FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION

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1 Chapitre 17 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/ Recherche d extremums locaux sur un ouvert Condition nécessaire du premier ordre Conditions du second ordre Cas n = Recherche d extremums globaux et applications Sur un ouvert Cas général Application aux valeurs propres d un endomorphisme symétrique Position du graphe par rapport à l hyperplan tangent Recherche d extremums sous contrainte Notion d extremum sous contrainte Points critiques sous contrainte linéaire Description de H

2 2 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Dans tout le chapitre, n désigne un entier non nul, A une partie non vide de R n, U un ouvert non vide de R n et f : A R une fonction. Dans les situations théoriques où f est définie sur une partie ouverte, on note plutôt U son domaine de définition. La théorie de l optimisation s intéresse aux extremums des fonctions d une ou plusieurs variables. Définition 0.1 Soit A A. On dit que f présente en A : (i) un maximum global (ou absolu) si : X A, f (X) f (A). (ii) un maximum local (ou relatif) s il existe r > 0 tel que : X A B(A, r), f (X) f (A). Remarques 0.2 On dispose bien entendu des définitions correspondantes de minimul global et local. La notion d extremum englobe celle de maximum et de minimum. Si f admet en A A un extremum global, alors elle admet en ce point un extremum local. La fonction f présente en A un extremum si, et seulement si, l expression f (X) f (A) garde un signe constant, éventuellement au voisinage de A. C est souvent ainsi qu on établira l existence d un extremum, en effectuant le changement de variable X = A + H lorsqu on travaille au voisinage de A. Lorsque les inégalités de la définition sont strictes pour X A, on parle d extremum strict en A. 1. Recherche d extremums locaux sur un ouvert 1.1 Condition nécessaire du premier ordre Théorème 1.1 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Si f admet un extremum local en un point A U, alors f (A) = 0. La réciproque est fausse. Exemple 1.2 Déterminer les points critiques puis les extremums locaux de la fonction S agit-il d extremums globaux? f : (x, y) R 2 3xy x 3 y 3. Définition 1.3 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. On appelle point critique de f tout point A U tel que f (A) = 0. Remarques 1.4 Le caractère ouvert de U dans le théorème 1.1 est essentiel. En effet, la fonction f : X X 2, de classe C 1 sur R n, admet sur la boule fermée B (0, r) un maximum qu elle atteint en tout point A de la sphère de centre 0 et de rayon r, alors que son gradient f (A) = 2A n y est pas nul! Le théorème 1.1 peut donc être énoncé ainsi : pour une fonction de classe C 1 sur un ouvert, les points critiques sont les seuls extremum locaux éventuels. Proposition 1.5 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Si A U est point critique de f, alors toutes les dérivées directionnelles de f en A sont nulles : pour tout V R n \ {0}, D V f (A) = Conditions du second ordre Lemme 1.6 On suppose f : U R de classe C 2 sur un ouvert U.

