Fonctions usuelles. lim x 1. lim. x α ln x = 0

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1 I Fonction logarithme Fonctions usuelles Définition : n appelle fonction logarithme népérien la primitive de la fonction définie sur ]0, + [ qui s annule en. n notera cette fonction ln. Remarque : L eistence et l unicité d une telle fonction vient du fait que la fonction est continue sur ]0, + [. n a : pour tout de ]0, + [ ln() = t dt (Théorème fondamental) Propriétés : Soient a et b deu réels strictement positifs, et r un réel, on a : ( ) a ln(ab) = ln a + ln b ln = ln a ln b ln (a r ) = r ln a b Remarque : Dans la propriété précédente, r R. En fait, je m avance, car la définition de la fonction puissance n a pas encore été donnée! Mais, on connait les fonctions puissances pour r Q, on peut donc faire la démonstration dans ce cas. Une autre manière d énoncer les résultats précédents : L application ln est un isomorphisme du groupe (R +, ) dans le groupe (R, +). Limites : n a : Soit α > 0, ln = + + ln + ln = 0 α = 0 0 α ln = 0 ln = 0 ln( + ) Variations : n a vu que la fonction logarithme était strictement croissante du fait de la positivité de sa fonction dérivée. Conveité : La dérivée de ln étant C sur ]0, + [, ln est C sur ]0, + [, en particulier deu fois dérivables sur ]0, + [. Et ln :. Donc ln est négative sur ]0, + [, donc ln est concave sur ]0, + [. Représentation graphique : = A e La tangente au point abscisse a pour équation y =. Par définition e est l unique réel solution de l équation ln =. La tangente au point A(e, ) a pour équation y = e. C est la droite (A). ln() n a = 0, donc on a une branche parabolique de direction [). + n a ln() = donc la droite d équation = 0 est asymptote à la courbe. Logarithme de base a Définition : n appelle logarithme de base a, où a est un réel strictement positif distinct de la fonction notée log a définie sur R + par ln ln a Pour a = e on retrouve le logarithme népérien. Pour a = 0 on obtient le logarithme décimal noté log.

2 II Fonction eponentielle Définition : La fonction ln est continue et strictement croissante sur R +, elle réalise donc une bijection de R + sur ln < R + >= R. n appelle fonction eponentielle sa bijection réciproque. D après les théorèmes du cours, c est une fonction continue et strictement croissante sur R à valeurs dans R +. n la note ep. Propriétés : Soit (, y) R et r Q. n a : ep( + y) = (ep )(ep y) ep( ) = (ep ) (ep()) r = ep(r) Du fait de ces propriétés, on pose e = ep() et on prend la notation ep = e. Limites : n a : Soit α > 0 + e = + e + α = + e = 0 + α e = 0 Fonction dérivée n utilise le théorème de dérivation des fonctions réciproques : comme la dérivée de la fonction logarithme ne s annule pas sur son domaine, on en déduit que la fonction eponentielle est dérivable sur son ensemble de définition et, après calcul, sa dérivée est elle-même. n en déduit, en particulier : 0 e = ep (0) =. Maintenant, à l aide d une récurrence, on montre que ep est de classe C n sur R pour tout n N, c est-à-dire, ep est de classe C sur R. Variations et représentation graphique Les variations découlent des résultats précédents. Sa représentation graphique est symétrique de celle de la fonction logarithme par rapport à la première bissectrice dans un repère orhonormé. Elle est convee sur R, admet une branche parabolique de direction [y) ( y = 0 ( e = 0. ). e + = + ) et une asymptote d équation e III Fonctions puissances Définition : Soit α R, on appelle fonction puissance α, la fonction notée α définie sur R + par e α ln. Remarque : Dans le cas où α est un entier naturel, on définit la fonction puissance α sur R comme une fonction polynôme. Dans le cas où α est un entier négatif, on définit la fonction puissance α sur R comme fonction rationnelle. Dans le cas où α est l inverse d un entier naturel pair, on définit la fonction puissance α sur R + comme fonction réciproque de la fonction polynôme puissance α. Dans le cas où α est l inverse d un entier naturel impair, on définit la fonction puissance α sur R comme fonction réciproque de la fonction polynôme puissance α. Si rien n est préciser dans l énoncé sur α, on prend l ensemble de définition : R +. Propriétés : soit (α, β) R et (, y) (R +). n a : α β = α+β ( α ) β = αβ α y α = (y) α α = α = ( ) α

