CHAPITRE 7 Fonctions de référence

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1 CHAPITRE 7 Fonctions de référence A) Les Fonctions Affines (rappels et compléments) ) Définition a et b étant deu réels donnés, on appelle fonction affine une fonction du type f() = a + b. Lorsque b = 0, on parle de fonction linéaire. Lorsque a = 0, la fonction f est une fonction constante. 2) Représentation graphique Théorème La courbe représentative d'une fonction affine est une droite, de coefficient directeur (pente) a et qui passe par le point (0 ; b). Le nombre b s'appelle donc l'ordonnée à l'origine. Les droites représentatives de fonctions linéaires passent par le point O (0 ; 0). Les droites représentatives de fonctions constantes sont des parallèles à l'ae des abscisses. Remarque Les seules droites non représentatives de fonctions affines sont les droites parallèles à l'ae des ordonnées. 3) Fonctions affines et tau de variation a) Définition On appelle tau de variation d'une fonction f entre les valeurs a et b distinctes le nombre : b) Eemples Calculer le tau de variation t dans les cas suivants : f() = 2 3 entre 0 et 7 f() = 5 + entre et 2 f() = 2 3 entre et 2 f() = 2 + entre 0 et 7 f (b) f (a) t= b a c) Théorème Soit f une fonction affine f() = a + b L'accroissement de la fonction f est proportionnel à l'accroissement de la variable, soit a est le tau de variation de f entre u et v. Pour tous u et v réels, on aura : f u f v =a Donc, le tau de variation d'une fonction affine est constant et égal à son coefficient directeur a. page /0

2 Démonstration f (u) f (v) = (au+b) (av+b) = a u+b av b = au a v = a() Théorème 3 Si une fonction f définie sur R a un tau de variation constant t pour tout R, Alors f est la fonction affine y = a + b, avec a = t et b = f(0). Démonstration : Prenons v = 0 et u =, on aura : f ( ) f (0) f ( ) f (0) = t, soit = a, d'où f ( ) f (0)=t, donc f ( )=t + f (0). 0 On a donc bien f() = a + b, en posant a = t et b = f(0). Autrement dit : Les fonctions affines ont un tau de variation constant, et ce sont les seules dans ce cas. Conséquence : Si une fonction est telle que pour tous k et réels on a f(k ) = k f(), alors cette fonction est une fonction linéaire du type f() = a (à faire démontrer). 4) Variations d'une fonction affine = a a) Définitions On appelle variations d'une fonction le fait qu'elle soit croissante ou décroissante selon l'intervalle que l'on considère. Une fonction est croissante lorsque plus grandit, plus f() grandit aussi. Elle est décroissante si quand grandit, f() diminue. On résume ces variations dans un tableau de variations qui représente ces variations à l'aide de flèches, montantes si f est croissante et descendantes si elle est décroissante. b) Variations d'une fonction affine Soit f() = a + b, définie sur R. - Si a = 0, f() = b, f est donc constante sur R. - Si a > 0, soit u et v deu réels avec u < v : f(u) f(v) = au + b (av + b) = au av = a () Donc, comme a > 0 et < 0 on aura a(u - v) < 0 donc f(u) < f(v) f est donc strictement croissante sur R. - Si a < 0, le même raisonnement amènera u < v f(u) > f(v), donc f est strictement décroissante sur R. En représentation graphique on voit que : Si a = 0, la droite est parallèle à l'ae des abscisses. Si a > 0, la droite monte de la gauche vers la droite (fonction croissante). Si a < 0 la droite descend de la gauche vers la droite (fonction décroissante). Notes : veut dire "implique". Dans le cas ci-dessus, cela signifie "Si u < v, Alors f(u) < f(v)". De même, signifie "est équivalent à", ce qui veut dire que l'implication est dans les deu sens. page 2/0

