Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.

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1 Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) Pla de sodage Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE AVEC REMISE (PEAR) Pla de sodage Probabilités d iclusio 2.4 VARIABLES INDICATRICES 2.5 ESTIMATEUR 2.6 ESTIMATION D UNE MOYENNE Sodage aléatoire PESR Sodage aléatoire PEAR 2.7 ESTIMATION D UN TOTAL Estimateur de τ Espérace de ˆτ Précisio de ˆτ 1

2 2.8 ESTIMATION D UNE PROPORTION Estimateur de π Espérace de ˆπ Précisio de ˆπ 2.9 EFFET DE (PLAN DE) SONDAGE Défiitio Exemple 2.10 INTERVALLES DE CONFIANCE Distributio d échatilloage de ˆµ Itervalles de cofiace Icertitude absolue et relative Détermiatio de la taille d u échatillo Exemples 2.11 ALGORITHMES POUR LES PLANS SIMPLES SANS REMISE Méthode du tri aléatoire D autres méthodes fourissat u pla de sodage de type PESR avec échatillos de taille fixée a priori Tirage de Beroulli 2

3 2.1 DEFINITIONS Le ombre de tirages à effectuer das la populatio est fixé a priori 2 procédures possibles de tirage aléatoire : a) tirages au hasard avec remise : tirages au hasard successifs et e replaçat l uité selectioée das la populatio avat le tirage suivat b) tirages au hasard sas remise : tirages au hasard successifs et sas replacer l uité sélectioée das la populatio avat le tirage suivat Ω = {s 1, s 2,..., s M } : esemble des échatillos que l o peut obteir par la procédure de tirage aléatoire choisie Caractéristiques du pla de sodage : Tous les idividus de U ot la même probabilité de faire partie de l échatillo S qui sera sélectioé : ils ot tous la même probabilité d iclusio Tous les échatillos apparteat à Ω se voiet associer ue (même) probabilité coue o ulle de sélectio 3

4 Déomiatios : sodage PEAR : sodage aléatoire simple ou à probabilités égales, avec remise sodage PESR : sodage aléatoire simple ou à probabilités égales, sas remise 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) Pla de sodage Les échatillos sot de la forme s = {i 1, i 2,..., i }, avec i 1 i 2... i U et s = Nombre M d échatillos possibles : ( ) N N! M = =!(N )! Pour tout s Ω : p(s) = 1 ( N ) 4

5 Exemple 2.1 : Populatio : U = {1, 2, 3, 4} = N = 4 Taille de l échatillo à prélever : = 2 Taux de sodage : f = /N = 50% Esemble des échatillos pouvat être obteus par tirage aléatoire PESR : Ω = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} = M = 6 O vérifie que ( ) ( ) N 4 4! = = 2 2!(4 2)! = 4! 2!2! = = 6 = M 2 2 Probabilité de sélectio d u échatillo s particulier : p ({2, 4}) = P ((le 1er sélectioé est 2 et le 2ème sélectioé est 4) ou (le 1er sélectioé est 4 et le 2ème sélectioé est 2)) = P(le 1er sélectioé est 2 et le 2ème sélectioé est 4) +P(le 1er sélectioé est 4 et le 2ème sélectioé est 2) = P(le 1er sélectioé est 2) P(le 2ème sélectioé est 4 le 1er sélectioé est 2) +P(le 1er sélectioé est 4) P(le 2ème sélectioé est 2 le 1er sélectioé est 4) = = 2 12 = 1 6 = tous les échatillos s de Ω ot la même probabilité de sélectio : p(s) = 1/6 pour tout s Ω 5

6 2.2.2 Probabilités d iclusio La probabilité d iclusio p i de l idividu i est la probabilité que cet idividu i fasse partie de l échatillo (aléatoire) S qui sera prélevé ; e d autres termes, p i est la probabilité de prélever u échatillo qui cotiee l idividu i : p i = P(i S) = p(s) s Ω i s Das le cas du sodage PESR, pour tout i U : p i = 1 ( ) N s Ω i s ombre d échatillos possibles coteat i = ( ) N ( ) N 1 = 1 ( ) = N N = taux de sodage 6

7 Exemple 2.1 (suite) : Probabilité d iclusio de l idividu 2 : 3 échatillos sur les 6 échatillos possibles cotieet l idividu 2 = p 2 = 3 6 = 1 2 = N O vérifie que tous les idividus de U ot bie la même probabilité d iclusio : p i = 1 2 pour tout i U 7

8 2.3 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE AVEC REMISE (PEAR) Pla de sodage Les échatillos possibles sot de la forme s = {i 1, i 2,..., i } avec i 1, i 2,..., i U. U même idividu peut être sélectioé à plusieurs reprises ( s ). Nombre M d échatillos possibles : M =... (expressio très complexe) M = ombre d échatillos dot les idividus sot disticts + ombre d échatillos das lesquels u idividu est sélectioé 2 fois et les ( 2) autres idividus sot disticts + ombre d échatillos das lesquels 2 idividus sot chacu sélectioés 2 fois et les ( 4) autres idividus sot disticts

