TS Exercices sur la fonction exponentielle (1) 12 On considère la fonction f : x ex

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1 TS Erccs sur l foncton ponntll () n consdèr l foncton f : Résoudr dns l équton ) Donnr l nsmbl d défnton D d f ) Détrmnr ls lmts d f n t n 0 n rédgnt convnblmnt (on détllr bn ls clculs n vllnt à l présntton) Résoudr dns l équton 0 Résoudr dns l équton 0 Résoudr dns l néquton 5 5 Résoudr dns l systèm y 5 y 6 n consdèr l foncton f : t l on not s courb rprésnttv d f dns l pln mun d un rpèr,, ) Trcr l courb à prtr d l courb d équton y Eplqur ) Détrmnr ls coordonnés du pont d ntrscton d t 7 n consdèr l foncton f : t l on not s courb rprésnttv dns l pln mun d un rpèr orthogonl,, ) Etudr l prté d f ) Trcr 8 n consdèr l foncton f : t l on not s courb rprésnttv d f dns l pln mun d un rpèr,, ) Détrmnr l équton rédut d l tngnt T à u pont d bscss ( rél qulconqu) ) Détrmnr l bscss du pont A d n lqul l tngnt pss pr l pont B(, 0) n rédgr ns «B T s t sulmnt s» Trcr ctt tngnt 9 n consdèr l foncton f : ) Détrmnr l nsmbl d défnton D d f ) Justfr qu f st dérvbl sur D t clculr ' 0 n consdèr l foncton f : ) Détrmnr l nsmbl d défnton D d f f ) Justfr qu f st dérvbl sur D t clculr ' f Démontrr qu, pour tout rél, on : + n étudnt ls vrtons d un foncton ulr n consdèr l foncton f : ) Donnr l nsmbl d défnton D d f sns donnr d détl ) Détrmnr ls lmts d f n + t n n précsnt s l s gt d un form ndétrmné n consdèr l foncton f : ) Donnr l nsmbl d défnton D d f sns donnr d détl ) Détrmnr ls lmts d f n + t n n précsnt s l s gt d un form ndétrmné 5 n consdèr l foncton f : ) Donnr l nsmbl d défnton D d f ) Détrmnr l lmt d f n 0 6 n consdèr l foncton f : t l on not s courb rprésnttv dns l pln mun d un rpèr,, Démontrr qu dmt un symptot oblqu ; étudr l poston d pr rpport à Vérfr sur l clcultrc grphqu 7 n consdèr l foncton f : t l on not s courb rprésnttv dns l pln mun d un rpèr orthonormé,, ) Étudr f (dérvé n donnnt l résultt sous form fctorsé, lmts t conséquncs grphqus évntulls, tblu d vrtons) ) Rcopr t complétr l tblu d vlurs c-dssous vc l clcultrc 5 0,5,5 f () (vlur rrond u cntèm) Trcr t l tngnt horzontl (pr un doubl flèch) n prnnt cm pour unté grphqu n plcr vc précson ls ponts où coup ls s d coordonnés 8 n consdèr l foncton f : ln t l on not s courb rprésnttv dns l pln mun d un rpèr,, ) Eprmr f () sns brrs d vlur bsolu ) Trcr Vérfr l trcé n utlsnt un clcultrc grphqu ou un logcl d trcé d courb sur ordntur 9 n consdèr l foncton f : 5 ) Détrmnr l nsmbl d défnton D d f f ) Justfr qu f st dérvbl sur D t clculr '