3 Année 2013/2014 Fonctions de plusieurs variables : optimisation 3 Si A est point critique de f, alors f (A + H) f (A) = 1 2 q A(H) + o( H 2 ), H 0 où q A désigne la forme quadratique associée à la matrice hessienne 2 f (A). En s appuyant sur ce résultat, on va faire le lien entre la présence d un extremum local pour f au point A et le signe de q A (H) lorsque H 0. Attention cependant, ce lien n est pas aussi immédiat que pour les fonctions d une variable : f (A + H) f (A) n est pas toujours du signe de q A (H) lorsque H 0. Remarque 1.7 Les développements limités entretiennent avec les équivalents (hors-programme) des liens relâchés pour les fonctions de n 2 variables. Par exemple, la fonction f : (x, y) x 2 y 2 + y 3 présente le développement limité f (x, y) = x 2 y 2 + o ( (x, y) 2), (x, y) (0, 0) mais on ne peut pas en déduire que f (x, y) x 2 y 2 lorsque (x, y) (0, 0). En effet, on observe par exemple que f (t + t 2, t) = (t + t 2 ) 2 t 2 + t 3 = 3t 3 + t 4 3t 3, t 0 n est pas équivalent à (t + t 2 ) 2 t 2 2t 3 lorsque t 0. Le programme énonce une condition suffisante de présence d un extremum local. Théorème 1.8 On suppose que f est de classe C 2 sur un ouvert U. Soient A U un point critique de f et q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A). Sous les conditions équivalentes suivantes : (i) pour tout H 0, q A (H) < 0 (resp. q A (H) > 0) ; (ii) les valeurs propres de la matrice hessienne 2 f (A) sont toutes strictement négatives (resp. strictement positives), la fonction f présente en A un maximum local strict (resp. un minimum local strict). La réciproque est fausse. Exemple 1.9 Extremums locaux de la fonction f : (x, y) R 2 x 4 + y 2. Le résultat ci-dessous, à la limite du programme, fournit une condition nécessaire. Théorème 1.10 On suppose que f est de classe C 2 sur un ouvert U. Soient A U un point critique de f et q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A). Si f présente en A un maximum local (resp. un minimum local), alors les conditions équivalentes suivantes sont satisfaites : (i) pour tout H 0, q A (H) 0 (resp. q A (H) 0) ; (ii) les valeurs propres de la matrice hessienne 2 f (A) sont toutes négatives ou nulles (resp. positives ou nulles). La réciproque est fausse. Exemple 1.11 Extremums locaux de la fonction f : (x, y) R 2 x 3 + y 2. Corollaire 1.12 On suppose que f est de classe C 2 sur un ouvert U. Soient A U un point critique de f et q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A). Sous les conditions équivalentes suivantes : (i) il existe H 1, H 2 R n tels que q A (H 1 ) > 0 et q A (H 2 ) < 0 ; (ii) la matrice hessienne 2 f (A) admet une valeur propre strictement positive et une autre strictement négative, la fonction f ne présente pas en A d extremum local.

4 4 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Exemple 1.13 Le point critique (0, 0, 0) est-il un extremum local pour la fonction f : (x, y, z) R 3 xy + yz + zx xyz? 1.3 Cas n = 2 Dans le cas d une fonction de n = 2 variables, on reformule les énoncés précédents en utilisant les notations de Monge. Théorème 1.14 On suppose que f : U R est de classe C 2 sur un ouvert U de R 2. Soient A U un point critique de f et ( ) r s 2 f (A) = s t la matrice hessienne de f en A. (i) Si rt s 2 > 0, alors f admet au point A un extremum local : un maximum si r < 0 et un minimum si r > 0. (ii) Si rt s 2 < 0, alors la fonction f n admet pas d extremum local en A. (iii) Le cas rt s 2 = 0 est indéterminé. Remarque 1.15 Dans le cas où les deux valeurs propres de la hessienne sont non nulles de signes contraires, on dit qu on a un point selle ou que la fonction présente un col. Exemples 1.16 (i) La fonction f : (x, y) x 2 y 2, représentée ci-dessous, présente un col en (0, 0). z y x (ii) Étudier les extremums locaux de la fonction f : (x, y) R 2 3xy x 3 y 3. (iii) Les exemples 1.9 et 1.11 et montrent que le cas rt s 2 = 0 est indéterminé. 2. Recherche d extremums globaux et applications 2.1 Sur un ouvert La méthode consiste à rechercher d abord les extremums locaux en utilisant les techniques développées dans le paragraphe précédent, puis à vérifier s il s agit d extremums globaux. Il est des situations où des majorations/minorations simples peuvent suffire. On peut également utiliser le résultat suivant. Théorème 2.1 On suppose f : U R de classe C 2 sur un ouvert convexe U. Si la forme quadratique q A associée à la hessienne 2 f (A) est négative (resp. positive) en tout point A U, alors tout point critique de f en est un maximum global (resp. minimum global).