9 Exemple 2.2 : Populatio : U = {1, 2, 3, 4} = N = 4 Nombre de tirages à effectuer : = 2 Esemble des échatillos pouvat être obteus par tirage aléatoire PEAR : Ω = {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 3}, {3, 4}, {4, 4}} = M = 10 Probabilité de sélectio d u échatillo s particulier : même raisoemet que das l exemple 2.1 p ({2, 4}) = = 2 16 = 1 8 p ({1, 1}) = = 1 16 = o vérifie que p ({1, 1}) = p ({2, 2}) = p ({3, 3}) = p ({4, 4}) = 1 16 p ({1, 2}) = p ({1, 3}) =... = p ({3, 4}) = 2 16 = 1 8 9

10 O peut associer à tout échatillo s Ω ue probabilité de sélectio p(s) telle que p(s) > 0 et p(s) = 1 s Ω MAIS, cotrairemet au sodage aléatoire PESR, les échatillos de Ω e sot pas tous équiprobables. Remarque : Par cotre, si o tiet compte de l ordre de tirage das la défiitio des échatillos, ces deriers redevieet équiprobables : Les échatillos possibles sot de la forme s o = (i 1, i 2,..., i ) avec i 1, i 2,..., i U et i k = idividu sélectioé lors du kème tirage (k = 1,..., ) Nombre M o d échatillos possibles : Pour tout s o Ω o : M o = N p(s o ) = 1 N 10

11 Exemple 2.2 (suite) : Ω o = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)} = M o = 16 = 4 2 p ((2, 4)) = P (le 1er sélectioé est 2 et le 2ème sélectioé est 4) = = 1 16 O vérifie que p(s o ) = 1/16 pour tout s o Ω o 11

12 2.3.2 Probabilités d iclusio Pour tout i U : p i = P(i S) = 1 P(i / S) = 1 P(i est sélectioé à aucu des tirages) ( ) N 1 = 1 N ( = ) N = tous les idividus de U ot bie la même probabilité d iclusio Exemple 2.2 (suite) : Probabilité d iclusio de l idividu 2 : ( p 2 = 1 1 4) 1 2 = 1 ( 3 4 ) 2 =

13 Remarque : Si << N, alors p i = /N = les probabilités d iclusio pour le sodage PEAR sot pratiquemet idetiques à celles pour le sodage PESR Exemple : N = = 10 } = f = N = 1% PESR : p i = f = 1% ) 10 PEAR : p i = 1 ( = = 0.01 = 1% 13

14 2.4 VARIABLES INDICATRICES S = échatillo (aléatoire) qui sera prélevé par tirages aléatoires das la populatio = ombre d idividus disticts das S S = sodage aléatoire PESR : S = PEAR : S (PEAR : u même idividu peut être sélectioé à plusieurs reprises = S est aléatoire) Variables idicatrices d iclusio : pour tout i U, { 1 si i S I i = 0 sio { P(Ii = 1) = P(i S) = p i P(I i = 0) = P(i / S) = 1 p i = I i Bi(1, p i ) = { E(Ii ) = p i Var(I i ) = p i (1 p i ) i U I i = ombre d idividus de U qui fot partie de l éch. S = S 14

15 i U p i = i U E(I i) = E ( i U I i) = E(S ) Exemple : Pour le sodage PESR : p i = N = N N = i U i U 15

16 2.5 ESTIMATEUR Objectif Estimer u paramètre-populatio θ : θ = θ(y 1, y 2,..., y N ) Θ (cf. Sectio : θ = τ, µ, σ 2, π,...) Estimateur ˆθ de θ U estimateur ˆθ de θ est ue foctio des valeurs observées pour Y das l échatillo prélevé, qui pred ses valeurs das l esemble Θ des valeurs possibles de θ : ˆθ = h(y i ; i S) Θ ˆθ est ue variable aléatoire :o e peut pas prédire à l avace quels idividus ferot partie de l échatillo particulier s qui sera effectivemet prélevé = o e peut pas prédire à l avace quelles valeurs de Y serot observées das l échatillo particulier s qui sera effectivemet prélevé = o e peut pas prédire à l avace quelle valeur predra ˆθ das l échatillo particulier s qui sera effectivemet prélevé 16

17 La valeur prise par ˆθ das l échatillo particulier s est otée ˆθ s : ˆθ s = h(y i ; i s); cette valeur ˆθ s fourit ue estimatio de θ. Comme toute variable aléatoire, l estimateur ˆθ possède ue certaie distributio de probabilité, appelée distributio d échatilloage, étroitemet liée au pla de sodage : {(ˆθs, p(s)) = E(ˆθ) = s Ω p(s)ˆθ s } ; s Ω Var(ˆθ) = s Ω p(s) (ˆθs E(ˆθ) ) 2 17

