AVRIL 2007 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES. ISE Option Mathématiques. ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 4 heures)

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1 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA YAOUNDÉ AVRIL 27 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Optio Mathématiques ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 4 heures) Les cadidats traiterot au choix l u des trois sujets suivats. Sujet 1 Que pesez-vous de cette phrase de Victor Hugo, écrivai fraçais du 19 ème siècle : «Ue moitié de l espèce humaie est hors de l égalité, il faut l y faire retrer : doer pour cotre-poids au droit de l homme le droit de la femme». Est-elle toujours d actualité? Expliquez votre poit de vue. Sujet 2 Quelles sot, selo vous, les coditios idispesables pour qu u accès à l éducatio pour tous soit possible? Sujet 3 Nelso Madela, acie Présidet de la République d Afrique du Sud, a déclaré e ovembre 26 : «Ce sot les hommes qui créet la pauvreté et la tolèret, et ce sot les hommes qui la vaicrot.» Qu e pesez-vous?

2 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA YAOUNDÉ AVRIL 27 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Optio Mathématiques 1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) Les résultats serot ecadrés. Pour, p etiers 1, o désige par M,p (R) l espace vectoriel des matrices liges et p coloes à coefficiets das R. M, (R) sera oté M (R). Le sous-espace des matrices symétriques de M (R) sera oté S (R). La trasposée d ue matrice M M,p (R)) est otée t M. Si X, Y M,1 (R), o défiit le produit scalaire usuel par < X, Y >= t XY, la orme associée est otée X 2 = < X, X >. Pour A M (R), o associe Φ A : M,1 (R) M,1 (R), X AX, o pose : Φ A = O défiit aisi ue orme sur M (R) qui vérifie : sup AX 2 = A X 2 1 A, B M (R), X M,1 (R) AB A B et AX 2 A X 2 Sp(A) désige le spectre (l esemble des valeurs propres) de A. Ue matrice A S (R) est dite défiie positive si la forme quadratique q A : X M,1 (R) t XAX R est défiie positive.

3 Partie I O ote H la matrice de S +1 (R) défiie par H = (a i,j ) où : a i,j = 1, i, j {1,, + 1} i + j 1 sa forme quadratique associée est otée q. O a, pour tout X M +1,1 (R) : 1. Motrer que q (X) = 1 q (X) = t XH X (x + x 1 t + + x t ) 2 dt si t X = (x, x 1,, x ). 2. a) Motrer que si P est u polyôme à coefficiets complexes, o a : b) E déduire que : 1 1 q (X) < P (x)dx + i π π c) E utilisat b), établir que : q (X) < π X 2 2. P (e iθ )e iθ dθ = x + x 1 e iθ + + x e iθ 2 dt 3. Motrer qu ue matrice A de S (R) est défiie positive si et seulemet si ses valeurs propres sot des élémets de R E déduire que Sp(H ) est ue partie de ], π[. 5. a) Détermier Sp(H 1 ). b) Écrire l expressio de q 1(X) das ue base orthoormale de vecteurs propres. c) E déduire la ature de l esemble Γ défii aisi : Γ = {(x, y) R 2 : ( x y ) H1 ( x y ) = 1} d) Représeter Γ das u repére orthoormé e preat 2 cm pour uité. 6. Motrer que l applicatio N : X t XH 1 X est ue orme sur M 2,1 (R). Que représete Γ pour N sur R 2 idetifié à M 2,1 (R)? Partie II Soiet A M (R), C M,1 (R) et a R, o pose : ( ) A C B = t, C a α 1 = mi (Sp(A)), α 2 = mi (Sp(B)), β 1 = max (Sp(A)) et β 2 = max (Sp(B)) 2

