Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet

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1 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Exercice 1 : fonction carré (3 points) On considère trois carrés de côtés respectifs x ; 2x et 3x. 1) Pour chacun d un, exprimer en fonction de x, le périmètre puis l aire. 2) Parmi les fonctions trouvées, y a-t-il des fonctions linéaires? Exercice 2 : Variations d une fonction liée à la fonction inverse (6 points) On considère la fonction f définie par f(x) = - 3 x. 1) Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2) Etablir (en le justifiant) les variations de f. 3) En déduire le tableau des variations de f. 4) Résoudre l équation f(x) = 9. 5) Résoudre l inéquation f(x) < -12. Exercice 3 : Etude d une fonction polynôme de degré 2 (1 points) On considère la fonction g définie par g(x) = -2(x + 1)² + 8 1) Déterminer la forme développée de g(x). 2) Etablir le tableau des variations de g à partir d un théorème du cours. Justifier les variations de la fonction g à partir d un enchainement de fonctions de base connues. 3) Utiliser la forme la mieux adaptée de g(x) pour résoudre l équation g(x) = 4) En déduire la forme factorisée de g(x). 5) Comment se nomme la courbe représentant la fonction g? On nomme C g la courbe représentant la fonction g dans un repère orthogonal. Déterminer les coordonnées de l extremum de la fonction g ainsi que les points d intersection de la courbe C g avec les axes du repère. S aider de ces points pour donner l allure de la courbe C g. Exercice 4 : Ensemble de définition d une fonction homographique (1 point) On considère la fonction h définie par h(x) = 2x + 1-3x + 5. Déterminer l ensemble de définition de la fonction h. 1

2 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Exercice 1 : fonction carré (3 points) Soit f(x) = x². Calculer f(a + b) puis f(a) + f(b) dans chacun des cas. 1) a = 1 et b = 2 2) a = 1 et b = -1 3) a = 1 3 et b = 1 5 Exercice 2 : Variations d une fonction liée à la fonction carrée On considère la fonction f définie par f(x) = -2x². 1) Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2) Etablir (en le justifiant) les variations de f. 3) En déduire le tableau des variations de f. 4) Résoudre l équation f(x) = ) Résoudre l inéquation f(x) -32. (6 points) Exercice 3 : Etude d une fonction polynôme de degré 2 (1 points) On considère la fonction g définie par g(x) = 3(x - 1)² ) Déterminer la forme développée de g(x). 2) Etablir le tableau des variations de g à partir d un théorème du cours. Justifier les variations de la fonction g à partir d un enchainement de fonctions de base connues. 3) Utiliser la forme la mieux adaptée de g(x) pour résoudre l équation g(x) = 4) En déduire la forme factorisée de g(x). 5) Comment se nomme la courbe représentant la fonction g? 6) On nomme C g la courbe représentant la fonction g dans un repère orthogonal. Déterminer les coordonnées de l extremum de la fonction g ainsi que les points d intersection de la courbe C g avec les axes du repère. S aider de ces points pour donner l allure de la courbe C g. Exercice 4 : Ensemble de définition d une fonction homographique (1 point) On considère la fonction h définie par h(x) = -3x + 5 2x + 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction h. 2

3 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Exercice 1 : fonction carré (3 points) On considère trois carrés de côtés respectifs x ; 2x et 3x. 1) Pour chacun d un, exprimer en fonction de x, le périmètre puis l aire. 2) Parmi les fonctions trouvées, y a-t-il des fonctions linéaires? 1) On note P 1 ; P 2 et P 3 les trois périmètres respectifs correspondants aux carrés de côtés x, 2x et 3x. P 1 (x) = 4x P 2 (x) = 4 2x = 8x P 3 (x) = 4 3x = 12 On note A 1 ; A 2 et A 3 les trois aires respectives correspondants aux carrés de côtés x, 2x et 3x. A 1 (x) = x² A 2 (x) = (2x) = 4x² A 3 (x) = (3x)² = 9x² 2) Les fonctions P1; P2 et P3 sont des fonctions linéaires. Exercice 2 : Variations d une fonction liée à la fonction inverse (6 points) On considère la fonction f définie par f(x) = - 3 x. 1) Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2) Etablir (en le justifiant) les variations de f. 3) En déduire le tableau des variations de f. 4) Résoudre l équation f(x) = 9. 5) Résoudre l inéquation f(x) < ) D f = {} 2) Soient x 1 et x 2 deux réels non nuls tels que x 1 x 2. f(x 2 ) f(x 1 ) = =3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 Or x 2 x 1 car x 1 x 2 Donc f(x 2 ) f(x 1 ) est du signe de x 1 x 2 1 er cas : x 1 et x 2 sont strictement négatifs Le produit de deux nombres négatifs est positif donc x 1 x 2 > Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f conserve l ordre sur ]- ;[. Donc f est croissante sur ]- ;[. 2ème cas : x 1 et x 2 sont strictement positifs Le produit de deux nombres positifs est positif donc x 1 x 2 > Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f conserve l ordre sur ] ; + [. Donc f est croissante sur ] ; + [. Conclusion : La fonction f est croissante sur ]- ;[ et croissante sur ] ; + [. 3