18 Exemple 2.3 Populatio : U = {1, 2, 3} Variable d itérêt : Y = âge avec y 1 = 28, y 2 = 32, y 3 = 40 Paramètres-populatio : µ = = σ 2 = ( )2 + ( ) 2 + ( ) 2 3 = π = proportio d idividus das la populatio âgés de mois de 30 as = 1/3 Pla de sodage (PESR) : = 2 Ω = {s 1 = {1, 2}, s 2 = {1, 3}, s 3 = {2, 3}} p(s 1 ) = p(s 2 ) = p(s 3 ) = 1/3 18

19 Estimateurs : ˆµ = 1 y i = y (moyee-échatillo) i S ˆσ 2 = 1 (y i y) 2 = s 2 (variace-échatillo) i S ˆπ = proportio d idividus das l échatillo S âgés de mois de 30 as Distributios d échatilloage : = s p(s) ˆµ s ˆσ 2 s ˆπ s {1,2} 1/ {1,3} 1/ {2,3} 1/ E(ˆµ) = = = µ Var(ˆµ) = 1 3 ( )2 + 1 ( ) ( )2 = 6.45 E(ˆσ 2 ) = = σ 2 19

20 E(ˆπ) = 1 3 (0.5) (0.5) = 1 3 = π ( ) ( ) Var(ˆπ) = = 0.05 Erreur d échatilloage ( E gééral, la valeur prise par u estimateur das u échatillo est différete de la valeur du paramètre qu il cherche à estimer. Ex. : E gééral, la moyee-échatillo est disticte de la moyee-populatio. La valeur ˆθ s prise par l estimateur ˆθ das l échatillo s est qu ue estimatio de la valeur exacte du paramètre-populatio θ. L erreur que l o commet e remplaçat θ par ˆθ s est pas imputable à ue icompétece das des mesures ou des calculs : elle résulte du fait qu ue partie de la populatio a été omise. Cette erreur est appelée erreur d échatilloage. O peut évaluer l importace de l erreur d échatilloage associée à u estimateur e calculat le biais et la variace ou l erreur quadratique moyee de cet estimateur. 20 ) 2

21 Deux propriétés sot gééralemet recherchées pour u estimateur : être sas biais avoir ue boe précisio 21

22 Biais d u estimateur U estimateur ˆθ du paramètre-populatio θ est sas biais (o biaisé) si et seulemet si E(ˆθ) = θ Ex. : ˆµ est u estimateur sas biais de µ ; ˆπ est u estimateur sas biais de π ; ˆσ 2 est u estimateur biaisé de σ 2 Le biais de l estimateur ˆθ est B(ˆθ) = E(ˆθ) θ 22

23 Précisio d u estimateur La précisio d u estimateur est mesurée par so erreur quadratique moyee EQM(ˆθ) (mea squared error MSE(ˆθ)) : ] EQM(ˆθ) = E [(ˆθ θ) 2 = p(s)(ˆθ s θ) 2 s Ω ( ) 2 = Var(ˆθ) + B(ˆθ) Si ˆθ est u estimateur sas biais de θ, alors EQM(ˆθ) = Var(ˆθ) Distributios d échatilloage de ˆθ 1 et ˆθ 2 : E(ˆθ 1 ) = E(ˆθ 2 ) = θ ; Var(ˆθ 1 ) < Var(ˆθ 2 ) P ( θ ɛ ˆθ ) 1 θ + ɛ > P ( θ ɛ ˆθ ) 2 θ + ɛ La probabilité de predre ue valeur fort proche de θ est plus grade pour ˆθ 1 que pour ˆθ 2. 23

24 2.6 ESTIMATION D UNE MOYENNE Sodage aléatoire PESR Echatillo de taille a) Estimateur de µ : ˆµ PESR = 1 y i = y i S b) ˆµ PESR est sas biais : E(ˆµ PESR ) = µ Dém. : E(ˆµ PESR ) = E ( 1 (moyee-échatillo) ) y i = E i S = 1 y i E(I i ) i U = 1 y i p i i U = 1 y i N i U = 1 y i = µ N i U ( 1 ) y i I i i U car E(I i ) = p i car p i = N (PESR) 24