2 0 n consdèr l foncton f : t l on not s courb rprésnttv dns l pln mun d un rpèr orthonormé,, ) Étudr f (nsmbl d défnton sns détllr, dérvé n donnnt l résultt sous form fctorsé, tblu d vrton, lmts t conséquncs grphqus évntulls) ) Détrmnr l pont d ntrscton A d vc son symptot horzontl lculr l coffcnt drctur d l tngnt T n c pont ) Étudr l poston d pr rpport à l symptot ) omplétr l tblu d vlurs c-dssous grâc à l clcultrc,5,5,5 0,5 0 0,5 f () (vlur rrond u cntèm) S = { ; } Soluton détllé : Résolvons dns l équton ondtons d stnc : n dot vor 0 n résout l équton dns () orrgé Trcr, l tngnt horzontl, t l tngnt T n prnnt cm pour unté grphqu Vérfr l trcé n utlsnt un clcultrc grphqu ou un logcl d trcé d courbs sur ordntur n dmttr sns démonstrton qu l courb dmt un brnch prbolqu d drcton (y) n + n consdèr l foncton f : t l on not s courb rprésnttv dns l pln mun d un rpèr orthonormé,, ) Étudr f (dérvé sous form d un sul quotnt vc numértur t dénomntur fctorsés, tblu d vrton, lmts) ) ) Démontrr qu dmt un symptot oblqu n + b) Démontrr qu dmt l drot ' d équton rédut y 5 pour symptot oblqu n ) Étudr l poston d pr rpport à t ' ) Trcr,,' t l tngnt horzontl (on obsrvr qu l s gt d llurs d un tngnt d nflon) Pour l trcé d, on commncr pr fr un tblu d vlurs vc l clcultrc (pr mpl pour ls vlurs d llnt d 7 à 7 vc un «ps» d ) Sot t b du réls strctmnt postfs omprr ln b ln t b Écrr plus smplmnt ls nombrs A t B ln Résoudr dns l néquton 5 Résoudr dns l équton 6 Résoudr dns l équton 0 0 () ln ln = ou = Sot S l nsmbl ds solutons d l équton () S = { ; } Ecrr ls brrs frcton horzontlmnt Fr l chngmnt d nconnu X ; l équton s écrt X X 0 Ls rcns d ctt équton sont évdnts ; on n st ps oblgé d pssr pr l dscrmnnt S = {0 ; ln } Soluton détllé : Résolvons dns l équton 0 () n pos X L équton s écrt X X 0 onsdérons l polynôm X X st un polynôm du scond dgré Ls rcns sont t (rcns évdnts) r X

3 Donc () ou ln ln ou ln ln = ln ou = 0 S = {0 ; ln } Écrr l équton sous l form trouv : S = { + ln ; } Soluton détllé : 0 pus utlsr l chngmnt d vrbl X n S 0 ; ln (vor corrcton détllé plus lon) 5 L systèm n st ps lnér c st-à-dr n st ps d l by c form (à cus d l présnc d ponntlls) n ffctu l chngmnt d nconnu ' b' y c ' X t Y y n s rmèn ns à un systèm lnér 8 7 L nsmbl ds solutons du systèm st S ln, ln (bn notr l présnc d ccolds t d prnthèss pour désgnr l coupl) 6 ) ; on pss d à pr l trnslton d vctur t Trcr pus ; fr pprîtr l vctur d l trnslton sur l grphqu Résolvons dns l équton 0 () 0 ( ) () n pos X ( ) s écrt X X 0 onsdérons l polynôm X X st un polynôm du scond dgré L dscrmnnt st égl à : u 9 8 > 0 donc l polynôm dmt du rcns dstncts dns X X X X X X ) Rédcton-typ (à ppndr) : «Ls coordonnés ds ponts d ntrscton évntuls d t sont solutons du systèm» n put conclur ns : A vc Aln, 7 ) D f st cntré n 0 (l n fut ps oublr ctt condton mportnt) ; f f ; l foncton f st donc pr,, st orthogonl, dmt l ds ordonnés pour d symétr ) omm l rpèr r X Donc () ou = ln ou = ln () = ou = ln + n put vérfr l trcé sur l clcultrc grphqu ou sur un ordntur grâc à un logcl d trcé d courbs 8 ) L équton rédut d T s écrt y ) A S = { + ln ; }

