A Roe finite-volume scheme for 1D shallow water flows : wetting and drying simulation
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1 A Roe finite-volume scheme for 1D shallow water flows : wetting and drying simulation Abdou Wahidi Bello, Aurélien Goudjo, Côme Goudjo, Hervé Guillard, Jean-Antoine Desideri To cite this version: Abdou Wahidi Bello, Aurélien Goudjo, Côme Goudjo, Hervé Guillard, Jean-Antoine Desideri. A Roe finite-volume scheme for 1D shallow water flows : wetting and drying simulation. [Rapport de recherche] RR-6046, INRIA. 006, pp.4. <inria v3> HAL Id: inria Submitted on 6 Dec 006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE Un schéma de Volumes-Finis de Roe pour les équations de Saint-Venant 1D : Simulation numérique des bancs-couvrants-découvrants Abdou W. BELLO Aurélien GOUDJO Côme GOUDJO Hervé GUILLARD Jean-Antoine DESIDERI inria , version 3-6 Dec 006 apport de recherche N 6046 Septembre 006 Thème NUM ISSN ISRN INRIA/RR FR+ENG
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4 ÍÒ Ñ ÎÓÐÙÑ ¹ Ò ÊÓ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ½ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ Ó٠Ϻ ÄÄÇ ÙÖ Ð Ò ÇÍ ÂÇ Ñ ÇÍ ÂÇ À ÖÚ ÍÁÄÄ Ê Â Ò¹ ÒØÓ Ò ËÁ ÊÁ Ì Ñ ÆÍÅ ËÝ Ø Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÈÖÓ Ø ÇÔ Ð Ê ÔÔÓÖØ Ö Ö Ò ¼ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ Ô Ê ÙÑ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ Ø Ó ÚÓÐÙÑ Ò Ù Ý Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ú Ø ÖÑ ÓÙÖ ØÓÔÓ Ö Ô ÕÙ ÙÖ ÓÑ Ò ½ º Ú ÙÒ ÓÖ Ò Ð Ä ÖÓÙÜ ½ Ð Ý Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÓÑÔÐ Ø Ô Ö ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ú Ð ÙÖ Ð Ø ÝÑ ØÖ º È Ö ÙÒ Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÓÒ Ð ÓÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ø ¹Ú Ø ÕÙ Ø ÓÒ Õ٠гÓÒ Ð Ò Ö º ÆÓÙ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ Ò Ù Ø ÙÒ ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ ÕÙ ÔÖ ÖÚ Ð ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ð Ö Ø Ø ÕÙ ÙÖ Ð ÔÖ Ò ÓÑÔØ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º Ò Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙÖ Ø Ø ÓÒØ ÔÖ ÒØ º ÅÓØ ¹Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ÚÓÐÙÑ Ò ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ Ñ ÔÓ Ø Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÍÒ Ú Ö Ø ³ ÓÑ Ý¹ Ð Ú ¼½ È ¾ ÓØÓÒÓÙ Ò Ò ÁÆÊÁ ¾¼¼ ÊÓÙØ ÄÙ ÓÐ È ¹¼ ¼¾ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ Ü Ö Ò Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 004, route des Lucioles, BP 93, 0690 Sophia Antipolis Cedex (France) Téléphone : Télécopie :
5 ÊÓ Ò Ø ¹ÚÓÐÙÑ Ñ ÓÖ ½ ÐÐÓÛ Û Ø Ö ÓÛ Û ØØ Ò Ò ÖÝ Ò ÑÙÐ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ò Ø ¹ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÐÐÓÛ¹Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÒÐÙ ¹ Ò ØÓÔÓ Ö Ô ÓÙÖ Ø ÖÑ ÔÖ ÒØ º ÜÔÐÓ Ø Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ý Ä ÖÓÙÜ ½ Ø Ý Ø Ñ Ó Ô ÖØ Ð¹ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ý ØÖ Ú Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÝÑ ØÖݺ Ý ÔÔÐÝ Ò Ò Ó Ú Ö Ð Ø Ý Ø Ñ Ú Ò Ð Ö Øݹ Ô ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ò¹ Ö Þ º Ö ÙÐØ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ê Ñ ÒÒ ÓÐÚ Ö ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÔÓ Ø Ú ØÝ Ó Ø Ð Ö ØÝ Ò ÓÒ ØÖÙØ Ô ÖÑ ØØ Ò Û ØØ Ò Ò ÖÝ Ò ÓÛ ÑÙÐ Ø ÓÒ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ º Ò ÐÐÝ Ø ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö Ð Ø Ø ÔÖ ÒØ º à ݹÛÓÖ Ë ÐÐÓÛ Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ê Ñ ÒÒ ÓÐÚ Ö ÔÓ Ø Ú ØÝ ÔÖ ÖÚ Ò Ñ Û ØØ Ò Ò ÖÝ Ò ÓÛ
