Description Mathématique des phénomènes des écoulements des fluides

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1 Chaptre 1 Descrpton Mathématque des Phénomènes des Ecoulements des Fludes 1 - Introducton: Dans le présent chaptre nous allons développer une représentaton mathématque des mouvements des partcules fludes. Le flude est suppose comme un mleu contnu. Ce concept est une déalsaton du phénomène d écoulement qu fat abstracton de la structure moléculare de la matère. On peut ans envsager des portons de flude de dmensons nfnment pettes, appelées partcules fludes élémentares qu restent consttuées de matère contnue, même a la lmte lorsqu'elles se rédusent a un pont M. Cec nous permet de donner un sens à la noton de densté de masse ou masse volumque ρ(m). On peut défnr le mouvement d'un flude ou l écoulement par le mouvement de chacun de ces ponts M(t). C'est la descrpton Lagrangenne de l écoulement. La connassance du champ des vecteurs vtesse V(x,t) permet de défnr l état cnématque du flude en tout pont M. C'est la descrpton Eulerenne de l écoulement. C'est cette dernère descrpton qu est la plus utlsée en dynamque des fludes. Dans ce chaptre, nous allons dérvé les équatons de base régssants les écoulements sous une forme ntégrale pus nous les développerons sous leur forme dfférentelle locale. 2 - Equatons Intégrales : Quatre los de base décrvent le mouvement des fludes : a - Lo de conservaton de la masse ; b - Deuxème lo de Newton du mouvement; c - Lo de conservaton de l énerge (1ere lo de la thermodynamque Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 1

2 d - La deuxème lo de la thermodynamque. Ces quatre los fondamentales seront applquées pour un volume de contrôle du flude en mouvement Equaton de conservaton de la masse (Equaton de contnuté): Consdérons un écoulement de flude. Il est représenté par des lgnes de courant. Sot m la masse du flude contenue à des dfférentes régons et à des nstants dfférents. Le système occupe la régon (A) à l'nstant t et à l'nstant (t + t) l occupe les régons (B) et (A- C). Fgure Système en mouvement à travers un volume de contrôle D après le prncpe de conservaton de la masse Nous avons : m A (t) = m A (t+ t) - m C (t+ t) + m B (t+ t) Apres réarrangement de l équaton et dvson par t nous obtenons: { m A (t+ t) - m A (t) } / t = {m C (t+ t) - m B (t+ t) } / t Prenons la lmte quand t 0, le terme de gauche devent : Lm {m C (t+ t) - m B (t+ t) } / t = (m cv )/ t t 0 = / t ( cv ρ.dv ) Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 2

3 où ρ : est la densté de masse ou la masse volumque, V : est le volume, Cv : désgne le volume de contrôle fxé dans le temps et lmté dans l'espace par les surfaces de contrôle ( C.S). Le terme de drote est : Lm {m C (t+ t) - m B (t+ t) } / t = Lm {m C (t+ t) / t } - Lm { m B (t+ t) } / t } t 0 t 0 t 0 = m n - m out = An ρ.v.cos α.da - Aout ρ.v. cos α. da = - cs ρ.v. da c m n et m out représentent les débts massques à l'entrée et à la sorte du volume de contrôle cv et V est le vecteur vtesse. α est l'angle que fat le vecteur vtesse avec la normale. L équaton de contnuté pour un volume de contrôle s écrt sous sa forme ntégrale : cs ρ.v. da = - / t ( cv ρ.dv ) (1.1) Examnons l équaton (1.1) en consdérant quelques smplfcatons générales et pus des exemples spécfques. Le volume de contrôle Cv est fxe. Dans le cas d'un écoulement permanent ( / t = 0 ), l équaton (1.1) devent : cs ρ.v. da = 0 (1.2) S le flude est ncompressble : cs V. da = 0 (1.3) Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 3