4 9 ) D ; f n st ps un foncton rtonnll cr l foncton ponntll n st ps un foncton polynôm ) f ' 0 ) D ) u u ' v uv' (formul : ' v ) v f ' Etudr l sns d vrton d l foncton f : (ttnton, pour étudr l sgn d f ', l fut résoudr un équton t du néqutons) ; on étblt ns qu f dmt un mnmum globl sur égl à 0 obtnu pour 0 n n dédut qu f 0 Pr sut 0 d où NB : Pour prlr du mmum d un foncton, on put s prmr d plusurs mnèrs n put dr qu «f dmt un mmum globl sur égl à 0 obtnu (ou ttnt) pour 0» ou qu «0 st l mmum globl d f sur obtnu (ou ttnt) pour 0» Rédcton n nlys : ommncr n dsnt : «Démontrons qu :» (quntfctur bn utlsé) ) D ) lm f 0 ; lm f ; 0 lm f 0 f Rppl : S lors lm 0 lm g g lm f 0 n trouv lm f n put uss utlsr l tchnqu du chngmnt d vrbl n posnt X tt tchnqu sr étudé dns l chptr sur ls lmts ; ttndr donc pour fr ctt méthod En, on n rncontr ps d FI ; on trouv : lm f 5 ) D ; ) n rncontr un FI du typ «0 0» n ft un réécrtur f n trouv : lm f (on utls l lmt d référnc lm ) 0 0 n pourrt uss utlsr l chngmnt d vrbl X = ms mu vut ttndr l chptr qu prmttr d pplqur ctt tchnqu 6 f : Rconnssnc d symptot oblqu : n obsrv d bord l form d l prsson d l foncton d mnèr à détrmnr l symptot oblqu f prt ffn prt qu tnd vrs 0 qund tnd vrs + lm f lm 0 donc l courb dmt l drot d équton y = + pour symptot oblqu n + contrrmnt à c qu l on rncontrt n èr S dns ls étuds d fonctons où, n générl, lorsqu un courb dmttt un symptot oblqu n + ll dmttt l mêm n (l pluprt ds fonctons étnt ds fonctons rtonnlls) Attnton : l drot n st ps symptot n cr lm f «0» n st ps un FI Poston d pr rpport à ) D = ) lm f (mttr n fctur dns l prsson d f ; ttnton d bn dr lors f ; on utls l lmt d référnc lm ) ; lm f (l n y ps d form ndétrmné donc on n trnsform ps l prsson d f ) Bn précsr l domn d vldté d l prsson lorsqu l on mt n fctur dot êtr non nul pusqu l pprît u dénomntur n dot touours précsr l domn d vldté ds prssons qu l on écrt f 0 (l ponntll d n mport quo st touours strctmnt postv) t > 0 donc f 0 Donc st touours strctmnt u-dssus d n put vérfr c résultt sur l clcultrc grphqu ou sur un ordntur à l d d un logcl d trcé d courbs Autr méthod (qu complqu un pu) : trnsformr n à chqu fos ) D = ) En +, on rncontr un FI du typ Il y du réécrturs possbls : f (fctorston prtll) ou f (fctorston totl) L duèm réécrtur st cpndnt préférbl lm f lm lm 0 donc l courb dmt l drot d équton y = + pour symptot oblqu n + Poston d pr rpport à

5 f 0 t > 0 donc f 0 Donc st touours strctmnt u-dssus d Qulqus mots du vocbulr usul pour prlr d l poston d un courb pr rpport à un drot : «s trouv» touours strctmnt u-dssus d «s stu» touours strctmnt u-dssus d B 7 ) D ; produt : uv' u ' v uv' f ' ) ; f st strctmnt crossnt sur ; t strctmnt décrossnt sur (pour clculr l dérvé, on utls l formul d dérvton d un ; ; lm f ; lm f 0 (on rncontr un FI ; on ft un réécrtur f f ; dmt l ds bscsss pour symptot horzontl n ; dmt un tngnt horzontl u pont d bscss ; ) coup l ds bscsss u pont A d bscss t l ds ordonnés u pont B d ordonnés n dmttr qu présnt un brnch prbolqu d drcton (y) n +, tourné vrs l bs n : 7,890 (sur l grphqu, mttr ds pontllés t ls vlurs cts sur ls s) ) ; A f 5 0,5,5 (vlur rrond u cntèm) ponts à rspctr Trcr l tngnt u pont d bscss vc un doubl flèch 0,05 0, 0, 0,7,5 5, 7, 6, 0 6, Mttr ls vlurs t du pont n lqul l tngnt st horzontl t rcc fournt un mpl d foncton dont l courb rprésnttv dmt un symptot horzontl ms qu n st vlbl qu n lors qu n prmèr, l pluprt du tmps, lorsqu un courb dmttt un symptot horzontl, ctt symptot horzontl étt vlbl uss bn n qu n + n vérf l trcé n utlsnt un clcultrc grphqu ou un logcl d trcé d courbs sur ordntur (ttnton : un clcultrc grphqu ou un logcl d trcé d courb n trc ps ls tngnts!) 8 f : ln défn sur t rcc st l occson d rvor l noton d vlur bsolu X = X s X 0 X s X 0 n dot prmr ln sns brrs d vlur bsolu n dot donc étudr l sgn d ln suvnt ls vlurs d S, lors ln 0 d où S 0, lors ln 0 Détllr l trcé d : ln f d où f ln ln st confondu vc l courb d l foncton nvrs sur l ntrvll ]0 ; ] t vc l drot d équton y sur l ntrvll [; +[ n trc l drot d équton y = t l courb d l foncton nvrs

