Recherche élégante en maths. Karim Turki

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1 Karim Turki Recherche élégae e mahs

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3 Ava-propos Ce ouvrage propose aux élèves de classes ermiales (spécialié mah) qui veule aller rès loi e appredre la recherche assez o e aux éudias maheux aisi que les eseigas des scieces mahémaiques des problèmes gééraleme difficiles e rès origiaux e élégas, ils pocue des résulas rès célèbres rareme ou jamais vu e ermiale secodaire, pluô, ils fo l objecif du programme du premier cycle supérieur, l aou de l ouvrage es de saisfaire la curiosié des maheux e les élies e les prépara pour developper leur echiques de recherche e leurs offra ue boe culure mahémaique, des asuces rès difficiles e surou des echiques de résoluio de problèmes mahémaiques o courae pour les classes de ermial. L ouvrage présee quelques résula de recherche das la vie de l aueur a parir du secodaire, éude supérieur e sa vie e a qu eseiga de mahémaiques. Les résulas de l ouvrage so soi des ouveaux résulas, soi des résulas célèbres recosrui avec des moyes élémeaires. Les aquis écéssaires pour résoudre les problèmes de l ouvrage so les aquis du bac ou légèreme plus. Les complémes de cours so des résulas rès classiques (qui figure das le programme de ermial uisie spécialié mah e e so pas des objecifs das le programme fraçais) e do la coaissace es uile e idispesable pour résoudre e bie compredre les problèmes proposés. rois chapires so préseés das ce ouvrage : Aalyse Arihméique Complexe 3

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5 «Préseaio de l ouvrage» A/ Arihméique : Problème : Recherche de deux eiers ( a, b) IN vérifia a + b = m avec m u eier rès grad. Problème : x p premier [ ] = p 4 [ ] o cosrui explicieme u eier x vérifia p = s+ Problème 3 : Soi e IN e Si p e p premier alors Si s e p es premier alors Problème 4 : 3 Si premier e 5alors divise La démosraio es rès origiale e assez coure présea sep degrés de difficulés (sep éapes) faisa ierveir simpleme de l arihméique. Problème 5 : U [ p] Si premier e 5 alors divise k= La démosraio de ce résula s ispire de celle de la démosraio précédee. U U p = k k + p C = ( )! k 5

6 Problème 6 : Nouvelle démosraio du résula : Si p premier 4 [ ] alors ( a, b) el que p = a + b. Le ouveau das cee démosraio, c es qu o uilise par la héorie des groupes mais simpleme de l arihméique e se limia aisi au programme du ermial S spécialié mah. Problème 7 : Nouvelle démosraio du héorème des sommes des carrés : m IN* es somme de deux carrés das la décomposiio caoique e 34 [ ] produi de faceur premier, ou faceur premier es d exposa paire. Le ouveau ici es qu o exclue das la démosraio, la héorie de groupe e la remplaça par ue récurrece rès difficile e origiale sur des ombres premiers. O se limie égaleme à l arihméique. Problème 8 : Résula : 3 [ ] Si p premier alors ( a, b) el que : p = a ab+ b. La démosraio se limie égaleme au programme de ermial S spécialié mah : seuleme de l arihméique sas héorie de groupe. Problème 9 : Résula : m IN*, ( a, b) el que m = a + b ab das la décomposiio caoique e produi de faceurs premiers, ou faceur premier 3 [ ] es d exposa paire. La démosraio es aussi ouvelle faisa exclure la héorie des groupes e se limia à l arihméique, e ue ouvelle fois ue récurrece sur les ombres premiers. Problème : résula : l esemble des ombres premiers [ ] es ifii. La démosraio es coforme au programme de ermial S spécialié mah uilisa simpleme de l arihméique. Démosraio ouvelle e origiale. Problème : l esemble des ombres premiers Problème : l esemble des ombres premiers [ 4] [ 3] es ifii es ifii 6

