Optique Géométrique. D. Leduc

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1 Optique Géométrique D. Leduc

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3 Sommaire 1 Introduction à l optique Généralités sur la nature de la lumière Expériences simples de propagation : aspect corpusculaire Diffraction, interférences : aspect ondulatoire Mécanique quantique Cadre de l optique géométrique Principes fondamentaux de l optique géométrique Définitions Lois de propagation de la lumière Réflexion totale (n 2 < n 1 ) Applications de la réflexion totale Formation des images Comment obtenir une bonne image? Préliminaire : systèmes optiques centrés (SOC) Stigmatisme rigoureux Discussion sur la pertinence de la notion de stigmatisme rigoureux Stigmatisme approché Définition Conditions de Gauss Conséquences des conditions de Gauss Le dioptre sphérique dans les conditions de Gauss Systèmes centrés Points cardinaux Foyer image Foyer objet Points principaux objet et image Exemple : le dioptre sphérique Construction de l image d un point Relations de conjugaison : formule de Newton Association de deux systèmes centrés Lentille mince plongée dans l air Définition Position des points cardinaux Relations de conjugaison Cheminement d un rayon lumineux passant par le centre optique L œil

4 Page 4 SOMMAIRE Description schématique Systèmes optiques équivalents à l œil Accomodation Taille des images Conséquences pour les instruments visuels

5 Chapitre 1 Introduction à l optique Votre maîtrise de ce chapitre est satisfaisante si : vous connaissez par cœur la définition d un milieu homogène la définition d un dioptre la définition de la normale à un dioptre en un point la définition de l angle d incidence les 3 lois de la propagation de la lumière vous avez compris le phénomène de réflexion totale Si un de ces points vous résiste, il faut impérativement aller voir votre enseignant pour lui poser des questions, avant la date prévue pour le questionnaire de contrôle des connaissances sur ce chapitre. 5

6 Page GÉNÉRALITÉS SUR LA NATURE DE LA LUMIÈRE 1.1 Généralités sur la nature de la lumière La lumière s impose aux sens comme une évidence, il est cependant très délicat d en saisir la nature. Au cours du temps, plusieurs théories ont été élaborées et deux d entre elles se sont imposées : la théorie corpusculaire et la théorie ondulatoire. Ces théories se sont longtemps affrontées, la théorie corpusculaire ayant dominé au départ avant d être supplantée par la théorie ondulatoire. Elles sont aujourd hui réunies au sein d un même modèle quantique Expériences simples de propagation : aspect corpusculaire Source Ombre Lumière (a) Ombre (b) Réflexion sur un mi- roir Figure 1.1 Si on observe un rai de lumière à travers des volets ou l ombre portée par un obstacle, on peut arriver à la conclusion que la lumière se propage en ligne droite. Si on observe la lumière réfléchie par un miroir, on voit que l angle de réflexion est égal à l angle d incidence comme c est le cas pour une boule de billard rebondissant sur une bande. Ces résultats peuvent conduire à penser que la lumière est formée de nombreuses petites particules indépendantes théorie corpusculaire. C est ce genre de théorie que Newton va développer et soutenir. Son prestige est tel que cette vision va régner jusqu au milieu du XIX siècle. i i Diffraction, interférences : aspect ondulatoire diaphragme écran A 1 A 2 M } tache image géométrique Figure 1.2 Expérience de diffraction Les conclusions précédentes concernant la propagation rectiligne et l indépendance des particules ne sont pas toujours vérifiées. Si on considère par exemple l expérience schématisée sur la figure 1.2 on peut observer à l œil nu 1 deux types de résultats suivant 1. Une observation avec un détecteur plus sensible montre que même avec un diaphragme grand les bords de la tache lumineuse ne sont pas abrupts mais oscillants.