6 En rpèr orthonormé, l drot d équton y = st l prmèr bssctrc du rpèr 0 0 Vrton d f f 0 L dérvé s nnul pour = 0 + Détllr l trcé d l courb à l d d un grphqu L courb st l réunon d un morcu d hyprbol t d un dm-drot 9 ) D = ) f st dérvbl sur d près ls règls d opértons lgébrqus sur ls fonctons dérvbls 5 5 u u b b f ' 6 (on utls l formul ' u ' ou ' ) 0 f : ) f st dérvbl sur cr f st l somm d fonctons dérvbls sur f ' (ou ncor f ' ) L sgn d ( 0 ) f ' st l mêm qu clu d ; l fut résoudr du néqutons t un équton f st strctmnt décrossnt sur Lmt n + : ; 0 t strctmnt crossnt sur 0 ; lm donc n +, on rncontr un FI du typ lm Pour lvr l ndétrmnton, l y du méthods : - mttr ou n fctur dns l prsson d f c qu ft ds frctons : - fr un fctorston prtll d l prsson d f : plus smplmnt lm lm f donc pr lmt d un produt lm Pr sut, lm f ( ) Lmt n : donc pr lmt d un somm, lm f ( ) lm lm 0 f f c qu donn l résultt un pu 0 () () ln 0 ln 0 () () ln 0 ln 0 () () ln 0 ln n n dédut qu l courb dmt l drot d équton y = pour symptot horzontl n Encor un fos, ct rcc fournt un mpl d foncton dont l courb rprésnttv dmt un symptot horzontl vlbl unqumnt n ) L bscss du pont d ntrscton d t d st soluton d l équton f () 0 + Sgn d + + Sgn d Sgn d 0 + f ' 0 + () ln () (mpossbl) ou 0

7 ln A donc ya ln ln A ; L tngnt n A à pour coffcnt drctur f ' ln ln ln ln ln f ' 6 n utls (règl sur l logrthm népérn d un rcn crré : ln ln ) Autr fçon : ln ln ln f ' 6 ln ln ln f ' L coffcnt drctur d l tngnt n A à st égl à 6 0,59 g 0 () () ln ln ln Sgn d Sgn d 0 () () ln 0 + g 0 + Rppl : f () «corrspond» à ; «corrspond» à ; ; 0 () () ln ln f donc st strctmnt u-dssous d sur l ntrvll ; f donc st strctmnt u-dssus d sur l ntrvll ; t sont sécnts u pont d bscss fçon : plus smpl D près l tblu d vrton, pour ; donc st strctmnt u-dssous d sur l ntrvll ; f pour ; donc st strctmnt u-dssus d sur l ntrvll ; f ) n utls l clcultrc (tbl) f,5,5,5 0,5 0 0,5 (vlur rrond u cntèm) 0,95 0,9 0,85 0,75 0,60 0, 0,05 0,60 0,5,9 + ) Étudons l poston d pr rpport à l symptot èr fçon : pr clcul : y = n pos : g f