4 1. Motrer que si B est ue matrice symétrique défiie positive, alors A est ue matrice symétrique défiie positive et a est strictemet positif. 2. E exprimat q A (X) das ue base coveable, motrer que : α 1 = mi (q A(X)) et X 2=1 β 1 = max (q A(X)). X 2 =1 3. E déduire que α 2 α 1 et β 1 ( β 2.) X 4. Soiet X M,1 (R) et Y = où u R. u a) Motrer que q B (Y ) = q A (X) + 2u t XC + au 2. b) Motrer que q B (Y ) ( ) ( ) ( ) β X 2 u 1 C 2 X 2. C 2 u u c) E déduire que β 2 1 { } β 1 + a + 4 C (β 1 a) 2. ( ) 1 5. O cosidère H = et o pose α = mi (Sp(H )), β = max (Sp(H )). i + j 1 1 i,j +1 Motrer que (α ) N est ue suite décroissate et (β ) N est ue suite croissate avec : β +1 β Partie III O défiit sur R [t] (esemble des polyômes de degré ) l applicatio biliéaire suivate : et o pose : δ = P, Q R 1 [t], < P, Q >= if (x,x 1,,x 1 ) R 1 1. Motrer qu il s agit d u produit scalaire. 1 P (t)q(t)dt ( x + x 1 t + + x 1 t 1 + t ) dt 2. E déduire qu il existe u uique vecteur (a, a 1,, a 1 ) R tel que : δ = 1 et k {,, 1}, ( a + a 1 t + + a 1 t 1 + t ) dt 1 3. Soit F la fractio ratioelle défiie par : ( a + a 1 t + + a 1 t 1 + t ) t k dt = F (X) = a X a 1 X a 1 X X a) Motrer que F () = F (1) = = F ( 1) =. 3

5 b) E déduire que F (X) s exprime sous la forme : F (X) = O détermiera explicitemet A(X). c) E déduire que δ = F () = A(X) (X + 1)(X + 2) (X + + 1) (!) 4 2!(2 + 1)!. 4. α ayat été défii à la questio II. 5., motrer que : < α < Partie IV Pour toute matrice A iversible de M (R), o appelle coditioemet de A le réel défii par : C(A) = A A 1 1. Soit X M,1 (R) l uique solutio de AX = B, B M,1 (R), B. Quad B deviet B + B, alors X deviet X + X, tel que : A(X + X) = B + B. Motrer que : X 2 X 2 C(A) B 2 B 2 2. Motrer que pour toute matrice A iversible de M (R) : max (Sp( C(A) = t AA)) mi (Sp( t AA)) 3. E déduire ue expressio de C(A) lorsque A est ue matrice symétrique défiie positive. 4. Motrer que si C(A) = 1 alors il existe µ > tel que la matrice µa soit orthogoale. 5. Comparer C(A) et C(QA) si Q est ue matrice orthogoale. 6. Doer ue mioratio de C(H ) grâce au calcul de β 1, 1. 4

6 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA YAOUNDÉ AVRIL 27 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Optio Mathématiques 2 ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) Das toute cette épreuve, R désige l esemble des ombres réels. Exercice 1 Soit u etier aturel o ul. O cosidère l équatio ( E ) : x + x 1 = 1. Motrer qu il existe ue uique solutio positive de ( E ) sa limite quad ted vers +., otée x, et calculer 2. O pose u =1 x. Motrer que pour assez grad, o a : L L u 2 2 (O peut poser f ( u) = L(1 u) Lu, où L désige le logarithme épérie). 3. Motrer que L u ) est équivalet à L et e déduire que x = 1 L + o ( L Exercice Calculer 1+ x 1+ x 2 4 dx E déduire la valeur de dx 4 1+ x

7 Exercice 3 Détermier toutes les foctios umériques f, cotiues sur R, qui vérifiet : f ( x) = 1 x ( x t) f ( t) dt Exercice 4 Pour u etier aturel o ul et 1. Calculer Lim f (x) + x R, o pose 2 x f ( x) = π 2. Soit g ue foctio cotiue sur R et ulle e dehors d u itervalle [ a, b], détermier Lim + R g( x) f ( x) dx 4 2 Exercice 5 O cosidère la suite d itégrales où tg ( x) désige la tagete de x I π / 4 = tg x dx, 1. Trouver ue relatio de récurrece cocerat cette suite. 2. Motrer que la suite I est covergete. 3. Trouver u équivalet de I au voisiage de +. Exercice 6 Buffo (plus cou comme aturaliste) avait posé le problème suivat : «Si o lace ue aiguille de logueur l sur u parquet dot les lames sot de largeur a, quelle est la probabilité p pour que l aiguille tombe à cheval sur deux lames?».