7 1.1. GÉNÉRALITÉS SUR LA NATURE DE LA LUMIÈRE Page 7 la taille du diaphragme : Le trou est grand ( > quelques millimètres) Le trou est petit (quelques centaines de micromètres) M M A 1 A 2 A 1 A 2 La tache lumineuse sur l écran coïncide avec la tache géométrique. La tache lumineuse est plus grande que la tache géométrique et est entourée d anneaux. Cette expérience est en contradiction avec la propagation rectiligne. En effet, obtenir de la lumière au point M implique que la lumière a été déviée en passant par le trou. α S M P O M Ecran Figure 1.3 Observations des interférences dans l expérience des miroirs de Fresnel Pour tester l indépendance des particules, on réalise l expérience des miroirs de Fresnel (cf figure 1.3). Sur l écran on recueille deux taches lumineuses correspondant à la lumière réfléchie par chaque miroir. Les deux taches se superposent en partie. Les points de l écran appartenant à la partie commune aux deux taches reçoivent donc de la lumière en provenance des deux miroirs. Si la lumière était formée de grains indépendants, ces points recevraient deux fois plus de particules que les autres et seraient donc deux fois plus brillants. En pratique, lorsque α est très petit, on observe une répartition d intensité composée de franges alternativement brillantes et sombres (cf figure 1.4). Cette expérience est lourde de conséquences. Elle implique en effet qu un point dans une frange sombre reçoit plus de lumière qu un point hors de la zone d intersection et se trouve pourtant plongé dans l obscurité. En d autres termes, l assertion : Lumière+Lumière=Obscurité peut se trouver justifiée dans certaines circonstances. Cela va à l encontre de l indépendance des grains de lumière. On peut expliquer la diffraction et les interférences en supposant que la lumière possède un caractère ondulatoire. On peut décrire la lumière comme une onde électromagnétique (Maxwell, cf L2), ce qui veut dire qu elle est composée d un champ électrique E et d un champ magnétique B oscillants.

8 Page GÉNÉRALITÉS SUR LA NATURE DE LA LUMIÈRE Tache lumineuse réfléchie par M1 Tache lumineuse réfléchie par M2 Obscurité Lumière Figure 1.4 Miroirs de Fresnel Dans le vide, les ondes électromagnétiques, et en particulier la lumière, se propagent à la vitesse c = m/s. Cette vitesse est une constante fondamentale, à partir de laquelle le mètre est défini. Comme toutes les ondes, les ondes électromagnétiques sont caractérisées par leur longueur d onde λ qui correspond à la distance (spatiale) entre deux maxima du champ électrique, et par leur fréquence ν, qui correspond au nombre de fois par seconde où le champ électrique en un point est maximum. Ces deux quantités sont reliées par λ = c/ν La lumière visible ne représente qu une toute petite partie des ondes électromagnétiques: elle contient les radiations dont la longueur d onde est comprise entre 400 nm et 800 nm, ce qui correspond à des fréquences de l ordre de Hz (vous pouvez trouver une représentation imagée des ondes électromagnétiques dans le document Atlas de la lumière.pdf sur Madoc). ν: λ: 300 km 300 m 0,3 mm 0,3 nm 0,3 pm Figure 1.5 Spectre des ondes électromagnétiques Mécanique quantique Au début du XXième siècle la théorie électromagnétique de la lumière avait complètement supplantée la théorie corpusculaire car elle permettait d expliquer de façon satisfaisante tous les phénomènes connus. C est alors que certaines expériences ont été faites qui la mettaient en échec dont le rayonnement du corps noir, l effet photoélectrique ou l effet Compton. Pour expliquer ces expériences, Einstein a du réintroduire des particules,

9 1.2. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Page 9 les photons, dont l énergie est proportionnelle à la fréquence de l onde électromagnétique. Cette proposition a plongé les physiciens de cette époque dans le désarroi car pour tout expliquer il fallait supposer deux natures contradictoires à la lumière : corpusculaire et ondulatoire. Pour résoudre ce paradoxe, il a fallu effectuer une véritable révolution conceptuelle remettant complètement en cause les interprétations intuitives de la réalité. Il a fallu en particulier abandonner la notion de localisation pour une particule. En fait, quoi que l on fasse il y aura toujours une incertitude sur la position exacte des photons. Tout ce que l on peut connaître c est la probabilité qu ils soient présents en un endroit donné. Cette probabilité est reliée à l intensité de l onde. Donc, pour donner une idée rapide, dans le cadre de la mécanique quantique, la lumière est composée de photons auxquels est associée une onde. L intensité de l onde en un point représente la probabilité de présence du photon en ce point (cf L3 et Master) Cadre de l optique géométrique Mécanique quantique Grand nombre de photons Electromagnétisme Dimensions du système grandes devant la longueur d onde Optique géométrique L optique géométrique est un modèle qui décrit la propagation de rayons lumineux indépendants à travers des systèmes dont les dimensions sont grandes devant la longueur d onde. Elle est très bien adaptée à l explication de la formation des images et permet de comprendre la majorité des phénomènes optiques courants. 1.2 Principes fondamentaux de l optique géométrique Définitions Indice de réfraction L indice de réfraction d un milieu traduit l interaction de la lumière avec le milieu, il dépend de la longueur d onde. Dans le vide la lumière se propage