8 f (),00,0 0,0 0,9,8,5,9,08,8,9 5,07 6,0 7,0 8,00 A vlurs rronds u cntèms L courb dmt un tngnt horzontl u pont d bscss 0 (rprésnté pr un doubl flèch) tt tngnt pour équton y = n dmttr qu l équton f 0 dmt du solutons t dns dont l n st ps possbl d donnr d vlur ct L clcultrc prmt d obtnr, comm on l vrr plus trd,,05757 t 0,660 n plc ns vc précson ls du ponts d ntrscton d l courb vc l ds bscsss ) 0 f ' ; l dérvé d f st strctmnt postv sur t s nnul n Donc f st strctmnt crossnt sur lm f t lm f Empl d démrch possbl u broullon : f Quston supplémntr : Démontrr qu dmt l pont (0, ) pour cntr d symétr Utlston du tblu d vlurs pour loclsr l chngmnt d sgn n dmttr qu l équton f 0 dmt un unqu soluton dns L clcultrc prmt d écrr :,978 n dot utlsr l défnton d lorsqu st un rél qulconqu t un rél strctmnt postf : ln ln b ln ln b ln b ln bln ln b ln n obtnt ns t n n dédut qu l on : b A ; ln B S ; 5 ln S ln 6 ln S ln Rst à fr l ms n form u propr ) ) : y b) lm f 5 0 ) st u-dssus d t u-dssous d ) L courb dmt un tngnt horzontl u pont d bscss 0 n commnc pr trcr ls du symptots oblqus t sns trcr

9 Solutons détllés : 6 Soluton détllé : f : Soluton détllé : Résolvons dns l néquton 5 () n pos X L néquton () s écrt X 5 ( ) (cr X ) ) Trçons l courb à prtr d l courb d équton y n constt qu f p D près l cours sur ls fonctons ssocés, st l mg d pr l trnslton d vctur n trc pus ; fr pprîtr l vctur d l trnslton sur l grphqu X 5X ( ) 0 X onsdérons l polynôm X 5X Son dscrmnnt st égl à = 5 6 = Ls rcns d c polynôm sont X t X (n put uss vor qu st un rcn évdnt ou vor drctmnt qu X X X X 5 ( )( ) ) u SGN d X X 0 + 5X num 0 num + SGN d X 0 déno ) Détrmnons ls coordonnés du pont d ntrscton d t SGN d X 5X X + 0 num 0 num + y () Ls coordonnés ds ponts d ntrscton évntuls d t sont solutons du systèm y () Donc ( ) X ; 0 ; r X () () () (') Donc () 0 ou mpossbl ln ln ln 0 ln L nsmbl ds solutons d l néquton S = [0 ; ln ] ( ) ln (n put uss écrr S = [0 ; ln ] cr ln = ln)

10 () () y ln ln n trc l courb rprésnttv d l foncton ponntll (on plc ls ponts A(0 ; ) t B( ; ) ; on put nsut plcr d utrs ponts à l d d l clcultrc) y ln oncluson : Avc A ln, 7 Soluton détllé : f : D f = ) Étudons l prté d f Rppl d l défnton d un foncton pr : n dt qu un foncton défn sur st pr lorsqu f f n sélctonn l prt d l courb pour 0 D f f f D f f f (rppl : = s 0 t = s 0) n n dédut qu f st pr ) Trcé d omm l rpèr,, r + donc + f st orthogonl, dmt l ds ordonnés pour d symétr Donc l courb st confondu vc l courb d l foncton ponntll sur [0 ; +[ Méthod pour trcr : n trc l rprésntton grphqu d l foncton ponntll n sélctonn l prt d l courb sur [0 ; +[ n ffctu l symétr orthogonl d ctt prt pr rpport à l ds ordonnés L courb st l réunon ds du prts trcés précédmmnt sur [0 ; +[ t sur ] ; 0]

