Règles sur le sens de variation des fonctions

Transcription

1 1 ère S Règles sur le sens de variation des fonctions Mots-clefs : - sens de variation (fonction croissante, décroissante) - fonction monotone sur un intervalle Objectif : donner quelques règles permettant d étudier rapidement le sens de variation d une fonction à partir de celui de fonctions de référence (sans calcul, c est-à-dire sans comparer les images de deux réels, comme cela a été fait jusqu à présent). Les démonstrations du chapitre sont à savoir (cependant, on appliquera directement les règles en exercice sans refaire les démonstration). Après ce chapitre, on disposera de règles qui fournissent un moyen rapide et efficace pour déterminer les variations d une fonction. Nous n utiliserons plus la méthode par comparaison de f a et f b. C est une méthode importante à connaître cependant (peu utilisée sur le plan pratique car fastidieuse, mais importante sur le plan théorique comme on peut s en rendre pour les démonstrations de ce chapitre). Nous utiliserons le plus possible les règles données dans ce chapitre. La méthode sera toujours indiquée dans les exercice : tableau ou rédaction. S il s agit de rédaction, des modèles seront même fournis. Nous verrons un peu plus tard cette année un autre moyen extrêmement puissant pour déterminer les variations d une fonction avec les dérivées. En attendant, nous n utiliserons quasiment que les règles étudiées dans ce chapitre pour déterminer le sens de variation des fonctions proposées. I. Variations de la somme d une fonction et d un réel 1 ) Règle u est une fonction monotone sur un intervalle I. k est un réel. La fonction f définie par f (x) = u (x) + k a les mêmes variations que u sur I. Si u est croissante sur I, alors f est croissante sur I. Si u est décroissante sur I, alors f est décroissante sur I. 1

2 ) Démonstration (ROC) H 1 u est croissante Hypothèses H k H 3 f est la fonction définie sur I par que f (x) = u (x) + k. But : on veut démontrer que f est croissante sur I. On utilise la définition. a et b sont deux réels quelconques dans I tels que a b. Il faut démontrer que f (a) f (b). On a : a b avec a et b dans I. Donc d après H 1, on a : u (a) u (b) u (a) + k u (b) + k + k Donc f est croissante sur I. D où f (a) f (b) 3 ) Application : utilisation du sens de variation des fonctions de référence 4 ) Exemple f : x x 3 D f Tableau de variations de f On pose : u( x) x. On a : x f (x) = u (x) + 3. Donc les variations de f sont les mêmes que celles de u. x 0 + Var. de u 0 x 0 + Var. de f 3 (Les valeurs de x ne changent pas ; on ajoute 3 aux ordonnées).

3 II. Variations du produit d une fonction par un réel 1 ) Règle u est une fonction définie sur un intervalle I. k est un réel non nul. La fonction f définie par f (x) = k u (x) a les mêmes variations que u sur I si k > 0. a les variations contraires de u sur I si k < 0. ) Démonstration (ROC) 1 er cas : H 1 u est croissante sur I Hypothèses H k > 0 H 3 f est la fonction définie sur I par f (x) = k u (x) But : on veut démontrer que f est croissante sur I. On utilise la définition. a et b sont deux réels quelconques dans I tels que a b. Il faut démontrer que f (a) f (b). a b avec a et b dans I. Donc d après H 1, on a : u (a) u (b) k u (a) k u (b) k (k > 0) D où f (a) f (b) Donc f est croissante sur I. e cas : idem avec k < 0 (inversion des signes) 3 ) Application : utilisation du sens de variation des fonctions de référence 3

4 4 ) Exemples Exemple 1 f : x x D f > 0 x 0 + Var. de f 0 Exemple f : x 3 < 0 3x D f x 0 + Var. de f 0 Avec les règles du I et du II, on dispose à présent d un moyen rapide et efficace pour déterminer les variations de fonctions qui s écrivent comme produit d une fonction de référence par un réel ou comme somme d une fonction de référence et d un réel. III. Variations de l inverse d une fonction 1 ) Règle u est une fonction définie sur un intervalle I, telle que pour tout x I u (x) 0 et u (x) garde le même signe. 1 La fonction f définie par f ( x) u( x) a les variations contraires de u sur I. u (x) garde le même signe sur I signifie ( x I u (x) > 0) ou ( x I u (x) < 0). 4

