Fiche méthodologique Suites récurrentes réelles u n+1 = f(u n )
|
|
- Léonard Tassé
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Fiche méthodologique Suites récurrentes réelles u n+1 = f(u n ) BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain Tous les résultats donnés sur cette fiche sont à redémontrer au cas par cas. Le programme officiel parle simplement d exemples d étude de suite u n+1 = f(u n ). Il s agit donc ici simplement d étudier des exemples «en parallèle» pour extraire une méthode générale. Dans cette fiche, on définit le plan général d étude des suites (u n ) n N définies par : u D donné, u n+1 = f(u n ), où f : D R est une fonction réelle. On parle de suites itérées ou de suites récurrentes. Plusieurs remarques : tout d abord se pose la question de la définition de la suite : il est possible que pour un n donné on ait u n qui existe mais qui ne soit pas un élément de D et donc f(u n ) = u n +1 n existe pas. On résout cette question généralement par récurrence en montrant que la suite ne «sort» pas de l ensemble D. Les suites géométrique, arithmétique et arithmético-géométrique sont des exemples, mais hormis dans ces cas simples, on n a pas l expression explicite de u n en fonction de n. De ce fait, on utilise très souvent le théorème sur les suites monotones bornées. On utilise aussi la récurrence, puisque la suite est définie par récurrence. Attention, le comportement de la suite n est pas directement lié au comportement de la fonction : par exemple, ce n est pas parce que la fonction f est croissante que la suite (u n ) va être croissante. De même, lim x f(x) = + ne signifie en rien que lim n u n = +. Représentation graphique La première étape de l étude consiste à représenter les termes de la suite. Pour cela, il faut représenter la courbe C : y = f(x) et la droite : y = x. Les points d intersection sont les solutions de l équation x = f(x). Ensuite, en partant de u sur l axe des abscisses, on le projette sur la courbe C (verticalement) de manière à calculer u 1. On est donc sur le point (u, u 1 ). On projette ce nouveau point sur de manière à se mettre sur le point (u 1, u 1 ). On projette de nouveau sur la courbe C de manière à calculer u. Puis on retourne sur pour obtenir le point (u, u ). On réitère ce procédé (courbe C puis ). On obtient ainsi la convergence et la monotonie de la suite. Il ne reste plus qu à le démontrer. Attention : on commence verticalement jusqu à la courbe de la fonction.
2 Les figures 1,, 3 et 4 montrent le type de graphique obtenu Figure 1 Exemple de la suite définie par u = 1 et u n+1 = un Figure Exemple de la suite définie par u = 1.5 et u n+1 = u n.
3 1 1 Figure 3 Exemple de la suite définie par u = 1.5 et u n+1 = sin(u n ) Figure 4 Exemple de la suite définie par u = a > et u n+1 = u n + u n Intervalle stable La première étape consiste souvent à démontrer que la suite est bien définie. Pour cela, il s agit de démontrer que la suite u n ne «sort pas» de l ensemble D. On utilise souvent un raisonnement par récurrence et une propriété du type : u n D f(u n ) D. Il est important de remarquer sur l étude graphique que la suite reste dans un intervalle fixé. Généralement, on le démontre en étudiant les variations de la fonction f.