4 Consdérons un écoulement permanent de flude, qu entre de la secton A1 et sort de la secton A2. Nous avons : A1 ρ.v. da + A2 ρ.v. da = 0 Les vtèsses sont supposées normales aux sectons A1, A2. A2 ρ.v 2. da - A1 ρ.v 1. da = 0 Les vtesses et les denstés de masse sont supposées unformes dans les sectons A 1 et A 2 : ρ.v 2. A 2 - ρ.v 1. A 1 = 0 et l équaton de contnuté s écrt: ρ.v 2. A 2 = ρ.v 1. A 1 (1.4) Equaton de conservaton des quanttés de mouvements: Nous allons procéder au développement de l'équaton des quanttés de mouvement pour un volume de contrôle. Cette équaton est l'une des plus mportantes représentatons mathématques du mouvement des flude sur les surfaces soldes (force de l écoulement agssant sur un coude de condute, poussée d'un turboréacteur ou moteur-fusée, traînée sur ale d'avon etc...). La deuxème lo de Newton du mouvement spécfe que la force F agssant sur une partcule ou un système de partcules de masse fxe est égale à la varaton de quantté de mouvement de cette masse; sot : F = d M / d t (1.5) Ou M représente la quantté de mouvement lnéare. Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 4

5 Supposant que la force F est constante dans l ntervalle de temps t; Nous avons : F. t = M (1.6) En se référant à la fgure (1.1), le terme M s écrt donc: Μ = Μ A (t+ t) Μ C (t+ t) + Μ B (t+ t) Μ A (t) Réarrangeant et dvsant par t: Μ/ t = { Μ A (t+ t) Μ A (t) } / t + { Μ B (t+ t) - Μ C (t+ t) } / t (1.7) Consdérons la lmte lorsque t 0 Lm [ { Μ A (t+ t) Μ A (t) } / t ] = / t (M cv ) t 0 = / t ( cv ρ.v.dv ) et Lm [ {Μ B (t+ t) - Μ C (t+ t) } / t ] = Lm [ Σ M(t+ t) B / t - Σ M(t+ t) C / t ] t 0 t 0 = Σ B M - Σ C M = (Σ m.v) n - (Σ m.v) out = cs V. ρ.v. da La somme M(t+ t) B représente la quantté de Mouvement assocée à la masse qu a traversé la lmte de la régon B pendant l'ntervalle de temps t. Le terme M est le taux temporare auquel la quantté de Mouvement à traversé la secton de la régon B pendant l ntervalle de temps t. Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 5

6 L équaton (1.6) s écrt donc: F = / t ( cv V. ρ. dv ) + cs V. ρ.v. da (1.8) La force F se décompose en deux composantes: - Une force totale de surface F s due à la presson et aux contrantes superfcelles. - Une force de volume F B = cv B. dv L équaton des quanttés de mouvement pour un volume de contrôle devent donc: F s + cv B. dv = / t ( cv V. ρ. dv ) + cs V. ρ.v. da (1.9) L'équaton (1.9) est la forme ntégrale de l équaton des quanttés de mouvement. Physquement, cette équaton spécfe que le taux de varaton de la quantté de mouvement contenue dans un volume plus le flux des quanttés de mouvement à travers les surface lmtes de ce volume sont égaux à la somme algébrque des forces agssant sur ce volume Equaton du Moment Angulare: En pratque, l équaton des quanttés de mouvement est utlsée pour la détermnaton des forces agssant sur un volume de contrôle en foncton du débt des flux des quanttés de mouvement a travers les surfaces. Lorsqu'l s'agt de mouvement de rotaton, on s ntéresse beaucoup plus au moment des forces ou au couple que de la force elle même. Consdérons l équaton des quanttés de mouvement lnéare (1.9); Sot r le vecteur de poston et fasons le produt du vecteur r avec l équaton : cs r. df s + cv r. B. dv = / t ( cv r. V. ρ. dv ) + cs r. V. ρ.v. da (1.10) L équaton (1.10) représente l équaton du Moment angulare. Le terme ( cs r.df s ) représente le moment autour du pont d'applcaton de la force df s sur la surface de contrôle. Le terme ( cv r.b.dv) Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 6

