du signal redressé est donc égale à 1 ms. D'où : t 1 =1. θ ,8 ms ; t 2 =1. θ 2 8,92 ms 18 b) Voir figure ci-dessus c) I max = U max E 3 1 = =1 r 2 Donc : I = 1 θ 2 θ 1 I max sin x.dx d) Q = I.t t = 2 6 = I max 33,3 heures θ [ cos x] 2 θ1 = I max ( cosθ 2 + cosθ 1 ) 6

4 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/4 C22-2- edressement triphasé sur charge très inductive 1 ) Tension redressée d'ordre 3 (3 arcs de sinusoïde par période) V eff 2 u c V eff 2 u c 2/3 /3 2/3 4/3 5/3 2 /6 5/6 x = ωt I D1 I D2 I D3 /3 2/3 4/3 5/3 2 2 ) On effectue ce calcul sur un arc de sinusoïde, de période 2/3 : 2 sin x.dx = V eff 2 3 [ 2 cos x 5 /6 ] /6 = Veff 2 3 cos cos 6 U = /6 V eff /6 Sachant que cos 5 6 = cos = cos, il vient : 6 6 U = V eff 2 3 cos = 24 2., V 6 3 ) I D = 2 3 I 2 = I 3 ; I Deff = 2 3 I 2 2 = I 3 4 ) a puissance active est la puissance consommée par la charge (tension U et courant I continus). a puissance apparente est égale à trois fois la puissance apparente dans un enroulement, où circule un courant identique au courant traversant une diode : F = P S = U.I V eff = 3V eff.i Deff 2 3 cos 6 I = 6 I cos 6,67 3V eff 3 a faible valeur de ce facteur de puissance limite l'intérêt du montage P3 : on lui préfère en général le pont de Graëtz (PD3). 5 ) 'angle de déclenchement θ des thyristors est compté à partir de l'angle de commutation naturelle (commutation des diodes). Voir fig. ci-dessous. 6 ) Calcul identique au 2, mais avec décalage d'un angle θ :

5 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/5 U c = 1 θ+5/ 6 V 2 eff 2 sin x.dx θ+/ 6 3 U c = V eff 2 3 [ 2 cos x θ+5/ 6 ] θ+/ 6 = V eff cos θ cos θ + 6 Sachant que cos θ = cos θ 6 + = cos θ 6 : U c = V eff cos θ 6 + cos θ + 6 Sachant que cos(a b) + cos(a + b) = 2 cosa cosb : U c = V eff 2 3 cos 6 cosθ U c =U cosθ Pour θ = /6, on trouve : U c 242 V ; pour θ = /2, U c =. 7 ) Valeurs identiques au 3 ), les graphes des courants étant simplement translatés d'un angle θ (voir fig.). θ = /6 θ = /2 angle de commutation naturelle /3 2/3 4/3 5/3 2 /3 2/3 4/3 5/3 2 I T1 I T1 I T2 I T2 I T3 /3 2/3 4/3 5/3 2 I T3 /3 2/3 4/3 5/3 2 8 ) Principe de calcul identique au 4 ) : F = P S = U c.i V eff = 3V eff.i Deff 2 3 cos 6 cosθ.i 3V eff 3 e facteur de puissance diminue avec θ! I = 6 cos 6 cosθ

6 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/6 C22-3- edressement monoalternance sur charge inductive (montage P1) 1- Décharge d'un circuit inductif par une diode 'interrupteur K étant fermé depuis longtemps, il circule entre et un courant continu correspondant à un régime permanent établi de façon stable. a diode D l est en inverse : elle est bloquée, n'est traversée par aucun courant et ne joue aucun rôle. Par application de la loi d'ohm, la valeur du courant est I = E/ car la bobine supposée idéale équivaut à un simple fil de cuivre, sans résistance. l'instant t =, on ouvre K. a bobine étant précédemment parcourue par I a emmagasiné de l'énergie, qu'elle va devoir restituer. Une bobine traversée par un courant ne peut voir celui-ci subir de discontinuités brusques. Dans le cas contraire, la tension à ses bornes di deviendrait infinie (ce qui, en pratique, est source dt d'arcs électriques) a bobine se décharge donc à travers D l en jouant le rôle d'un générateur qui délivre un courant de sens identique à celui qu'avait I o à t < (ce qui explique que D l soit maintenant conductrice: bobine (en convention récepteur) u = di dt D 1 di dt décharge de la bobine : i di dt < a tension entre et étant nulle ( D l conductrice supposée parfaite ), la relation à laquelle obéit est, d'après la loi des mailles : di dt + i = vec ( condition initiale ) : à t =, i() = I = E/ Cette équation a pour solution (cf cours): i = E e t/τ avec τ = / Numériquement : τ =, 33s ; I = 13,7