25 c) Précisio de ˆµ PESR : ( 1 Var(ˆµ PESR ) = 1 ) σcorr 2 = (1 f) σ2 corr N où f = et σcorr 2 = 1 (y i µ) 2 N N 1 i U La variace et doc la précisio de ˆµ PESR dépedet de trois élémets : la taille de l échatillo : plus l échatillo est grad, plus l estimatio de µ est précise le taux de sodage f : plus f est proche de 1, c està-dire plus la taille de l échatillo est proche de celle de la populatio, plus l estimatio de µ est précise. A la limite, pour f = 1 (échatillo égal à la populatio tout etière), Var(ˆµ PESR ) = 0 : il y a plus d erreur d échatilloage la variace σ 2 corr de la variable d itérêt Y das la populatio U : plus la populatio est homogèe (σ 2 corr petite), plus le sodage y est efficace. Par cotre, soder ue populatio très hétérogèe (σ 2 corr grade) écessite, pour s assurer que Var(ˆµ PESR ) e soit pas trop élevée, de prélever u échatillo de taille importate ou de réaliser u découpage préalable e sous-populatios homogèes (cf. sodage stratifié) 25

26 d) Estimatio de Var(ˆµ PESR ) O peut motrer que la variace-échatillo corrigée s 2 corr = 1 (y i y) 2 1 i S est u estimateur sas biais de σ 2 corr. Dès lors, Var(ˆµ PESR ) = (1 f) s2 corr est u estimateur sas biais de Var(ˆµ PESR ). La valeur prise par Var(ˆµ PESR ) das l échatillo s particulier effectivemet prélevé ous fourit ue estimatio de la variace, et doc de la précisio, de l estimateur ˆµ PESR de µ. 26

27 e) Exemple 2.4 Ue populatio U est composée des ciq ombres 2, 3, 6, 8 et 11. O veut estimer la moyee-populatio µ à partir d u échatillo d effectif 2 prélevé das U selo ue procédure PESR. Estimateur de µ : y. Propriétés de y? Paramètres de la populatio : µ = = 6 σ 2 = (2 6) (11 6) 2 5 = 10.8 Taux de sodage : σcorr 2 = 5 (10.8) = f = N = 2 5 = 0.4 = 40% Nombre d échatillos possibles : ( ) ( ) N 5 5! = = 2 2!(5 2)! = 5! 2!3! = = 10 27

28 Pla de sodage et distributio d échatilloage de y : Echatillos possibles : s p(s) y s {2, 3} 1/ {2, 6} 1/10 4 {2, 8} 1/10 5 {2, 11} 1/ {3, 6} 1/ {3, 8} 1/ {3, 11} 1/10 7 {6, 8} 1/10 7 {6, 11} 1/ {8, 11} 1/ E(y) = 1 10 (2.5) (4) (9.5) = 6 = µ Var(y) = 1 10 (2.5 6) (4 6) (9.5 6)2 = 4.05 O vérifie bie que Var(y) = (1 f) σ2 corr = (1 0.4) = Supposos que le hasard ous fasse sélectioer l échatillo {2, 3}. Das ce cas, y = 2.5 (estimatio de µ) et s 2 corr = 1 [ (2 2.5) 2 + (3 2.5) 2] = O estime alors Var(y) par (1 f) s2 corr = (1 0.4)0.5 2 =

29 2.6.2 Sodage aléatoire PEAR tirages aléatoires avec remise das la populatio S = ombre (aléatoire) d idividus disticts das l échatillo S qui sera prélevé (i) Lie avec l iférece statistique classique Das la populatio U : Les valeurs prises par la variable d itérêt Y chez les N idividus de U sot = y 1, y 2,..., y N { µ = 1 N i U y i σ 2 = 1 N i U (y i µ) 2 Tirage au hasard (à probabilités égales) d u idividu das la populatio : Il s agit d ue expériece aléatoire dot l esemble des résultats possibles est U. O peut associer à cette expériece aléatoire la variable aléatoire Z qui pred la valeur y i si l idividu sélectioé est l idividu i. 29

30 Cette v.a. Z possède ue distributio de probabilité qui coïcide avec la distributio (de fréqueces) de Y das U : pour i = 1,..., N, P(Z = y i ) = P(l idividu sélectioé est l idividu i) = 1/N { E(Z) = µ Var(Z) = σ 2 tirages à probabilités égales et avec remise (PEAR) das la populatio : O associe au kème tirage (k = 1,..., ) la variable aléatoire Z k qui pred la valeur y i si l idividu sélectioé au kème tirage est l idividu i : Z k = y i si i k = i; P(Z k = y i ) = P (l idividu sélectioé au kème tirage est l idividu i) = 1/N { E(Zk ) = µ = Var(Z k ) = σ 2 (k = 1,..., ) Les Z k (k = 1,..., ) sot des v.a. idépedates et idetiquemet distribuées (i.i.d.) 30

31 (ii) Tirage de idividus disticts : S = a) Estimateur de µ : ˆµ PEAR = 1 y i = y i S (moyee-échatillo) Autre écriture possible : ˆµ PEAR = 1 k=1 Z k b) ˆµ PEAR est sas biais : E(ˆµ PEAR ) = µ Dém. : E(ˆµ PEAR ) = 1 E(Z k ) = 1 k=1 µ = µ k=1 c) Précisio de ˆµ PEAR : Dém. : Var(ˆµ PEAR ) = Var Var(ˆµ PEAR ) = σ2 ( 1 = 1 2 k=1 ) Z k = 1 Var(Z 2 k ) k=1 σ 2 = σ2 2 = σ2 k=1 31