3 Dérivée La fonction f α : α est dérivable dur R + comme composée de fonctions dérivables sur leurs domaines de définition, et f α : α α. En effet, on a pour > 0 f α() = a eα ln = α eα ln e ln Variations D après le calcul précédent, on obtient donc que : f α est strictement croissante sur R + pour α > 0. f α est strictement décroissante sur R + pour α < 0. = αe(α ) ln = α α Limites Des ites des fonctions eponentielle et logarithme, on déduit les ites suivantes : si α < 0 0 si α < 0 + si α < 0 + α = + si α > 0 α = 0 si α > 0 et α α + si 0 < α < = si α = si α = 0 0 si α = si α > La fonction α admet donc : un prolongement continue sur R + si α 0 un prolongement dérivable sur R + si α alpha<0 alpha> alpha= 0<alpha< alpha=0 IV Fonctions trigonométriques hyperboliques A Cosinus et sinus hyperbolique Définition : n définit la fonction appelée cosinus hyperbolique, notée ch, par ch : (e + e ) de R dans R et la fonction appelée sinus hyperbolique, notée sh, par sh : (e e ) de R dans R. Propriétés : ch est paire et sh est impaire. De, plus ep=ch+sh. Et on a la relation importante : R ch () sh () =. En fait, toutes les propriétés de ces fonctions sont faciles à démontrer en revenant à la définition sous forme eponentielle. Par eemple, il y a plein de formules de trigonométrie hyperbolique ( hors programme, ouf!) mais ce n est pas très dur de les retrouver : soit R, on a : ch () = 4 (e + e ) = 4 (e + e + ) = 4 ( ch() + ). D où ch() = ch (). Variations Par opérations sur les fonctions dérivables, ch et sh sont C sur R. De plus, ch = sh et sh = ch. Par somme de fonctions strictement positives, ch est strictement positive sur R, donc sh est strictement croissante sur R. r sh(0) = 0 donc sh est négative sur R et positive sur R +, d où ch est décroissante sur R et croissante sur R +. En particulier, la fonction ch atteint son minimum en 0 qui vaut : R ch().

4 Limites : n a + e = 0 et + e = +, donc ch() + e. De même, sh() + e. Par un raisonnement analoque, il vient : ch() e et sh() e. ch sh B Tangente hyperbolique Définition : n appelle fonction tangente hyperbolique, la fonction notée th définie sur R par th : sh() ch(). Remarque : Puisque la fonction ch ne s annule pas sur R, th est bien définie sur R. C est une fonction beaucoup plus sympathique que la fonction tan, qui elle a des problèmes d ensemble de définition. ch() ch() sh() sh() Par rapport, th est une fonction impaire, C sur R et : R th () = ch () Donc th est une fonction strictement positive sur R donc th est strictement croissante sur R. De plus, d après les équivalents des fonctions ch et sh, il vient : th() + et th(). th réalise donc une bijection de R sur ], [. ( En particulier, on a : R < th() <. ) = ch () = th (). Souvent, on donne différente epression de la fonction th : soit R, on a : th() = e e e + e = e + e = e e +. Ces différentes epressions peuvent servir lorsqu on cherche un comportement ( en + ou en général ) de th. y= th = =-

