b) on calcule = = 0,03 0,2 = 0,15 La probabilité qu un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est 0,15.

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1 Amérique du Nord Juin 2016 Exercice I Partie A 1 arbre pondéré 0,28 0,52 G 1 0 0,75 0,25 issues 0,2 D Données : p(g) =0,28 ; p(c) = 0,52 =1 et =0,75 Donnée déduite : =0 =0,25 Donnée supplémentaire : =0,7 2 = =0,52 0,75 = 0,39 3 a) est la réunion de, qui sont deux à deux incompatibles Donc =++ = = 0,28 = = 0,7 0,28 0,39 =0,03 b) on calcule = = 0,03 0,2 = 0,15 La probabilité qu un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes est 0,15. Partie B 1 suit la loi normale =120! = 7,5 120 < <130 0,409 2 % > 138 =0,5 %120 < 138 0,008 La probabilité qu un automobiliste soit sanctionné est 0,008 Exercice 2 (5 points) Candidats de la série ES non spécialité et candidats de la série L Une société propose un service d abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile. Le 1er janvier 2016, on compte abonnés.

2 À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d un mois sur l autre, 8% des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, nouvelles personnes s abonnent. 1. Calculer le nombre d abonnés à la date du 1er février (1 8 )+8000 = Pour la suite de l exercice, on modélise cette situation par une suite numérique +, où +, représente le nombre de milliers d abonnés au bout de n mois après le 1er janvier La suite +, est donc définie par : + - = 4 et, pour tout entier naturel n, +,. = 0,92+, On considère l algorithme suivant : Variables : N est un nombre entier naturel U est un nombre réel Traitement : U prend la valeur 4 N prend la valeur 0 Tant que U < 40 U prend la valeur 0,92 U +8 N prend la valeur N +1 Fin Tant que Sortie : Afficher N a. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de U seront arrondies au dixième. Valeur de , Valeur de N Condition 0 <40 Vraie Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux b. Valeur affichée en sortie : 6 Interprétation : selon ce modèle, c est au bout de 6 mois, en juillet, que le nombre d abonnés dépassera On considère la suite 1, définie pour tout entier naturel n par 1, = +, 100 a. Montrer que la suite 1, est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier terme 1 -. Pour tout 2 de 1,. = +,. 100 = 0,92+, = 0,92 +, 92 = 0,92(+, ) = 0,92+, 100 = 0,92 1, On en déduit que la suite 1, est géométrique de raison 3 = 0,92 et de 1 er terme 1 - = = 96 b. Donner l expression de 1, en fonction de 2. La suite 1, étant géométrique 1, =1-3, 1, = 96 0,92, c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a +, = ,92, on a 1, = +, 100 donc +, = 1, +100 d où +, = 96 0,92, En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre d abonnés devient supérieur à

3 On résout +, > ,92, +100 > ,92, > 30 0,92, < ,92, < ln0,92, < ln0, ln0,92 < ln0, > ln0,3125 ln0,92 De plus 89-,:;< 13,94 89-,=; Le plus petit entier solution est 14 On en déduit que c est au bout de 14 mois, en février 2017 que le nombre d abonnés dépassera Exercice 3 1. On choisit au hasard un nombre réel dans l intervalle [10 ; 50]. La probabilité que ce nombre appartienne à l intervalle [15 ; 20] est : a. < <- b. >? c. d. la variable aléatoire N désignant le nombre obtenu suit la loi uniforme sur [10;50] ( choix au hasard) 15 F 20 = = 5 40 =1 8 Réponse b 2. Le prix d un produit est passé de 200 à 100. Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d environ : a. 50% b. 25% c. 29% d. 71% on teste les réponses 200 (1 50 ; 100 ) = ,25 ; = 112, ,29 ; = 100, Réponse c 3. le signe de H donne les variations de toutes ses primitives I HI 0 + Toutes les primitives sont croissantes sur [2 ;18], donc aussi sur [10 ;12] Réponse d 4 L intervalle de confiance donné a une amplitude de 0,1 On sait que l amplitude est ; pour un échantillon de taille 2, On teste les réponses , =0,1 Réponse b > B

4 Exercice 4 (6 points) Commun à tous les candidats Partie A : Étude d une fonction On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; 1,5E par HI9I ; 12lnI10 La courbe représentative de f est donnée ci-dessous : 1. a. Dérivée : Pour I E0 ; 1,5E H L I18I12lnI(2 1 I )9I; 0 18I36IlnI18I 36IlnI b. Étudier le signe de f (x) sur l intervalle E0 ; 1,5E. I 0 1 1,5 36I 0 lni 0 + H I 0 c. Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l intervalle E0 ; 1,5E. On en déduit que la fonction H est croissante sur E0 ;1E et décroissante sur C1 ;1,5E 2. On admet que H LL I36lnI36 où f désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l intervalle E0 ; 1,5E. Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d inflexion dont l abscisse est N On étudie le signe de H I 36lnI360 36lnI 36 lni1 I N 36lnI36&0 36lnI &36 lni"1 I" N I 0 N 1,5 H I 0 On en déduit : H I s annule et change de signe en N, donc le point OP N ;H N Q est un point d inflexion de R

5 3. Soit F la fonction définie sur l intervalle ]0 ; 1,5] par SI = 10I+5I : 6I : lni a. Montrer que F est une primitive de la fonction f sur ]0 ; 1,5]. Pour tout I ] 0 ;1,5] S L I = 10+15I ; 18I ; lni+ 1 I 6I: =10+15I ; 18I ; lni 6I ; =10+9I ; 18I ; lni =10+9I ; 1 2lnI =HI Ainsi la fonction S est une primitive de H sur ]0 ;1,5] b. Calculer T HIUI V HIUI =S1,5 S1 On donnera le résultat arrondi au centième. =15+5 1,5 : 6 1,5 : ln1, =16,875 20,25ln1,5 8,67 Partie B : Application économique Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Une société est cotée en bourse depuis un an et demi. Le prix de l action depuis un an et demi est modélisé par la fonction f définie dans la partie A, où x représente le nombre d années écoulées depuis l introduction en bourse et f (x) représente le prix de l action, exprimé en euros. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Proposition 1 : «Sur la période des six derniers mois, l action a perdu plus d un quart de sa valeur.» H1 = 19 H1,5 13,829 13, ,2 19 L action a perdu 27% De sa valeur donc plus du quart. Affirmation vraie Proposition 2 : «Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l action a été inférieure à 17.» W = 1 1,5 1 V HIUI Affirmation fausse = 1 8,67 17,33 >17 0,5