Chapitre 7 : Distributions

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Alfred Normand
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1 Chapitre 7 : Distributions Maxwell - Boltzmann Fermi - Dirac Bose - Einstein

2 Particules classiques et quantiques Classiques : discernables molécules poussières colloïdes... Quantiques : indiscernables fermions φ électrons muons neutrinos... bosons φ photons phonons helium...

3 Fonctions d ondes de bosons et de fermions Fonction d onde à deux particules : Ψ(r 1, r 2 ) Ψ(r 1, r 2 ) 2 = Ψ(r 2, r 1 ) 2 [permutation des particules] Ψ(r 1, r 2 )= Ψ(r 2, r 1 ) Ψ(r 2, r 1 ) [symétrie - bosons] [antisymétrie - fermions] Bosons : Ψ(r 1, r 2 )=φ a (r 1 )φ b (r 2 )+φ a (r 2 )φ b (r 1 ) conserve la symétrie lors de permutations ε b φ b ε a φ a

4 Fermions : Ψ(r 1, r 2 )=φ a (r 1 )φ b (r 2 ) φ a (r 2 )φ b (r 1 ) ε b φ b [antisymétrique] ε a φ a Ψ(r 1, r 2 )= φ a(r 1 ) φ b (r 1 ) φ a (r 2 ) φ b (r 2 ) [déterminant] exclusion de Pauli : si même état quantique a = b Ψ(r 1, r 2 )=0 A trois particules (et plus) : Ψ(r 1, r 2, r )= φ a (r 1 ) φ b (r 1 ) φ c (r 1 ) φ a (r 2 ) φ b (r 2 ) φ c (r 2 ) φ a (r ) φ b (r ) φ c (r )

5 Exemple : fonctions de partition Deux particules sur trois niveaux : 6 configurations possibles? 2ε ε 0 nombre de configurations : 6 pour les bosons pour les fermions Z bosons =1+e ε/k BT +2e 2ε/k BT + e ε/k BT + e 4ε/k BT Z fermions = e ε/k BT + e 2ε/k BT + e ε/k BT le caractère quantique des particules influence fortement le calcul de Z

6 Etat singulet et triplet Les spins de deux fermions conduisent à 4 configurations : χ 1 =, χ 2 =, +, triplet d états symétriques χ =, χ 4 =,, singulet antisymétrique Fonction d onde totale à deux fermions : 4 possibilités Ψ(r 1, r 2 )=[φ a (r 1 )φ b (r 2 ) φ a (r 2 )φ b (r 1 )] χ {1,2,} Ψ(r 1, r 2 )=[φ a (r 1 )φ b (r 2 )+φ a (r 2 )φ b (r 1 )] χ 4

7 Exemple : para- et ortho- hydrogène Symétrie de la fonction d onde associée aux rotations φ rot (θ) =( 1) φ rot (θ ) ε = ( + 1)2 2I Fonction de partition complète : Z = (2 + 1) exp + pairs impairs (2 + 1) exp ( + 1)2 2I ( + 1)2 2I [para-] [ortho-]

8 chaleur spécifique :

9 Distribution de Maxwell-Boltzmann Cas classique : N particules sur K niveaux d énergie K n i i = U i=1 K n i = N i=1 ensemble microcanonique Dénombrement : particules discernables i n i Ω{n i } = N! n 1!n 2!...n K! Ω{n i } = N! gn 1 1 gn gn K K n 1!n 2!...n K! [sans dégénerescence] [avec dégénerescence]

10 Détermination de la distribution la plus probable Dénombrement : ln Ω{n i } = ln N! + n 1 ln g 1 + n 2 ln g ln n 1! ln n 2!... ln Ω{n i } = N ln N N + n 1 ln g 1 + n 2 ln g (n 1 ln n 1 n 1 ) (n 2 ln n 2 n 2 )... [en utilisant Stirling] ln Ω{n i } = N ln N i n i ln n i g i Dérivée : d(ln Ω) = i d(ln Ω) = d(ln Ω) = i i (dn i ) ln n i g i i (dn i ) ln n i g i (dn i ) ln n i i g i n i d(ln n i g i ) dn i