4 D une manière générale, il est important de déterminer graphiquement les intervalles I, tels que : x I, f(x) I. (on dit alors que l intervalle I est stable par f). Exemple: Pour la suite u n+1 = u n et u = 1.5, il s agit de montrer que n N, u n. En essayant de procéder par récurrence, on voit que cela est impossible en utilisant un énoncé du type : u n. En étudiant les variations de la fonction f on voit que l intervalle [, ] est stable par f. On regarde donc plus attentivement le graphique et on voit qu en fait n N, u n [, ]. Démontrons cette propriété par récurrence. L initialisation est évidente. Pour l hérédité, supposons n fixé tel que u n [, ], on voit alors clairement que u n. D où la proposition et l existence de la suite. Il est important de déterminer un ensemble D le plus petit possible, tel que tous les termes de la suite vérifient u n D à partir d un certain rang. Cela permettra, par exemple, d utiliser la propriété des suites monotones et bornées pour prouver la convergence. Limite éventuelle, point fixe Définition 1. On dit que l est un point fixe de f si f(l) = l. Proposition 1. Si la fonction f est continue sur D, et si u n converge vers une limite l D, alors u n converge vers un point fixe. Autrement dit la limite d une suite itérée est toujours un point fixe. Démonstration. En effet, si u n converge vers l, alors f(u n ) converge vers f(l) par continuité, donc l = f(l) et l est un point fixe. À démontrer (en adaptant) à chaque utilisation. Ne pas oublier l argument de continuité. Il est donc important d étudier les points fixes de la fonction f. Ce sont les intersections de la courbe C f et de la droite : y = x. Éventuellement, on pourra étudier les variations de la fonction g(x) = f(x) x pour résoudre l équation (E) : f(x) = x. Remarque: Si f n a pas de point fixe, la suite (u n ) ne peut pas converger. En particulier si la suite (u n ) est croissante, on obtient directement lim n u n = +. Attention : ce n est pas parce que la fonction a un point fixe que la suite converge vers ce point fixe. Exemple: Pour la suite définie par (u ) R, et u n+1 = e un. On a : x R, e x 1 + x > x. Donc l équation e x = x n a donc pas de solution. La suite (u n ) ne converge donc pas. Cette même inégalité montre que la suite est croissante, puisque u n+1 = e un 1 + u n. On obtient donc directement, lim n u n = +. Pour la suite définie par (u ) > et u n+1 = ln(1+u n ), on a l inégalité : x >, < ln(1+x) < x. Ainsi, la suite est décroissante vérifie n N, u n >, et converge vers. Remarque: Ne pas oublier la relation f(l) = l qui est souvent utile. Monotonie Il y a plusieurs techniques pour démontrer la monotonie :
5 directement en montrant par exemple que n N, u n u n+1. Pour cela, on peut étudier le signe de f(x) x, que l on a déjà étudié pour déterminer les points fixes. par récurrence en utilisant par exemple une proposition du type P(n) : u n u n+1. C est particulièrement utile si f est croissante. En effet, l hérédité s écrira par exemple : u n u n+1 f(u n ) f(u n+1 ), i.e. u n+1 u n+. Exemple: Pour la suite définie par u [, 1], et u n+1 = sin(u n ). Déjà, on peut montrer rapidement que comme [, 1] [, π ], on a par récurrence : n N, u n [, 1]. On peut ensuite montrer en étudiant la fonction définie par sin(x) x que x, sin(x) x, et donc n N, u n+1 u n. Ainsi, la suite est décroissante et minorée par donc elle converge. Le seul point fixe étant, on obtient donc que lim n u n =. Exemple: Pour la suite définie par u = et la relation : u n+1 = + u n, On montre par récurrence que n N, u n [, ]. On démontre donc par récurrence que n N, u n+1 u n. Déjà u = > u 1, d où l initialisation. Pour l hérédité, fixons n N, tel que u n+1 u n, on a alors f(u n+1 ) f(u n ), et donc u n+ u n+1. Ainsi, la suite est croissante et converge vers le point fixe qui est. Étude des suites extraites u n et u n+1 Dans certains cas (en particulier si f est décroissante), la suite n est pas monotone, mais les suites extraites u n et u n+1 le sont. On est donc amené à étudier ces deux suites. Si elles convergent vers la même limite, alors la suite (u n ) converge, sinon la suite (u n ) ne converge pas. Exemple: Étudions par exemple la suite définie par u = 3 et u n+1 = u n. On a déjà vu n N, u n [, ]. On peut aussi facilement voir qu il n y a qu un point fixe qui est 1. On voit facilement que : x [, 1], f(x) [1, ], et x [1, ], f(x) [, 1], ce qui amène à démontrer par récurrence sur n que n N, u n [1, ], et u n+1 [, 1]. Ainsi, de u [1, ], on tire u 1 [, 1], ce qui donne l initialisation. Pour l hérédité, on procède de même : u n+1 [1, ] u n+ [, 1] u n+3 [1, ] D où la conclusion. Il s agit ensuite de démontrer que la suite extraite (u n ) est décroissante. On doit donc comparer u n+ = u n et u n. Si on procède directement, cela semble difficile. Par contre en raisonnant par récurrence, on utilise la proposition P(n) : u n+ u n. Au rang, elle s écrit 1 3. En élevant au carré, cela équivaut à puis à qui est vraie. Ainsi, l initialisation P() est vraie. Pour l hérédité : on suppose u n+ u n pour un n fixé, on obtient alors : f(u n+ ) = u n+3 f(u n ) = u n+1, car f est décroissante, puis en itérant de nouveau, on a : f(u n+3 ) = u n+4 f(u n+1 ) = u n+. D où l hérédité. En regardant les termes impairs, on obtient le même résultat. On a alors que (u n ) est une suite décroissante minorée, qui converge donc vers une limite l. Tandis que la suite des termes impairs convergent vers l.