11 n trc l symétrqu d ctt prt pr rpport à l ds ordonnés ) Détrmnons l bscss du pont A d n lqul l tngnt pss pr l pont B(, 0) B T ou 0 mpossbl = L tngnt u pont A d d bscss pss pr l pont B (Il fut bn comprndr qu l vlur d trouvé st n ft l bscss du pont A) A L courb rprésnttv d l foncton f st l courb n volt (on mt l nom d l courb n volt) tt courb présnt un «pont ngulu» u pont d bscss 0 (c st-à-dr qu l courb dmt du dmtngnts n c pont) Pour obtnr l vlur bsolu sur l clcultrc, on put utlsr l touch Abs ou bn on utls l églté (ms c st plus complqué t mons ntérssnt) n put dr qu l foncton f st décrossnt sur l ntrvll sur ] ; 0] t crossnt sur l ntrvll [0 ; + [ B 8 Soluton détllé : f : ) Détrmnons un équton d l tngnt T à u pont M d bscss ( ) n pourr notr qu st un prmètr f st dérvbl sur f ' Un équton d l tngnt T à u pont M d bscss s écrt y f ' f sot y sot y sot y Vrson un pu plus court : ) Détrmnons un équton d l tngnt T à u pont M d bscss ( ) f st dérvbl sur t f ' Un équton d l tngnt T à u pont M d bscss s écrt y f ' f sot y ) Détrmnons l bscss du pont A d n lqul l tngnt pss pr l pont B( ; 0)

12 B T yb B 0 = 0 0 L tngnt u pont A d d bscss pss pr l pont B (Il fut bn comprndr qu l vlur d trouvé st n ft l bscss du pont A) 9 f : ) Détrmnons l nsmbl d défnton D d f f st s t sulmnt s 0 L nsmbl d défnton D d f st D = ) Justfons qu f st dérvbl sur D t clculons f ' f st dérvbl sur comm quotnt d du fonctons dérvbls sur comm quotnt d du fonctons dérvbls sur, cll du dénomntur n s nnulnt ps f ' 0 f : ) Détrmnons l nsmbl d défnton D d f f st s t sulmnt s 0 s t sulmnt s s t sulmnt s 0 L nsmbl d défnton D d f st D = ) Justfons qu f st dérvbl sur D t clculons f ' f st dérvbl sur comm quotnt d du fonctons dérvbls sur comm quotnt d du fonctons dérvbls sur, cll du dénomntur n s nnulnt ps f ' Soluton détllé : Étudons l sns d vrton d l foncton f : f st dérvbl sur f ' Étudons l sgn d suvnt ls vlurs d Méthod : Pour étudr l sgn d ctt prsson, on résout du néqutons t un équton 0 () 0 () 0 () () 0 Fr ls flèchs d vrtons à l règl Sgn d () 0 () Vrtons d f f ' 0 + L dérvé s nnul pour = 0 f (on mt ctt vlur dns l tblu d vrton) 0 n n chrch ps ls lmts d f u borns d son nsmbl d défnton cr lls n srvnt ps pour répondr à l quston D près l tblu d vrton, f dmt un mnmum globl sur égl à 0 (obtnu pour = 0) n put donc n conclur qu 0 0 f sot 0 c qu équvut à NB : n mplo l rtcl «un» L rtcl ndéfn st prftmnt dpté c mêm s son usg put choqur n vot qu l foncton un sul mnmum sur IR Dns un phrs, l fudrt donc dr «L mnmum globl d f sur IR st égl à 0» t rcc vlur d méthod

13 Rtnr l méthod : on n put ps démontrr l néglté utrmnt (on put ssyr, on n y rrvr ps) f : ) Détrmnons l nsmbl d défnton D d f f st s t sulmnt s 0 L nsmbl d défnton D d f st D = n put uss écrr : D ; 0 0 ; Ls borns ouvrts d D sont, 0 t + L foncton f st défn dns un vosng d 0 à drot t à guch n étud donc l lmt n 0 + t n 0 ) Détrmnons ls lmts d f n t n 0 lm 0 lm 0 0 donc pr lmt d un quotnt lm f 0 lm donc pr lmt d un somm lm lm n utls l lmt d référnc lm lm donc pr lmt d un produt lm f lm Détrmnons l lmt d f n En, on n rncontr ps d FI n trvll sur l form d «bs» lm lm 0 donc pr lmt d un somm lm f lm 0 lm 0 0 donc pr lmt d un quotnt lm f 0 f : ) L nsmbl d défnton D d f st D = lm 0 donc pr lmt d un quotnt lm lm f 0 ) Détrmnons l lmt d f n + f : ) L nsmbl d défnton D d f st D = lm donc n +, on rncontr un FI du typ lm f (fctorston totl) ) Détrmnons l lmt d f n + En +, on rncontr un FI du typ n procèd à un réécrtur d f () n mttnt n fctur d fçon à utlsr un lmt d référnc f lm donc pr lmt d un produt lm Détrmnons l lmt d f n En, on n rncontr ps d FI n trvll sur l form d «bs» lm f

