UV Traitement du signal. Cours n 1 : Signaux et systèmes discrets

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1 UV Traitemet du sigal Cours : Sigaux et systèmes discrets Sigal échatilloé, Sigaux discrets périodiques et Sigaux discrets géérés à partir d ue relatio de récurrece Systèmes liéaires et ivariats das le temps Trasformée de Fourier des sigaux discrets Répose fréquetielle d u système régit par ue équatio aux différeces Sigal échatilloé A partir du sigal échatilloé x e (t), o extrait la suite de valeurs x(t e ) : x T e x e t, t T e xe t avec x T e t T e Après ormalisatio (T e =) de la période d échatilloage T e, o obtiet la suite {x()} appelée sigal discret Remarque : Normalisatio = Cosidérer la suite de valeurs x(t e ) idépedammet du processus qui la géérée

2 Sigaux discrets particuliers Impulsio de Dirac : U U Échelo uité : U Expoetielle réelle : a avec a< 3 Défiitio : Sigaux discrets périodiques, x x N avec N Exemples : sigal siusoïdal x Acos sigal expoetiel complexe : x e j Remarque : Coditio de périodicité : au ses cotiu au ses discret p avec q Ses différet de la périodicité e cotiu et e discret. 4 p, q

3 Éergie et puissace de sigaux discrets Éergie d u sigal discret : W x x Puissace d u sigal discret : P x lim K! K K K x Exemple : Puissace de l échelo uité discret U() : P x lim K! K K 5 Sigaux discrets géérés à partir d ue relatio de récurrece Décrire de sigaux discrets et de opératios complexes sur ces sigaux à l aide des additios et multiplicatios scalaires Ex : sigal expoetiel complexe x a U gééré avec x ax x CI RR sigal siusoïdal x Asi gééré avec x cos x x RR x Asi ; x Asi $ ; x Asi % CI 6

4 & & Opératios sur les sigaux discrets Soit u sigal discret, la multiplicatio par u scalaire, le décalage temporel, la somme et le produit à de sigaux discrets sot de sigaux discrets : x x, Toute suite d échatillos x() peut être exprimée à l aide δ() et de ses décalages δ( ), δ( ),... Exemple : y x, x a 3 x x, x y x y, x ' y x ' y, 3 a a a Gééralisatio : 7 x ( x ) * 8 Systèmes liéaires ivariats discrets : SLID Système discret défiit par l opérateur T tel que y()=t{x()} x() y ( T liéaire ivariat par traslatio ; SLID (i.e. filtres liéaires) caractérisé par le produit de covolutio discrète où h() est sa répose impulsioelle y() y T x +( x T ) * x h * x, h +( h δ() x h * * h * h() h()

5 ( Propriétés de la covolutio discrète Commutativité, associativité, distributivité / l additio Associatio e série : h h, h h() h() Associatio e parallèle : h h - h h() h() 9 Stabilité et causalité des SLID SLID (i.e. Filtres Liéaires) Systèmes Discrètes Stables Système stable : Etrée d amplitude borée ( x()<m ) => Sortie d amplitude borée ( y()< ) Exemple de système istable : h - Système causal : Sa sortie y() e précède pas so etrée x() ; x, y. h x, car h(m)= pour M< / Exemple de système causal et stable (pour a <) : x a U x h C * h *, h, h

6 Équatio aux différeces liéaires à coefficiets costats Systèmes régis par ue éq. aux d ordre N SLID N M ( a / y * +( b r/ r x * r permet de calculer la sortie du système à l istat sas faire iterveir sa répose impulsioelle h() Exemple : Idetifier les variables de éq. aux suivate : y() ay( )=x(), puis calculer la répose impulsioelle causale du système Coséquece : L éq. aux e suffisat pas pour caractériser complètemet u SLID, il faut predre e compte les coditios iitiales. Itérêt : Costruire de filtres à répose impulsioelle ifiie RII Équatio aux différeces liéaires à coefficiets costats types de représetatio d u SLID : éq. aux + coditios iitiales covolutio discrète Système causal régis par ue éq. aux d ordre N : N a M y * ( y * - ( / a r/ b r a x * r permet de calculer y() e foctio de N valeurs précédetes et de M valeurs de l etrée Avatage : la logueur de la répose impulsioelle, le ombre d opératios écessaires au calcul de y() est FINI

7 Classificatio de SLID N= => Systèmes à répose impulsioelle fiie RIF M b y +( r x * r r/ a N> => Systèmes à répose impulsioelle ifiie RII N a M y * ( b y * - ( r x * r / a r/ a 3 Représetatios des SLID das le domaie fréquetiel y x 3 h / e j / La répose d u SLID à u sigal siusoidal est ue siusoide de même fréquece : h e j j h e Répose fréquetielle H e j du SLID à la répose impulsioelle h() Spectre d amplitude : H e j et Spectre de phase : arg H e j H e j4 Exemple : Calculer la répose fréquetielle du système de répose impulsioelle h,, N, ailleurs 4