5 ) Démonstration H 1 u est croissante sur I Hypothèses H x I u (x) > 0 H 3 f est la fonction définie sur I par 1 f ( x) u( x) But : on veut démontrer que f est décroissante sur I. On utilise la définition. a et b sont deux réels quelconques dans I tels que a b. Il faut démontrer que f (a) f (b). a b avec a et b dans I. Donc d après H 1 et H, on a : 0 < u (a) u (b) D où Donc Conclusion : f est décroissante sur I. 1 u( a) 1 u( b) f (a) f (b). car la fonction inverse est décroissante sur 0 ; On traiterait de manière analogue les autres cas : u est croissante sur I x I u (x) < 0 3 ) Notation u est décroissante sur I x I u (x) > 0 u est croissante sur I x I u (x) < 0 On pourra noter 1 u la fonction f définie sur I par 1 f ( x) u( x). C est la «composée de la fonction u suivie de la "fonction inverse"». 4 ) Reformulation de la règle u est une fonction définie sur un intervalle I telle que x I u (x) 0. La fonction 1 u a les variations contraires de celles de u sur les intervalles où u ne s annule pas. 5

6 5 ) Exemple f : x 1 x 3 D f \ ; ; u (x) = x 3 u est une fonction affine de coefficient directeur > 0 donc u est croissante sur. 3 u s annule pour x. Or la fonction 1 u a les variations contraires de u sur les intervalles où u ne s annule pas c est-à-dire 3 ; 3 et ;. Donc f est décroissante sur 3 ; et sur 3 ;. IV. Variations de la racine carrée d une fonction 1 ) Règle u est une fonction définie sur un intervalle I telle que x I u (x) 0 (on dit que «u est à valeurs positives ou nulles sur I»). La fonction f définie par f ( x) u( x) a les mêmes variations que u sur I. Remarques : L hypothèse «x I u (x) 0» permet de dire que u( x ) existe pour tout x I (si u (x) < 0, u( x ) n existe pas). On n appliquera la règle qu à des fonctions qui vérifient cette hypothèse (sinon on se place sur des intervalles où u est à valeurs positives). ) Démonstration H 1 u est croissante sur I Hypothèses H x I u (x) 0 H 3 f est la fonction définie sur I par f ( x) u( x) 6

7 But : on veut démontrer que f est décroissante sur I. On utilise la définition. a et b sont deux réels quelconques dans I tels que a b. Il faut démontrer que f (a) f (b). a b avec a et b dans I. Donc d après H 1 et H, on a : 0 u (a) u (b). Conclusion : f est croissante sur I. D où : u( a ) u( b) car la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +[ Donc f (a) f (b). On traiterait de manière analogue le cas où u est décroissante sur I. 3 ) Notation On pourra noter u la fonction f définie sur I par f ( x) u( x). C est la «composée de la fonction u suivie de la fonction "racine carrée"». 4 ) Reformulation de la règle u est une fonction définie sur un intervalle I telle que x I u (x) 0. La fonction u a les mêmes variations que celles de u. Avec les règles du III et du IV, on dispose à présent d un moyen rapide et efficace pour déterminer les variations de fonctions qui s écrivent comme inverse ou comme racine carrée d une fonction de référence. V. Variations de la somme de deux fonctions 1 ) Règle u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle I. Si u et v sont croissantes sur I, alors la fonction f définie par f (x) = u (x) + v (x) est croissante sur I. Si u et v sont décroissantes sur I, alors la fonction f définie par f (x) = u (x) + v (x) est décroissante sur I. La fonction f peut être notée u + v. 7