6 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ¾ Ä ÑÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º½ Ä Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÍÒ Ñ ØÝÔ Ó ÙÒÓÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ º½ Ä Ò Ö Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ËÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÓÖÖ Ø ÓÒ ÒØÖÓÔ ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ê ÙÐØ Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ ½ º½ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÒÓÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ì Ø½ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ Ì Ø¾ ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º Ì Ø ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾º½ Ì Ø Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º¾º¾ Ì Ø Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÓÒÐÙ ÓÒ ¾ ÊÊ Ò ¼
7 ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä Ú ÐÐ ÓØÓÒÓÙ Ø Ò ÙÒ ÙÚ ØØ ÒØÙÖ ÔÐ Ò ³ Ù Ø ØÖ Ú Ö Ù ÒÓÖ Ù Ù Ô Ö ÙÒ Ò Ð Ð Ä ÙÒ ÓØÓÒÓÙµ ¼¼¼ Ñ ÐÓÒ ÙÖ ¼ Ñ Ð Ö Ö Ð ÒØ Ð Ð ÆÓ ÓÙ Ð³Ó Ò ØÐ ÒØ ÕÙ º½µº Ä ÕÙ ÐÕÙ ÓÙÚÖ ³ Ò Ñ ÒØ ÓÒØ ÔÓ Ð Ú ÐÐ ÓÒØ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ò ÓÖ ÙÖ ÖÓÙØ Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÐÙÔ ÖØ ÓÒÒ Ø Ù Ò Ðº Å Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Ö Ò Ù Ð Ù ³ Ö Ð³ Ú Ù Ø ÓÒ ÙÜ ÔÐÙÚ Ð ÖØ ÔÐÙØØ Ú Ø ÙÖ Ð³ ÒÚ ÓÒ Ð Ú ÐÐ Ô Ö Ð ÙÜ ÖÙ Ù Ò Ðº º ½ Ò Ð ÓØÓÒÓÙ Ä ÓÙÐ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ø Ð Ö Ù ³ ÙØ ÓÒ ³ Ù ÓÒØ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ò ÙÜ Ô Ù ÔÖÓ ÓÒ ÐÐÓÛ Û Ø Öµ Ø ÓÒØ ÐÓÖ Ö Ô Ö ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò Òغ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ Ó Ø ÒÙ Ô ÖØ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Æ Ú Ö¹ ËØÓ ÔÓÙÖ ÙÒ Ù ÒÓÑÔÖ Ð Ò ÒØ Ð³ ÝÔÓØ ÔÖ ÓÒ Ý ÖÓ Ø Ø ÕÙ Ú Ø ÙÒ ÓÖÑ Ù Ú ÒØ Ð Ú ÖØ Ð ³ÙÒ ÓÒ Ø ³ÙÒ ÙÖ Ð Ö ÑÔ ÖÑ Ð º ÇÒ Ð ÑÔÐÓ Ò ÓÑ Ò Ù Ú Ö ÕÙ Ð ÔÖÓØ Ø ÓÒ Ð³ ÒÚ ÖÓÒÒ Ñ ÒØ Ð ÐÙÐ Ñ Ö Ø ÓÒ Ø ÑÔ Ø Ð Ñ ÒØÓÐÓ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ñ Ö ÓÒ Ð³ ØÙ Ö٠غ Ò Ö ÔÔÓÖØ ÓÑÑ ÔÖ Ñ Ö Ø Ô Ò Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÒÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ÙÒ ØÙ Ù Ý Ø Ñ ÙÒ Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ë Òع Î Ò ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô º ËÙ Ú ÒØ Ð³ Ú ÐÓÔÔ Ò ¾ ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ ÙÒ Ñ Ø ¹ Ó ØÝÔ ÎÓÐÙÑ ¹ Ò ¹ÊÓ Î ÊÓ µ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ø ¹Ú Ø ÁÆÊÁ