5 Année 2013/2014 Fonctions de plusieurs variables : optimisation 5 Exemple 2.2 Déterminer les extremums globaux de la fonction f : (x, y) R + R + x 2 + y x + y. 2.2 Cas général On a admis dans un précédent chapitre le résultat théorique suivant, qui donne l existence d extremums globaux sous certaines hypothèses sur le domaine de définition. Théorème 2.3 Toute fonction f : K R continue sur une partie K fermée, bornée et non vide de R n est bornée et atteint ses bornes (donc admet un minimum et un maximum). Remarque 2.4 On peut appliquer le résultat précédent à la restriction g d une fonction f : A R à une partie K fermée, bornée et non vide incluse dans A. Mais attention, les extremums globaux de g ne sont pas toujours des extremums globaux de f! La même remarque vaut pour un prolongement de f à une partie fermée, bornée et non vide contenant A. Pour étudier les extremums globaux d une fonction f : A R, on commence donc si possible par justifier l existence des maximum et minimum globaux en se ramenant en situation d appliquer le théorème précédent (ou on justifie qu ils n existent pas et le problème est réglé). Il s agit ensuite de déterminer les points en lesquels ces extremums globaux sont atteints. On introduit pour cela l intérieur U de A, qui est le plus grand ouvert (au sens de l inclusion) inclus dans A (on peut le définir proprement comme la réunion des ouverts inclus dans A). Les extremums globaux de f sont alors atteints sur l intérieur de A et/ou sur son complémentaire dans A, lui-même inclus dans ce qu on appelle le bord ou la frontière de A (l ensemble des points adhérents mais non intérieurs à A). Sur l intérieur de A, les extremums sont à rechercher parmi les points critiques. On recherche donc ces points critiques et on calcule la valeur de f en ces points (il n est pas nécessaire de vérifier s il s agit d extremums locaux!). On observera en pratique que le bord de A peut en général être paramétré avec une variable de moins que A. On est donc face au même problème (recherche d extremum) que l on réduit de la même façon jusqu à arriver à un bord paramétré par une seule variable ; il est alors possible d étudier les variations de f sur ce bord et donc d en déterminer les extremums. On obtient ainsi les seuls extremums éventuels. L existence des extremums globaux étant acquise, il ne reste alors qu à comparer la valeur de f aux points précédemment obtenus. Exemple 2.5 Minimum et maximum globaux de la fonction sur l ensemble f : (x, y) R 2 x 2 + y 2 xy + x + y A = {(x, y) R 2 : x + y 3, x 0, y 0}. 2.3 Application aux valeurs propres d un endomorphisme symétrique Étant donnée une matrice A M n (R) symétrique, l étude des extremums globaux de la fonction ϕ : X R n t XAX \ {0} t XX permet de démontrer le résulat suivant, à la base du théorème de diagonalisation des matrices symétriques réelles. Théorème 2.6 Toute matrice symétrique réelle admet au moins une valeur propre (réelle).

6 6 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles 2.4 Position du graphe par rapport à l hyperplan tangent On suppose la fonction f : U R de classe C 2 sur un ouvert U. Dans U R R n+1, le graphe de f a pour équation y = f (x 1,..., x n ) et son hyperplan tangent au point A : y = f (A) + n f (a)(x j a j ). x j C est donc le signe de l expression j=1 f (x 1,..., x n ) f (A) n j=1 f x j (A)(x j a j ) qui donne la position du graphe par rapport à l hyperplan tangent. L expression précédente est égale à g(x) g(a) si l on définit la fonction g : X U f (X) n f (A)x j = f (X) f (A), X. x j j=1 Il s agit donc de savoir si la fonction g présente un extremum au point A. Après avoir observé que g présente en A un point critique et que 2 g = 2 f, on pourra donc s appuyer sur les résultats précédents, tant locaux que globaux. Proposition 2.7 Si l une des conditions équivalentes suivantes est satisfaite : (i) pour tout H 0, q A (H) > 0 (resp. q A (H) < 0) ; (ii) les valeurs propres de la matrice hessienne 2 f (A) sont toutes strictement positives (resp. strictement négatives), alors le graphe de f est localement au-dessus (resp. en-dessous) de son hyperplan tangent en A. Exemple 2.8 Déterminer une équation de l hyperplan tangent au graphe de la fonction f : (x, y) R 2 x 3 y 3 + 3xy + x + y au point A = ( 1, 1) puis étudier les positions relatives du graphe et de l hypeprlan tangent au voisinage de A. Remarque 2.9 On notera en particulier que si la matrice symétrique 2 f (A) est positive en tout point d un ouvert convexe, alors le graphe de f est au-dessus de chacun de ses hyperplans tangents. 3. Recherche d extremums sous contrainte Dans tout le paragraphe, on considère une fonction f : A R. 3.1 Notion d extremum sous contrainte Définition 3.1 Soient C une partie de R n telle que A C et A A C. On dit que f présente un extremum sous la contrainte C au point A si sa restriction f A C admet un extremum au point A. Lorsqu il est possible de paramétrer la contrainte C avec moins de variable que A, l étude des extremums sous contrainte se ramène à un problème d extremum classique. Exemple 3.2 Extremums de la fonction f : (x, y) R 2 xe x y sous la contrainte C = {(x, y) R 2 : y = x 2 }. La suite du cours est consacrée aux problèmes d extremums sous contrainte linéaire.