8 ) Idée de démonstration Supposons que u et v sont deux fonctions définies sur un même intervalle I et croissantes sur I (démonstration analogue pour u et v décroissantes sur I). Pour tous réels a et b appartenant à I tels que a b, on a u (a) u (b) et v (a) v (b). En additionnant membres à membres ces deux inégalités de même sens, le sens ne change pas et on obtient : u (a) + v (a) u (b) + v (b). 3 ) Mise en garde Lorsque u et v n ont pas le même sens de variation, on ne peut rien en déduire pour la somme. On ne peut pas conclure lorsque l une des deux fonctions est croissante et l autre fonction est décroissante (voir exemple). 4 ) Exemple f : x x 1 x Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + [. On pose : u (x) = x 1 v( x) x x [0 ; +[ f (x) = u (x) + v (x) u est une fonction affine de coefficient directeur > 0 donc croissante sur et en particulier sur [0 ; + [. v est croissante sur [0 ; + [ (fonction de référence). Donc d après la règle, la fonction f est croissante sur [0 ; + [. VI. Variations du produit de deux fonctions 1 ) Règle u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle I. Si u et v sont deux fonctions croissantes sur un intervalle I et à valeurs positives ou nulles * sur cet intervalle, alors la fonction f définie par f (x) = u (x) v (x) est croissante sur I. Si u et v sont deux fonctions décroissantes sur un intervalle I à valeurs positives ou nulles * sur cet intervalle, alors la fonction f définie par f (x) = u (x) v (x) est décroissante sur I. * «u est à valeurs positives» signifie «x u (x) 0». Le mot «valeurs» correspond ici aux valeurs des images, qui sont lues sur l axe des y. 8

9 Cette propriété s interprète graphiquement de la manière suivante : «u est à valeurs positives» signifie que la courbe représentative de u est au-dessus de l axe des abscisses. La fonction f peut être notée u v (produit des fonctions u et v). ) Démonstration Analogue à celle de la somme de deux fonctions. Supposons que u et v sont deux fonctions définies sur un même intervalle I et croissantes sur I (démonstration analogue pour u et v décroissantes sur I). Pour tous réels a et b appartenant à I tels que a b, on a u (a) u (b) et v (a) v (b). Or u et v sont à valeurs positives sur I donc u (a), u (b), v (a), v (b) sont positifs ou nuls. En multipliant membres à membres ces deux inégalités de même sens, le sens ne change pas et on obtient : u (a) v (a) u (b) v (b). ) Application u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle I. On n appliquera la propriété qu à des fonctions u et v qui sont monotones, de même sens de variation et à valeurs positives ou nulles sur un intervalle. Autrement dit, la règle n est applicable que pour u et v à valeurs positives ou nulles (sinon, se placer sur des intervalles sur lesquels u et v sont à valeurs positives et de même sens de variation). Avec les règles du V et du VI, on dispose à présent d un moyen rapide et efficace pour déterminer les variations de fonction qui s écrivent comme somme ou comme produit de fonctions de référence. VII. Complément sur les représentations graphiques Les deux propriétés ci-dessous sont admises. Elles se démontrent néanmoins aisément. 1 ) Propriété 1 u est une fonction et k un nombre réel fixé. v est la fonction définie par v (x) = u (x) + k. Dans un repère O, i, j, la courbe représentative de v se déduit de celle de u par la translation de vecteur k j. Graphique 9

10 ) Propriété u est une fonction. v est la fonction définie par v (x) = u (x). Dans un repère orthogonal O, i, j, la courbe représentative de v se déduit de celle de u par la symétrie orthogonale par rapport à l axe des abscisses. Graphique y O x C v Donner un exemple de courbe située entièrement au-dessus de l axe et un exemple de courbe située au-dessus et au-dessous de l axe des abscisses. C u 10

11 VIII. Récapitulatif de toutes les règles de sens de variation u et v sont deux fonctions définies sur un intervalle I. k est un réel. u + k Mêmes variations que u k u Mêmes variations que u si k > 0 Variations contraires de u si k < 0 1 u Variations contraires de u sur les intervalles où u ne s annule pas u Mêmes variations que u sur les intervalles où u est positive ou nulle u + v Croissante si u et v sont croissantes Décroissante si u et v sont décroissantes IX. Exemple de mise en œuvre de toutes les règles f : x x x 1 Étudier le sens de variation de f sur ] ; 0]. Règles utilisées 1) x x est décroissante sur ] ; 0]. x x 1 est décroissante sur ] ; 0]. fonction de référence u + k ) x x 1 est croissante sur ] ; 0]. fonction affine x 1 x 1 x 4 x 1 est décroissante sur ] ; 0]. est décroissante sur ] ; 0]. 1 u k u 3) f est décroissante sur ] ; 0]. u + v 11