7 Problème 3 : Le bu du problème es de prouver que Δ ( u m,u) = u Δ ( m,) avec ( u ) la suie défiie par : u =, u = e IN u + = u + + u Problème 4 : Le problème démore le résula suiva : 3 Si ( x,p,q) ( IN* ),d ( p,q) e d mp q alors Problème 5 : Le problème démore le résula suiva : Δ ( pa + qb, ra + sb) ( a,b) Calcul de e focio de avec Problème 6 : Δ ( u m,u) = u ( ) Le problème démore le résula suiva : Δ m, ( u avec ) la suie défiie par : u =,u = e IN u+ = 3u + u Problème 7 : Le problème éudie l applicaio idicaeur d Euler e quelques ϕ( ) applicaios, par exemple : Si Δ ( a,) = alors a [ ] ; e si d,d,...,d so les diviseurs de alors sas uiliser la héorie des groupes. Problème 8 : Ce problème éudie les polyômes cyclomaiques, démosraio du s résula suiva : x = φd ( x) i avec d,d,...,ds so les diviseurs de e se i= limia à l arihméique sas uiliser la héorie des groupes. B/ Aalyse : Problème : = Δ = x d = Δ( x mp,x q ) s = ϕ i= ( d ) Calcul de série de Riema d exposa i Δ ps qr = s lim + k= k s ispira des série de Fourier bie ravailler pour êre compaible avec le iveau de ermiale secodaire S. = 6 e 7

8 Problème : Méhode de Holme pour calculer la série de Riema d exposa e so applicaio pour calculer : avec adapé au iveau ermial secodaire (asuces ouvelles rès iéressaes) Problème 3 : Méhode de Papadimirou pour calculer la série de Riema d exposa. Problème log plei de difficulés e asuces origiales. Problème 4 : Iégrales de Wallis e ses applicaio : Formule de Wallis, formule de Sirlig e iégrale de Gauss limx e d, le ouveau das ce problème es l iégrale de Gauss à l aide de Wallis gééraleme éudié e er cycle scieifique supérieur (mah sup.) lim Problème 5 : Le bu de ce problème es de démorer que : k + + k Problème 6 : Calcul de l iégrale de Gauss e uilisa la focio iermédiaire cos e cos iéressaes. si x dx = x x défiie sur p+ x. Le problème présee des difficulés Problème 7 : Ce problème perme de calculer l iégrale de Poisso x Logx dx x ( + ), 4 p IN ( ) = ( + ) I ( x ) = I( x) I x Log x x cos d e démora que qui es u suje d éude du cycle préparaoire aux grades écoles (mah sup. e mah spé.). Il es préseé coforméme au programme de ermial S. Problème 8 : Ce problème perme de calculer l iégrale de Poisso e uilisa la somme de Riema. 8

9 Problème 9 : Le bu du problème es d explicier e développer e série eière la focio cos I ( x) = d pour x ],[. Ce problème a éé le suje d u xcos cocours d admissio à l école polyechique, 86. Ce problème es plei de rucs origiaux coformes au programmes de ermial S. Problème : Ce problème perme de calculer la série ( ) k lim + = + ( λ IR / ) par l iermédiaire de la suie k= k λ λ si λ U = cosλx.cosx dx. Ce problème éai le suje du cocours des mies 984. coforme au programme de ermial S. Problème : Ce problème perme ue ouvelle cosrucio de la focio expoeielle. C es la soluio du problème : H l esemble des applicaios de IR das IR el que : f H i) f:ir IR coiue e O o ideiqueme ulle. f () = e avec e = lim k k! ii) = k x h( x) = lim O démorera que k k! es l uique éléme de H. Ce problème es ue ouvelle vue de la cosrucio de la focio expoeielle. Problème : Ce problème perme de démorer la formule du biôme k k k ( a+ b) = Ca b k= sas uiliser le héorème de récurrece i la héorie de dérivaio. Le ouveau das ce problème es qu il suppose icoue la k C suie das le développeme de ( a+ b). 9

10 Problème 3 : Le bu du problème es de prouver que es irraioel e uilisa de l aalyse e de l arihméique coforméme au programme de ermial S spécialié mah. Problème 4 : Le bu du problème es de prouver que e es o algébrique d ordre c es-à-dire qu il exise pas rois eiers a, b e c o ous uls vérifia : ae + be + c = Problème 5 : Le bu du problème es de jusifier l irraioalié de Problème 6 : Le problème éudie l aire d u cercle par deux méhodes aalyiques e géomérique e démore la formule de Fraçois Vièe à savoir : Problème 7 : Le problème déermie la limie de la suie ( u ) défiie par : u = e IN u = e + Problème 8 : = u e e Le problème défii la focio euréliee Problème 9 : k ( ) IN C = C k= propriéés. sire:c/ Complexe : + x Γ ( x) = e d avec quelques I/ Rappels de cours : i) Théorème de Polémée. ii) La somme des carrés des diagoales d u parallélogramme es égal à la somme des carrés des ses quare côés.