8 1. O suppose que l a. O ote d la distace du milieu de l aiguille à la lame la plus proche et θ ( π / 2 θ π / 2 ) la mesure de l agle que fait l aiguille avec la directio orthogoale à cette lame. - A quelle coditio a-t-o u chevauchemet? - Calculer p (o pourra utiliser la courbe représetative de la foctio l θ cosθ ) O suppose l > a. Calculer p. Exercice 7 Pour α ] 1,1[, o doe l équatio foctioelle (E) suivate : x R, f ( x) = (1 x) f ( αx) où f est ue foctio cotiue. 1. Motrer que si f et g sot deux solutios de (E) qui vérifiet f ( ) = g(), alors elles sot égales. 2. Motrer que les solutios de (E) sot développables e série etière sur u itervalle que l o précisera.

9 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA YAOUNDÉ AVRIL 27 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Optio Mathématiques CONTRACTION DE TEXTE (Durée de l épreuve : 3 heures) Vous cotracterez au 1/5 ème (e 2 mots) le texte suivat «Trete as de bouleversemets das le mode» de Pierre Dockès. N oubliez pas de préciser le ombre de mots utilisés à la fi de votre copie. Trete as de bouleversemets das le mode La vague de modialisatio des XX- XXI siècles s est développée e deux temps assez différets, séparés par la période de trasitio des aées : 1973, le retouremet du rythme de croissace et 1989, la victoire du capitalisme à l échelle modiale. Le capitalisme a chagé. Il a accouché d u ouvel ordre productif das les aées , à l œuvre dès les aées 199, mais o abouti, doc dagereusemet istable. O sait ses caractéristiques, sa base techique reouvelée, qui doe ue importace essetielle à la coaissace, l importace cetrale des marchés fiaciers globalisés avec la place deveue fodametale des échages de capitaux das la formatio des profits, les trasformatios du rapport salarial, des rapports de force etre le travail et le capital, celles parallèles des modes d orgaisatio et de gouverace des etreprises (avec le chagemet des rapports etre les maagers et les capitalistes), la suprématie de la régulatio par le marché par ature modialisable sur les régulatios volotaires restées essetiellemet das le cadre des Etats-atios.