12 X. Application des règles : variations d une fonction homographique 1 ) Définition ax b On appelle fonction homographique une fonction f définie par une expression de la forme f ( x) cx d a, b, c, d sont des réels tels que a 0. où Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions affines. ) Propriété a, b, c, d sont des réels tels que a 0. f : x ax b cx d On peut écrire f ( x) cx d où et sont deux réels. Cette expression est appelée forme canonique de la fonction homographique f car la variable x ne figure qu à un seul «endroit». 3 ) Variations d une fonction homographiques On utilise la forme canonique et les règles sur le sens de variation étudiées dans ce chapitre (voir exercices). 4 ) Exemple de mise sous forme canonique d une fonction homographique f : x 3 x 1 x On peut écrire que x c est aussi x. On peut donc transformer l écriture du numérateur. f x 3 x 1 x 3 x 7 x 3 x x 7 x 7 3 x 1

13 XI. Résolution approchée d équations 1 ) Problème On s intéresse à des équations de la forme f (x) = k ou f (x) = g (x) (f et g étant deux fonctions). Lorsque l on ne sait pas résoudre une équation de manière exacte, on cherche des valeurs approchées des solutions éventuelles. Dans toute la suite, on se place dans le cadre de la résolution approchée c est-à-dire dans le cas général où la calculatrice donnera une valeur approchée des solutions. Dans certains cas seulement, on obtiendra la valeur exacte (lorsque la(les) solution(s) est un décimal n ayant pas plus de chiffres). ) Utilisation de la calculatrice graphique (résolution graphique) Cas d une équation de la forme f (x) = 0 On représente la fonction f à l aide de la fenêtre standard de la calculatrice. Les solutions de l équation f(x) = 0 sont les abscisses des points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses. On utilise les fonctions zoom et trace pour donner un encadrement des solutions (voir exercices). On sélectionne une partie de la courbe. Cas d une équation de la forme f (x) = k On représente la fonction f à l aide de la fenêtre standard de la calculatrice. Les solutions de l équation f(x) = k sont les abscisses des points de la courbe de f qui ont pour ordonnée k. Il y a deux manières de procéder : 1 ère manière : On transforme l équation pour l écrire f x k 0 On rentre la fonction g : x f x k.. On est donc amené à résoudre l équation g x 0. On procède selon la méthode précédente. e manière : On trace la représentation graphique de la fonction g : x k (fonction constante). On est amené à résoudre l équation f x g x. On résout selon la méthode qui suit. Cas d une équation de la forme f (x) = g (x) On représente les fonctions f et g à l aide de la fenêtre standard de la calculatrice. Les solutions de l équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d intersection des courbes de f et de g. 13

14 Une commande spéciale de la calculatrice permet de déterminer une valeur approchée des coordonnées des points d intersection. Sur TI 83 Plus : nde TRACE et 5 : intersect. First curve? (se placer sur la première courbe) Enter. nd curve? (se placer sur la deuxième courbe) Enter. Guess? Enter. La croix se place automatiquement sur l intersection et les valeurs de X et de Y s affichent. Les solutions de l équation (E) sont les abscisses des points d intersection des représentations graphiques de f et g. On utilise la commande spéciale sur calculatrice permettant de déterminer des valeurs approchées des coordonnées des points d intersection de deux représentations graphiques de fonctions. Sur calculatrice TI : nde trace puis on sélectionne 5 : intersect. Les deux courbes se réaffichent à l écran. La calculatrice va poser des questions : courbe 1? (correspondant à la première fonction rentrée) Un curseur apparaît sur cette courbe. Ce curseur doit être positionné à gauche du point d intersection dont on cherche les coordonnées. Si ça n est pas le cas, on le déplace avec les touches de déplacement horizontal vers la gauche ou vers la droite. On appuie sur entrer. Ensuite, une nouvelle question apparaît à l écran : Courbe? (correspondant à la deuxième fonction rentrée) Même démarche. On appuie sur entrer. Une nouvelle question s affiche : Valeur Init? Il n y a rien à faire. On appuie sur entrer. Le curseur vient se positionner automatiquement sur le point d intersection dont on cherche les coordonnées. Exemple : On cherche l abscisse d un point d intersection de deux courbes de fonctions. On suppose qu an bas de l écran, on lit l affichage suivant : Intersection X = 5, Y =, On a donc 5,771 < 5,7713. Par conséquent, la valeur décimale approchée d ordre 4 par défaut de est 5,