8 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÕÙ Ø ÓÒ º ÍÒ Ø ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ù Ö ÙÒ Ð Ö Ø Ò Ø Ú Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ Ý ÓÙÐ Òغ ÆÓØÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ Ú ÙÒ Ó Ü Ú Ø ³ÓÒ Ö ÒØ ÒØ Ð ÔÖ ÖÚ Ø ÓÒ Ð ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö º Ò Ù Ø Ö ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ÒÓÙ ÓÔØÓÒ Ð ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ Ò ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÞÓÒ ÒÓÝ»ÒÓÒ¹ÒÓÝ µº Ä ØÖ Ø Ñ ÒØ ØÝÔ Ø ÒØ Ð Ò ÚÙ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ ³ ÒØÖÙ ÓÒ ³ Ù Ò Ð Ú ÐÐ ÓØÓÒÓÙº Ò Ò ÔÓÙÖ Ø Ø Ö Ð ÖÓ Ù Ø ÒÓØÖ Ñ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ ÒÓÙ Ö ÔÖ ÒÓÒ ¹Ø Ø ØÙ Ò ½ ÔÙ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÑÔ ÙÜ ÖÒ Ö ¹Ø Ø ÓÒØ ÔÖ Ò¹ Ø ÔÓÙÖ Ø Ø Ö Ð ÓÖ Ñ ÒØ Ð³ Ù ³ÙÒ Ò Ð Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ µº ¾ Ä ÑÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ò ÓÖ ÖÓØØ Ñ ÒØ Ð Ý Ø Ñ ½ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ø ÓÒÒ Ô Ö h t + (hu) = 0 (hu) t + (hu + 1 gh ) = gh a, (x, t) R R + ½µ u(x, t) Ø Ð Ú Ø Ð³ Ù h(x, t) Ð ÙØ ÙÖ ³ Ù a(x) Ð ÙØ ÙÖ Ð ØÓÔÓ Ö Ô Ù ÓÐ h + a г Ð Ú Ø ÓÒ Ð ÙÖ Ð Ö Ð³ Ù a Ø h + a ÓÒØ ÔÖ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÒ ÔÐ Ò Ö Ö Ò µ g г Ð Ö Ø ÓÒ Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ ÐÐ º Ä Ø ÝÑ ØÖ a Ø ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ù Ø ÑÔ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ð Ý Ø Ñ ½µ Ô Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ a = 0 ½ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ t h t + q q t + ( q h + 1 gh ) = 0 + gh a = 0, (x, t) R R +, ¾µ a t Ó q = hu Ö ÔÖ ÒØ Ð Ø ³ Ùº = 0 ÊÊ Ò ¼
9 ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò ØØ Ø ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ô Ö ÙØ Ð Ø ÓÒ Ø ¹ Ò ÕÙ ÚÓÐÙÑ Ò Ø ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒº º½ Ä Ñ ÐÐ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ Ò ÓÒÒ Ð ÙÖ ÙÒ ÐÓÒ Ù ÙÖ Lº ij ÒØ ÖÚ Ð [0, L] Ø Ù Ú Ò N Ñ ÒØ Ñ Ñ ÑÔÐ ØÙ x = L º ÇÒ Ó Ø ÒØ N ÐÓÖ ÙÒ Ù Ø ÔÓ ÒØ (x j ) j J={0,...,N} Ò Ô Ö x j = j xº ÇÒ ÔÓ x j+ 1 C j = C 0 = C N = = 1 (x j + x j+1 ), j {0, 1,..., N 1} ] [ x j 1 ; x j+ 1, j {1,...,N 1} ] [ x 0 ; x1 ] [ x N 1 ; x N µ C j x j x j 3 x j 1 x j+ 1 x j+ 3 x j 1 x j+1 x º ¾ Ö Ø Ø ÓÒ Ô Ø Ð ÈÓÙÖ Ð Ö Ø Ø ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ Ô Ø ÑÔ t Ø ÙÒ Ù Ø ³ Ò Ø ÒØ t n = n t, n 0º º¾ ÍÒ Ñ ØÝÔ Ó ÙÒÓÚ Ä ØÓÔÓ Ö Ô a Ù ÔÖÓ Ð Ñ ¾µ Ø ÔÔÖÓ Ô Ö Ú Ð ÙÖ Ö Ø a j, j J a j 1 a(x)dx. x C j µ Ò ÔÓ ÒØ ÁÆÊÁ
10 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ a (x) = a j χ j (x), µ Ú χ j (x) = 1 x C j Ø χ j (x) = 0 ÒÓÒ Ð Ý Ø Ñ ¾µ Ø ÔÔÖÓ Ô Ö h t + q q t + ( q h + 1 gh ) + gh a = 0 = 0, (x, t) R R + µ a t = 0 ÈÓ ÓÒ w = h q º Ä ÓÐÙØ ÓÒ w Ù ÔÖÓ Ð Ñ µ Ø ÔÔÖÓ Ô Ö Ú Ð ÙÖ a Ö Ø w n j, j J, n N wj n 1 w(x, t n )dx. x C j µ ÈÙ ÕÙ ÙÖ ÕÙ ÐÐÙÐ C j a = 0 г ÒØ Ö Ø ÓÒ µ ÙÖ C j [t n, t n+1 ] ÒÓÙ ÓÒÒ C j { w(x, t n+1 ) w(x,t n ) } dx + Ó F(w) = ÖÓ Ø xº q q h + 1 gh 0 t n+1 t n t n+1 t n C j { w t + F(w) } dxdt = 0 { } F(w(x, t)) F(w(x +, t)) dt = 0 j+ 1 j 1 x Ø x + Ò ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ø Ù Ø Ä ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ö Ð ØØ ÖÒ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ø ÔÔÖÓ Ò ÙØ Ð ÒØ µº ÁÐ Ö Ø Ö ÐÓÖ Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ð ÙÜ Ñ ÒØ Ö Ð º Ä Ñ Ø Ó ÚÓÐÙÑ Ò Ö ÔÓ ÙÖ Ð Ø ÕÙ³ ØÓÙØ Ò Ø ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ w Ø ÓÒ¹ Ø ÒØ Ô Ö ÐÐÙÐ º Ò Ô ÖØ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ w(x, t n ) г Ò Ø ÒØ t n Ð ÐÙÐ w(x, t) j+ 1, ÊÊ Ò ¼