10 Le mode a chagé. La fi du commuisme et la trasitio de la Russie, de l Europe orietale, de la Chie vers le capitalisme ot produit u rebod de modialisatio ue modialisatio sas adversaires systémiques, mais avec u potetiel d affrotemets iteratioaux cosidérables. Et la Chie, l Ide, la Russie, le Brésil sot e voie de rattrapage rapide. La Chie a u taux de croissace moye de 1% depuis quize as, or il s agit de plus d u ciquième de la populatio modiale. Certes, la croissace chioise est istable, car elle est fodée sur la croissace des exportatios, les ivestissemets directs étragers, les dépeses d ifrastructures et de ombreuses etreprises sot e surproductio, très edettées. Ce rattrapage est cepedat irréversible. Depuis le début des aées 199, les pays émergets ot gagé six poits de parts du marché modial e volume. Cet élargissemet du mode costitue u chagemet quatitatif majeur : plus de 7 millios de travailleurs (o agricoles) etret das la compétitio modiale. O assiste a ue redistributio des «poids» écoomiques des atios, le poids relatif de l Europe et du Japo se réduisat davatage que celui des Etats-Uis, qui coservet leur positio domiate. L itégratio modiale atteit u degré iégalé puisqu o a retrouvé, puis dépassé l ouverture des écoomies atioales atteite e 187, aussi bie e ce qui cocere les flux de marchadises que les flux de capitaux. Depuis quize as, les exportatios modiales sot passées de 19% à 24%, les flux de capitaux privés de 1% à 25% du PIB modial. Cette modialisatio des marchés s est développée sas que se mette e place u mode de régulatio itetioelle à la même échelle (même s il existe des esquisses). Est-ce pour cela que la libératio des échages de bies et services a probablemet atteit ses limites - l échec redoublé de Doha est révélateur -, que de tous côtés, o appréhede mieux le risque d istabilité des flux de capitaux? L Europe et la Frace ot perdu. Le choc cocurretiel sur la Frace, plus gééralemet sur les pays du Nord, est cosidérable et croissat, et pas seulemet sur l idustrie itesive e travail peu qualifié. Cepedat, depuis 199, les pays du Nord sot das des situatios très différetes les ues des autres. Le Japo est resté durablemet e déflatio. Les Etats-Uis ot bééficié de taux de croissace presque deux fois plus élevés que l Europe (u poit et demi de taux de croissace e plus) et ils récupèret le terrai perdu das les aées 195 et 196. Ils ot retrouvé u dyamisme écoomique spectaculaire, ils ot été la matrice du ouvel ordre productif et de la troisième révolutio idustrielle. Leur croissace a été souteue par la cosommatio, appuyée sur l edettemet, relayée par l ivestissemet. Ue situatio très fragile, e particulier parce que le fiacemet de la croissace s appuyat toujours davatage sur l éparge étragère (otammet chioise), la balace commerciale s efoce écessairemet das le déficit.

11 Quat à l Europe, depuis quize as, so PIB par tête se détériore relativemet aux autres pays de l OCDE avec le décli relatif de la productivité. L Europe cotietale, et plus spécialemet la zoe euro, a que des taux de croissace etre 1% et 2%. Depuis 1989, la globalisatio a eu des effets égatifs sur le taux de croissace europée, mais modestes. Les effets du côté de la demade (prix plus bas, plus grade variété des produits) ot été modérémet positifs ; e revache, du côté de l offre ils sot tous égatifs (accroissemet du taux de péétratio des importatios, déplacemet de la demade modiale vers des bies o europées, accroissemet des sorties d ivestissemets directs à l étrager dû à l offshorig, tedace reforcée par l outsourcig 1 ). Cepedat, la perte due à la modialisatio est restée modeste :,1% du taux de croissace par tête etre 1991 et 23. Il e faut pas égliger le fait que les pays émergets costituet u marché potetiellemet élevé (si le marché chiois est essetiellemet orieté vers les moyes de productio, l éergie, les matières premières, la cosommatio e devrait pas maquer de suivre). La balace commerciale de l Europe s améliore avec le reste du mode, malgré le déficit croissat avec la Chie. Et il y a ue forte complémetarité des bies pour lesquels l Europe est bie placée (moyee et haute techologie, bies d équipemets) et ceux produits par la Chie (basse techologie, bies travaillistiques, produits e relatio avec les ouvelles techologies). Dockès, Pierre, 26, octobre 26, «Trete as de bouleversemets das le mode», pp. 28 à 212, le Cercle des écoomistes, Politique écoomique de DROITE, Politique écoomique de GAUCHE. 1 Offshorig, créatio d établissemets à l étrager par l ivestissemet direct ; outsourcig, recours à des soustraitats étragers ou e ecourageat la délocalisatio de ses sous-traitats domestiques.