7 est le moment des forces de volume agssant sur l élément de volume dv par rapport à l'orgne. Le terme [ / t ( CV r.v.ρ.dv)] représente le moment angulare de la masse dans le volume de contrôle. Le derner terme ( cs r.v.ρ.v.da) est le taux des flux des quanttés de mouvement à travers la surface de contrôle. Fgure Moment angulare dans un volume de contrôle Pour l'applcaton de l équaton (1.10), on utlse généralement la forme des composantes scalares. Par exemple, s on veut écrre l équaton pour l'axe Z dans le cas d'un écoulement permanent où les forces massques (de volume) sont néglgeables, on obtent : T z = cs (r.v) z (ρ.v.da) (1.11) où Tz : représente le couple de la force totale sur le volume de contrôle par rapport à l'axe Z, et: (r.v) z = r.v t (1.12) ρ.v.da = ρ.v.cosα. da où V t est la composante de la vtesse perpendculare à l'axe Z; α est l'angle entre le vecteur vtesse et la secton da. Donc : T z = cs ρ.r.v t.v. cosα. da (1.13) Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 7

8 Supposant que l écoulement entre le volume de contrôle par une secton A1 et sort de la secton A2. Les paramètres de l écoulement ρ, V et cosα sont unformes à travers les deux sectons. Soent les valeurs moyennes à travers les sectons A1 et A2 : r 1. V t1 = 1/A 1 A1 r.v t.da r 2. V t2 = 1/A 2 A2 r.v t.da L'équaton de contnuté est : ρ 1. A 1. V 1. cosα 1 = ρ 2. A 2. V 2. cosα 2 = ρ. Q Après réarrangement, l équaton (1.13) devent : T z = ρ. Q. (r 2. V t2 - r 1. V t1 ) (1.14) L équaton (1.14) sert pour la détermnaton du couple de force ou les vtesses d écoulement dans les machnes tournantes à fludes ou turbomachnes (Fg. 1.3). Fgure Dgramme des vtesse dans une turbne Prncpe de la Conservaton de l énerge : Dans un système mécanque, le premer prncpe de la thermodynamque stpule que : Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 8

9 Q - W = E (1.15) où Q : représente la quantté de chaleur aoutée au système; W : est le traval du système; E : est la varaton de l énerge totale du système. L énerge totale du système est : E = U + ½ m.v 2 + m.g.z (1.16) où U : représente l énerge nterne du système; mv 2 / 2 : est l énerge cnétque du système; mgz : énerge potentelle assocée à la poston du système. Ecrvant cette équaton pour un volume de contrôle de flude. Soent q, w et e représentent respectvement la quantté de chaleur, le traval et énerge totale rapportés à l unté de masse. L équaton (1.15) devent: q - w = e (1.17) Consdérons le système montré sur la fgure (1.4), qu se déplace d'une poston à l'nstant t à une autre poston à l'nstant (t+ t). Fgure Balance Energétque dans un volume de contrôle L'équaton de l énerge s écrt donc: Q - W = E f - E où E f et E sont respectvement les énerges fnale et ntale du système. Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 9

10 Dvsons par t: Q t - W Ef E = t t Le terme de drote est : (1.18) E E t E ( t + t) E ( t + t) + E ( t + t) E ( t) = t f A c B A = E t t E t E t t E t t A( + ) A( ) + B( + ) c( + ) t Prenons la lmte lorsque t 0 Lm [ { Ε A (t+ t) Ε A (t) } / t ] = / t (E cv ) t 0 et = / t ( cv e.dm ) = / t ( cv ρ.e.dv ) Lm [ {E B (t+ t) - E C (t+ t) } / t ] = cs e.ρ.v. da t 0 Donc nous avons : Lm [ ( Ε f Ε ) / t ] = / t ( cv ρ.e.dv ) + cs e. ρ.v. da (1.19) t 0 Sachant que le traval effectué sur la surface de contrôle se réalse par les contrantes normales de l écoulement (presson hydrostatque) et tangentelles (Contrantes de frottement vsqueuses). Donc, l équaton de l énerge devent : dq/dt - dw s /dt = / t ( cv ρ.e.dv ) + cs ( e + p / ρ ). ρ.v. da (1.20) Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 10