11 ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ Ø w(x +, t) ÔÓÙÖ t [ t n, t n+1] Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ Ù Ú¹ j 1 ÒØ h t + q q t + a t ( q h + 1 gh ) + gh a = 0 = 0 = 0, µ w(x, t n ) = { wl, x < x j+ 1 w R, x > x j+ 1 Ó w L = w n j Ø w R = w n j+1º ÒÓÒ Ô Ö w n j+1/ (x/t; w L, w R ) Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÙØÓ Ñ Ð Ö µº ÇÒ Ò Ø ÙÜ ÙÜ F n, j+ 1 = F(w n j+1/ (0 ; w L, w R )) Ø F n,+ j+ 1 = F(w n j+1/ (0+ ; w L, w R )) ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ø Ð³ ÒØ Ö x j+ 1 º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ Ð Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù Ú ÒØ w n+1 j = wj n t ( F n, x j+ 1 ) F n,+ j+ 1 µ Ê ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ÁÐ Ú ÒØ ÕÙ ÔÖ Õ٠г ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ Î Ò ÒØ Ö Ò Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ µ ÔÙ ÕÙ ³ Ø ØØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ ÓÙÖÒ Ö Ð ÙÜ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÙØ Ð Öº Ò ÔÓ ÒØ c = gh ÕÙ ÒØ Ö x = 0 Ø Ò ÓÖ ÞÓÒ µ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÁÆÊÁ
12 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ (c) t + u (c) + c u = 0 u t + c (c) + u u + g a a t = 0 = 0 ½¼µ w(x, 0) = { wl, x < 0 w R, x > 0 Ò ÔÓ ÒØ Y (w) = c u a Ú A(Y ) = u c 0 c u g º ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Y t + A(Y ) Y = 0 Y (x, 0) = { YL, x < 0 Y R, x > 0 ½½µ º½ Ä Ò Ö Ø ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ÕÙ ÒØ Ö ÓÒ Ö ÓÙØ Ð Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ù Ú ÒØ Y t + A(Ŷ ) Y = 0 Y (x, 0) = Y 0 (x) = Y L, x < 0 Y R, x > 0 ½¾µ Ó Ŷ = Ŷ (Y L, Y R ) Ø ÙÒ Ø Ø ÑÓÝ Ò Ô Ò ÒØ ÙÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ø Ø Y L Ø Y R Ŷ Ó Ø Ò ÔÐÙ Ú Ö Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ŷ (Y, Y ) = Y º ÍÒ Ó Ü ÔÓ Ð Ø ÓÒ Ŷ = Y R + Y L ½ µ ÊÊ Ò ¼
13 ½¼ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º¾ ËÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ A(Ŷ ) Ñ Ø ØÖÓ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÕÙ ÓÒØ ˆλ 0 = 0, ˆλ 1 = û ĉ, ˆλ = û + ĉ, ½ µ ËÓ٠г ÝÔÓØ ÕÙ û ĉ Ø Ò ÓÖ ÞÓÒ Ð ØÖÓ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÓÒØ ÙÜ ÙÜ Ø ÒØ Ø A(Ŷ ) Ø ÓÒ Ð º ÕÙ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ˆλ k ÒÓÙ Ó ÓÒ ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÖÓ Ø r k R 3 A(Ŷ )r k = ˆλ k r k ½ µ Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ù t l k t l k A(Ŷ ) = ˆλ k t l k ½ µ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ t l j r k = 0, j k. ÈÖ ÙÚ t l j A = ˆλ j t l j = ( t l j A) r k = (ˆλj t l j ) r k = t l j (Ar k ) = ˆλ j t l j r k = t l j (ˆλ k r k ) = ˆλ j t l j r k = (ˆλk ˆλ j ) t l j r k = 0 = t l j r k = 0, j k. Ê Ñ ÖÕÙ º½ t l j r k = l j r k. Ë r Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ˆλ ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ α 0 αr Ø Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ ˆλº ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ó Ö Ð r 0, r 1, r µ Ø l 0, l 1, l µ Ø ÐÐ ÕÙ l j r j = 1 j = 0, 1,. ÇÒ Ô ÙØ ÔÖ Ò Ö ÁÆÊÁ