11 Extremum : d(ln Ω) = i (dn i ) ln n i g i = 0 ds = 0 Contraintes : Multiplicateurs de Lagrange : dn i = 0 i i dn i = 0 i i dn = 0 du = 0 ln n i + α + β i dn i = 0 g i grand nombre de niveaux > dn indépendants ln n i g i + α + β i =0 n i = g i exp( α β i ) Maxwell-Boltzmann

12 Dans l ensemble grand canonique système i n i système = 1 niveau réservoir = les autres niveaux Q i = n=0 Q i = exp exp n i µ n i! exp i µ n i = ln Q i µ = exp ε i µ

13 n i = g i i µ exp

14 Distribution de Fermi-Dirac Cas quantique : N particules (fermions) sur K niveaux d énergie i n i 1 g i Ω{n i } = i C n i g i = i g i! n i!(g i n i )! 2 1 ln Ω = i [g i ln g i n i ln n i (g i n i ) ln(g i n i )] Extremum : d(ln Ω) = i [ln n i ln(g i n i )] dn i = 0 lnn i ln(g i n i )+α + β i =0 n i = g i exp(β i + α)+1

15 Distribution de Fermi-Dirac : n i = exp g i i F +1 niveau de Fermi

16 Dans l ensemble grand canonique système i n i g i Q i = 1 n=0 exp Q i = 1 + exp n i µ i µ n i = exp i µ 1+exp = i µ 1 i µ exp +1

17 Distribution de Bose-Einstein Cas quantique : N particules (bosons) sur K niveaux d énergie i n i g i 1 4 Ω{n i } = i C n i n i +g i 1 = i (n i + g i 1)! n i!(g i 1)! 2 ln Ω = i [(n i + g i 1) ln(n i + g i 1) 7 n i ln n i (g i 1) ln(g i 1)] Extremum : d(ln Ω) = i [ ln(n i + g i 1) + ln n i ] dn i = 0 ln(n i + g i 1) + lnn i + α + β i =0 n i = g i exp(β i + α) 1

18 Dans l ensemble grand canonique système i n i g i Q i = Q i = n=0 exp n i µ 1 exp 1 i µ 7 n i = µ ln 1 exp i µ = 1 i µ exp 1

19 Distribution de Bose-Einstein : n i = g i i µ exp 1

21 Chapitre 8 : Gaz de Fermions

22 Equations d état Gaz parfait de fermions : = p2 2m Fonction de partition : Q(T, V, µ) = r,p 1 + exp p2 2m + µ Pression : PV = ln Q = r PV = V h ln ln p 1 + exp p2 2m + µ 1 + exp p2 2m + µ dp

23 P = 4π h 0 p 2 ln 1 + exp p2 2m + µ dp Particules : N = µ ln Q = r p 1 p exp 2m µ N = 4πV h exp p 2 p 2 2m µ dp

24 Energie : U = β ln Q = r p p 2 2m p exp 2m µ U = 4πV 2mh exp p 4 p 2 2m µ dp

25 Forme réduite des équations d état P = 1 λ f 5/2(z) N V = 1 λ f /2(z) µ avec z = exp [ fugacité ] U V = 2 λ f 5/2(z) fonctions de Fermi : f m = =1 ( 1) +1 z m remarque : U = 2 PV toujours d application!

26 Gaz de Fermi à basse température Niveau de Fermi : N V 2π 2 m /2 4 (ln z)/2 π N = 4πV h pf 0 p 2 dp F = 2 2m 6π 2 N V 2/ le zéro absolu fixe le niveau de Fermi

27 Remarque : au zéro absolu, les fermions sont énergiques U = 4πV h pf 0 p 4 2m 16πV 2m dp = 5h 5/2 F = 5 N F PV = 2 5 N F Lorsque l on s écarte du zéro absolu : U = 5 N F π2 kb T F

28 A haute température Autres développements : Nλ V = f /2 (z) = z z2 2 z z4 + /2 / /2 PV N = 1 1 Nλ 2 5/2 V

30 Chapitre 9 : Gaz de Bosons

31 Equations d état Gaz parfait de bosons : = p2 2m Fonction de partition : Pression : Q(T, V, µ) = r,p 1 exp p2 2m + µ 1 PV = ln Q = r P = 4π h 0 ln p p 2 ln 1 exp p2 2m + µ 1 z exp p2 2m 1 V ln(1 z)