12 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA YAOUNDÉ AVRIL 27 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Optio Mathématiques CALCUL NUMÉRIQUE (Durée de l épreuve : 2 heures) Exercice 1. O rappelle le résultat suivat : o dit que le ombre réel p est ue période de l applicatio f de IR das IR si pour tout x réel, f(x + p) = f(x). O dit alors que f est périodique. Si de plus f est cotiue o costate, elle admet ue plus petite période strictemet positive appelée la période de f. O ote Q l esemble des ratioels et o cosidère l applicatio f défiie sur IR par : { 1 si x Q f(x) = sio 1. Motrer que f est périodique. 2. Soit a ue période de f, motrer que a est ratioel. 3. Soit a u ratioel quelcoque, cosidéros x réel, quelle est la ature de x et x+a : ratioel, irratioel? 4. Motrer que le groupe des périodes de f a pas de plus petit élémet. Exercice 2. Soit f le terme gééral d ue suite de foctios de IR à valeurs das IR défiies par : IN, x IR, f (x) = si(x). 1. Motrer que (f ) IN coverge uiformémet et préciser sa limite. 2. Les foctios f sot-elles dérivables? La limite simple de la suite (f ) IN est-elle dérivable? 3. Soit (f ) IN la suite des dérivées premières de (f ) IN. Quelle est la ature de (f ) IN? Coclure. 1

13 Problème Soit Y ue variable aléatoire réelle admettat ue desité de probabilité otée f, strictemet positive sur tout IR. O suppose das tout le problème que cette variable admet ue espérace otée µ et ue variace otée σ 2 >. O ote p u réel apparteat à ]; 1[, F Y la foctio de répartitio de la variable aléatoire Y et IE(g(Y )) l espérace de g(y ) lorsque cette espérace existe. O défiit F Y par : Prélimiaires. t IR, F Y (t) = IP(Y t) = 1. Soit t u réel quelcoque. Motrer que : + t f(y)dy. + x 2 f(x)dx t 2 f(x)dx. Ecrire cette iégalité e utilisat la foctio F Y et l espérace de Y La foctio de répartitio F Y est-elle strictemet mootoe? 3. Exprimer P (Y µ > t) à l aide de la foctio de répartitio de Y. 4. O ote Z la variable défiie par : t Z = Y µ. σ Soit t u réel quelcoque. Exprimer F Y (t) à l aide de la foctio de répartitio de Z. 5. Soit t u réel quelcoque. Exprimer IE[(t Y ) 2 ] e foctio de t, µ, σ 2. Que vaut cette expressio pour t = µ? 6. O cosidère ici µ =. Motrer que, pour tout réel t > : Questio 1. t IE((t Y ) 2 ) IP(Y < t). (1) 1. O supposera das cette questio que Y est d espérace ulle : µ =. Soit p ]; 1[, motrer que, pour tout élémet t > tel que F Y (t) = p, o a : 1 t σ 1 p. 2. L espérace µ est maiteat quelcoque. Soit p ]; 1[. Déduire des questios précédetes que, pour tout élémet t > tel que F Y (t) = p, o a : 1 t σ 1 p + µ. 3. Motrer que le euvième décile de la loi de Y peut être majoré par : σ 1 + µ. 2

14 Questio 2. Le but de cette questio est d affier l iégalité obteue précédemmet. 1. O suppose ici que µ = et σ 2 = 1. Déduire des questios prélimiaires que, pour tout réel t > : IP(Y > t) 1 t Soit p ]; 1[. La variable aléatoire Y est toujours telle que µ = et σ 2 = 1. E déduire que, pour tout réel t > tel que F Y (t) = p, o a : p t 1 p. 3. L espérace µ et la variace σ 2 > de Y sot maiteat quelcoques. Soit p ]; 1[. Motrer que, pour tout réel t > tel que F Y (t) = p, o a : p t σ + µ. (2) 1 p 4. Motrer que le euvième décile de la loi de Y peut être majoré par : Questio Quelle est l utilité d u tel résultat? 3σ + µ. 2. Diriez-vous que le résultat (2) est gééralisable à tout type de variable aléatoire? Argumeter précisémet la répose doée. 3