VII. La méthode ESPRIT

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1 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 4 VII La méthod ESPRIT ESPRIT st un acronym formé à partir ds initials d l xprssion anglais Estimation of Signal Paramtrs via Rotationnal Invarianc Tchniqus. Ctt méthod d détction ds angls d arrivé n s appliqu qu à ds résaux qui sont invariants par translation. En dimnsion, il s agit ssntillmnt d résaux linéairs t régulièrmnt spacés. D un point d vu mathématiqu, on montr qu ctt propriété induit un invarianc rotationnll d la structur du sous spac signal qu nous allons détaillr plus avant. Soit un résau linéair d N élémnts régulièrmnt spacés. L invarianc d translation put s appliqur à priori à un sous résau d n import qull dimnsion dont ls élémnts sont adacnts. La solution optimum consist à considérr un sous résau R d (N-) élémnts construit à partir du prmir élémnt, t un sous résau R construit à partir d R par translation d un longuur égal à la distanc ntr élémnts (Figur VII-). Sous résau R 3 (N-) N Sous résau R Figur VII- rprésntation du résau complt d N élémnts, t ds dux sous résaux dont l scond st obtnu par translation du prmir. Si on considèr K signaux incidnts, t n rprnant ls notations ds chapitrs précédnts, ls signaux délivrés par l sous résau R composé ds (N-) prmirs élémnts s xprimnt sous la form x(t) s (t) φ φ3 φk + s(t) + s3(t) + + sk(t) + n (t) (VII-)

2 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 43 x(t) s(t) φ φ3 φk + s(t) + s3(t) + + sk(t) + n(t) x3(t) s (t) 3 φ3 φ33 φ3k + s(t) + s3(t) + + sk(t) + n3(t) (VII-) (VII-3) ( N ) ( N ) ( ) ( ) x (t) s (t) s (t) N 3 N k N + + s3(t) + + sk(t) + nn (t) (VII-4) Ctt écritur put êtr condnsé sous form sommativ, pour i variant d à N- x (t) i k K k s (t) i ik + n (t) i (VII-5) On put égalmnt adoptr un écritur matricill t la matric ds signaux délivrés st lié à la matric ds signaux incidnts par la rlation suivant x (t) x (t) x3(t) (N xn (t) K K 3K s (t) n (t) s(t) n(t) s3(t) + n3(t) sk(t) nn (t ) (N ) (N )3 (N )K ) (VII-6) soit ncor [X ] [A ] [S] + [η ] (VII-7) Ctt écritur matricill put êtr rproduit pour l résau R, n n considérant qu ls (N-) drnirs signaux x(t) x 3(t) x4(t) xn(t) 3 4 N 3 4 N N3 K s (t) n(t) 3K s(t) n3(t) 4K s3(t) + n4(t) NK sk(t) nn(t) (VII-8) soit ncor [X ] [A ] [S] + [η ] (VII-9) Dans l hypothès d un résau linéair, avc ds élémnts régulièrmnt spacés, t n prnant pour origin ds phass l prmir élémnt, ls matrics d résau [A ] t [A ] ont la form particulièr suivant

3 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 44 α α α3 αk α α α α 3 K A (VII-) (N )α (N )α (N )α3 (N )αk α α α3 αk α α α3 αk 3α 3α 3α3 3αK A (VII-) (N )α (N )α (N )α3 (N )αk t cs dux matrics sont liés par la rlation α3 [ A ] [ A ][ Φ ] α α A α K (VII-) En résumé, on put écrir pour l résau global, la rlation établi dans ls chapitrs précédnts [X] [A] [S] + [η] (VII-3) t pour chacun ds sous résaux R t R [X ] [A ] [S] + [η ] [X ] [A ] [S] + [η ] (VII-4) avc [A ] [A ] [Φ] (VII-5) t où ls matrics indicés par sont déduits ds matrics globals par supprssion d la drnièr lign, t ls matrics indicés sont déduits ds matrics globals par supprssion d la prmièr lign. Il st naturl d pnsr qu ls sous spacs signaux [E ] t [E ] déduits d [X ] t [X ] n sont pas indépndants. A partir ds rlations (VII-4,5), on put montrr qu il xist un matric [T] qui établit lur rlation d la manièr suivant [E ] [T] [E ] [T] [Φ] (VII-6)