5 V Fonctions hyperboliques réciproques A Fonction argsh. Définition : La fonction sh réalise une bijection de R sur R. n appelle argsh sa fonction réciproque. C est donc une fonction définie sur R à valeurs dans R. Théorème : argsh est une fonction impaire, strictement croissante et continue sur R. Démonstration : La continuité et la stricte croissance viennent des théorèmes sur les fonctions réciproques des fonctions continues croissantes. Soit R. n a : sh( argsh()) = sh(argsh()) = = sh(argsh( )) donc argsh() = argsh( ) ( bijectivité de sh. ) Théorème : argsh est une fonction C sur R et argsh :. + Démonstration : La fonction sh est C sur R et sh = ch. r la fonction ch ne s annule pas sur R. Par théorème de dérivation des fonctions réciproques, argsh est C sur R et argsh : ch(argsh()). r, soit R, on a : ch (argsh()) sh (argsh()) = donc ch (argsh()) = +. r ch est une fonction positive, d où ch(argsh()) = +. Propriété : Formule à connaitre et à savoir redémontrer : R ch(argsh()) = +. Représentation graphique : n rappelle que la courbe de la fonction sh et la courbe de la fonction argsh sont symétriques l une de l autre par rapport à la droite d équation y =. y= argsh B Fonction argch. Définition : La fonction ch réalise une bijection de [0, + [ sur [, + [. n appelle argch sa fonction réciproque. C est donc une fonction définie sur [, + [ à valeurs dans [0, + [. Propriétés : n a ch argch = Id [,+ [ et argch ch = Id [0,+ [. { [, + [ ch(argch()) = [0, + [ argch(ch()) = Remarques : Le piège est dans la deuième phrase : par eemple, argch(ch( )) = argch(ch()) =. Théorème : argch est une fonction strictement croissante et continue sur [, + [. Attention : La fonction argch n est ni paire ni impaire pour la simple raison qu elle est définie à l aide de la fonction ch sur [0, + [ qui est ni paire ni impaire. Théorème : argch est une fonction C sur ], + [ et argch :. Propriété : Formule à connaitre et à savoir redémontrer : [, + [ sh(argch()) =. La courbe représentative de argch admet une demi-tangente verticale au point (, 0). argch

6 C Fonction argth. Définition : La fonction th réalise une bijection de R sur ], [. n appelle argth sa fonction réciproque. C est donc une fonction définie sur ], [ à valeurs dans R. Propriétés : n a th argth = Id ],[ et argth th = Id R. { ], [ th(argth()) = R argth(th()) = Théorème : argth est une fonction impaire, strictement croissante et continue sur ], [. Théorème : argth est une fonction C sur ], [ et argth :. Représentation graphique : La courbe représentative de argth admet deu asymptotes verticales : la droite d équation = et la droite d équation =. ) argth y= D Epression logarithmique Cette partie est hors programme, mais il est bon de savoir ce qui suit pour ne pas être étonné lors de certains problèmes. Nous allons montrer les relations suivantes : R argsh() = ln( + + ) [, + [ argch() = ln( + ) ], [ argth() = ln ( + ère méthode : n pose f : argsh() ln( + + ). f est bien définie sur R, en effet pour tout R, on a : + > donc + + > 0. + () Par opérations, f est C sur R et f : soit f = Θ. + Donc f est constante sur R, or f(0) = 0, donc f = Θ, d où le résultat. Cette méthode est rapide mais demande de connaitre le résultat! ème méthode : Soit (, y) R R, on suppose y = sh() ( donc = argsh(y) ). n cherche à eprimer en fonction de y : on a y = e e. n pose X = e. Il vient : y = X X donc X yx = 0, le discrimant de cette équation est 4(y + ) > 0, donc elle admet deu solutions X = y + y + et X = y y +. r X > 0 et X < 0, donc X = X = y + y +, d où = ln(y + y + ). VI Fonctions trigonométriques A Fonctions cos,sin Le but de ce paragraphe est de rappeler les propriétés classiques de ces fonctions. Pour ce qui est des formules de trigonométrie, regarder le formulaire. Régularité : les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions définies sur R et C sur R. n a : cos = sin et sin = cos. Plus généralement, on peut écrire : n N cos (n) : cos( + n π ) et sin(n) : sin( + n π ). )

7 cos sin Périodicité et parité : sinus et cosinus sont des fonctions π-périodiques. sinus est impaire et cosinus est paire. B Fonction tan Domaine de définition : La fonction tangente est définie comme le rapport des fonctions sinus et cosinus. Elle n est donc pac définie au points qui annulent le cosinus. Donc le domaine de définition est R { π/+kπ k Z }. Régularité : la fonction tangent est C ] π + kπ, π + (k + )π[ où k Z. De plus tan = + tan = cos. Périodicité et parité : tan est une fonction π-périodique et impaire. sur tous les intervalles de son domaine de définition, c est-à-dire sur les intervalle tan VII Fonctions trigonométriques réciproques A Fonction arcsin. Définition : La fonction sinus réalise une bijection de [ π, π ] sur [, ]. n appelle arcsin sa fonction réciproque. C est donc une fonction définie sur [, ] à valeurs dans [ π, π ]. Propriétés : n a sin arcsin = Id [,] et arcsin sin = Id [ π/,π/]. { [, ] sin(arcsin()) = [ π, π ] arcsin(sin()) = Remarques : Le piège est dans la deuième phrase : par eemple, arcsin(sin π) = arcsin(0) = 0( π). u bien la phrase y = sin() ne signifie pas forcément = arcsin(y) ( elle est vraie si et seulement si [ π, π ]. ) Théorème : arcsin est une fonction impaire, strictement croissante et continue sur [, ]. Démonstration : La continuité et la stricte croissance viennent des théorèmes sur les fonctions réciproques des fonctions continues croissantes. Soit [, ]. n a : sin( arcsin()) = sin(arcsin()) = et arcsin() [ π, π ] donc arcsin() = arcsin( ) ( on pose X = arcsin( ) et Y = dans la remarque précédente. ) Théorème : arcsin est une fonction C sur ], [ et arcsin :. La courbe représentative de arcsin admet deu demi-tangentes verticales au points (, π ) et (, π ).