4 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet ) x - + f(x) 4) f(x) = 9-3 x = 9 9x = -3 x = Donc l ensemble des solutions est S = ) f(x) < x < x > 4 (car diviser par le nombre -3 négatif change l ordre) < x < 1 (d après les variations de la fonction inverse). 4 Donc l ensemble des solutions est S = ; 1 4 Exercice 3 : Etude d une fonction polynôme de degré 2 (1 points) On considère la fonction g définie par g(x) = -2(x + 1)² + 8 1) Déterminer la forme développée de g(x). 2) Etablir le tableau des variations de g à partir d un théorème du cours. Justifier les variations de la fonction g à partir d un enchainement de fonctions de base connues. 3) Utiliser la forme la mieux adaptée de g(x) pour résoudre l équation g(x) = 4) En déduire la forme factorisée de g(x). 5) Comment se nomme la courbe représentant la fonction g? 6) On nomme C g la courbe représentant la fonction g dans un repère orthogonal. Déterminer les coordonnées de l extremum de la fonction g ainsi que les points d intersection de la courbe C g avec les axes du repère. S aider de ces points pour donner l allure de la courbe C g. 1) g(x) =-2(x² + 2x + 1) + 8 = -2x² - 4x = -2x² -4x + 6 2) La fonction g est croissante sur ]- ;-1] et décroissante sur [-1 ; + [. 4

5 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet x Explications x x + 1 x x + 1 est une fonction affine de coefficient directeur 1 donc cette fonction affine est croissante sur Deux réels négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire. Donc x (x + 1)² est décroissante sur ]- ; - 1]. x (x + 1)² Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Donc x (x + 1)² est croissante sur [-1; + [. x -2(x + 1)² Multiplier par le nombre négatif -2 change l'ordre. x -2(x + 1)² Ajouter un réel 8 ne change par l'ordre. 3) g(x) = -2(x + 1)² + 8 = (x + 1)² = 4 x + 1 = -2 ou x + 1 = 2 x = -3 ou x = 1 L ensemble des solutions est donc S = {-3 ;1} 4) La forme factorisée de g(x) est donc g(x) = -2(x + 3)(x 1) 5) C g est une parabole. 6) Le sommet S de la parabole C g a pour coordonnées S(-1 ;8). g() = 6 donc l intersection de C g avec l axe des ordonnées est constituée du point A( ;6) g(x) = x =-3 ou x = 1 donc l intersection de C g avec l axe des abscisses est constituée des deux points B(-3 ;) et C(1 ;). 5

6 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Exercice 4 : Ensemble de définition d une fonction homographique On considère la fonction h définie par h(x) = 2x + 1-3x + 5. Déterminer l ensemble de définition de la fonction h. (1 point) 6

7 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet h(x) est définie si son dénominateur est non nul. -3x + 5 x 5 3 Donc D h = 5 3 7