14 lm 0 lm 0 donc pr lmt d un somm f lm Tblu d vrtons Sgn d 0 + Vrton d f f ' L dérvé s nnul pour = 0 Soluton détllé : ) f st dérvbl sur d près ls règls sur ls opértons lgébrqus d fonctons dérvbls f ' f ' 0 f ' 0 0 = 0 L dérvé d f s nnul pour = 0 f st strctmnt crossnt sur Détrmnons l lmt d f n + lm donc pr lmt d un quotnt on : lm lm () D près () t (), pr lmt d un somm, on : lm f Détrmnons l lmt d f n lm donc pr lmt d un quotnt on : lm lm () D près () t (), pr lmt d un somm, on : lm f lm 0 () lm () ) ) Démontrons qu l courb dmt un symptot oblqu n + c f lm f lm 0 donc l courb dmt l drot d équton y = + pour symptot oblqu n + b) Démontrons qu l courb dmt un symptot oblqu ' n f 5 5

15 lm donc pr lmt d un somm f lm lm 5 0 ' Donc l courb dmt l drot d équton y = + 5 pour symptot oblqu n Rmrqu : l n st ps possbl d trouvr ctt duèm symptot sns ndcton ) Étudons l poston d pr rpport à f 0 donc st touours strctmnt u-dssus d f 5 0 donc st touours strctmnt u-dssous d ) L courb dmt un tngnt horzontl u pont d bscss 0 n commnc pr trcr ls du symptots oblqus t sns trcr f (),00,0 0,0 0,9,8,5,9,08,8,9 5,07 6,0 7,0 8,00 vlurs rronds u cntèms n trc l tngnt u pont (0 ; ) n trc ls symptots oblqus t ' n plc ls ponts corrspondnts u tblu d vlurs n rl ls ponts l plus hrmonusmnt possbl omprons lnb ln t b vc > 0 t b > 0 n dot utlsr l défnton d lorsqu st un rél qulconqu t un rél strctmnt postf : D près l cours, ln b ln ln b ln b ln bln Donc ln b ln b Écrvons l plus smplmnt ls nombrs A t B ln ln A ln B ln ln ln ln ln ln ln

16 Résolvons dns l néquton () () ln S ln (on utls l églté : ln = ln ) ln ln ; ln n pourrt uss écrr : 6 Résolvons dns l équton 0 0 () () 0 0 ( 8) 8 ln ln ln ln ln ln 5 Résolvons dns l équton () ln ( ) ln = ln + ln ln = ln ( ln ) = ln ln ln ln ln () ln ln ln ln ln ln ln Sot S l nsmbl ds solutons d l équton () ln S ln Sot S l nsmbl ds solutons d l équton () ln S ln

17 Qulqus commntrs sur ls solutons détllés : 7 Soluton ntl plus longu pour l ) D f = donc D f st cntré n 0 Not du sptmbr 0 : f : f ' L foncton f ' st strctmnt crossnt sur (sot pr u +, sot pr f "()) f ' (0) = 0 donc 0 Vrson ntl du corrgé : lm f (mttr n fctur dns l prsson d f c qu ft ds frctons : f ou fr un fctorston prtll d l prsson d f : f c qu donn l résultt un pu plus smplmnt) ; lm f ; l courb dmt l drot d équton y pour symptot horzontl n L tngnt n A à pour coffcnt drctur f ' 6 (clcul à fr convnblmnt)