32 Forme réduite des équations d état P = 1 λ g 5/2(z) 1 V ln(1 z) N V = 1 λ g /2(z) + 1 V z 1 z U V = 2 λ g 5/2(z) fonctions de Bose : g m = =1 z m remarque : U = 2 PV

33 Radiation des corps noirs Energie radiée d un corps noir : Théorie classique : - modèle de Rayleigh-Jeans - catastrophe ultraviolette

34 Modèle classique de Rayleigh-Jeans L Maxwell : 2 E = 1 c 2 2 E t 2 cavité cubique solution stationnaire : nx πx ny πy nz πz 2πct E = E 0 sin sin sin sin L L L λ nx π L 2 + ny π L 2 + nz π L 2 = 2π λ 2 n 2 x + n 2 y + n 2 z =4 L2 λ 2 états possibles

x 1/8 de sphère modes par unité de lambda : dn dλ = d dλ 8πL λ = 8πL λ 4

35 dénombrement des états possibles : n z V = 4π (n2 x + n 2 y + n 2 z) /2 N = V 8 2 polarisation n y quartier de sphère V = π (n2 x + n 2 y + n 2 z) /2 = 8π L λ n x 1/8 de sphère modes par unité de lambda : dn dλ = d dλ 8πL λ = 8πL λ 4 équipartition de l énergie = kt par mode : du dλ = 1 du L dλ = k BT 1 dn L dλ = 8πk BT λ 4

36 Energie radiée = puissance dissipée : I = 1 dp L 2 dλ = 2πck BT λ 4 dp dλ = 1 du 2 dλ L2 c deux directions de propagation [facteur 1/2 supplémentaire car ttes directions] cos 2 θ dθ = 1 2 en fréquences : du dν = du dλ dλ dν = du dλ ( c) ν 2 I = 2πν2 c 2

37 Gaz de photons / modèle de Planck Chaque photon : = ω = hν p = k k = ω/c Fonction de partition : Q = exp β ωn k,e r n k,e k,e Q = exp( βωn) = = r, k r, k,e n=0 1 1 exp( βω) 2 r, k,e polarisation 1 1 exp( βω) ln Q = 2 r ln [1 exp( βω)] k

38 Energie : U = β ln Q = 8πV h 0 p 2 ω exp(βω) 1 dp U = V π 2 c 0 exp ω ω 1 dω = V 0 u(ω, T ) dω U V = (k BT ) 4 π 2 c U V = π2 15 ( ) 4 (c) x exp(x) 1 dx = (k BT ) 4 π 4 π 2 c 15 0 par circulation autour du pôle Densité d énergie : u(ω, T ) = ω π 2 c ω exp 1 Applet

39 Intensité radiée : loi de Stefan I(ω, T ) = c 2 u(ω, T ) cos θ dω 4π = c 4 u(ω, T ) I(T ) = 0 I(ω, T ) dω = σt 4 = π2 k 4 B 60 c T 4 I(T )=σt 4 σ = W/m 2 K 4 avec Chaleur radiée et temps de refroidissement : P = eσa(t 4 T 4 0 ) emissivité (0 e 1) température de l objet eσat 4 = du dt = du dt τ cooling = Nk B 2eσA dt dt = Nk B 2 Tf dt dt T i 1 T 4 dt = Nk B 2eσA 1 T f 1 T i Applet

40 Loi de Wien : I = 8πhc 1 λ 5 exp hc λ 1 di dλ =0 5λ max = λ=λmax 1 exp hc hc λ max λ max T mk

41 Condensation de Bose-Einstein Retour sur l équation d état d un gaz de bosons : N V = 1 λ g /2(z) + 1 V z 1 z = 1 λ g /2(z) + n 0 V avec g /2 (z) = =1 z /2 et la fugacité z = exp µ si λ N V > c = 2π2 m g /2 (1) = ζ(/2) = alors fraction non-négligeable de particules immobiles N 2.612V 2/ T c =.14 K

42 Helium superfluide : youtube video

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