14 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½½ r 0 = Ø l 0 = g(ˆλ ˆλ 1) g(ˆλ +ˆλ 1) ˆλ ˆλ1 ˆλ ˆλ1 r 1 = l 1 = 1 1 g ˆλ 1 r = l = 1 1 g ˆλ ½¾µ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ÐÓÖ (r 0, r 1, r ) Ø ÙÒ R 3 º Ò Ò ÒØ Ô Ö Y Ð ÓÐÙØ ÓÒ ½¾µ ÓÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ö Ö Y (x, t) = α 0 (x, t)r 0 + α 1 (x, t)r 1 + α (x, t)r Ø Y 0 (x) = α0 0 (x)r 0 + α 0 1 (x)r 1 + α 0 (x)r Y t º { + A(Ŷ ) Y = 0 αi ( ) } t r i + A(Ŷ )r αi i = 0 i=0 i=0 i=0 { αi t r i + º ) } αi (ˆλi r i = 0 { } αi t + ˆλ α i i r i = 0 α i t + ˆλ α i i = 0, i = 0, 1, ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½ ÓÒ α 0 i (x) = 1 α L Y0 r i l (x) l i = Y0 (x) l i = Y L l i, x < 0 i = i α R i = Y R l i, x > 0 Å ÔÓÙÖ ÕÙ i г ÕÙ Ø ÓÒ ³ Ú Ø ÓÒ α i t + ˆλ α i i = 0 α 0 i (x) = { α L i, x < 0 α R i, x > 0 ½ µ ÊÊ Ò ¼
15 ½¾ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ α L i, x t < ˆλ i Ñ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ α i (x, t) = α R i, x t > ˆλ i Ò Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ½¾µ Ø Y (x, t) = Y L + º = Y R ËÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ x/t>ˆλ k (α R k α L k )r k x/t<ˆλ k (α R k α L k )r k ÆÓÙ ÔÖ ÒØÓÒ Ò Ô Ö Ö Ô Ð ØÖÓ ÔÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒ ½¾µ Ò Ð ÔÐ Ò (x, t)º ÇÒ Ò Y (0, t) Ø Y (O +, t) Ô Ö Yl Ø Yr Ö Ô ¹ Ø Ú Ñ Òغ û + ĉ t t û ĉ û ĉ Y l Y r Y l Y r û + ĉ Y L Y R Y L Y R µ : Y l µ x º ÓÙÐ Ñ ÒØ ØÓÖÖ ÒØ Ð Yl = Y L = Y r (α R 0 α L 0 )r 0 Y r = Y R ; µ : µ Y r = Y l + (α R 0 α L 0 )r 0 x û ĉ t Y l Y r û + ĉ Y l = Y L + (α R 1 αl 1 )r 1 Y r = Y R (α R α L )r Y L Y R x º ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÚ Ð ÁÆÊÁ
16 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ º ÓÖÖ Ø ÓÒ ÒØÖÓÔ ÕÙ Ä ÓÐÚ ÙÖ ÊÓ Ô ÙØ ÓÒ Ù Ö ÙÒ Ð Ö Ø Ò Ø Ú ÒØ Ò ÜÔÐÓ Ö Ð³ ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º º º½ È Ö Ü ÑÔÐ ÔÖ ÒÓÒ ÙÒ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø a(x) 0µ Ú u L = 3 ĉ u R = 5 ĉº ÇÒ ÐÓÖ ½ µ Ø ½ µµ ˆλ 1 = 1 ĉ < 0 ˆλ = 3 ĉ > 0º ij ÓÙÐ Ñ ÒØ ÐÓ Ð Ø ÓÒ ÙÚ Ðº Ø ÖÑ ÒÓÒ Ð ÓÑÔÓ ÒØ c l Y l c l = c L + (α R 1 α L 1 )r 1 1 Ú r 1 1 ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ r 1 µ ( = c L 1 (c R c L ) + 1 ) (u R u L ) ( = c L 1 (c R c L ) c ) R + c L = (c R + c L ) < 0 Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Ò Ö ÔÖ Ò ÒØ Ð ØÖÓ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ¹ º ÓÒ Ó Ø ÒØ µ ÚÓ Ö Á º µ µ c l = c R g(a R a L )(ˆλ ˆλ 1 ) ˆλ ˆλ1 c r = c R ½ µ µ c l = 1 c r = 1 c l = c L c r = c L + g(a R a L )(ˆλ ˆλ 1 ) ˆλ ˆλ1 ( (c R + c L ) (u R u L ) g(a ) R a L ) ˆλ 1 ½ µ ( (c R + c L ) (u R u L ) g(a R a L ) ˆλ ) ¾¼µ ÊÊ Ò ¼
17 ½ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º º¾ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾ Ë u R u L < (c R + c L ) ¾½µ ÐÓÖ Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ñ Ø ÙÒ Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø Ò Ø a R a L = 0º È Ö Ù Ø Ð Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ø ÔÓ Ø Ú ³ ÔÖ ½ ½ Ø ¾¼º Ë Ð ÓÒ Ø ÓÒ ¾½µ Ø Ú ÓÐ ÓÒ ÔÓ c r = c l = 0º º º ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô ÇÒ Ó Ø ÐÓÖ ³ Ö ÙÖ Ð Ú Ø ³ÓÒ ˆλ г Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y ÓÒ ÒÓØ Ö λ Ð ÒÓÙÚ ÐÐ Ú Ø Y ÕÙ ÖÓÒØ ÙØ Ð Ò Ð³ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ÇÒ ÙÔÔÓ u R u L < (c R + c L ) ˆλ 1 < 0 < ˆλ Ð Ó Ü λ 1 = ˆλ 1 ( ) g(a R a L ), ar > a L λ = max ˆλ, (c R + c L ) (u R u L ) Ø ( ) g(a R a L ) λ 1 = min ˆλ 1, (c R + c L ) (u R u L ) λ = ˆλ Ô ÖÑ Ø Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ ¾¼º, a R < a L Ë Ð ÓÒ Ø ÓÒ ¾½µ Ø Ú ÓÐ ÓÒ ÔÓ c l = g(a R a L ) 4ˆλ 1 a R > a L Ø c r = 0 c l = 0 c r = g(a R a L ) 4ˆλ a R < a L ÁÆÊÁ