32 Pour le sodage aléatoire PEAR, comme das le cas du sodage aléatoire PESR, la variace et doc la précisio de ˆµ PEAR déped de la taille de l échatillo la variace σ 2 de la variable d itérêt Y das la populatio U = plus l échatillo est grad et la populatio est homogèe, plus l estimatio de µ est précise MAIS, cotrairemet au cas du sodage aléatoire PESR, la variace de ˆµ PEAR e déped pas de la taille N de la populatio (et doc du taux de sodage f), ce qui est pas écessairemet très ituitif!!! d) Estimatio de Var(ˆµ PEAR ) : La variace-échatillo corrigée s 2 corr = 1 (y i y) 2 1 i S est u estimateur sas biais de σ 2 (cf. cours de statistique de base). Dès lors, Var(ˆµ P EAR ) = s2 corr est u estimateur sas biais de Var(ˆµ PEAR ) 32

33 e) Exemple 2.4 (suite) Nombre d échatillos possibles das le cas PEAR (si l o tiet compte de l ordre du tirage) : N 2 = 25. Echatillos Echatillos possibles : s p(s) y s possibles : s p(s) y s 2, 2 1/25 2 8, 2 1/25 5 2, 3 1/ , 3 1/ , 6 1/25 4 8, 6 1/25 7 2, 8 1/25 5 8, 8 1/25 8 2, 11 1/ , 11 1/ , 2 1/ , 2 1/ , 3 1/ , 3 1/25 7 3, 6 1/ , 6 1/ , 8 1/ , 8 1/ , 11 1/ , 11 1/ , 2 1/25 4 6, 3 1/ , 6 1/25 6 6, 8 1/25 7 6, 11 1/

34 Distributio d échatilloage de y : Valeurs possibles de y Probas 2 1/ /25 3 1/25 4 2/ /25 5 2/ /25 6 1/ /25 7 4/25 8 1/ / / /25 1 E(y) = 1 25 (2) (2.5) (11) = 6 = µ Var(y) = 1 25 (2 6) (2.5 6) (11 6)2 = 5.4 O vérifie bie que Var(y) = σ2 = = 5.4. Supposos que le hasard ous fasse sélectioer l échatillo {2, 3}. Das ce cas, y = 2.5 (estimatio de µ) et s 2 corr = 0.5. O estime alors Var(y) par s 2 corr = =

35 (iii) Tirage de m idividus disticts : S = m < 1) Utilisatio des observatios Mêmes résultats qu e (ii) ( ˆµ PEAR ) 2) Prise e compte seulemet des m idividus disticts a) Estimateur de µ : ˆµ diff = 1 S i S diff y i où S = échatillo aléatoire costitué des idividus prélevés S diff = esemble des idividus disticts sélectioés S = #S diff = ombre d idividus disticts das S Remarque : S est aléatoire S diff et S sot aléatoires le ombre d observatios à predre e cosidératio pour calculer ˆµ diff est aléatoire : difficulté supplémetaire!!! b) ˆµ diff est sas biais : E(ˆµ diff ) = µ 35

36 c) Précisio de ˆµ diff : Var(ˆµ diff ) = ( 1 1 2N N 2 ) σ 2 corr Var(ˆµ diff ) Var(ˆµ PEAR ) : das le cas du prélèvemet de idividus par sodage PEAR, il est toujours plus itéressat de e coserver que les uités statistiques distictes. 36

37 2.7 ESTIMATION D UN TOTAL Das la populatio U : τ = i U y i = Nµ Estimateur de τ Das le cas du sodage PESR comme das celui du sodage PEAR où l o utilise les observatios de l échatillo, o estime µ par y, que ous désigeros simplemet par ˆµ = Estimateur de τ : ˆτ = N ˆµ N.B.) N est supposé cou Espérace de ˆτ Das le cas des sodages PESR et PEAR où l o utilise les observatios de l échatillo : E(ˆµ) = µ = E(ˆτ) = NE(ˆµ) = Nµ = τ = ˆτ est u estimateur sas biais de τ 37

38 2.7.3 Précisio de ˆτ Var(ˆτ) = Var(N ˆµ) = N 2 Var(ˆµ) a) Sodage aléatoire PESR Var(ˆτ) = N 2 (1 f)σcorr/ 2 Var(ˆτ) = N 2 (1 f)s 2 corr/ b) Sodage aléatoire PEAR (utilisatio des observatios de l échatillo) Var(ˆτ) = N 2 σ 2 / Var(ˆτ) = N 2 s 2 corr/ 38