8 ( 7 7 : 8 Trasformée de Fourier des sigaux discrets TFSD : TFSD : x 5 X e j $ X e j 5 x de la TFSD liée à la covergece absolue de la série dot les termes costitues les échatillos du sigal x() => Remarque : Covergece absolue x e 8 j 6 x e X e j e j d 9 x ;=< j 7 f ω et f sot de variables cotiues X f e j 7 f df sigal x() à éergie fiie Exemple : h > absolumet est d éergie fiie, mais e coverge pas 5 Trasformée de Fourier des sigaux discrets Si l o échatilloe x(t) à ue période T e => suite d échatillos x(t e ) prélevés à la fréquece f e =/T e : x t Pour ue période d échatilloage ormalisée (T e =), o a : Trasformée de Fourier du sigal échatilloé : X e f GF Échatilloage x e x e t > A t >DA x T e ) t* T e e Pour ue période d échatilloage ormalisée (T e =), o a : x T e B tc T e x B tc j7 f t dth( x T e e j7 T e X e f E X e jw 6

9 Représetatio spectrale de la TFSD E foctio de la ature (périodique ou o) de x(), o peut obteir : Support fréquetiel discret Support fréquetiel cotiu x I Acos J f x I, K, NL X(f) X(f), ailleurs A δ( f fo ) / / Remarques : Le sigal x() est discret mais sa TF : X(f) est à variable cotiue : Sigal périodique => Représetatio de Fourier discrète Sigal discret => Représetatio de Fourier périodique 7 Propriétés de la TFSD L iformatio spectrale du sigal est etièremet localisée das l itervalle fm N, Puisque X (f) est périodique de période Si x() est réel, X(f) est paire => réductio de l itervalle à X(f) f est la fréq. réduite f=f/f e fm, / / 8

10 X W S Propriétés de la TFSD Spectre d amplitude X f Foctio paire Spectre de phase } Étude sur arg X f Foctio impaire fo, Liéarité Décalage temporel Décalage fréquetiel ou modulatio ax P by Q ax f P by f x R Q X f es jt f x e jt f Q X f R f L iformatio temporelle se trouve sur la phase de la TFSD, alors que sur so module o trouve seulemet le coteu spectral Chagemet d échelle x a Q a X f a Si l o éted le sigal, o cotracte so spectre et vice versa 9 Propriétés de la TFSD TF de la dérivée du sigal dx d Q j \ f X f R X Coservatio de l éergie du sigal U V S W x QZY X f df Modulatio et produit de covolutio liéaire x y Q X f [ Y f x [ y Q X f Y f

11 ^ ^ Répose fréquetielle d u système régit par ue éq. aux Soit u système régi par ue éq. aux d ordre N : N M ( a / y * ( b r/ r x * r Répose fréquetielle : TFSD` H e j] Y e j] X e j] M b r_ r e` j] r ^ N a _ e` j] h Trasformée e Z TZ = Gééralisatio de la TFSD : X z a / x z b / Régio de covergece : RDC e j] 5 z x r e j, z%c z %cd / x z N z Si X z alors N z => zéros de X(z) D z D z => pôles de X(z) La TFSD est évaluée par la TZ sur le cercle uité ( z =) ef Remarques : Les pôles e peuvet pas se trouver das la RDC. Le système est causal si la RDC est à l extérieur d u cercle.

12 Trasformée e Z Régio de covergece : Exemples : Calculer la RDC de X(z) pour x()=u() Calculer la RDC de X(z) pour x a U, a g, ah Calculer la X(z), sa RDC et le placemet de pôles et des zéros pour les sigaux : x i a, j b, l avec a m b x U U N 3 Propriétés de la trasformée e Z Liéarité ax P by Q ax z P by z La RDC est au mois la RDC de X(z) RDC de Y(z) Décalage temporel x R Q X f zs La RDC est idetique, de restrictios état toutefois itroduites e z= ou z= TF de la dérivée du sigal Théorème de la valeur iitiale Produit de covolutio Chagemet d échelle complexe x Q9R z dx z dz x lim z! 4 X z x, y X z Y z a x Q X z a Si a R+, cotractio ou dilatatio de la TZ ; Si a =, rotatio des pôles et de zéros de la TZ => Itérêt pour le déplacemet de pôles et de zéros de la TZ

13 U X W U Propriétés de la trasformée e Z TZ : X z x E \ j Y X z z S dz X z o X z x o x Les X i (z) sot des foctios à TZ coue X z E U V S W c zs x E c Si X(z) peut être décomposée e série, alors x() est le coefficiet associé à z. 5 Foctio de trasfert d u système stable et causal Défiitio : Système causal : ou ecore les pôles doivet se trouver à l itérieur du cercle Système stable : H z 6 h z H z 6 / h / ef h z => RDC à l extérieur d u cercle, => RDC cotiet le cercle uité Les pôles d u système stable et causal sot à l itérieur du cercle uité. Coséquece : U système istable peut être redu stable par chagemet d échelle complexe. 6