18 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ë ˆλ < 0 Ð Ó Ü λ 1 = ˆλ 1 ( ) λ = min ˆλ, g(a R a L )ˆλ 1 4c Rˆλ1 g(a R a L ), a R > a L Ø { λ1 = ˆλ 1 λ = ˆλ, a R < a L Ô ÖÑ Ø Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ ½ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ë ˆλ 1 > 0 Ð Ó Ü ( ) { λ1 = ˆλ 1 λ 1 = max ˆλ 1, g(a R a L )ˆλ λ = ˆλ, a R > a L Ø 4c Lˆλ g(a R a L ) λ = ˆλ, a R < a L Ô ÖÑ Ø Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y Ð Ö Ø ÔÓ Ø Ú º ÈÖ ÙÚ Ä ÔÖ ÙÚ Ø ÑÑ Ø ³ ÔÖ ½ º º ÌÖ Ø Ñ ÒØ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ÇÒ ØÙ Ò Ð Ó Ð ÙØ ÙÖ Ð³ Ø Ø w R ÓÙ ÐÐ w L Ø ÒÙÐÐ º ÈÓÙÖ Ð Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Y ÒÓÙ ÙØ Ð ÓÒ Ð Ö ÙÐØ Ø ÙÖ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ø Ñ Ø ÓÒ Ú Ø ³ÓÒ λ 1 Ø λ ÍÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ö Ù Ø Ó Ð ÙØ ÙÖ ³ Ù Ø ÒÙÐÐ º ÊÊ Ò ¼
19 ½ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ h L > 0 h R > 0 h R = 0 h L = 0 { λ1 = u L c L { λ1 = u L c L λ = u L + c L λ = u L + c L º Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ Ê ÙÐØ Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ º½ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÒÓÝ Ä ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÓÑ Ò ÐÙÐ Ø L = 5m Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ù Ñ ÐÐ N = 1000 Ð ÙÖ ØÓØ Ð ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø T = 1.s Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ 0 x x 5 h(x, t = 0) 3 4 u(x, t = 0) 0 0 ÁÆÊÁ
20 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ º½º½ Ì Ø½ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÙÖ ÓÒ ÔÐ Ø a(x) = 0, x [0; 5] CFL = 0.8º º Ì Ø½ Ø ¼ µ º Ì Ø½ Ø ½º¾ µ ÊÊ Ò ¼
21 ½ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º½º¾ Ì Ø¾ ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô a(x) = ÙÖ [0; 1.5] Ø a(x) = 0 ÙÖ [1.5; 5] CFL = 0.8º º Ì Ø¾ Ø ¼ µ º Ì Ø¾ Ø ½º¾ µ ÁÆÊÁ
22 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ½ º½º Ì Ø ÓÙÐ Ñ ÒØ Ú ØÓÔÓ Ö Ô a(x) = 4 ÙÖ [0; 1.5] Ø a(x) = 0 ÙÖ [1.5; 5] CFL = 0.6º º ½¼ Ì Ø Ø ¼ µ º ½½ Ì Ø Ø ½º¾ µ ÊÊ Ò ¼
23 ¾¼ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º¾ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ Ä ÐÓÒ Ù ÙÖ Ù ÓÑ Ò ÐÙÐ Ø L = 5m Ð ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ Ñ ÐÐ N = 500 Ð ÙÖ ØÓØ Ð ³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø T Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ Ì Ø 0 x x 5 h(x, t = 0) u(x, t = 0) 0 0 Ì Ø 0 x x x x 5 h(x, t = 0) a(x) a(x) u(x, t = 0) ÁÆÊÁ
24 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ¾½ º¾º½ Ì Ø Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ a(x) = 0 ÙÖ [0; 1.5] Ø a(x) = 1 ÙÖ [1.5; 5] T = s CFL = 0.4º º ½¾ Ì Ø Ø ¼ µ º ½ Ì Ø Ø ¾ µ ÊÊ Ò ¼
