Suites numériques Raisonnement par récurrence

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1 Chapitre Suites numériques Raisonnement par récurrence I. Suites numériques : rappels et coméments 1. Modes de génération d une suite Soit n 0 un entier naturel. Une suite numérique u une fonction qui à tout entier n n 0 associe un nombre réel u(n) que l on note u n et qui se lit «u indice n». Notations : Une suite u se note (u n ) n n0 ou (u n ). On écrit u n N R n u n = u n n est appelé l indice ou le rang du terme u n et u n est appelé terme général de la suite. Il existe deux façons de définir une suite : a) Suite définie par une formule exicite : suite fonctionnelle Tout terme de la suite est défini en fonction de l entier n : u n = f(n) b) Suite définie par une relation de récurrence : suite récurrente Tout terme de la suite est défini en fonction d un ou des précédents : u n+1 = f(u n ) ou u n+1 = f(u n, u n 1 ) et par la donnée du ou des premiers termes.. Représentation graphique d une suite Une suite peut être représentée soit sur un axe, soit dans le an. Une suite fonctionnelle est représentée uniquement par les points de coordonnées (n; u n ). Une suite récurrente est représentée par un «chemin», en utilisant la courbe représentative de f et la droite d équation y = x. 3. Comportement global d une suite a) Sens de variation d une suite Soit n 0 un entier naturel. Soit (u n ) n n0 une suite de réels. On dit que la suite (u n ) n n0 est croissante n n 0, u n+1 u n. On dit que la suite (u n ) n n0 est décroissante n n 0, u n+1 u n. On dit que la suite (u n ) n n0 est constante n n 0, u n+1 = u n. Remarque : Une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Mais, attention, une suite peut être ni croissante, ni décroissante. Exeme : u n = ( 1) n, n N.

2 Comment étudier les variations d une suite? Cas général : on étudie le signe de la différence u n+1 u n. Cas particuliers : Cas de suites à termes positifs ( u n > 0, n N) : on compare u n+1 à 1. u n Cas de suites fonctionnelles : (u n ) possède le même sens de variation que celui de la fonction f associée sur [0; + [. (la réciproque est fausse) Exemes : Etudier le sens de variation des suites suivantes : (1) u n = n +, n N () u n = 1 3n, n N (3) u n = n + 1, n N n b) Suites majorées, minorées, bornées Soit u n une suite de réels et m et M deux réels. On dit que la suite u n est majorée par M n N, u n M. M est appelé le majorant de la suite u n On dit que la suite u n est minorée par m n N, u n m. m est appelé le minorant de la suite u n On dit que la suite u n est bornée u n est majorée et minorée. Remarques : Toute suite croissante est minorée par son premier terme. Toute suite décroissante est majorée par son premier terme. Toute suite à termes positifs est minorée par 0. Exemes : On considère les suites u n, v n et w n définies par : u n = 4 cos n, n N ; v n = 4 1 n 5, n N ; wn = n+1 3n 1 (1) Démontrer que les suites u n et v n sont bornées. () Démontrer que la suite w n est majorée par 3., n Suites particulières a) Suites arithmétiques Définition Une suite (u n ) est dite arithmétique il existe un réel r tel que n N, u n+1 = u n + r. Expression de u n en fonction de n Une suite (u n ) est dite arithmétique de raison r n N, p N : u n = u p + n p r. En particulier : n N, u n = u 0 + nr et n 1, u n = u 1 + n 1 r

3 r > 0 r < 0 Représentation graphique entiers de 1 à n n 1: S = n = n(n+1) termes d une suite arithmétique S = u 0 + u 1 + u + + u n = (n + 1) (u 0 + u n ) S = (Nombre de termes) (premierterme + dernier terme) b) Suites géométriques Définition Une suite (u n ) est dite géométrique il existe un réel q tel que n N, u n+1 = q u n. Expression de u n en fonction de n Une suite (u n ) est dite géométrique de raison q n N, p N : u n = u p q n p. En particulier : n N, u n = u 0 q n et n 1, u n = u 1 q n 1 q > 1 0 < q < 1 Représentation graphique (q > 0) puissances successives d un nombre réel q 1, n 1: S = 1 + q + q + q q n = 1 qn+1 1 q termes d une suite géométrique S = u 0 + u 1 + u + + u n = u 0 1 qn+1 1 q, q 1 de termes 1 qnombre S = (Premier terme), q 1 1 q

4 II. Raisonnement par récurrence Objectif : On doit prouver qu une propriété P(n) est vraie n n 0, avec n et n 0 entiers naturels, n 0 étant fixé. Cette propriété P(n) à démontrer peut être une égalité, une inégalité, une propriété exprimée par une phrase, etc. Un exeme pour exiquer : On considère la propriété P(n) : «n N, 8 n 1 est un multie de 7». P(0) est vraie : = 1 1 = 0 = 7 0 ; P(1) est vraie : = 8 1 = 7 = 7 1 ; On peut continuer et vérifier que P, P(3), etc. sont vraies. Mais P(n) est-elle vraie pour tout entier n? Pour le vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible. Pour démontrer la propriété P(n) on utilise un raisonnement appelé raisonnement par récurrence. Principe de raisonnement par récurrence : Propriété : Principe de récurrence (ou axiome de récurrence) Pour démontrer par récurrence qu une propriété P(n), dépendant d un entier n, est vraie n n 0, on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P(n 0 ) est vraie. Hérédité : on démontre que pour un entier n n 0, si P(n) est vraie alors P(n + 1) est vraie. Conclusion : n n 0, P(n) est vraie. On peut illustrer le principe de récurrence à l aide d un escalier. Si on peut accéder à une marche n 0 de l escalier (initialisation) et si on sait passer d une marche à une autre (hérédité) alors on peut accéder à toute marche au-dessus de n 0. Remarque : La condition d hérédité est une imication : on suppose que P n est vraie pour un entiern n 0 (c est l hypothèse de récurrence, notée HR) et on montre qu alors P(n + 1) est vraie aussi. Rédaction d une récurrence : Initialisation : P(0) est vraie. Hérédité : On suppose que pour un entier n 0, P(n) est vraie, c est-à-dire que pour un entier n 0, 8 n 1 est un multie de 7 est vraie (HR) et on démontre que P(n + 1) est vraie, c est-à-dire que 8 n+1 1 est un multie de 7 est vraie. Puisque 8 n 1 est un multie de 7 alors il existe k N tel que 8 n 1 = 7k. (HR) Or 8 n+1 1 = 8 8 n 1 = 8 7k = 56k + 7 = 7(8k + 1) avec 8k + 1 N On en déduit que 8 n+1 1 est un multie de 7 donc que P(n + 1) est vraie. Conclusion : Donc, par récurrence, n N, 8 n 1 est un multie de 7. Importance de l initialisation : Bien que l initialisation soit souvent sime à vérifier, elle n en demeure pas moins indispensable. En effet, une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie. Exeme : «n est divisible par 3» est héréditaire mais elle n est vraie pour aucun entier n.

5 Apications : n n n + 1 (n + 1) (1) Démontrer que, n 1, k² = 6. k=1 () Soit la suite u n définie par u 0 = 0 et n N, u n+1 = u n + 1. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n = n 1. (3) On considère la suite u n définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = u n +. a) Etudier les variations de la fonction f définie sur [ 1; ] par f x = x +. b) Démontrer que n N, 1 u n u n+1. c) Quelles propriétés cela traduit-il relativement à la suite u n? Objectif : Je dois : Savoir mener un raisonnement par récurrence.