15 3 ) Utilisation d un solveur d équation - utilisation du solveur de la calculatrice - utilisation d un logiciel de calcul formel On obtient le début de l écriture décimale des solutions. 4 ) Méthode de balayage Elle consiste à utiliser des tableaux de valeurs pour obtenir des encadrements des solutions. Cette méthode sera reprise plus tard dans le cours. 5 ) Algorithme de dichotomie Voir cours d algorithmique. 15

16 Maximum et minimum d une fonction sur calculatrice TI : La calculatrice permet de trouver les extremums d une fonction sur un intervalle [a ; b]. Exemple : Déterminer le minimum de la fonction f : x 1 ère méthode : math MATH 6 xfmin(x^- X, X, 0, ) x x sur l intervalle [0 ; ]. On obtient l affichage : 0, On obtient une valeur approchée du nombre x en lequel le minimum de la fonction f sur [0 ; ] est atteint. Même méthode pour le maximum. e méthode : On commence par tracer la courbe représentative de f. On sélectionne la partie de la courbe sur l intervalle [0 ; ]. Il faut taper nde calculs. On sélectionne 3 (minimum) ou 4 (maximum). On procède ensuite comme pour la recherche d une résolution d équation de la forme f x 0. On peut augmenter le nombre de décimales en procédant de la même manière que pour une équation de la forme f x 0. On appuie sur la touche math puis on sélectionne math. On va ensuite dans 0 : solveur. On appuie sur la touche X de manière à obtenir 0 = X. On obtient ainsi davantage de décimales de X. 16

17 Résolution approchée d une équation de la forme f x 0 Exemple : f : x x x 1 Sur calculatrice TI : On cherche à déterminer les solutions de l équation f x 0. On commence par tracer la courbe représentative de f. On appuie ensuite sur les touches : nde trace puise on sélctionne l option (zero). On observe graphiquement qu il y a deux solutions à l équation f x 0. On va sélectionner pour chaque solution un intervalle qui contient cette solution. Pour le premier point d intersection (celui dont l abscisse est positive), une petite croix correspondant à un point apparaît sur la courbe ainsi que ses coordonnées X et Y en bas de l écran et des questions vont être posées : Left bound? On positionne la croix à gauche du point d intersection avec l axe des abscisses, puis on appuie sur enter. Right bound? On positionne la petite croix à droite du point d intersection, puis on appuie sur enter. Valeur Init? Il n y a rien à faire ; on appuie sur enter. Guess? On appuie sur enter. La petite croix vient se positionner exactement ay point d intersection entre la courbe et l axe des abscisses qui nous intéressait. On obtient la valeur du zéro qui nous intéresse grâce aux coordonnées du oint d intersection qui s affichent au bas de l écran : X = 0, Y = 0. On recommence avec le deuxième point d intersection (celui dont l abscisse est négative). 17

18 Applications : L un des objectifs du cours peut être l étude du sens de variation de fonctions simples. Sens de variation de fonctions de la forme x kx et x k x (x x k et x 1 k x ) Sens de variation de fonctions de la forme x 1 ax b et x ax b. Fonctions de référence en 1 ère S : Stock des fonctions de référence en 1 ère - les fonctions affines - la fonction «carré» - la fonction «inverse» - la fonction «cube» - la fonction «racine carrée» - la fonction «valeur absolue» Bilan sur la rédaction : Quand doit-on utiliser un tableau avec les variations de plusieurs fonctions? Quand ou des phrases doit-on utiliser les phrases? Les tableaux sont réservés aux cas où l on applique les règles u + k, ku, 1 u, u. Les phrases seront utilisées dans les autres cas (u + v et uv). 18