6 Il reste à démontrer que l = l = 1. De la relation u n+ = u n, on déduit que les réels l et l sont solutions de l équation : (E) : l = l = f f(l) (ceux sont des points fixes de f f). Il reste à résoudre cette équation sur [, ] : (E) l = l l = ( l ) = 4 4l + l 4 + l 4l + l 4 =. L équation admet deux racines évidentes 1 (d une manière générale, un point fixe de f est toujours point fixe de f f) et. On a alors : (E) (l + )(l 1)(l l 1) = (l + )(l 1) ( Il y a donc 4 solutions possibles : 1,, [, ]. l 1+ 5 ( ) (, et l l 1 5 ) ( l 1 5 ) =. ). Seule 1 est dans l intervalle Ainsi, la limite de la suite (u n ) et de la suite (u n+1 ) est 1. Au final, les deux suites extraites convergent vers 1 et donc la suite (u n ) converge vers 1. Voici un résumés des techniques à retenir de cet exemple : si f est décroissante, on peut regarder les suites extraites de rangs pairs u n et impairs u n+1. On peut prouver facilement la monotonie de ces suites extraites par récurrence, car comme f est impaire, les inégalités se «renversent deux fois». Une fois prouvé la convergence de ces deux suites extraites, il reste à prouver qu elles convergent vers la même limite, sinon bien sûr u n ne converge pas. Si ces suites extraites convergent, elles convergent vers les points fixe de f f. On est donc amené à étudier les solutions de cette équation. Les points fixes de f sont solution ce cette équation, qui peut en avoir d autres. Scilab En scilab, l itération est très facile : on initialise une variable à la première valeur et on utilise l instruction x=f(x) dans une boucle for. Exemple: function u=suite(n) //calcule le n ieme terme de la suite définie par: //u=5, u(n+1)=sin(u(n)) u=5; for i=1:n u=sin(u); end endfunction
7 Cas des fonctions contractantes Un cas important est celui d une fonction où il existe < k < 1 tel que : (x, y) R, f(x) f(y) k x y (on dit que la fonction f est contractante.) La suite (u n ) n N, définie par u R, et n N, u n+1 = f(u n ) vérifie alors : n N, u n c k n u c. En particulier, la suite u n converge vers le point fixe c. La démonstration se fait par récurrence, on pose donc P(n) : u n u k n u u. Pour n =, la proposition P() est évidente. Soit n N fixé tel que P(n) est vraie, on a alors : f(u n ) f(c) = u n+1 c < k u n c k n+1 u c d après HR. D où la proposition. La conclusion provient de < k < 1 donc k n Ici encore tout est à adapter à l exercice. Enfin, on démontre souvent qu une fonction est contractante en utilisant le théorème des accroissements finis, et une majoration de la dérivée du type : x R, f (x) k. En effet, on écrit alors pour (x, y) R, f(x) f(y) = f (c)(x y), ainsi : f(x) f(y) = f (c) x y k x y. Application 1 Étudier les suites suivantes : u [, 1] u [ 1, ] u n+1 = 1 (u n + 1). u n+1 = 1 (u n + 1). u > u = 1 u n+1 = u n. u n+1 = 1 u n u u n+1 = 3 1+3u n
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCorrigé des TD 1 à 5
Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détailExamen d informatique première session 2004
Examen d informatique première session 2004 Le chiffre à côté du titre de la question indique le nombre de points sur 40. I) Lentille électrostatique à fente (14) Le problème étudié est à deux dimensions.
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailFONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE
P. LEVY (Paris - Francia) FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE ET ITÉRATION D'ORDRE FRACTIONNAIRE 1. - Une fonction teue que ^c+e~ x sin log x, malgré la lenteur et la petitesse de ses osciuations, nous apparaît
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailPremiers pas avec Mathematica
Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailF1C1/ Analyse. El Hadji Malick DIA
F1C1/ Analyse Présenté par : El Hadji Malick DIA dia.elmalick1@gmail.com Description sommaire du cours Porte sur l analyse réelle propose des outils de travail sur des éléments de topologie élémentaire
Plus en détailPeut-on imiter le hasard?
168 Nicole Vogel Depuis que statistiques et probabilités ont pris une large place dans les programmes de mathématiques, on nous propose souvent de petites expériences pour tester notre perception du hasard
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailLES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1
Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailLes équations différentielles
Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailInitiation à l algorithmique
Informatique S1 Initiation à l algorithmique procédures et fonctions 2. Appel d une fonction Jacques TISSEAU Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest Technopôle Brest-Iroise CS 73862-29238 Brest cedex 3 -
Plus en détail