Construire et de crire une figure ge ome trique De monstrations en ge ome trie plane

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1 Analyse de la figure Notes Géométrie 2016 Construire et de crire une figure ge ome trique De monstrations en ge ome trie plane Construire et décrire une figure géométrique Un programme de tracé est une suite d instructions permettant de construire une figure géométrique. Au concours, on peut trouver trois types de questions : - Effectuer la construction : souvent sans utiliser l équerre, parfois en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée. Il est alors important de laisser apparents les traits de construction qui permettent d attester que les contraintes ont été respectées. - Décrire la construction : il s agit d établir un programme de tracé en utilisant le vocabulaire géométrique adapté. A noter : sauf mention contraire, il n est pas nécessaire de décrire le tracé d une perpendiculaire/ parallèle/médiatrice/parallélogramme uniquement avec le compas, c est alors une perte de temps. - Justifier la construction : il faut alors citer les propriétés qui permettent de vérifier que le dessin respecte bien le cahier des charges. Rédiger un programme de tracé : Cela revient à communiquer des instructions à une personne qui doit reproduire une figure donnée. Le vocabulaire doit être précis et explicite. Pour écrire un programme, il est conseillé de le faire comme si la figure n était pas visible. Exemple : rédiger le programme de tracé de la figure ci-contre. 1. Repérer les figures de base qui constituent la figure : ici il y a un triangle, un milieu, deux droites perpendiculaires et deux droites parallèles. 2. Repérer les liens entre les figures de base et choisir celles qui serviront à réaliser la figure : le milieu est le milieu d un côté du triangle rectangle ; la droite (CK) est perpendiculaire à (AI) qui passe par un sommet du triangle ; la droite (BM) est parallèle à un côté du triangle qui passe par un de ses sommets. 3. Définir une chronologie : on peut placer le point I en premier puis tracer la droite (AI), puis la perpendiculaire à (AI) qui passe par C et la parallèle à (AC) qui passe par B. A noter : cette parallèle peut être tracée à n importe quel moment. 4. Ecrire le programme du tracé : placer un point I milieu de [BC]. Tracer (AI). Tracer la droite perpendiculaire à (AI) passant par C : elle coupe (AI) en K. tracer la droite parallèle à (AC) passant par B : elle coupe (CK) en M. Démonstrations en géométrie plane La démonstration consiste à prouver un énoncé. Elle possède les caractéristiques suivantes : - Toute affirmation est soit une donnée, une définition, une propriété ou la conséquence d une propriété, - Les démonstrations sont réalisables sur des objets géométriques (et non pas sur des dessins à main levée par exemple), - Une fois le résultat démontré, il est considéré comme vrai et n a pas besoin d être redémontré. 1

2 Démonstration par le chainage avant Il s agit de partir des données et d en tirer des conséquences en utilisant des propriétés géométriques (définitions, théorèmes ) Exemple : EAB est un triangle rectangle en A. Soit I le milieu de [AB] et F un point tel que I soit le milieu de [EF]. (AB) est-elle perpendiculaire à (BF)? Réponse : I étant le milieu de [AB] et de [EF], EAFB est un parallélogramme. On peut donc conclure que EA = BF et AF = EB et donc (EA) // (BF) et (AF) // (EB). Il est fréquent de bloquer avec cette méthode car on peut tirer des conséquences de conséquences sans être sûr d arriver à la conclusion. Démonstration par le chainage arrière Il s agit de partir de la conclusion et de lister les propriétés de géométrie susceptibles de mener à ces conclusions. Exemple : EAB est un triangle rectangle en A. Soit I le milieu de [AB] et F un point tel que I soit le milieu de [EF]. (AB) est-elle perpendiculaire à (BF)? Réponse : quelle propriété permet de conclure que deux droites sont perpendiculaires ou qu un triangle est rectangle? Il faut avoir deux droite parallèles et une troisième perpendiculaire à un de ces deux droites parallèles : c est le cas de (AE), (BF) et (AB). Il suffit ensuite de démontrer que (AE) est parallèle à (BF) puisque nous savons déjà que (AB) et (EA) sont perpendiculaires. Comme vu ci-dessus, il faut utiliser la propriété des côtés d un parallélogramme. Rédiger une démonstration La rédaction d une démonstration se fait en chainage avant. Exemple (suite) : on sait que I est le milieu de [AB] et de [EF] : or, si les diagonales d un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un paralélogramme. Donc EAFB est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés sont parallèles deux à deux. Donc (EA) est parallèle à (BF). On sait que EA) et (BF) sont parallèles et que (EA) est perpendiculaire à (AB) car le triangle AEB est rectangle en A. Si deux droites sont parallèles et qu une troisième est perpendiculaire à l une, alors elle est perpendiculaire à l autre. Donc (AB) et (BF) sont perpendiculaires. A noter : il n est pas obligé de citer les propriétés, mais il est nécessaire d en faire apparaître les conditions d utilisation et la conclusion. 2