7 Année 2013/2014 Fonctions de plusieurs variables : optimisation 7 Définition 3.3 Une contrainte C R n est dite linéaire si elle s écrit comme l ensemble des solutions d un système linéaire donné a 1,1 x a 1,n x n = b 1 C :. (3.1) a p,1 x a p,n x n = b p pour des réels a i,j, 1 i p, 1 j n, et b i, 1 i p. Remarques 3.4 En introduisant, pour tout i 1, p, la fonction g i : (x 1,..., x n ) R n a i,1 x a i,n x n, la contrainte C est l intersection des hyperplans affines d équations g i (X) = b i, 1 i p. Si H = i Ker g i désigne l ensemble des solutions du système homogène associé et si X 0 est une solution particulière du système complet, i.e. un élément particulier de C, alors C est l ensemble des éléments de la forme X = X 0 + H avec H H. Réciproquement, on peut démontrer que tout sous-espace affine de R n (i.e. tout translaté d un sousespace vectoriel) est une contrainte (admissible pour peu qu il rencontre A). 3.2 Points critiques sous contrainte linéaire On considère une contrainte linéaire ; on conserve les notations introduites à la fin de la section précédente. Proposition-Définition 3.5 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Soit A U C. Si f admet en A un extremum local sous la contrainte C, alors V H, D V f (A) = 0, ce qui signifie que f (A) H. On dit dans ces conditions que A est un point critique de f sous la contrainte C. La réciproque est fausse. Remarque 3.6 La condition énoncée étant seulement nécessaire, une étude supplémentaire au voisinage de chaque point critique sous contrainte doit être effectuée pour savoir s il s agit d un extremum sous contrainte ; on pourra pour cela adapter les résultats des deux premiers paragraphes (aucun résultat ne figure au programme). Ainsi, pour une fonction f de classe C 2, en notant q A la forme quadratique associée à la hessienne 2 f (A), on peut établir les résultats suivants. Si q A (H) < 0 (resp. q A (H) > 0) pour tout H H \ {0}, alors f présente en A un maximum local (resp. un minimum local) sous la contrainte C d après la formule de Taylor-Young. Si U est convexe et q A (H) 0 (resp. q A (H) 0) pour tout A U et tout H H, le théorème de Taylor- Lagrange montre que f présente un maximum global (resp. un minimum global) sous la contrainte C en tout point critique. Exemple 3.7 Extremums de la fonction sous la contrainte linéaire x + y + z = 1. f : (x, y, z) R 3 xy + yz + zx 3.3 Description de H On reprend à nouveau les notations introduites à la fin de la première section pour une contrainte linéaire. Les fonctions g i étant affines, leur gradient est constant. Proposition 3.8 On a H = Vect( g 1,..., g p ).

8 8 Fonctions de plusieurs variables : optimisation ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Corollaire 3.9 On suppose f : U R de classe C 1 sur un ouvert U. Soit A U C. Si f admet en A un extremum sous la contrainte C, alors il existe des réels λ 1,..., λ p tels que p f (A) = λ i g i. La réciproque est fausse. Remarques 3.10 Lorsque la famille (g 1,..., g p ) est libre, les réels λ 1,..., λ p sont uniques ; on les appelle alors multiplicateurs de Lagrange. La paramétrisation précédente est intéressante dans des situations théoriques et peut en pratique faciliter les calculs. Exemple 3.11 Déterminer les extremums de la fonction i=1 f : (x, y, z, t) R 4 x 2 + y 2 + z 2 + t 2 sous la contrainte { x + y + z t = 3 2x y + z + t = 6.