3 Par eemple, u et v R, f (u) f (v ) =a f est affine et son coefficient directeur est a. u v Remarque : Si u et v R f (u+ v)= f (u)+ f (v), Alors f est une fonction linéaire. Démontrez-le pour tout dans N, puis Z, puis Q. 5) Signe d'une fonction affine Soit f() = a + b, définie sur R. Si a = 0, f() garde toujours la même valeur b, donc elle a le signe de b. Si a > 0, la droite monte, donc elle passe d'abord par des points au-dessous de l'ae des abscisses, donc d'ordonnée négative (f() < 0), puis coupe cet ae (avec f() = 0), et passe ensuite par des points d'ordonnée positive (f() > 0). Si a < 0, la droite descend, donc elle passe d'abord par des points au-dessus de l'ae des abscisses, donc d'ordonnée positive (f() > 0), puis coupe cet ae (avec f() = 0), et passe ensuite par des points d'ordonnée négative (f() < 0). Pour trouver la valeur pour laquelle f() = 0, il suffit de résoudre l'équation f() = 0, soit : a + b = 0 <=> a = - b <=> = - b/a. Ceci peut se résumer dans les tableau suivants, qui donnent le signe de f(s) = a + b : Si a > 0 : - -b/a + f() Si a < 0 : - -b/a + f() ) Signe d'un produit ou d'un quotient de fonctions affines Pour cela, on fait un tableau de signes avec en plus de la ligne des, autant de lignes qu'il y a de facteurs, plus une ligne pour le produit ou le quotient. a) f() = ( 2)(3 + ) b) f() = (-)( 4) c) f() = (2 5)( + )( 7) d) f ()= 3 +5 page 3/0 -

4 e) f ()= f) f ()= (+2)( 3) + B) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur R complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation Elle est strictement croissante sur [0 ; + [ et décroissante sur ]- ; 0] Démonstration : Soient a et b deu réels avec a > b. On aura f(a) f(b) = a² - b² = (a b) (a + b), d'où : Si a et b sont positifs, a + b sera positif, donc la différence f(a) f(b) = a² - b² sera du même signe que a b, donc positive. La fonction est donc croissante. Si a et b sont négatifs, a + b est négatif et f(a) f(b) = (a b) (a + b) sera du signe contraire de a b soit négatif, la fonction est donc décroissante. 3) Tableau de variation f() = ² 4) Courbe représentative Pour tout réel, f(-) = (-)² = ² = f() La fonction est donc paire, et sa courbe est donc symétrique par rapport à l ae (Oy), ae des ordonnées. Cette courbe s appelle une "parabole". page 4/0

5 Si on la renverse vers le bas (ce qui revient à étudier f() = - ²), c est la trajectoire d un projectile lancé en l air, qui monte puis qui retombe. 5) Propriétés a) Comparaison entre et ² Graphiquement : comparez la courbe avec la droite y = / < 0 : ² > ² > 0 Que déduisez-vous sur et ²? < 0 < < : ² < ² < 0 \ > : ² > ² > 0 Par le calcul : ² - = ( ), on étudie son signe à l'aide d'un tableau de signes : ² Ce qui confirme les résultats constatés sur le graphique. Eemples Comparer : ½ et (½)² ; 2 et 2² ; 0,9 et 0,9² ; -3 et (-3)² ; -0, et (-0,)². b) Équations Principe de la résolution de ² = k Si k < 0, pas de solution. Si k = 0 une seule solution = 0 Si k > 0, 2 solutions = k ou = k ² = 4 ² = -3 ² = 9 ² = 0 ² = 2 ² = 7 c) Inéquations Principe de la résolution de ² k ou ²< k Si k < 0, pas de solution. Si k = 0 une seule solution = 0 dans le cas ² k, aucune sinon. Si k > 0, la solution est l'intervalle [ k ; k ] si ² k ou ] k ; k[ sinon. ² 4 ² -3 ² 0 ² 7 Principe de la résolution de ² k ou ² > k Si k < 0, la solution est ] ;+ [ (c'est vrai pour tout ). Si k = 0 la solution est ] ;+ [ pour ² 0, ou ] ; 0[ U ]0;+ [ sinon. Si k > 0, la solution est ] ; k [ U ] k ;+ [ si ² > k, ou ] ; k ] U [ k ;+ [ sinon. ² > 9 ² -3 ² > 0 ² 7 0 page 5/0