11 iii) Si A, B, C, D e E ciq pois du pla e r > alors il exise u poi C M du cercle ( A,r ) 5 el que MA.MB.MC.MD.ME r. iv) Recherche des applicaio défiies sur vérifia : i i 3 3 z f ( z) + f e z f e z = z v) C es u problème de complexe doa l expressio de cos = 7 6

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13 Chapire Aalyse 3

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15 Problèmes résolus : Problème : (série de Riema d exposa : ) A / Pour IN* o pose : U = = k = k 3 V = + = k = ( k ) k 3 ( ) e ) Trouver deux réels a e b el que ( ). E déduire que = IN*; V ) Morer que U es croissae e que IN*; U V e que ( U ) coverge. B/ Pour IN*, o défii les focios C e S sur [,] par : [, ]; C () = cosk () k= e S = sik ) Morer que [, ]; C () is () IN ; lim = x + k k 6 = = a + b + si.cos E déduire que [ ] () C, ; C = e ( ) =. si k= e + = i i e e i( + ) 5

16 Cee focio C [,] aisi défiie es elle coiue sur? ) Soi g :[, ] IR, g () = si ], ] e g ( ) = + a) Morer que g es coiue sur [,] b) Morer que [, ]; g () = + C() 3) Morer que cos d = e e déduire que = () 4) Morer que avec C/ Soi + si si IN*;U + I = = () 6 U C d I g d f: [, ] IR; f() = si ], ] ef( ) = si ) Morer que f es coiue sur [,], e déduire que M IR el que : [, ] ; f() M ) a) Morer que f es dérivable sur ], ] e calculer f' () pour ], ] f' = b) Morer que f es dérivable e e que ( ) (idicaio : morer que ). 3) a) Morer que b) E déduire que f' es coiue sur [,] c) E déduire M' IR el que [ ] () 4) a) Morer que b) E uilisa ue iégraio par parie morer que c) E déduire 3, ; si 4 3, ; si cos 8, ; f ' M ' + = () IN ; I f si d lim = + k k 6 = lim I = + 6

17 Soluio (P) : A/ ) ) IN*;U+ U= U es croissae ( + ) U es croissae majorée doc U es covergee. B/ IN, = ( ) V = + k = ( k ) k = +... k k k = = = ( ) k k k k k k k k U V ( ) () () IN* ; C = cos k e S = si k k= k= i ( ) ) ], ] C () is () cosd isid e i + = ], ] doc e k + = k + i i i i ( e i ) i + + i e e e.e e.e i = e = = e i e i i i i i e.e e.e + i i si e = i i si e i si + = e. si si + + = cos + i si si 7

18 C es coiue sur [,] g : ) [, ] IR ( + ) si g () = si eg ( ) = + si a) lim g () = lim = = + = g ( ) + +. g es coiue sur [,] b) [, ], C () = g () si ], ] Si = g( ) = + C( ) = +, [, ];g() = + C() 3) Soi IN*, ( ) ( ) + + si.cos si.si C () = e S () = IN* ;, si si é ( ) C = = k= ] ] si ( + ) ( + ) si cos.cos. lim C () = lim = lim = = = C ( ) si si = 3 ( + ) si si ( + ) ( ) + + si + si.cos si si + si + = = si si cos cos = d si = si si = cos d. d 8

19 () C d = cos k d cos k d U = = = k= k= k= k 4) Pour IN* I = g () d U + I = C () g () d 3 = 6 = = 6 6 C/ f () = si ], ] e f ( ) = si ) lim f lim si f f es coiue sur, () = = = = ( ) [ ] + + f es coiue sur u iervalle fermé boré doc M IR el que [, ] f () M U() = ], ], U' () U = lim U =, U > + () ] ] () doc elle es borée es croissae sur, si f Or ], ] () ], ] o a : > > f( ) = Or ], ] f() > M> ; [, ] < f() < M ) a) f es dérivable sur () f' ], ]; ], ] [,] b) À l aide d éude de sige des focios o démore que : ],] si cos f' () = si si cos si cos = 4 si si 3, ; si 4 9