25 ¾¾ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ º¾º¾ Ì Ø Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ a(x) ÚÓ Ö ÙÖ µ T = 3s CFL = 0.4º º ½ Ì Ø Ø ¼ µ º ½ Ì Ø Ø µ ÁÆÊÁ
26 ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ ¾ ÓÒÐÙ ÓÒ ÜÔÐÓ Ø ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø ¾ ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ð Ö Ø ¹Ú Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò Òغ Ä Ñ Ø Ó Î ÊÓ ÓÒ Ù Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÒØ Ö Ù Ñ ÐÐ Ô Ø Ð ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒº ÆÓØÖ ÓÒØÖ ÙØ ÓÒ Ø Ò ÒØ ÙÖ Ð Ú Ø ³ÓÒ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ Ö ÒØ ÒØ Ð ÔÖ Ö¹ Ú Ø ÓÒ Ð ÔÓ Ø Ú Ø Ð Ð Ö Ø Ð³ Ø Ø ÒØ ÖÑ Ö Ò Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ñ ÒÒº ij ÜÔÐÓ Ø Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ø ÒÓÙ Ò Ù Ø Ô ÖÑ ³ ÔØ Ö Ð ÓÐÚ ÙÖ Ò ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò ¹ÓÙÚÖ ÒØ ¹ ÓÙÚÖ ÒØ º Ä ÓÐÚ ÙÖ Ê Ñ ÒÒ ÔÔÖÓ ÔÖ ÒØ Ò Ö ÔÔÓÖØ Ô ÖÑ Ø ³ ØÙ Ö ÑÙÐ ¹ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ Ë ÒØ¹Î Ò ÒØ Ñ Ñ Ò ÔÖ Ò ÙØ ÙÖ ³ Ù ÒÙÐÐ Ö ÓÙÚÖ Ñ ÒØ ÓÙÚÖ Ñ Òصº Ä ÔÖÓ Ò Ø Ô ÒÓØÖ ØÖ Ú Ð ÓÒ Ø Ö Ð³ ÜØ Ò ÓÒ Ø Ø Ñ Ò ÓÒÒ Ð º ÊÊ Ò ¼
27 ¾ ºÏº ÄÄÇ º ÇÍ ÂÇ º ÇÍ ÂÇ Àº ÍÁÄÄ Ê ² º¹ º ËÁ ÊÁ Ê Ö Ò ½ Û Ò ÀÁÆÆ Ð Ò¹ Ú Ä ÊÇÍ Ò Æ ÓÐ Ë ÍÁƺ Û Ðй Ð Ò ÒÙÑ Ö Ð Ñ ÓÖ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÐÐÓÛ¹Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ØÓÔÓ Ö Ô Ý Ø Ö ÓÒÒ Ò Ô ÒÓÑ ÒÓÒº ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ Ò Ø ÎÓÐÙÑ ½¹½ ½ ¾¼¼ º ¾ Ì ÖÖÝ ÄÄÇÍ Ì Â Ò¹Å Ö À Ê Ê Ò Æ ÓÐ Ë ÍÁƺ ËÓÑ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ó ÙÒÓÚ Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ ÐÐÓÛ¹Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ØÓÔÓ Ö Ô Ýº ÓÑÔÙØ Ö Ò ÐÙ ¾¼¼½º Ì ÖÖÝ ÄÄÇÍ Ì Â Ò¹Å Ö À Ê Ê Ò Æ ÓÐ Ë ÍÁƺ ËÓÑ Ö ÒØ Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ ØÓ ÓÑÔÙØ ÙÐ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ö Ð Ó º ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð ÓÖ ÆÙÑ Ö Ð Å Ø Ó ÁÒ ÐÙ ½¼ ½½ ¾¼¼¾º Ì ÖÖÝ Í Ê Ì ÖÖÝ ÄÄÇÍ Ì Ò Â Ò¹Å Ö À Ê Ê º ÍÒ Ñ Ñ¹ ÔÐ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÒØ¹Ú Ò Òغ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÙÒ Ú¹ÑÖ º Ö» ÐÐÓÙ Ø»ÈÙ Ð»Ø ¹ ÖØ ½¹ ÚØºÔ º Ú Äº ÇÊ º ÆÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÆÓÒÐ Ò Ö Ë ÐÐÓÛ Ï Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÌÓÔÓ Ö Ô Ý Ò ÖÝ Ó ÙÒÓÚ¹ÌÝÔ Ë Ñ º È Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ï Ò ØÓÒ ¾¼¼ º Ê Ò ÐРº Ä Î ÉÍ º Ò Ø ÚÓÐÙÑ Ñ Ø Ó ÓÖ ÝÔ Ö ÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ¾¼ ¾ ¾º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼¾º Û Ç Ä ÏËÃÁ Ò È ÖÖ ¹ ÖÒ Ù Ê ÎÁ Ê º ÆÙÑ Ö Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÀÝÔ Ö ÓÐ ËÝ Ø Ñ Ó ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ Ä Û Ô ½ º ËÔÖ Ò Ö Æ Û¹ ÓÖ ½ º À ÖÚ ÍÁÄÄ Ê Ò Ê Ñ Ê Äĺ ÓÑÔÖ Ð º ÙØ Ö ¹Ú ÐÐ Ö ¾¼¼½º ÅÓ Ð Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ù º ÊÅÍ º ÊÎÁ Í Âº¹ º ËÁ ÊÁ Ò Åº º Î ÉÍ Æ Çƺ ÍÔÛ Ò Ñ ÓÖ Ø ØÛÓ¹ Ñ ÒØ ÓÒ Ð ÐÐÓÛ Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ú Ö Ð ÔØ Ù Ò ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ñ º ÓÑÔÙغ Å Ø Ó ÔÔÐ º Å º Ò º ½ º ½¼ Ê Ò ÐРº Ä Î ÉÍ Ò Ú Äº ÇÊ º À Ø¹Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ÚÓй ÙÑ Ñ Ø Ó ÓÖ Ø ÐÐÓÛ Û Ø Ö ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÝÑ ØÖÝ Ò ÖÝ Ø Ø º ØØÔ»»ÛÛÛº Ñ Ø ºÛ Ò ØÓÒº Ù» Ö Ð»ÔÙ» Ø Ð Ò ¼» Ø Ð Ò ºÔ ÖÙ ÖÝ ¾¼¼ º ½½ ÇÐ Ú Ö ÌÀÍ Äº ÈÖÓÔ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÖ º ÖØ Ð Ô Ó ÕÙ ¾¼¼ º ½¾ È Ð ÔÔ À ÄÄÍ º ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ ÐÓ ÓÒ ÖÚ Ø ÓÒ ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ º ØØÔ»» ÐÐÙݺÙÒ Ú¹ØÐÒº Ö»ÈÀ È»Ô ÝÔºÔ º ÁÆÊÁ