10 Page PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE avec une vitesse 2 c m.s 1. Dans un milieu matériel, elle se propage avec une vitesse v inférieure à c. L indice de réfraction d un milieu transparent à une longueur d onde donnée est égal à : n = c v La lumière se propageant moins vite dans un milieu matériel que dans le vide, l indice de réfraction est supérieur à 1 : indice de l air : n air 1, indice de l eau : n eau 1,3 indice du verre : n verre 1,5 Comme l indice de réfraction dépend de la longueur d onde. Une radiation bleue et une radiation rouge se propagent avec des vitesses différentes. C est le phénomène de dispersion chromatique (exemple : dispersion par un prisme, arc en ciel). À Savoir Impérativement Loi n 1 Milieu homogène Un milieu est homogène si son indice de réfraction est le même en chaque point. Dioptre Un dioptre est la surface de séparation entre deux milieux homogènes (cf figure 1.6). n 1 n 2 R n 1 n 2 normale au point I Ι O milieu 1 milieu 2 milieu 1 milieu 2 Dioptre plan Dioptre sphérique Figure 1.6 I normale au point I Normale à un dioptre La normale à un dioptre en un point est la droite perpendiculaire au dioptre en ce point. Pour un dioptre sphérique, la normale au dioptre en un point est un rayon de la sphère (cf figure 1.6). Angle d incidence L angle d incidence d un rayon lumineux est l angle entre le rayon lumineux et la normale au dioptre au point d incidence. 2. La vitesse de la lumière dans le vide est une constante fondamentale, à partir de laquelle le mètre est défini.

11 1.2. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Page Lois de propagation de la lumière À Savoir Impérativement Loi n 2 1. Propagation rectiligne Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite. 2. Lois de Snell-Descartes Lorsqu elle rencontre un dioptre, la lumière se comporte de la façon suivante : Rayon réfléchi Rayon réfracté (transmis) normale au dioptre en I i1 i1 I i2 Rayon incident n1 n2 dioptre 1. Le rayon lumineux incident donne naissance à un rayon lumineux réfléchi et un rayon lumineux réfracté. Les 3 rayons lumineux sont dans le même plan, appelé plan d incidence et définipar le rayon lumineuxincident et la normale au dioptreau point d incidence. 2. Le rayon lumineux incident et le rayon lumineux réfléchi sont situés de part et d autre de la normale et l angle de réflexion est égal à l angle d incidence. 3. Soit i 1 l angle d incidence, le rayon lumineux réfracté fait un angle i 2 avec la normale tel que : n 1 sini 1 = n 2 sini 2 (1.1) 3. Principe de retour inverse Si pour aller d un point A à un point B la lumière suit un certain chemin, alors elle suivra le même chemin pour aller de B en A Réflexion totale (n 2 < n 1 ) On considère un dioptre séparant deux milieux d indices n 1 et n 2 tels que n 2 < n 1. D après la troisième loi de Snell-Descartes, sini 2 = n 1 n 2 sini 1 > sini 1 i 2 > i 1 Ainsi, quand la lumière passe d un milieu de plus fort indice à un milieu de plus faible indice, le rayon lumineux réfracté s écarte de la normale. Cela n est pas sans poser problème. En effet (cf figure 1.7), plus l angle d incidence augmente et plus le rayon lumineux réfracté s écarte de la normale et de ce fait, plus il se rapproche du dioptre. Pour un certain angle d incidence i L (angle limite), le rayon

