de la variable aléatoire X est l'événement noté ( X = x i ).

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1 I. Variable aléatoire : Loi de probabilité et espérance 1. Variable aléatoire discrète On considère l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire X sur cet ensemble, c'est associer un nombre à chaque issue de l'expérience aléatoire. La variable aléatoire est discrète lorsqu'elle prend un nombre fini de valeurs : x1, x2,..., x où x n i est la i-ème valeur possible. L'ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x i de la variable aléatoire X est l'événement noté ( X = x i ). Vocabulaire Pour l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire, on parle parfois d'univers, noté E ou Ω. On lance une pièce et un dé à six faces. Une issue possible de l'expérience aléatoire est, par exemple, Pile;4 ( ). Si on obtient Pile ou 1 ou 2, on gagne 5. Si on obtient Face et 5 ou 6, on perd 3. Sinon on ne gagne ni ne perd. On peut résumer la situation à l'aide d'un tableau : On note X le gain obtenu (négatif si perte). On a alors l'événement : ( X = 3) = ( F;5); F;6 2. Loi de probabilité Dé Pile Face { ( )} et ( X = 0) = F;3 {( );( F;4) }. Définir une loi de probabilité P d'une variable aléatoire X, c'est associer à chaque valeur x i de la variable aléatoire un nombre positif p i tel que la somme des p i soit égale à 1. On a : n ( ) avec 0 p i 1 et p i p i = P X = x i = p 1 + p p n = 1 i=1 Déterminer la loi de probabilité de X, c'est donner, sous forme d'un tableau, toutes les probabilités des valeurs x i. 1

2 x i x 1 x 2 x n p i p 1 p 2 p n On suppose que la pièce et le dé sont bien équilibrés. Alors chaque issue de l expérience aléatoire a la même probabilité. La variable aléatoire prend les valeurs 3, 0 et 5. ( ) = 2 On a X = 3 dans 2 cas sur 12. Donc P X = 3 12 = 1 6. On calcule de la même façon la probabilité de l'événement ( X = 0)et de l'événement( X = 5). On résume la situation dans un tableau : valeur Probabilité Remarque On vérifie que la somme des probabilités est bien égale à = 1 3. Espérance d'une variable aléatoire et théorème L'espérance d'une variable aléatoire X est la moyenne des valeurs x i pondérées par leurs probabilités : E X ( ) = x 1 p 1 + x 2 p x n p n L'espérance de la variable aléatoire associée au jeu précédent est : ( ) = = 1 6. E X Cela signifie que si on joue un grand nombre de fois à ce jeu, on peut espérer gagner 1 6 d euro en moyenne. Application 1 On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées 1, 1, 1, 2, 3, 4. On note X la variable aléatoire donnant le numéro apparu. 1. Quelles sont les valeurs prises par X? 2. Préciser la loi de probabilité de X. 3. Calculer l'espérance de X. 2

3 Application 2 Une urne contient 15 boules blanches, 5 boules rouges et 10 boules noires. On tire au hasard une boule de l'urne. Si la boule est blanche on marque 1 point, si elle est rouge on marque 2 points et si elle est noire on marque 3 points. X est la variable aléatoire comptant le nombre de points obtenus après avoir tiré une boule de l'urne. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Calculer l'espérance de X. Application 3 Dans un sac il y a 26 jetons portant chacun une lettre de l alphabet. On tire un jeton du sac. Si la lettre est une consonne on perd 1, si c est une voyelle on gagne x. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. déterminer la valeur de x pour que le jeu soit équitable. Exercice 1 Chacun des mots de la phrase «rien ne sert de courir, il faut partir à point» est écrit sur un carton. On suppose les cartons indiscernables au toucher et on les place dans une urne. On tire au hasard un carton. Si le mot inscrit sur le carton contient une seule voyelle, on gagne 10 points. S'il contient deux voyelles, on perd 20 points. S'il contient trois voyelles, on gagne 20 points. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre (positif ou négatif) de points obtenus. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Calculer l'espérance de X. 3. On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle. Sans changer les gains obtenus pour les mots contenant une ou trois voyelles, quelle devrait être la perte pour un mot contenant deux voyelles pour que ce jeu soit équitable? II. Répétition d'expériences identiques et indépendantes 1. Expériences identiques et indépendantes s Effectuer successivement la même expérience aléatoire, dans les mêmes conditions, c'est réaliser une succession d'expériences identiques et indépendantes. Le résultat de l une n a aucune influence sur le résultat de l autre. Une issue est donc une liste de résultats de l'expérience aléatoire répétée. Remarque Cela revient à effectuer des tirages successifs, avec remise, dans le même ensemble. s Lancer cinq fois un dé cubique, ou bien lancer cinq dés cubiques de couleurs différentes. La liste ( ) par exemple est une issue. 3

