Intégrales. 4 Sc Enoncés. f une fonction définie sur IR et F une primitive de f ; on donne dans la figure cidessous

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1 LSMarsa Eercice : Calculer les iégrales suivaes : 6 + ) d ( ² + + 2)² 5 2) d 2 ) ( 2 5) d ) 2 ( ² ) d 5) d (2 + 5)² 4 6) 4 + d 2 7) ( ² + 5)( + 5 2)² d π 2 π 4 d + d 8) si cos ² d 9) a ² ) ² Eercice 2 : f ue focio défiie sur IR e F ue primiive de f ; o doe das la figure cidessous C f e C F ) par ue lecure graphique ; déermier parmi les courbes C e C 2 celle de f 2) soi A l aire de la parie du pla limiée par C f, l ae des abscisses e les droie d équaios = e = 2 2 wwwzribimahsjimdocom Page

2 LSMarsa a) hachurer A b) calculer A Eercice : f la focio défiie sur IR par f ( ) = ² + ; o doe ci dessous courbe représeaive de f das u repère orhoormé ) e uilisa le graphique, morer que f réalise ue bijecio de IR sur u iervalle J que l o précisera 2) soi g la focio réciproque de f ; racer C g ) A l aire de la parie du pla délimiée par C g ; les droies y= ; = e =2 a) hachurée A b) morer que A=2 2 g ( ) d c) morer que A= f ( ) d e calculer A d) e déduire l aire A de la parie du pla délimiée par C g, l ae des abscisses e les droies = e =2 2 2 wwwzribimahsjimdocom Page 2

3 LSMarsa Eercice 4 : soi (I ) la suie défiie sur IN par I d = + ² ) soi f la focio défiie sur [,] par f()= + ² a) éudier les variaios de f sur [,] 2 b) e déduire que I 2) a) morer que la suie (I ) es miorée par b) morer que la suie (I ) es décroissae c) e déduire que la suie (I ) es covergee ) a) morer que, pour ou de IN ; Eercice 5 b) e déduire lim I + I 2( + ) + Soi f la focio défiie sur [, + [ par f ( ) = d ) a) Morer que f e dérivable sur [, + [ e calculer sa focio dérivée b) E déduire que f es croissae sur [, + [ 2) O cosidère la suie umérique ( J ) défiie, pour ou eier aurel o ul, par J = d + Démorer que la suie ( J ) es croissae ) O défii la suie ( I ), pour ou eier aurel o ul, par I = d + + a) Jusifier que, pour ou, o a + + b) E déduire que J I c) Calculer I e focio de E déduire que la suie ( J ) es majorée par u ombre réel (idépeda de ) d) E déduire que la suie ( J ) es covergee e doer u ecadreme de sa limie L 2 2 wwwzribimahsjimdocom Page

4 LSMarsa Eercice 6: E aee C f es la courbe représeaive d'ue focio f défiie sur IR + la droie (AB) es la agee à C f e A; C f adme ue brache parabolique de direcio l'ae des ordoées au voisiage de + ) Par ue lecure graphique : a) Déermier f() e f () f ( ) b) Déermier lim f ( ) e lim + + c) Jusifier que f réalise ue bijecio de IR + sur u iervalle J que l o précisera 2) f es défiie par f ( ) = ² + a) O désige par (C ) la courbe représeaive de f ; racer (C ) b) Soi D la parie du pla délimiée par C f e (C ) ; hachurer D c) Calculer l aire de D Eercice 7: ) soi f la focio défiie sur [ 2,2[ par 2 + f ( ) = 2 Oi,, j représeaive das u repère orhoormé ( ) a) éudier la dérivabilié de f à droie e ; e (C f )sa courbe wwwzribimahsjimdocom Page 4

5 LSMarsa 2 2 b) morer que ; pour ou ] 2,2[; f '( ) = (2 )² 2 + c) éudier les variaios de f d) morer que f réalise ue bijecio de [ 2,2[ sur u iervalle J que l o précisera e) eplicier f () 2) soi g la focio défiie sur [ 2,2[ par g()=f() 4 ², e (C g ) sa courbe Oi,, j représeaive das ( ) a) déermier la posiio relaive de (C f ) e (C g ) b) das l aee o racer (C g ) ; racer (C f ) das le même repère ) soi α u réel apparea à l iervalle ],2[ ; o désige par Aα l aire de la parie du pa limiée par (C f ) ; (C g ) e les droies d équaio = e =α a) calculer Aα b) calculer lim A α α wwwzribimahsjimdocom Page 5

6 LSMarsa Eercice 8: ) das le graphique ci core C e C so les courbes représeaives das u repère orhoormé des deu focios u e v défiies sur IR + par u()= ²+ e 4 v( ) = ² + par ue lecure graphique a) recoaîre la courbe de chacue des deu focios u e v b) doer le sige de u() v() 2) soi f la focio défiie sur IR + par f()= ² ² + 2 a) vérifier que f ()=u() v() b) calculer l aire de la parie du pla limiée par les courbes C e C e les droies d équaios respecives = e =2 ) o désige par C f la courbe représeaive de f das u repère orhoormé ( Oi,, j ) a) éudier les variaios de f b) morer que la courbe C f coupe l ae des abscisses e u seul poi o oera α l abscisse de ce poi ; vérifier que < α < 4 c) racer C f 2 2 wwwzribimahsjimdocom Page 6