12 Page PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE i 1 i 1 I i 2 i 1 i 1 I i 2 i 1 = i 1 i 2 i L I i 1 i 1 Pas de rayon réfracté I n1 n2 n1 n2 Figure 1.7 n1 n2 n1 n2 lumineux longe le dioptre : i 2 = π 2. Lorsque i 1 augmente encore, et devient plus grand que i L, i 2 ne peut plus augmenter, car sinon le rayon lumineux réfracté sortirait du second milieu. Dans ce cas, il n y a plus de rayon lumineux réfracté, la lumière est entièrement réfléchie. On appelle ce phénomène la réflexion totale. L angle limite i L est l angle d incidence, pour lequel le rayon lumineux réfracté est rasant : i 1 = i L i 2 = π 2 sini 2 = 1 or donc n 1 sini L = n 2 sini 2 = n 2 sini L = n 2 n 1 i L = arcsin n 2 n Applications de la réflexion totale Guides de lumière Voir TD Mirages On considère généralement que l indice de l air est égal à 1, mais cela n est pas rigoureusement vrai. En fait l indice de l air dépend de nombreux facteurs comme : la température, la pression, l humidité, la concentration en CO 2,... L influence de la température sur l indice de l air est très importante. Plus l air est chaud et moins il est dense donc plus son indice est faible. Les différences de températures et donc d indice de réfraction en divers points de l atmosphère sont à l origine des mirages. Mirages inférieurs Ces mirages peuvent être observés sur une route par une journée très ensoleillée et très chaude. La route en goudron noire absorbe une grande quantité d énergie venant du soleil. Elle est donc très chaude et elle a tendance à échauffer l air auprès d elle. L air est donc d autant plus chaud et son indice d autant plus faible qu il est proche de la route. On peut modéliser cela en découpant l air en tranches fines d indice de réfraction croissant avec la distance à la route (cf figure 1.8). Dans le cas de la figure 1.8, T 1 > T 2 > T 3 > T 4 donc n 1 < n 2 < n 3 < n 4. Le rayon issu de l objet subit des réfractions sur les dioptres successifs et comme les indices des milieux rencontrés successivement sont décroissants, le rayon lumineux s incurve en s écartant de la normale. Cela implique que d une réfraction à l autre, l angle d incidence augmente, si

13 1.2. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Page 13 Objet (ciel, phares de voiture,...) T 4 n 4 T 3 n 3 T 2 n 2 T 1 n 1 route Image Figure 1.8 Mirage inférieur bien que pour un dioptre donné, l angle d incidence est plus grand que l angle limite 3. Il y a alors réflexion totale. Les couches d air successives se comportent comme un miroir. Un observateur a donc l impression que la lumière provient de l image de l objet au voisinage de la route. Cela explique les miroitements (impressions de flaques d eau) que l on peut observer sur les routes en été. Mirages supérieurs Ces mirages peuvent être observés au dessus de la mer quand la température de l eau est très inférieure à celle de l air. Dans ce cas plus l altitude est grande, et plus l indice de l air est faible. Il y a alors possibilité de réflexion totale sur les couches d air en altitude (cf figure 1.9). T 4 n 4 T 3 n 3 T 2 n 2 T 1 n 1 mer Figure 1.9 Mirage supérieur. Ici, T 1 < T 2 < T 3 < T 4 donc n 1 > n 2 > n 3 > n L angle limite existe bien car à chaque réfraction, la lumière passe d un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent.

14 Page PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Exercice 1: air eau θ R d On considère un clou plongé dans une eau calme comme cela est représenté sur la figure 1.11 : sa tête affleure à la surface et sa tige est perpendiculaire à la surface de l eau. L indice de réfraction de l eau, n e est égal à 1,3 et celui de l air, n a à 1. On considère un rayon lumineux issu de la pointe du clou, faisant un angle θ avec la tige. Figure 1.10 Clou immergé 1. Avec quel angle d incidence ce rayon arrivet-il sur le dioptre séparant l air de l eau? 2. Que se passe-t-il au niveau du dioptre? Tracer un schéma résumant la situation. 3. Montrer que si θ < θ min le rayon ne peut sortir de l eau. Déterminer θ min en fonction de R et d. 4. Montrer que si θ > θ max le rayon ne peut sortir de l eau. Déterminer θ max en fonction de n a et n e. 5. On suppose que R = 1 mm. À quelle condition sur d la tige du clou est-elle invisible pour un observateur hors de l eau? Correction Méthodologie On utilisera toujours la même structure de raisonnement pour faire les démonstrations, que ce soit en cours, TD ou examen. Cette structure est la suivante : Ici on fait la listes des hypothèses utilisées pour démontrer un résultat. Ces hypothèses ont trois origines possibles : - elles sont données dans l énoncé, dans ce cas on écrit (E) ; - elles ont déjà été démontrées, dans ce cas on écrit (D) ; - on introduit un nouvel élément auquel on donne une certaine propriété par construction, dans ce cas on écrit (C). ou Calcul Ici on écrit un théorème général ou on fait un calcul. Toutes les hypothèses utilisées par le théorème doivent être présentes dans les données. Si une seule manque, le théorème ne peut être appliqué. Ici on applique la conclusion du théorème à notre cas particulier.