4 Tirer trois cartes, successivement en notant la carte et en la replaçant dans un jeu de 32 cartes. La liste( As coeur - 7 pique - valet carreau ) par exemple est une issue. 2. Arbre pondéré et principe multiplicatif Soit une expérience aléatoire ayant plusieurs résultats A, B, C. On représente la répétition de n expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré : cet arbre a n niveaux et on note sur les branches les probabilités des résultats. Propriété On admet le principe multiplicatif : la probabilité d'une liste de résultats est égale au produit des probabilités de chaque résultat. Exercice 2 À chaque tir, la probabilité qu'un tireur à l'arc touche la cible est 0,9. On suppose que les résultats de deux tirs consécutifs sont indépendants. Le tireur effectue 3 tirs. On appelle C l événement : «le tireur a touché la cible». 1. Représenter la situation par un arbre. 2. Quelle est la probabilité qu'il touche la cible deux fois? Au moins deux fois? 3. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de fois où le tireur touche la cible. a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Calculer l'espérance de X. 3. Coefficients binomiaux On s intéresse à la répétition de n expériences identiques et indépendantes à deux issues S et E. Le nombre de listes où l issue favorable S apparaît exactement k fois, parmi n résultats, est le n coefficient binomial noté k, où 0 k n. Il se lit «k parmi n». Pour l obtenir on utilise la calculatrice. Casio TI Tableur Touche OPTN, choisir nd Touche MATH ( 2 5 ) puis Fonction puis PROB et enfin PRB et enfin Combinaison COMBIN ncr Syntaxe n ncr k n Combinaison k =COMBIN(n;k) 4

5 Application Calculer 12 1, 8 8, 20 19, 30 0, 10 6 et Remarque n 0 = 1, n 1 = n, n n = 1 et n n k = n k. III. Loi binomiale Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l une, S, que l on appelle «succès» et l autre S, appelée «échec». on note p, la probabilité de succès et q celle d échec, avec q = 1 p. Cette expérience aléatoire s appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p. 1. Loi de Bernoulli s La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli. La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p issue Succès S Échec E probabilité p 1 p Une urne contient 10 boules : 7 bleues et 3 rouges. On tire une boule de l urne. On considère qu obtenir une bleue est un succès, sa probabilité est donc 0,7. On a alors : 2. Schéma de Bernoulli et loi binomiale s issue bleue rouge probabilité 0,7 0,3 L expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. La loi de probabilité de la variable aléatoire x égale au nombre de succès au cours de ces n Bnp,. épreuves s appelle la loi binomiale de paramètres n et p. on la note ( ) 5

6 On lance un dé équilibré 10 fois de suite. On s intéresse au nombre de fois où l on obtient la face 4. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (c est-à-dire le nombre de fois où l on obtient 4) suit la loi binomiale B 10, 1 6. Propriété Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors on a : P X = k pk q n k. ( ) = n k Explication Les n épreuves se représentent sur un arbre. La probabilité d obtenir une liste de n résultats composés de k succès et donc de n k échecs, est donc égale à : p k q n k. n De plus il y a k listes composées de k succès parmi les n résultats possibles. ( ) = n k Donc la probabilité d obtenir exactement k succès est : P X = k pk q n k. Théorème Si une variable aléatoire X suit la loi binominale B( n, p), alors son espérance est : E( X ) = np. 6

7 Exercice 3 1. On lance un dé non truqué trois fois de suite. Quelle est la probabilité de l événement : a. A : «Obtenir trois fois le 6»? b. B : «Obtenir deux fois le 6»? c. C : «Obtenir au moins une fois le 6»? 2. on lance maintenant ce dé 50 fois. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de 6 obtenu. Calculer P X = 10 ( ). Exercice 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B( 5;0,7 ). 1. Déterminer la probabilité de l événement «X = 3». 2. a. Construire le tableau donnant la loi de X. b. En déduire l espérance mathématique de X. c. Représenter graphiquement cette loi. (En abscisse les valeurs de X, en ordonnées leurs probabilités). Exercice 5 On considère un jeu de 32 cartes et on tire cinq cartes de ce jeu. On s intéresse à la variable aléatoire X associée au nombre de trèfles obtenus. 1. La variable aléatoire X suit-t-elle une loi binomiale lorsque les cartes tirées ne sont pas remises dans le jeu? Si oui, donner ces paramètres. 2. a. La variable aléatoire X suit-t-elle une loi binomiale lorsque les cartes tirées sont remises dans le jeu? Si oui, donner ces paramètres. b. Calculer l espérance mathématique de X. Que représente ce nombre? 7