Sommaire. Chapitre 1. Notions de base Chapitre 2. Suites réelles Chapitre 3. Fonctions d une variable : limite et continuité...

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1 Sommaire Chapitre 1. Notions de base A. Vocabulaire usuel relatif aux fonctions B. Fonctions usuelles Chapitre 2. Suites réelles A. Rappels B. Convergence d une suite réelle C. Limite d une suite dans R D. Comparaison des suites Méthodes Exercices Solutions des exercices Chapitre 3. Fonctions d une variable : limite et continuité A. Limite d une fonction B. Théorèmes sur les limites C. Comparaison des fonctions D. Continuité d une fonction E. Propriétés des fonctions continues Méthodes Exercices Solutions des exercices Chapitre 4. Fonctions d une variable : dérivation A. Dérivabilité B. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis C. Dérivées successives D. Fonctions convexes Méthodes Exercices Solutions des exercices Chapitre 5. Intégration sur un segment A. Intégrale d une fonction en escalier B. Intégrale d une fonction continue sur un segment C. Primitivation et intégration D. Calcul des primitives et des intégrales

2 Méthodes Exercices Solutions des exercices Chapitre 6. Formules de Taylor développements limités A. Formules de Taylor B. Développements limités Méthodes Exercices Solutions des exercices Chapitre 7. Séries numériques A. Généralités B. Séries à termes positifs C. Séries de référence Méthodes Exercices Solutions des exercices Chapitre 8. Fonctions numériques de deux variables réelles A. Rappels sur R 2 Éléments de topologie B. Fonctions de R 2 dans R Méthodes Exercices Solutions des exercices

3 CHAPITRE 1 Notions de base A. Vocabulaire usuel relatif aux fonctions Parité Périodicité Fonctions bornées Fonctions monotones Restriction d une fonction Image et image réciproque d une partie par une fonction B. Fonctions usuelles Valeur absolue Partie entière Logarithme népérien Exponentielles Puissances Croissances comparées des fonctions logarithme népérien, exponentielles et puissances Fonctions trigonométriques

4 Chapitre 1 : Notions de base A. Vocabulaire usuel relatif aux fonctions Dans ce paragraphe, f désigne une fonction de R dans R, D son domaine de définition, I un intervalle inclus dans D et c la courbe représentative de f. 1. Parité Périodicité f est paire lorsque : pour tout x 2D, x 2Det f ( x) ¼ f (x). f(x) Le tracé de c s effectue pour les x positifs et est complété par symétrie par rapport à y 0 Oy: x O x f est impaire lorsque : pour tout x 2D, x 2Det f ( x) ¼ f (x). f(x) x O x Le tracé de c s effectue pour les x positifs et est complété par symétrie par rapport à O: f(x) f est périodique de période T lorsque : pour tout x 2D, x þ T 2Det f (x þ T) ¼ f (x). f(x+t) = f(x) M M T O x T x + T 2T M 0 est l image de M par la translation de vecteur T ~i. L étude de f se fait donc sur un intervalle de longueur T. On trace la portion de courbe correspondante, puis on effectue les translations de vecteur kt ~i (k 2 Z): 8

5 Vocabulaire usuel relatif aux fonctions. m et M ne doivent pas dépendre de x. 2. Fonctions bornées On dit que : f est majorée sur I lorsqu il existe M 2 R tel que : ;x 2 I, f (x) < M. f est minorée sur I lorsqu il existe m 2 R tel que : ;x 2 I, f (x) > m:. f est bornée sur I lorsque f est majorée et minorée sur I ; donc : f est bornée sur I lorsqu il existe M tel que : ;x 2 I,j f (x)j < M: f est positive sur I lorsque : ;x 2 I, f (x) > 0: f est négative sur I lorsque : ;x 2 I, f (x) < 0: 3. Fonctions monotones On dit que : f est croissante sur I lorsque : ;(x, x 0 ) 2 I 2, (x < x 0 ¼) f (x) < f (x 0 )): f est strictement croissante sur I lorsque : ;(x, x 0 ) 2 I 2, (x < x 0 ¼) f (x) < f (x 0 )): f est décroissante sur I (resp. strictement décroissante sur I) lorsque : ;(x, x 0 ) 2 I 2, (x < x 0 ¼) f (x) > f (x 0 )) [resp: (x < x 0 ) f (x) > f (x 0 ))]: f est monotone (resp. strictement monotone) sur I lorsque f est croissante ou décroissante sur I (resp. strictement croissante ou strictement décroissante sur I): Pour montrer que f est monotone, on peut étudier le signe de son taux d accroissement f (x 0 ) f (x) x 0 (x 6¼ x 0 ): Par exemple : x f est croissante sur I () f (x0 ) f (x) x 0 > 0 pour tout (x, x 0 ) 2 I 2 tel que x 6¼ x 0 : x 4. Restriction d une fonction On appelle restriction de f à la partie A de R, la fonction notée f ja qui à tout x de D\A associe le réel f ja (x) ¼ f (x): Par exemple : p Soit f (x) ¼ ffiffiffiffiffiffi x 2 : f jr þ est définie par f jr þ(x) ¼ x pour tout x 2 R þ : f jr est définie par f jr (x) ¼ x pour tout x 2 R : 5. Image et image réciproque d une partie par une fonction Soit E un ensemble et f une fonction de E dans R. Soit A une partie de E: On appelle image de A par f, l ensemble des images par f des éléments de A. On le note f (A). 9