8 Démonstration : La fonction sin est C sur [ π, π ] et sin = cos. r la fonction cosinus s annule sur [ π, π ] en π et π ( ) (. π De plus sin = et sin π ) =, donc par théorème de dérivation des fonctions réciproques, arcsin est C sur ], [. Et arcsin : cos(arcsin()). r, soit ], [, on a : cos (arcsin ) + sin (arcsin ) = donc cos (arcsin ) =. r arcsin [ π, π ] donc cos(arcsin ) 0 d où cos(arcsin ) =. Propriété : Formule à connaitre et à savoir redémontrer : [, ] cos(arcsin ) =. arcsin B Fonction arccos. Définition : La fonction cosinus réalise une bijection de [0, π] sur [, ]. n appelle arccos sa fonction réciproque. C est donc une fonction définie sur [, ] à valeurs dans [0, π]. Propriétés : n a cos arccos = Id [,] et arccos cos = Id [0,π]. { [, ] cos(arccos()) = [0, π] arccos(cos()) = Remarques : Le piège est dans la deuième phrase : par eemple, arccos(cos( π)) = arccos( ) = π( π). u bien la phrase y = cos() ne signifie pas forcément = arccos(y) ( elle est vraie si et seulement si [0π]. ) Théorème : arccos est une fonction strictement décroissante et continue sur [, ]. La fonction arccos n est ni paire ni impaire pour la simple raison qu elle est définie à l aide de la fonction cosinus sur [0, π] qui est ni paire ni impaire. Théorème : arccos est une fonction C sur ], [ et arccos :. La courbe représentative de arccos admet deu demi-tangentes verticales au points (, 0) et (, π). Propriété : Formule à connaitre et à savoir redémontrer : [, ] sin(arccos ) =. arccos

9 C Fonction arctan. Définition : La fonction tan réalise une bijection de ] π, π [ sur R. n appelle arctan sa fonction réciproque. C est donc une fonction définie sur R à valeurs dans ] π, π [. Propriétés : n a tan arctan = Id R et arctan tan = Id ] π/,π/[. { R tan(arctan()) = ] π, π [ arctan(tan()) = Remarques : Le piège est dans la deuième phrase : par eemple, arctan(tan(π)) = arctan(0) = 0( π). u bien la phrase y = tan() ne signifie pas forcément = arctan(y) ( elle est vraie si et seulement si ] π, π [. ) Théorème : arctan est une fonction impaire, strictement croissante et continue sur R. Théorème : arctan est une fonction C sur R et arctan : +. La courbe représentaitve de arctan admet deu asymptotes : la droite d équation y = π et la droite d équation y = π. Démonstration : La fonction tan est C sur ] π, π [ et tan = + tan. r la fonction + tan ne s annule par sur ] π, π [, donc par théorème de dérivation des fonctions réciproques, arctan est C sur R. Et arctan : + tan (arctan()) = +. Représentation graphique : Remarquer que la fonction arctan est une fonction très sympathique : pas de problème et courbe simple. = π/ arctan =-π/ D Relations à connaitre. Propriété : [, ] arcsin() + arccos() = π. Démontration : n pose f : arcsin() + arccos(). f est continue sur [, ] et dérivable sur ], [. De plus, f = 0. Par théorème fondamental, f est constante sur [, ]. r f(0) = π, d où le résultat. Propriété : [, ] arccos( ) = π arccos(). Démonstration : Idem Propriété : R ( ) arctan() + arctan = π sgn() avec sgn() = si > 0 et sgn() = si < 0.