39 2.8 ESTIMATION D UNE PROPORTION U est partagé e deux sous-esembles : K 1 et K 2 Ex. : K 1 = esemble des idividus de la populatio U qui possèdet ue certaie caractéristique π = proportio d idividus de U qui appartieet à K 1 π peut être vu comme ue moyee-populatio : Soit { 1 si i K1 y i = (i = 1,..., N) 0 si i K 2 µ = 1 N i U y i = π σ 2 = 1 N i U (y i µ) 2 = 1 N i U y2 i µ2 i U y i µ 2 = π π 2 = π(1 π) = 1 N Estimateur de π Das le cas des sodages PESR et PEAR où l o utilise les observatios de l échatillo : ˆπ = ˆµ = y = 1 i S y i = proportio d idividus das l échatillo qui appartieet à K 1 39

40 2.8.2 Espérace de ˆπ Das le cas des sodages PESR et PEAR où l o utilise les observatios de l échatillo : = ˆπ est sas biais Précisio de ˆπ a) Sodage aléatoire PESR E(ˆπ) = π Var(ˆπ) = (1 f) σ2 corr = (1 f) 1 = (1 f) = N N 1 N N 1 σ2 Nπ(1 π) (N 1) = (1 π) )Nπ(1 N (N 1) π(1 π) = (1 f) π(1 π) si N N 1 = 1 40

41 U estimateur sas biais de σcorr 2 est s 2 1 corr = (y i y) 2 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 i S ( 1 ( 1 ( 1 ) (y i y) 2 i S ) yi 2 y 2 i S ) y i y 2 i S (ˆπ ˆπ 2 ) ˆπ(1 ˆπ) = U estimateur sas biais de Var(ˆπ) = (1 f) σ2 corr est ˆπ) Var(ˆπ) = (1 f)ˆπ(1 1 41

42 b) Sodage aléatoire PEAR (utilisatio des observatios de l échatillo) Var(ˆπ) = σ2 = π(1 π) U estimateur sas biais de σ 2 est s 2 corr = = u estimateur sas biais de Var(ˆπ) = σ2 Var(ˆπ) = ˆπ(1 ˆπ) 1 1ˆπ(1 ˆπ) est E coclusio : facteurs jouat sur Var(ˆπ) (ou Var(ˆπ)) PEAR : Var(ˆπ) = PESR : Var(ˆπ) π(1 π) (1 f) π(1 π) π(1 π) si f fort petit 42

43 π(1 π) Valeurs de e foctio de π et de (Valeurs e multiples de.01) p

44 2.9 EFFET DE (PLAN DE) SONDAGE Questio : Lorsqu o désire estimer u paramètre-populatio par sodage et qu o a le choix etre plusieurs plas de sodage possibles, lequel doit-o utiliser? Répose : L idéal est de pouvoir appliquer le pla de sodage doat lieu à l estimateur le plus précis du paramètrepopulatio. L effet de sodage est ue mesure permettat de comparer deux plas de sodage e termes de précisio des estimateurs qu ils fourisset Défiitio θ : paramètre à estimer O dispose de deux plas de sodage différets (pour la même taille d échatillo ) : P 1 = {(s, p 1 (s)); s Ω 1 } P 2 = {(s, p 2 (s )); s Ω 2 } ˆθ 1 : estimateur de θ si l o suit le pla de sodage P 1 ˆθ 2 : estimateur de θ si l o suit le pla de sodage P 2 44

45 Si ˆθ 1 et ˆθ 2 sot deux estimateurs sas biais de θ, alors l effet de sodage de P 1 par rapport à P 2 est défii par Iterprétatio : D(P 1 P 2 ) < 1 D(P 1 P 2 ) = Var P 1 (ˆθ 1 ) Var P2 (ˆθ 2 ) Var P1 (ˆθ 1 ) < Var P2 (ˆθ 2 ) pour ue même taille d échatillo, l estimateur ˆθ 1 est plus précis que l estimateur ˆθ 2 le pla de sodage P 1 permet ue estimatio plus précise de θ que le pla de sodage P Exemple Preos θ = µ. La taille de l échatillo est fixée a priori. P 1 : sodage aléatoire PESR : ˆθ 1 = ˆµ PESR = y et ( 1 Var PESR (y) = 1 ) σcorr 2 = N N N 1 σ2 P 2 : sodage aléatoire PEAR : ˆθ 2 = ˆµ PEAR = y et Var PEAR (y) = σ2 45

46 = D(PESR PEAR) = N N 1 = 1 f < 1 = PESR doit être préféré à PEAR Exemple 2.4 (suite) L effet de sodage est doé par D(PESR PEAR) = Var PESR(y) Var PEAR (y) = = 0.75 < 1. y est u estimateur de µ plus précis das le cas PESR ; les valeurs possibles de y sot mois dispersées autour de µ = 6 das le cas PESR que das le cas PEAR. Remarques : O peut motrer que, pour u même ombre de tirages, Var(ˆµ PESR ) Var(ˆµ diff ) Var(ˆµ PEAR ); le pla aléatoire simple sas remise est toujours préférable et, si le pla est avec remise, il est toujours plus itéressat de e coserver que les uités statistiques distictes. 46