4 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 45 On déduit qu il xist ntr ls matrics ds dux sous spacs signaux E t E la rlation ci-dssous [E ] [E ] [T] [Φ] [T] - [E ] [Ψ] (VII-7) avc [Ψ] [T] [Φ] [T] - (VII-8) où d manièr équivalnt [Φ] [T] - [Ψ] [T] (VII-9) Un théorèm classiqu d l algèbr linéair sur la diagonalisation ds matrics indiqu alors qu ls valurs proprs d [Ψ] sont ls élémnts diagonaux d [Φ], t qu ls colonns d [T] sont ls vcturs proprs d [Ψ]. L obctif d un méthod d détction ds angls d arrivé st la connaissanc d la matric [Φ], car ll contint à travrs sa diagonal ls informations sur la dirction d provnanc d chacun ds K signaux incidnts. La donné du problèm st la matric d autocorrélation du résau complt, d laqull on put déduir ls sous spacs signaux, t donc ls matrics [E ] t [E ]. Ds dux matrics [E ] t [E ], on construit la matric [Ψ] suivant la rlation (VII-7). Ls valurs proprs d la matric [Ψ] constitunt ls élémnts diagonaux d la matric [Φ], c st à dir l information rchrché. Dans ctt démarch, l étap délicat st l obtntion d la matric [Ψ] qui doit vérifir la rlation [E ] [E ] [Ψ] (VII-) Ls matrics [E ] t [E ] sont d dimnsions (N-,K) t la matric [Ψ] st d dimnsion (K,K). Ctt matric comport K² trms à détrminr, t on dispos pour cla d (N-).K équations. Dès l instant où (N-) > K, il y a plus d équations qu d inconnus, t l systèm st l plus souvnt sans solution. On rchrch alors la matric [Ψ] qui satisfait au miux l systèm à l aid d un critèr qui st n général clui ds moindrs carrés, mais il faut gardr à l sprit qu il n s agit qu d un solution approché qui dépnd d la méthod d optimisation utilisé. Exmpl Nous rvnons sur un xmpl donné au chapitr précédnt On considèr un résau d 3 capturs avc signaux incidnts. La matric d corrélation st bruité uniqumnt sur sa diagonal t avc un varianc d bruit idntiqu (σ² ).

5 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 46 6,66 + 3,4 4,66 +,964 R xx,66 3,4 6,66 + 3,4 (VII-) 4,66,964,66 3,4 6 La rchrch ds valurs proprs t vcturs proprs donn ls résultats suivants λ 3,5 λ 3,48 λ 3 (VII-), ,599 [ V ], +,53 [ V ],553,49,57 +,47,476 V 3,53 +,39,39 +,3,644 (VII-3) Ls vcturs [V ] t [V ] constitunt un bas du sous spac signal, tandis qu l vctur [V 3 ] st un bas du sous spac bruit. Nous formons ls sous spacs signaux E t E sur ls bass [E ] t [E ] obtnus n amputant ls vcturs [V ] t [V ] rspctivmnt d lur prmièr lign t d lur drnièr lign,597 +,44,57 +,47 E (VII-4), +,53,553,49, +,53,553,49 E (VII-5),599,476 Nous rchrchons la matric [Ψ] tll qu [E ] [E ] [Ψ]. L logicil Scilab prmt la rchrch général d un tll matric n utilisant l approximation par ls moindrs carrés. Il fournit l résultat suivant,,97,6 +,49,3 +,44 [ Ψ ],596 +,766 (VII-6) dont ls valurs proprs sont λ - λ -,66 +,795 (VII-7) t ls vcturs proprs,998,43,45 [ U ],78,86 U (VII-8),966 Ls argumnts ds valurs proprs λ t λ sont rspctivmnt