15 1.2. PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Page 15 Correction 1. Le rayon lumineux fait un angle θ avec la tige du clou (E). La tige du clou est perpendiculaire à la surface de l eau qui constitue le dioptre eau/air (E). Définition L angle d incidence est l angle entre le rayon lumineux et la normale au dioptre (Loi.1, page 10). θ est l angle d incidence. air eau θ α θ θ R Figure 1.11 Clou immergé 2. Le rayon lumineux arrive sur le dioptre avec un angle d incidence θ (D). Lois de propagation de la lumière (Loi.2, page 11). Ilexisteunrayonréfléchietunrayonréfracté.L anglederéflexionestθ.l angle de réfraction est α, tel que : n e sinθ = n a sinα. 3. Si le rayon lumineux n est pas assez écarté, il est arrêté par la tête du clou. L angle θ min est celui qui permet d arriver sur le bord de la tête du clou. Rayon de la tête du clou : R, longueur de la tige : d (E). côté opposé Trigo : sin = et théorème de Pythagore. hypothénuse sinθ min = R R2 +d 2 θ min = arcsin 4. n e > n a (E) n e sinθ = n a sinα (D) Calculs ( ) R R2 +d 2 n e sinθ = n a sinα sin(α) = n e n a sinθ > sinθ Donc il existe un angle θ max < π/2 pour lequel α = π/2. Au delà de cet angle, il ne peut y avoir de rayon réfracté, la lumière est entièrement réfléchie. sinθ max = n a n e sin(π/2) = n a n e d sinθ max = n a n e θ max = arcsin ( ) na n e

16 Page PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Correction 5. Pour que la tige soit invisible, il faut que le rayon ne puisse pas sortir de l eau, d abord parce qu il est bloqué par la tête et ensuite parcequ il est en réflexion totale. Cela se traduit par θ max = θ min, soit sinθ max = sinθ min. sinθ min = Calculs R R2 +d 2 (D), sinθ max = n a n e (D) sinθ max = sinθ min R R2 +d 2 = n a n e R n e n a = R 2 +d 2 R 2n2 e ( d 2 = R 2n2 e n R 2 = R 2 2 e 1 n 2 a n 2 a d = R n2 e n 2 a 1 = 0,8 mm ) n 2 a = R 2 +d 2

17 Chapitre 2 Formation des images Votre maîtrise de ce chapitre est satisfaisante si : vous connaissez par cœur la définition d un système optique centré la définition de l axe optique la définition du stigmatisme rigoureux la définition du stigmatisme approché les conditions de Gauss les conséquences des conditions de Gauss vous avez compris pourquoi la notion de stigmatisme est importante Si un de ces points vous résiste, il faut impérativement aller voir votre enseignant pour lui poser des questions, avant la date prévue pour le questionnaire de contrôle des connaissances sur ce chapitre. 17

18 Page COMMENT OBTENIR UNE BONNE IMAGE? 2.1 Comment obtenir une bonne image? Préliminaire : systèmes optiques centrés (SOC) À Savoir Impérativement Loi n 3 Un système optique centré possède un axe de symétrie. Il est invariant par rotation autour de cet axe. C est le cas de la majeure partie des composants optiques. L axe de symétrie est appelé : axe optique axe de symétrie Π α α α SOC α Π Figure 2.1 Système optique centré : invariance par rotation Soit Π, un plan de section principale, c est à dire un plan contenant l axe de symétrie. Si on connaît le chemin d un rayon lumineux dans ce plan, alors on le connaît dans n importe quel autre plan de section principale puisque, lorsque l on passe d un plan de section principale à un autre par rotation, le système reste invariant. Pour étudier un système optique centré, il suffit donc de se placer dans un plan de section principale quelconque. Cela simplifie l étude car on passe d un problème à 3 dimensions à un problème à 2 dimensions. Par la suite on ne considérera que des systèmes optiques centrés et on raisonnera toujours dans un plan de section principale Stigmatisme rigoureux On considère une source ponctuelle placée devant un système optique centré. Le problème qu on cherche à résoudre est le suivant : à quelle condition le système optique centré forme-t-il une bonne image (fidèle à l originale) de la source? Deux cas de figures peuvent se présenter : Tous les rayons lumineux se coupent au même point (figure 2.2) après traversée du système. L image est ponctuelle. Les rayons lumineux se coupent en des points différents (figure 2.3) après déviation par le système. L image est une tache. Pour obtenir une image parfaite d une source ponctuelle S par un système optique centré, il faut que tous les rayons lumineux issus de S se coupent en un même point S après déviation par le système. C est la condition du stigmatisme rigoureux.