47 Si est petit par rapport à N (càd le taux de sodage f est très petit), alors le gai e précisio de PESR par rapport à PEAR est très faible. Valeurs de N N 1 N E pratique, le choix du pla de sodage e se fode pas sur le seul critère de la précisio de l estimateur. Ce choix doit se faire e teat compte aussi du coût de l opératio des possibilités d applicatio des facilités d applicatio Ces différets critères sot parfois cotradictoires! 47

48 2.10 INTERVALLES DE CONFIANCE Distributio d échatilloage de ˆµ (i) Sodage aléatoire PEAR Rappels : tirages au hasard successifs avec remise O associe au kème tirage (k = 1,..., ) la variable aléatoire Z k qui pred la valeur y i si l idividu sélectioé au kème tirage est l idividu i Z 1, Z 2,..., Z sot des v.a. s i.i.d. telles que E(Z k ) = µ et Var(Z k ) = σ 2 pour tout k = 1,..., ; Z k a ue distributio de probabilité qui coïcide avec la distributio de fréqueces de la variable d itérêt Y das la populatio U Si Y a ue distributio de fréqueces que l o peut approcher (ajuster) par la loi N(µ, σ 2 ), alors o peut cosidérer que Z 1, Z 2,..., Z sot i.i.d. N(µ, σ 2 ) et ˆµ = 1 ) Z k N (µ, σ2 k=1 ˆµ µ σ/ N(0, 1) 48

49 Si, de plus, σ 2 est icou, o peut l estimer par so estimateur sas biais s 2 corr et o a ˆµ µ s corr / t 1 Das le cas où l o e coaît pas la distributio de Y das U, le théorème cetral limite (TCL) ous idique que, si 30, ˆµ µ σ/ N(0, 1) Si, de plus, σ 2 est icou, o peut l estimer par so estimateur sas biais s 2 corr et o a ˆµ µ s corr / N(0, 1) (ii) Sodage aléatoire PESR Si o défiissait des v.a. s Z k (k = 1,..., ) comme pour le sodage aléatoire PEAR, elles e seraiet i idépedates, i équidistribuées = impossibilité de faire appel au TCL classique = utilisatio d u théorème cetral pour populatio fiie 49

50 Si U (N) est ue populatio de taille N, de moyee µ (N) et de variace (σ (N) ) 2 et si y () est la variable aléatoire correspodat à la moyee arithmétique des observatios d u échatillo aléatoire S () de taille : y () = 1 i S () y i, alors y () µ (N) Var(y () ) N(0, 1) quad et N, et sous des coditios géérales liées à la part de (σ (N) ) 2 due à chaque élémet de U (N) Sous des coditios idetiques : y () µ (N) Var(y () ) N(0, 1) 50

51 Itervalles de cofiace De maière géérale, si ˆθ est u estimateur o biaisé de θ et si o peut supposer que ˆθ θ N(0, 1), Var(ˆθ) l itervalle de cofiace pour θ au iveau de cofiace 1 α (0 < α < 1) est doé par ] [ˆθ ± z 1 α/2 Var(ˆθ), où z 1 α/2 est le quatile d ordre 1 α/2 de la loi N(0, 1) (si X N(0, 1), alors P[X z 1 α/2 ] = 1 α/2) Dém. : Si X N(0, 1), alors P( z 1 α/2 X z 1 α/2 ) = 1 α. 51

52 Puisque ˆθ θ Var(ˆθ) N(0, 1), o a doc ( ) P z 1 α/2 Var(ˆθ) ˆθ θ z 1 α/2 = 1 α = P (ˆθ z 1 α/2 Var(ˆθ) θ ˆθ + z 1 α/2 = 1 α ) Var(ˆθ) N.B.) si 1 α = 95%, alors z 1 α/2 = z = 1.96 si 1 α = 90%, alors z 1 α/2 = z 0.95 = (i) I.C. pour µ au iveau de cofiace 1 α : ] [ˆµ ± z 1 α/2 Var(ˆµ) PESR : PEAR : ] [ˆµ ± z 1 α/2 (1 f) s2 corr ] [ˆµ ± z 1 α/2 s 2 corr 52