7 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/7 2- égime harmonique d'un récepteur inductif En utilisant les règles de calcul sur les nombres complexes appliqués à l'électricité en alternatif, on trouve : I = V Z avec : V = [V ;] = [22 2 V ; ] Z = ω 2 = 31,6 Ω Z = + jω rg(z) = ϕ Z = arctan ω =1,476 rad (84,5 ) e courant s'écoulant en régime harmonique est donc : V = sin ( ωt ϕ ω 2 Z ) Numériquement: = 9,85sin 314t 1,476 ( ) 3- égime transitoire d'un récepteur inductif alimenté par une tension sinusoidale 3-1 t =, la tension v(t) = Vsinωt devient positive et croit. 'équation différentielle décrivant le courant est : di + i = V sin ωt dt vec par hypothèse (le circuit est au repos à l'instant initial) : à t =, i() = 3-2 ésolution de l'équation différentielle : - Solution de l'équation générale sans second membre (cf 1) régime transitoire : di dt + i = i t/τ t (t) = ke vec : k constante d'intégration à déterminer. - Solution particulière de l'équation complète (cf 2) régime permanent : V i p (t) = sin ( ωt ϕ ω 2 Z ) - Solution complète : = i t (t) + i p (t ) = ke t/τ V + sin ( ωt ϕ ω 2 Z ) - pplication de la condition initiale pour déterminer la constante d'intégration k : = ke /τ V + sin ω ϕ V ( ω 2 Z ) k = sinϕ ω 2 Z - Solution complète sous sa forme définitive : V = ω 2 - pplication numérique: sin ϕ Z.e t/τ ( + sin ( ωt ϕz )) ( ( )) = 9,85,955.e t /,33 + sin 314t 1,476 ( t en s; i en )

8 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/8 3-3 eprésentation graphique e courant est la somme de ses deux composantes, transitoire et permanente. On représente ci-dessous les tensions i, i t et i p, ainsi que la tension v/1. On constate qu'au bout de quelques périodes i p (t). On note au départ une importante surintensité : i max 5 V, soit i max 17 (au lieu de 9,85 par la suite) i t i i p v (échelle 1/1e) 4- limentation d'un récepteur inductif à travers une diode a présence de D 2 empêche le courant de devenir négatif. orsque le courant s'annule, D 2 se bloque puisqu'elle ne peut conduire un courant inverse. e courant reste donc nul jusqu'à la prochaine alternance, ainsi que la tension v aux bornes du circuit. a) Graphiquement ("zoom" ci-dessous), on constate que ce courant s'annule pour ωt 5,3 rad 1,7 soit t 17 ms : i t i i p

9 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/9 b) chaque période, le même phénomène se reproduit : on repart à zéro à chaque début d'alternance. e courant ne peut donc jamais atteindre des valeurs importantes! 5- Circuit "roue libre" (diode de récupération) e fonctionnement de ce circuit est identique au précédent lorsque v(t) >. e courant circule en effet dans le sens passant de D 2, tandis que D l est connectée en inverse. l'instant t = T/2, le courant (non nul) circule toujours dans le même sens mais la tension v(t) s'inverse : la diode D l devient conductrice, ce qui entraîne le blocage de D 2 qui est alors connectée en inverse. e courant circule donc dans,, et D l comme au 1 : la bobine se décharge en "roue libre" jusqu'à la fin de la demi-période, avant que v(t) ne devienne à nouveau positive. e cycle alors recommence. a) eprésentation graphique ("zoom" ci-dessous) de la première période : - De à t = T/2 : = 9,85(,955.e t /,33 + sin( 314t 1,476) ) i(t/2) 17 ( i 51 V) - De t = T/2 à T : i = 17e t /τ (décharge exponentielle) i(t) 12,7 ( i 38 V) : ceci est la nouvelle valeur de la condition initiale de l'équation différentielle appliquée à la deuxième période.

10 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/1 charge de décharge de v (échelle 1/1e) i b) u bout d'un temps suffisamment long (théoriquement infini), le courant en fin de période est égal au courant en début de période : on atteint le régime permanent. a résolution complète de l'équation différentielle en régime permanent est compliquée. Mais on peut raisonner plus simplement en valeur moyenne. Sachant que : < t < T di 2 dt + i = v (t) v (t) = V sin ωt T 2 < t < T di dt + i = v (t) v (t) = Il vient, en moyenne : T 1 di T dt + i dt = 1 T T v (t )dt Soit, après changement de variable t ωt = x : 2 1 di 2 dx + i dx = 1 V sin xdx di En appliquant les règles de calcul habituelles : i(2) i() idt par def. du rég. permanent Soit : =<i> par def. de la val. moyenne 2 idx = 1 2 = V [ 2 cos x ] V sin xdx < i > = V 1V, soit < i > 33 Conclusion : contrairement au cas précédent, le courant peut atteindre cette fois une valeur "normale", qui ne dépend que de la valeur moyenne de la tension v redressée aux bornes du circuit et de la résistance.

11 G. Pinson - Physique ppliquée edressement C22-TD/11 v <i > i