3 Démonstrations les plus fréquemment demandées au concours Démontrer que deux droites sont perpendiculaires ou qu un triangle est rectangle : Droite Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à l une, alors elle est aussi perpendiculaire à l autre. Médiatrice si une droite est la médiatrice d un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu. si dans un triangle la longueur de la médiane issue d un sommet est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet si une droite pase par un sommet et par l orthocentre du triangle alors elle est perpendiculaire au côté de du triangle opposé par ce sommet si dans un triangle le carré de la longueur du côté le plus grand est égal à la somme des carrés de longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Carré Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux Cercle Si dans un cercle un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point Rectangle si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, sont de même longueur et ses quatre angles sont droits. Losange si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires. 3

4 Démontrer que deux droites sont parallèles : Droite Si deux droites sont parallèles à une troisième alors elles sont parallèles entre elles Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième alors elles sont parallèles entre elles Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle Réciproque du théorème de Thalès : si deux droites sont sécantes en un point A, que chaque droite dispose de deux points B et C et B et C, si AB et enfin si les points A, = AB AC AC B, C et A, B, C sont alignés dans le même ordre, alors les droites sont parallèles. Parallélogramme Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés sont parallèles deux à deux Carré Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre côtés de même longueur, quatre angles droits et ses côtés opposés sont parallèles deux à deux Rectangle si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, sont de même longueur et ses quatre angles sont droits. Losange Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et ses quatre côtés sont de même longueur Angle Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants ou alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles 4

5 Démontrer qu un point est le milieu d un segment : Médiatrice Si une droite est la médiatrice d un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l hypoténuse Si une droite passe par le mmilieu d un côté du triangle et est parallèle à un deuxièle côté elors cette droite passe par le milieu du troisième côté du triangle Si une droite passe par un sommet et par le centre de gravité d un triangle alors elle coupe le côté opposé au sommet en son milieu Si un triangle est isocèle alors la hauteur issu du sommet principal est aussi une médiane et une médiatrice Parallélogramme Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu Losange Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales ont le même milieu et sont perpendiculaires Rectangle Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont le même milieu et son perpendiculaires Carré Si un quadrilatère est un carré alors il a des diagonales qui ont le même milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur 5

6 Démontrer que trois points sont alignés Si AC + CB = AB, alors A, C et B sont alignés Droite Si (AB) et (AC) sont parallèles alors A, B et C sont alignés Angle Si l angle formé par trois points est plats (=180 ) alors ces trois points sont alignés Segment Si un point est un milieu d un segment, alors il est aligné avec les extrémités de ce segment Si trois points appartiennent à la médiatrice d un segment alors ils sont alignés Si trois points appartiennent à la médiane ou bissectrice d un triangle alors ils sont alignés Symétrie Si un point A est l image de B par une symétrie de centre O, alors A, O et B son alignés 6

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