11 3 - Equatons dfférentelles : Dans la secton précédente, les los de base applquées à un système, ont été utlsées pour établr les équatons ntégrales applquées à un volume de contrôle dans l'écoulement. Dans cette secton, nous allons établr les mêmes équatons sous leur forme dfférentelle locale. La descrpton Eulerènne est adoptée. Le vecteur vtesse nstantanée est foncton de la poston et du temps; sot: V = V ( r, t ) ou V = V ( x, y, z, t ) Equaton de contnuté Consdérons équaton ( 1.1) : CS ρ. VdA. = ρ. dv (1.22) t CV D après le théorème de Gauss, ntégrale de surface est converte en ntégrale de volume comme sut: CS ρ. VdA. = ( ρ. V). dv (1.22) CV Donc l'équaton ( 1.22) devent : cv ρ ( ρ. V). dv + ρ. dv = [ ( ρ. V ) + ]. dv = 0 t t cv Le volume de contrôle étant arbtrare, donc cv ρ +.( ρv ) = 0 t Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 11

12 ou (1.23) ρ + dv.( ρv ) = 0 t L équaton (1.23) est la forme dfférentelle de l'équaton de contnuté, qu peut s écrre sous dfférentes formes selon les systèmes de coordonnées : - En coordonnées cartésennes (En notaton tensorelles) : ρ +.( ρu ) = 0 t x - En coordonnées cylndrques : ρ Vθ Vz + 1.( rv. r ) = 0 t r r r θ z Equatons des quanttés de mouvement : Consdérons un cube de flude ( Fgure 1.5); Les tensons normales et tangentelles applquées sur l élément sont représentées par un tenseur σ tel que: σ 11 σ 12 σ 13 σ = σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 12

13 Fgure Tensons agssant sur un élément cubque de flude L'ndce "" ndque la surface sur laquelle la tenson s'applque, et l'ndce "" ndque la drecton sur laquelle la tenson agt. Le tenseur σ est symétrque; c.a.d: σ = σ Ce c mplque que : - Dans le cas contrare, l élément flude aura une vtesse angulare nfne. - Le nombre des composantes du tenseur se rédut à sx au leu de neuf. Applquant mantenant l'équaton ntégrale des quanttés de mouvement (1.9) à l élément cubque où les tensons composent la force extéreure Fs. En se référant à la fgure (1.6), le prncpe de la conservaton de la quantté de mouvement selon la drecton axale se tradut par: ( σ 11 x+ x - σ 11 x ) y. z + ( σ 21 y+ y - σ 21 y ) x. z + ( σ 31 z+ z - σ 31 z ) x. y + B x. x. y. z = t (ρu) x. y. z + (ρu2 x+ x - ρu 2 x ) y. z + (ρu.v y+ y - ρu.v y ) x. z + (ρu.w z+ z - ρuw z ) x. y Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 13

14 Fgure Dérvaton de l équaton des quantté de mouvement axale pour un élément cubque En dvsant par élément de volume ( x. y. z) et prenant la lmte lorsque x, y, z 0 l'équaton précédente s'écrt : DU σ11 σ12 σ13 ρ = + + +B Dt x y z x (1.24) L'équaton (1.24) représente la conservaton de la quantté de mouvement selon l'axe des x. De la même manère, les équatons de quantté de mouvement peuvent être obtenues selon les axes des y et z. Ces équatons s'écrvent comme sut: DV σ21 σ22 σ23 ρ = + + +B Dt x y z y (1.25) DW σ31 σ32 σ33 ρ = + + +B Dt x y z z (1.26) En notaton tensorelle généralsée: Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 14

15 DU ρ Dt σ ρ U B U U = + = + x t x (1.27) Il est à noter c que le terme de gauche de l'équaton (1.27) représente l accélératon totale de l écoulement qu est la somme de l'accélératon locale temporelle ( U / t) et de l'accélératon convectve (U. U / x ). (D/Dt) est un opérateur de dfférentaton substantelle ou totale. Son expresson dans les dfférents systèmes de coordonnées est montrée en annexe A. Dans le cas général, le flude est vsqueux. On dot examner les relatons entre les tensons σ et les gradents de vtesse ou déformatons ( U / x ). Le tenseur des déformatons (gradents de vtesses) est égal à la somme des deux tenseurs: - Tenseur de déformaton pure, e ; - Tenseur de rotaton (tourbllon), ω. sot : U / x = e + ω (1.28) Avec les composantes du tenseur de déformaton pure, e, et du tenseur tourbllon, ω, sont données par les relatons suvantes: e xx = U/ x ; e xy = e yx = ½ ( U/ y + V/ x) e yy = V/ y ; e yz = e zy = ½ ( V/ z + W/ y) e zz = W/ Z ; e xz = e zx = ½ ( W/ x + U/ z) (1.29) Ω x = ω zy = - ω yz = ½ ( W/ y - V/ z) Ω y = ω xz = - ω zx = ½ ( U/ z - W/ x) Ω z = ω yx = - ω xy = ½ ( V/ x - U/ y) Pour un flude Newtonen, la relaton entre les tensons σ et les gradents de vtesses est une relaton lnéare qu peut s écrre sous la forme : Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 15