28 Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 004, route des Lucioles - BP Sophia Antipolis Cedex (France) Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes 4, rue Jacques Monod ORSAY Cedex (France) Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique 615, rue du Jardin Botanique - BP Villers-lès-Nancy Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l Europe Montbonnot Saint-Ismier (France) Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP Le Chesnay Cedex (France) Éditeur INRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP Le Chesnay Cedex (France) ØØÔ»»ÛÛÛº ÒÖ º Ö ISSN
Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ
Plus en détailÎ ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÙÐØ Ë Ò ÓÒÓÑ ÕÙ Î ÄÍ ÌÁÇÆ ÅÈÁÊÁÉÍ Ë Å ÆÁËÅ Ë ÌÊ ÆËÅÁËËÁÇÆ Ë ÀÇ Ë ÇÆ Å ÆÌ Í Ì ÆÇÆ ÇÆ Å ÆÌ Í Î ÊË Ä Ë Å Ê À Ë ÇÍÊËÁ ÊË Ì ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ø ØÖ ÓØ ÙÖ Ä³ÍÒ Ú Ö Ø ËØÖ ÓÙÖ Á ÈÖ ÒØ
Plus en détailÏ Í Å Ò Ò ÁÒØ Ö¹Ë Ø Ò ÐÝ Ù ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÍØ Ð Ø ÙÖ ÁÑÔ Ø ÁÑÑ Ø ÁÒØ Ö Ø Ï Í Å Ò Ò Í Ö Ú ÓÙÖ Ò ÐÝ Û Ø ÁÑÑ Ø ÁÑÔ Ø º Å Ð ½ ¾µ ź Ì Ö ½µ Ⱥ ÈÓÒ Ð Ø ½µ ½µ ÄÁÊÅÅ ÍÅÊ ÆÊË ¼ ½ ½ ÊÙ ¾ ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö Ü Ö Ò ¾µ Ä ÓÖ ØÓ
Plus en détailÊ ÔÔÓÖØ Ø Ù ÐÐ ÙÑ Î Ð ÓÒ ¾ Ù Ò ¾¼¼¼ Ì Ð Ñ Ø Ö Á ÓÖ Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ½ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ¾ Ä ÓÑ Ò ³ Ø Ú Ø ¾º½ Ñ Ò ØÖ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ö Ø ØÙÖ Ö ÙÜ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º
Plus en détailÓÐ ÓØÓÖ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ë Ò Ø Ì ÒÓÐÓ Ð³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Í Ê ÁÅ ÓÖÑ Ð Ø ÓÒ ÓÒÒ Ò ÓÙÑ ÒØ Ö Ø ÓÒÒ Ò ÓÒ ÔØÙ ÐРг ³ÓÒØÓÐÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÓÙÑ ÒØ Ù ÓÚ Ù Ð ÌÀ Ë ÔÖ ÒØ Ø ÓÙØ ÒÙ ÔÙ Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Å Ö ¾¼¼ ÔÓÙÖ
Plus en détailÍÒ Ú Ö Ø ÅÓÒØÖ Ð ÍÒ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÙÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ Ñ ÑÓ Ö ³ ÒØÖ ÔÖ Ô Ö ÇÐ Ú Ö Ö Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ö Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ÙÐØ ÖØ Ø Ò Ì ÔÖ ÒØ Ð ÙÐØ ØÙ ÙÔ Ö ÙÖ Ò ÚÙ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ Ù Ö È
Plus en détailÌ ÖÖÝ ÅÓÝ ÙÜ ÖÓÙÔ Å Ë ÂÙ ÐÐ Ø ¾¼¼¾ Ì Ò ÕÙ ÑÙÐØ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙØ ÓÒ Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÙÒ Ò ÐÓ Ø ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ò Ù ØÖ ÓÖ Ø Ö Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º Ö Ñ ¹ Ö Ó¹ Ö Ø ÙÖ ÈÖÓ º ËÓÔ ³ ÑÓÙÖ ÈÖÓ º ÖÒ Ö Ô Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓØÓÖ
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