53 (ii) I.C. pour τ au iveau de cofiace 1 α : ] [ˆτ ± z 1 α/2 Var(ˆτ) PESR : PEAR : ] [ˆτ ± z 1 α/2 N 2 (1 f) s2 corr ] [ˆτ ± z 1 α/2 N 2 s 2 corr (iii) I.C. pour π au iveau de cofiace 1 α : ] [ˆπ ± z 1 α/2 Var(ˆπ) PESR : PEAR : ] [ˆπ ± z 1 α/2 (1 f) ˆπ(1 ˆπ) 1 [ˆπ ± z 1 α/2 ] ˆπ(1 ˆπ) 1 Remarque : L I.C. pour θ est u itervalle aléatoire : les valeurs de ses bores variet d u échatillo à l autre. 53

54 Exemple 2.5 U échatillo de 400 automobilistes d u pays compred 40 propriétaires d ue voiture de marque A. Costruisez u itervalle de cofiace, au iveau de cofiace de 95%, pour la proportio réelle d automobilistes de ce pays qui possèdet ue voiture de marque A, e cosidérat que l échatillo a été prélevé selo u tirage PESR das ue populatio de taille a) N = ; b) N = Solutio = 400 π = proportio d automobilistes possédat ue voiture de marque A das le pays ˆπ = 40/400 = 0.1 L I.C. pour π au iveau de cofiace de 95% est ] [ˆπ ± z Var(ˆπ) = Puisque le tirage est PESR, ous avos ˆπ(1 ˆπ) Var(ˆπ) = (1 f) 1 = (1 f)( ) [ ˆπ ± (1.96) ] Var(ˆπ). = (1 f) (0.1)(0.9) 399 a) Si N = 5 000, le taux de sodage est égal à f = = 0.08 = 8%. O a alors Var(ˆπ) = (0.92)( ) = Var(ˆπ) =

55 L I.C. pour π au iveau de cofiace de 95% est alors [0.1 ± (1.96)( )] = [0.1 ± ] = [ ; ] = [7.177% ; %] b) Si N = , le taux de sodage est égal à f = = O a alors Var(ˆπ) = (0.996)( ) = Var(ˆπ) = L I.C. pour π au iveau de cofiace de 95% est alors [0.1 ± (1.96)( )] = [0.1 ± ] = [ ; ] = [7.062% ; %] O voit doc sur cet exemple que, lorsque le taux de sodage dimiue (à taille d échatillo fixée), la précisio (estimée) de l estimateur ˆπ de π dimiue et, par coséquet, l I.C. s élargit quelque peu. Exemple méages de touristes séjourat e Frace das ue régio doée ot dépesé, e moyee jouralière, 35.5 Euros ; l écart-type de ces 145 dépeses jouralières s élève à 8.4 Euros. Sachat que das la régio où a été effectuée l equête il est veu méages de touristes, que peut-o dire de la dépese globale jouralière de l esemble de ces méages (o suppose que l échatillo est du type PESR)? 55

56 Solutio Paramètre à estimer : τ = dépese jouralière globale des méages de touristes. ˆτ = Ny = (50 000)(35.5) = Euros Le tirage état PESR, o a Var(ˆτ) = N 2 (1 f) s2 corr f = 145 = = 0.29% s 2 corr = (8.4)2 = = (50 000) 2 ( ) = L I.C. pour τ au iveau de cofiace de 95% est dès lors égal à ] [ˆτ ± z Var(ˆτ) = [ ± (1.96)( )] = [ ± ] = [ ; ] Il y a doc 95 chaces sur 100 que la dépese jouralière globale des méages de touristes soit comprise etre (approximativemet) Euros et Euros. 56

57 Icertitude absolue et relative Si l I.C. pour θ est de la forme [ˆθ d, ˆθ + d], d est appelé icertitude absolue (= demi-logueur de l I.C.) De maière géérale, d = z 1 α/2 Var(ˆθ) L icertitude relative est défiie par d/ˆθ (e %) (i) Icertitude absolue pour µ / PESR z 1 α/2 (1 f) s2 corr (ii) Icertitude absolue pour τ / PESR z 1 α/2 N 2 (1 f) s2 corr (iii) Icertitude absolue pour π / PESR ˆπ) z 1 α/2 (1 f)ˆπ(1 1 Tout comme l I.C., l icertitude absolue d est aléatoire : sa valeur varie d u échatillo à l autre. 57

58 d déped de α et de Var(ˆθ) (et doc aussi, de faço idirecte, de Var(ˆθ) et de ) : 1) 1 α = z 1 α/2 = d 2) = d Pour ue proportio π, l icertitude absolue d déped de π (ou ˆπ). Pour u iveau de cofiace de 95% : ˆπ) d = 1.96 (1 f)ˆπ(1 1 ˆπ) = 2 (1 f)ˆπ(1 ˆπ(1 ˆπ) 1 < = 1 Valeur de 1/ (icertitude absolue maximale pour 1 α = 95%) 1/ % 400 5% % % % 58

59 Icertitude relative d/ˆπ (e %) pour l estimateur ˆπ d ue proportio (1 α = 0.95 ; f = 0 ; d ˆπ(1 ˆπ) = 2 ) ˆπ