16 σ δ µ U U δ 2 U = p. + + x x 3 xk k ξδ U + xk k (1.30) où δ : Delta de Kronecker défn par : δ = 1 pour = δ = 0 pour. ξ : est un coeffcent de vscosté défn par : ξ = λ + 2/3. µ ( ξ = 0 pour les gaz mono atomque. ) En utlsant la relaton (1.30), l'équaton (1.27) s écrt : ρ U t + U U x p µ U U = + B + + x x x x 2 δ U 3 xk k ξδ U k + x xk (1.31) L équaton (1.31) représente les équatons générales de Naver-Stokes. Ces équatons sont complètes et décrvent les écoulements des fludes Newtonens et vsqueux. L'écrture de ces équatons dans les dfférents systèmes de coordonnées est montrée en annexe A. Des smplfcatons consdérables de ces équatons peuvent être obtenues pour un certan nombres d écoulement. - Pour un écoulement de flude ncompressble de masse volumque ρ constante, l équaton (1.31) se rédut à: ρ U t + U U x p µ U U = + B + + (1.32) x x x x En notaton vectorelle : Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 16

17 ρ V t 2 =. p+ B+ µ.. V (1.33) - Pour un écoulement de flude parfat, le terme de vscosté est nul. Les équatons de Naver-Stokes se rédusent donc a : ρ U t + U U x p = + B (1.34) x L équaton (1.34) représente les équatons d'euler pour l écoulement potentel de flude déal. D'une façon générale, les équatons de Naver-Stokes se rédusent aux équatons d'euler s la vscosté du flude ou les dérvées des vtesses dans le sens autre que la drecton de l écoulement moyen sont néglgeables. Cette dernère approxmaton est très mportante en mécanque des fludes. Elle fat l obet de pluseurs approches pour l étude des écoulements. Il est généralement accepté que pour la plupart des écoulements qu s effectuent en présence de paro solde, on dstngue deux régons d écoulement (Fgure 1.7): - Une zone adacente à la paro solde où l effet de vscosté est mportant; Cette zone de l'écoulement est dte couche lmte. Les équatons de Naver-stokes dovent être utlsées sans smplfcatons; - Une deuxème zone lon de la paro où le terme de vscosté est néglgeable; L'écoulement est dt potentel. Les équatons d'euler sont utlsées pour la descrpton de l'écoulement. Ans, cette approche zonale permet de smplfer le problème de la résoluton numérque de l écoulement. Les équatons complètes ne sont consdérées que dans une régon du domane de l écoulement. Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 17

18 Fgure Ecoulement sur une paro solde Equaton de énerge : Consdérons le volume de contrôle schématsé dans la Fgure (1.8). V : étant le vecteur vtesse et q : étant le vecteur la flux de chaleur traversant l'are de surface da. Fgure Volume de contrôle Pou rla dérvaton de l équaton de l énerge Le flux total de chaleur traversant le volume de contrôle est : dq/dt = - cs q.da = cs q. da (1.35) Le traval réalsé par le flude sur le volume de contrôle est : dw/dt = - cs u. σ. da (1.36) Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 18