8 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Exercice 1 : fonction carré (3 points) Soit f(x) = x². Calculer f(a + b) puis f(a) + f(b) dans chacun des cas. 1) a = 1 et b = 2 2) a = 1 et b = -1 3) a = 1 3 et b = 1 5 1) f(a + b) = f(1 + 2) = f(3) = 3² = 9 f(a) + f(b) = f(1) + f(2) = 1² + 2² = = 5 2) f(a + b) = f(1-1) = f() = ² = f(a) + f(b) = f(1) + f(-1) = 1² + (-1)² = = 2 3) f(a + b) = f = f 8 15 = 8 15 f(a) + f(b) = f f 1 5 = 1 3 ² ² = ² 5 = = Exercice 2 : Variations d une fonction liée à la fonction carrée (6 points) On considère la fonction f définie par f(x) = -2x². 1) Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2) Etablir (en le justifiant) les variations de f. 3) En déduire le tableau des variations de f. 4) Résoudre l équation f(x) = ) Résoudre l inéquation f(x) ) D f = 2) Soient x 1 et x 2 deux réels tels que x 1 x 2. f(x 2 ) f(x 1 ) = -2x 2 ² + 2x 1 ² = -2(x 2 ² - x 1 ²) = -2(x 1 + x 2 ) (x 2 - x 1 ) Or x 2 x 1 car x 1 x 2 Donc f(x 2 ) f(x 1 ) est du signe de -2(x 1 + x 2 ) 1 er cas : x 1 et x 2 sont négatifs La somme de deux nombres négatifs est négative. Donc x 1 + x 2 et -2(x 1 + x 2 ) (car multiplier par le nombre négatif -2 change l ordre.) Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f conserve l ordre sur ]- ;]. Donc f est croissante sur ]- ;]. 2ème cas : x 1 et x 2 sont positifs La somme de deux nombres positif est positive. Donc x 1 + x 2 et -2(x 1 + x 2 ) (car multiplier par le nombre négatif -2 change l ordre.) Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f(x 2 ) f(x 1 ) Donc f change l ordre sur [ ; + [. Donc f est décroissante sur [ ; + [. Conclusion : La fonction f est croissante sur ]- ;] et décroissante sur [ ; + [. 8

9 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet ) x f(x) - + 4) f(x) = -16-2x² = -16 x² = 8 x = - 8 = -2 2 ou x = 8 = 2 2 L ensemble des solutions est donc S = {-2 2 ;2 2} 5) f(x) -32-2x² -32 x² 16 (car diviser par le nombre négatif -2 change l ordre.) x -4 ou x 4 (d après les variations de la fonction carré) L ensemble des solutions est donc S = ]- ;-4] [4 ; + [ Exercice 3 : Etude d une fonction polynôme de degré 2 (1 points) On considère la fonction g définie par g(x) = 3(x - 1)² ) Déterminer la forme développée de g(x). 2) Etablir le tableau des variations de g à partir d un théorème du cours. Justifier les variations de la fonction g à partir d un enchainement de fonctions de base connues. 3) Utiliser la forme la mieux adaptée de g(x) pour résoudre l équation g(x) = 4) En déduire la forme factorisée de g(x). 5) Comment se nomme la courbe représentant la fonction g? 6) On nomme C g la courbe représentant la fonction g dans un repère orthogonal. Déterminer les coordonnées de l extremum de la fonction g ainsi que les points d intersection de la courbe C g avec les axes du repère. S aider de ces points pour donner l allure de la courbe C g. 1) g(x) =3(x² - 2x + 1) - 12 = 3x² - 6x = 3x² - 6x - 9 2) La fonction g est décroissante sur ]- ;1] et croissante sur [1 ; + [. 9

10 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet x Explications x x - 1 x x - 1 est une fonction affine de coefficient directeur 1 donc cette fonction affine est croissante sur Deux réels négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire. Donc x (x - 1)² est décroissante sur ]- ; - 1]. x (x - 1)² Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Donc x (x + 1)² est croissante sur [-1; + [ x 3(x - 1)² Multiplier par le nombre positif 3 ne change pas l'ordre x 3(x - 1)² Ajouter un réel -12 ne change par l'ordre. 3) g(x) = 3(x - 1)² - 12 = (x - 1)² = 4 x - 1 = -2 ou x - 1 = 2 x = -1 ou x = 3 L ensemble des solutions est donc S = {-1 ;3} 4) La forme factorisée de g(x) est donc g(x) = 3(x + 1)(x 3) 5) C g est une parabole. 6) Le sommet S de la parabole C g a pour coordonnées S(1 ;-12). g() = 9 donc l intersection de C g avec l axe des ordonnées est constituée du point A( ;9) g(x) = x =-1 ou x = 3 donc l intersection de C g avec l axe des abscisses est constituée des deux points B(-1 ;) et C(3 ;). 1

11 Seconde 3 DS4 fonctions de référence Sujet Exercice 4 : Ensemble de définition d une fonction homographique On considère la fonction h définie par h(x) = -3x + 5 2x + 1. Déterminer l ensemble de définition de la fonction h. (1 point) h(x) est définie si son dénominateur est non nul. 2x + 1 x Donc D h =