6 C) La fonction inverse : f() = / ) Domaine de définition Attention : on ne peut pas calculer f() = / pour = 0! Donc la fonction inverse est définie seulement sur R \ {0}=R * = ]- ; 0[ a ]0 ; + [. 2) Sens de variation La fonction f() = / est strictement décroissante sur chacun de ses deu intervalles de définition. Démonstration : Calculons le tau de variation de f entre les valeurs a et b : f (a) f (b) a b a b t= = a b a b = a b a b = b a a b(a b) = (a b) a b(a b) = a b donc du signe de ab. Si a et b sont positifs, a b > 0 donc t < 0, la fonction f est donc décroissante sur ]0 ; + [. Si a et b sont négatifs, a b > 0 aussi, donc f est décroissante aussi sur ]- ; 0[. 3) Tableau de variation f() = / Quand (valeur absolue de ) est très grand, / = / est très petit et se rapproche donc de zéro. /0 000 = 0,000 ou / = -0, On dit que la fonction / "tend vers zéro" quand "tend vers plus l infini". On écrit : 0 quand +. Si au contraire devient très proche de zéro, / devient très grand ("tend vers l infini"), et donc / devient très grand en positif (tend vers plus l'infini) si > 0, ou très grand en négatif (tend vers moins l'infini) si < 0. On dit que quand tend vers zéro en étant négatif (on écrit 0 - ), f() tend vers moins l'infini (on écrit f() - ) et que quand tend vers zéro en étant positif ( 0 + ), f() tend vers plus l'infini (f() + ). page 6/0

7 4) Courbe représentative Cette courbe (en rouge ci-dessus) s appelle une "hyperbole". Elles est symétrique par rapport au point O, car f() = / est ce qu'on appelle une fonction impaire car f(-) = -f() (en effet, on a = ). 5) Propriétés Dire que y= équivaut à dire que = y (démonstration facile) Ceci implique que la courbe possède aussi une symétrie aiale par rapport à la première bissectrice (droite d'équation y = ), puisque l'on peut intervertir les coordonnées en restant sur la courbe. Étant de plus impaire, cela veut dire qu'elle est aussi symétrique par rapport à la seconde bissectrice du repère (droite d'équation y = -). 6) Applications a) Comparer / et 2 quand > 0 2 = 2 ² 2 =, du signe de ² = ( )² 0, nul seulement pour =. L hyperbole de f() = / est donc au-dessus de la droite y = 2 pour > 0 et elle la touche pour =. De même, on montre qu elle est toujours au-dessous de la droite y = -2 pour < 0 (c est immédiat par symétrie de l hyperbole par rapport à 0) et elle la touche pour = -. Calculer / et 2 pour = ½ ; 2/3 ; ;,. Calculer / et 2 pour = -2/3 ; - ; -,2. page 7/0

8 b) Équations Cours de Mathématiques Classe de Seconde - CHAPITRE 7 Fonctions de référence Principe de la résolution de =k Si k = 0 pas de solution. Si k 0, une solution unique = k. = 4 c) Inéquations = -3 = 9 = 0 = 0,5 = 2 3 Principe de la résolution de k ou < k Si k < 0, la solution est [ k ;0] si k et ] k ;0] sinon. Si k = 0 la solution est [ ;0 [. Si k > 0, la solution est [ ;0 [ U ]0 ; k ] si k ou [ ;0 [ U ]0 ; k [ sinon. 4 < -3 0 < 7 Principe de la résolution de k ou > k Si k < 0, la solution est ] ; k ] U ]0 ;+ [ si k ou ] ; k [ U ]0 ;+ [ sinon. Si k = 0 la solution est [0 ;+ [. Si k > 0, la solution est ]0 ; k ] si k et ]0 ; k [ sinon. > 9-3 > d) Cas où est remplacé par une epression Résoudre graphiquement, puis par le calcul : 3 =5 (Solution : d où 3= 5 donc = 5 +3= 6 5 =3,2 ) <5 (Solution : [ ;0 [ U ]0 ; 5 ] et 5 =0,2 donc en faisant passer le - à droite comme +, on trouve [ ; [ U ];,2[ ) Essayez aussi : 2 =0,5 2 <5 + =7,2 2< < = page 8/0

9 D) Fonctions associées (montrer avec Geogebra) ) Fonctions f() = a ² + b a) Cas où a = f() = ² + b : cette fonction est juste une fonction f() = ², décalée de b vers le haut si b > 0 ou décalée de b vers le bas si b < 0. b) a Cette fois, en plus du décalage vertical produit par le b, la courbe sera plus "pointue" si a > ou plus ouverte si a <, et elle sera tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. page 9/0

10 2) Fonctions f() = a/+ b a) a = La courbe sera la même que pour f() = /, mais décalée vers le haut si b > 0 ou vers le bas sinon. b) a Cette fois, en plus du décalage vertical produit par le b, la courbe sera plus déformée : si a > elle collera moins au aes, ou elle en sera plus proche si a <. Si a < 0, la courbe s inverse par rapport à l ae (O) : le côté gauche passe au-dessus et le côté droit passe au-dessous de l ae des abscisses. page 0/0