6 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 47 φ - π/ t φ - 3,7 7,3 (VII-9) On n déduit ls angls θ t θ d arrivé par ls rlations φ - kd sin(θ ) t φ - kd sin(θ ) (VII-3) Si ls élémnts sont distants d λ/, on a kd π t ls dirctions d arrivé sont ls suivants θ 3 t θ - 45 (VII-3) Nous disposons d tous ls élémnts pour construir ls différnts matrics présntés dans la démonstration d la méthod ESPRIT. Ls matrics [A ] t [A ] sont donnés par (VII-3),66 +,795 [ A ],66 +,795 (VII-33),66,964 [ A ] La matric d passag [T] st constitué par ls vcturs proprs [U ] t [U ],998,78,86 T (VII-34),43,45,966 t prmt la vérification ds rlations -,66 +,795 (VII-35) [ T ] [ Ψ ][ T ] [ Φ ] Exmpl Nous rvnons à nouvau sur un xmpl xaminé dans ls dux chapitrs précédnts Ct xmpl concrn un structur d 5 capturs, avc 3 signaux incidnts. La matric d autocorrélation obtnu st la suivant R xx 6, 3,643 +,57,467,4,78 +,,8 + 3,57 3, ,5 3,643 +,57,467,4,78 +,,467 +,4 3,643,57 6,3 3,643 +,57,467,4,78,,467 +,4 3,643,57 6,4 3,643 +,57,8 3,57,78,,467 +,4 3,643,57 6,5 (VI-36)

7 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 48 On détrmin par logicil ls 5 valurs proprs λ 5,5 λ,34 λ 3 5,85 (VI-37) λ 4,363 λ 5,395 Ls 3 prmièrs (λ, λ, λ 3 ) sont associés au sous spac signal, tandis qu ls drnièrs (λ 4, λ 5 ) sont associés au sous spac bruit. Ls vcturs proprs associés sont ls suivants,393,8,43,88 [ V ],4 +,355 [ V ],565,97,38,496,555,88,66 [ V ],4 +,59 4,65,9,4,36,3,35,46 +,5,456,5,9 +,44 V 3,484,33,45,399,358 +,47,5 +,48,5,9 +,73,6,48 V 5,454,58 (VII-38),634,465 +,44 Nous formons ls sous spacs signaux E t E sur ls bass [E ] t [E ] obtnus n amputant ls vcturs [V ] [V ] t [V 3 ] rspctivmnt d lur prmièr lign t d lur drnièr lign,393,8,3,35,484,33,43,88,46 +,5,45,39 E + + (VII-39),4,355,565,358,47,97,38,456,5,5 +,48,43,88,46 +,5,45,399,4 +,355,565,358 +,47 E,97,38,456,5,5 +,48 (VII-4),496,9 +,44,5 Nous rchrchons la matric [Ψ] tll qu [E ] [E ] [Ψ]. L logicil Scilab prmt la rchrch général d un tll matric n utilisant l approximation par ls moindrs carrés. Il fournit l résultat suivant

8 Patrick VAUDON Introduction à la détction ds angls d arrivés d un ond élctromagnétiqu. Mastr Rchrch Tchniqus hyprfréquncs élctroniqus t optiqus 49 [ Ψ ],67 +,77,63,8, +,6,8,4,895,39,95 +,33,7,5,67 +,46,3,987 (VII-4) dont ls valurs proprs sont λ -,67 +,8 λ -,93 -,43 λ 3,5 -,997 (VII-4) t ls vcturs proprs,99,,6,68 +,88,9 +,9 [ U ],37 +,6 [ U ],975 Ls argumnts ds valurs proprs λ, λ t λ 3 sont rspctivmnt U 3,4,,98 +,3,979 (VII-43) φ - 3,85 φ 4, φ 3-9 (VII-44) On n déduit ls angls θ, θ t θ 3 d arrivé par ls rlations φ - kd sin(θ ) φ - kd sin(θ ) φ 3 - kd sin(θ 3 ) (VII-45) Si ls élémnts sont distants d λ/, on a kd π t ls dirctions d arrivés sont ls suivants θ - 45 θ 6 θ 3 3 (VII-46) La matric d passag [T] st constitué par ls vcturs proprs [U ] [U ],t [U 3 ].99,68 +,88,4, T,37 +,6,975,98 +,3 (VII-47),,6,9 +,9,979 t prmt la vérification d la rlation,67 +,8 - (VII-48),5,997 [ T] [ Ψ ][ T],93,43 [ Φ ]