Portefeuille - Probabilité risque neutre

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Josiane Beaudry
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1 Portefeuille - Probabilité risque neutre Marché complet sans opportunité d arbitrage ½/

2 Actifs risqué et non risqué Constitution du portefeuille On notera F n l information dont on dispose à l instant n Eléments du portefeuille 1. Actif non risqué ou prévisible : (B n,n N), B n est F n 1 mesurable, 2. Actif risqué : (S n,n N), S n est F n mesurable mais pas F n 1 mesurable. Evolution Soient (r n,n N,r 0 = 0) le taux d intéret (prévisible) de l actif B, et (ρ n,n N,ρ 0 = 0) le rendement (risqué) de l actif S. L évolution des actifs est donnée par : B n B n B n 1 = r n B n 1, S n S n S n 1 = ρ n S n 1, où (r n ) est F n 1 -mesurable, (ρ n ) est F n -mesurable. ¾/

Evolution Soient (r n,n N,r 0 = 0) le taux d intéret (prévisible) de l actif B, et (ρ n,n N,ρ 0 = 0) le rendement (risqué) de l actif S.

3 Actifs risqué et non risqué Un portefeuille Π est un couple Π=(β n,γ n ) n T N prévisible (i.e le couple (β n,γ n ) est F n 1 mesurable), dont la valeur au temps n est donnée par : X Π n β nb n + γ n S n, (X Π 0 0 fixé). La gestion du portefeuille Π s éffectue de la manière suivante. Au temps n le portefeuille vaut X Π n on décide de réajuster ce portefeuille pour l étape suivante, c est à dire que l on choisie le couple (β n+1,γ n+1 ). Après le ré-investissement le portefeuille vaut β n+1 B n + γ n+1 S n. On supposera que lors du réajustement le portefeuille garde une valeur constante : Un portefeuille est dit autofinancé si pour tout n β n B n + γ n S n = β n+1 B n + γ n+1 S n. Exercice Vérifier que la variation de X Π entre n et n+ 1 est donnée par X Π n = β n B n + γ n S n. /

Au temps n le portefeuille vaut X Π n on décide de réajuster ce portefeuille pour l étape suivante, c est à dire que l on choisie le couple (β n+1,γ n+1 ).

4 Probabilité risque neutre Arbitrage Probabilité risque neutre On dit que P est une probabilité risque neutre associée à P si ½. P est équivalente à la probabilité P, (i.e. P (A)=0 P(A)=0), ¾. (S n /ǫ n ) n T est une martingale sous P, où ǫ n (1+r n )(1+r n 1 ) (1+r 1 ), ǫ 0 = 1. Proposition Supposons qu il existe une probabilité risque neutre P. Alors, si Π est un portefeuille autofinancé, sa valeur actualisée X Π n /ǫ n est une martingale sous P.

(S n /ǫ n ) n T est une martingale sous P, où ǫ n (1+r n )(1+r n 1 ) (1+r 1 ), ǫ 0 = 1.

5 Probabilité risque neutre Arbitrage Arbitrage On s intéresser à l évolution du marché jusqu à une date T fixée. La notion d opportunité d arbitrage, correspond à la notion économique : "opportunité de gagner de l argent sans prendre de risque", formellement, On dit qu il y a opportunité d arbitrage s il existe un portefeuille autofinancé Π tel que X Π 0 = 0, XΠ n 0, n T, et P(XΠ T > 0)>0. Lien entre la notion d opportunité d arbitrage et probabilité risque neutre : Theorème Il n existe pas d opportunité d arbitrage Il existe au moins une probabilité risque neutre.

formellement, On dit qu il y a opportunité d arbitrage s il existe un portefeuille autofinancé Π tel que X Π 0 = 0, XΠ n 0, n T, et P(XΠ T >

6 Complétude Lemme de Girsanov Notion de complétude et lien avec la probabilité risque neutre La notion de complétude correspond à un marché idéal où, par exemple, toute option européenne peut être couverte parfaitement par un portefeuille autofinancé, plus généralement : Un marché est dit complet si, pour toute variable aléatoire f : Ω R +, il existe un portefeuille autofinancé Π qui reproduit f à l échéance T, i.e. X Π T (ω)= f (ω), ω Ω. Lien entre la notion de complétude et probabilité risque neutre ; Theorème Considérons un marché sans opportunité d arbitrage. Le marché est complet Il existe une unique probabilité risque neutre P.

variable aléatoire f : Ω R +, il existe un portefeuille autofinancé Π qui reproduit f à l échéance T, i.e. X Π T (ω)= f (ω), ω Ω.

7 Complétude Lemme de Girsanov Probabilité risque neutre et Lemme de Girsanov A chaque étape nous avons supposé l existence d un probabilité risque neutre artificielle, il est, en général, difficile de la déterminer (dans le cadre d un marché complet) le Lemme de Girsanov va nous y aider. Lemme Soit (M n,n T) une suite de v.a. adaptée et considérons une v.a. Z T (F T -mesurable), vérifiant E(Z T )=1 et Z T (ω)>0, ω Ω. On définit P en posant pour tout évènement A P (A) := E(Z T I A ), où E représente l espérance sous P. Alors le processus (M n ) n T défini par M n = M n ( ) n Zk E M k Z F k 1, où Z n = E(Z T F n ), k 1 k=1 est une martingale sous P.

Lemme Soit (M n,n T) une suite de v.a. adaptée et considérons une v.a. Z T (F T -mesurable), vérifiant E(Z T )=1 et Z T (ω)>0, ω Ω.

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