19 Avec la tenson σ = - p.δ + σ Avec le terme (- p.δ ) représente la contrbuton due à la presson et σ est la contrbuton due au csallement du flude. Comme l à été montré en secton (2.4), le prncpe de la conservaton de énerge pour un volume de contrôle, spécfe que le taux de varaton de l'énerge totale (énerge cnétque, potentelle et nterne) du volume de contrôle est égale au flux de chaleur entrant le volume plus le taux de génératon (producton) de la chaleur, mons le taux du traval effectué par le flude sur son envronnement; donc l'équaton : / t ( cv ρ.e.dv) + cs ρ.u.da = - cs q. da + cs u. σ. da + cv q.dv (1.37) En utlsant le théorème de gauss, et après quelques réarrangements, l'équaton de énerge devent : ρ e t q σ p u u p ' =. + u + Φ + q''' (1.38) x x x x L'énerge totale par unté de masse, e, est : e = u + ½ ρ V 2 + g.z Φ est une foncton de dsspaton défne par : Φ = σ. U / x (1.39) Le terme Φ représente le taux auquel, les contrantes de csallement exercent un traval rréversble sur le flude. U représente les composantes du vecteur de vtesse nstantanée V. Les termes de l équaton (1.38) reflètent un nombre mportant d'nfluences qu ne sont pas touours présentes dans un cas spécfque d écoulement. D après Patankar (1980), cette équaton peut s écrre sous une forme plus smple comme sut: Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 19

20 φ φ λ 2 + U φ =. + S t x x x φ (1.40) φ : une quantté scalare qu peut être l enthalpe h, la température T ou autre; S φ : est le terme de source de l équaton; λ : un coeffcent de conductvté (ou de dffusvté) thermque. Il est ntéressant de noter c que équaton (1.40) décrt le prncpe de conservaton des espèces chmques présentes dans les écoulements de fludes chmquement réactfs, tels que les écoulements de gaz dans les chambres de combuston des moteurs et les écoulements des effluents déchargés dans l atmosphères ou dans mleux aquatques. 4 - Approches utlsées à la résoluton des problèmes de la dynamques des fludes: Dans ce chaptre nous avons développés les équatons fondamentales de la dynamque des fludes. L'obectf est donc de les utlser pour résoudre des problèmes d'ordre pratque. Les méthodes expérmentales représentent une pratque générale pour étuder les phénomènes d'écoulement. Toutefos, les méthodes de résoluton numérques des équatons (Naver-Stokes) régssant les écoulements sont une deuxème alternatve. D'une façon générale, les formes ntégrales des équatons développées en secton 2, sont utlsées pour l'étude des effets globaux (force exercée par l écoulement de flude sur une condute coudée ou sur un rotor de turbne etc...). Tands que les formes dfférentelles sont utlsées pour examner les réparttons des dfférents paramètres des écoulements. Pour une stuaton partculère d'un écoulement, on commence par l écrture des équatons de base, pus on les développe selon les condtons de l'écoulement. La soluton des équatons de Naver-Stokes ne peut être exacte que dans certans cas très lmtés. D'une façon générale, on cherche une soluton approchée a la soluton exacte dont la précson dépend de l'approche numérque et du modèle mathématque utlsé. Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 20

21 La procédure d'une soluton générale d'un écoulement passe par les étapes suvantes : 1 - Défnton et spécfcaton du problème physque: En tenant compte des condtons géométrques de l'écoulement. 2 - Représentaton du modèle physque: En adoptant quelques suppostons >smplfcatrces comme l'écoulement étant undmensonnel, permanent, le flude est parfat etc.... Il est ben évdent que ces suppostons dovent être ustfées. 3 - Etablssement d'un modèle mathématque : En écrvant les équatons décrvant le modèle physque. 4 - Soluton numérque des équatons pour les paramètres désrés : D'une façon générale, on fat appel dans cette étape à des méthodes numérques (méthodes de dscretsaton des équatons dfférentelles, méthodes de résolutons équatons algébrques etc...). L'utlsaton de calculateurs numérques rapdes permet la résoluton de ces équatons avec une précson acceptable en engenere. 5 - Expérmentaton: Cette dernère étape est très mportante pour vérfer la précson du modèle mathématque pour la descrpton du modèle physque étudé. Elle permet auss l améloraton du modèle mathématque chos. Dans les chaptres qu suvent, Nous allons examner les méthodes numérques de résoluton des équatons de Naver-Stokes. Les applcatons de ces méthodes pour l'examen de quelques écoulements pratques dans les dfférents domanes de la scences et de la technologe seront examnées. Technques Numerques de la Dynamque des Fludes CFD - Dr Mohamed Achoun 21