19 2.1. COMMENT OBTENIR UNE BONNE IMAGE? Page 19 écran S SOC S Source Image Figure 2.2 Tous les rayons lumineux issus de S se coupent en S après avoir été déviés par le système optique centré : le système est rigoureusement stigmatique écran S SOC tache lumineuse Source Image Figure 2.3 Les rayons lumineux se croisent en des points différents après avoir été déviés par le système optique centré. Il n y a pas d image bien définie : où que l on place l écran on obtient une tache image.

20 Page COMMENT OBTENIR UNE BONNE IMAGE? En conséquence, un objet quelconque étant composé d un ensemble de sources ponctuelles : Si le système optique centré est stigmatique, chaque point source de l objet possède un point image. L image est donc fidèle à l objet. Si le système optique centré n est pas stigmatique, il donne de chaque point objet unetacheimage.silediamètredelatacheimageesttropgrandilyachevauchement des taches images voisines et l image globale est floue (cf figure 2.4). Source Image Figure 2.4 Chevauchement des taches images de sources ponctuelles. Définition du stigmatisme rigoureux À Savoir Impérativement Loi n 4 Un système optique centré est rigoureusement stigmatique pour un couple de points A et A si tous les rayons lumineux issus de A se croisent en A après avoir été déviés par le système. Les points A et A sont conjugués. Si A est l image de A quand la lumière se propage dans un sens, alors, d après le principe de retour inverse de la lumière, A est l image de A quand la lumière se propage dans le sens inverse. Exercice 2: Miroir plan M S i i 01 O 01 N Figure 2.5 Miroir plan 2. Reprendre les mêmes questions pour le rayon SM. 3. Reprendre les mêmes questions pour le rayon SN. 4. Déterminer l intersection des 3 rayons réfléchis. On considère une source ponctuelle S placée devant un miroir plan. 1. On considère le rayon lumineux SO perpendiculaire au miroir. (a) Tracer la normale au miroir en O (b) Que vaut l angle d incidence? (c) En déduire l angle de réflexion. (d) Tracer le rayon réflechi. 5. Montrer que tous les rayons lumineux se croisent en S symétrique de S par rapport au miroir. 6. Qu en concluez-vous sur le stigmatisme du miroir plan?

21 2.1. COMMENT OBTENIR UNE BONNE IMAGE? Page 21 Correction 1. Rayon SO (a) Le rayon lumineux SO est perpendiculaire au miroir (E). Définition La normale au dioptre est la droite perpendiculaire au dioptre (Loi.1, page 10). La normale au dioptre en O est la droite (SO). S M 01 O 01 N i i i i i i i S Figure 2.6 Miroir plan (b) Le rayon lumineux SO est parallèle à la normale en O. L angle d incidence est l angle entre le rayon lumineux et la normale au dioptre au point d incidence (Loi.1, page 10). L angle d incidence est nul. (c) L angle d incidence est nul. L angle de réflexion est égal à l angle d incidence (Loi.2, page 11). L angle de réflexion est nul. (d) D après ce qui précède, le rayon SO est réfléchi sur lui même : figure Rayon SM -Par définition, la normale au dioptre en M est la droite perpendiculaire au miroir en M. -La droite (SO) est perpendiculaire au miroir (E). -Le miroir est plan (E). La normale au dioptre en M est parallèle à la droite (SO). -L angle entre le rayon SM et (SO) est égal à i. -La normale au dioptre en M est parallèle à le droite (SO). L angle d incidence est l angle entre le rayon lumineux et la normale au dioptre au point d incidence (Loi.1, page 10). L angle d incidence est i.

22 Page COMMENT OBTENIR UNE BONNE IMAGE? Correction L angle d incidence est i. L angle de réflexion est égal à l angle d incidence (Loi.2, page 11). L angle de réflexion est i rayon lumineux réfléchi figure Rayon SN : la situation est identique au cas précédent avec i à la place de i. On fait donc la même démonstration pour prouver que l angle de réflexion est i et on trace le rayon réfléchi sur la figure Les 3 rayons lumineux divergent après réflexion alors on trace le prolongement des rayons lumineux réfléchis et on constate qu ils se coupent tous en S. 5. On considère à nouveau le rayon lumineux SM -L angle de réflexion, entre la normale au miroir en M et le rayon réfléchi est i (D). -La la normale au miroir en M et la droite SO sont parallèles (D). -Le prolongement du rayon réfléchi croise (SO) en S. Si une droite tombe sur deux droites parallèles, elle fait des angles alternes égaux entre eux. L angle entre (SO) et le rayon lumineux réfléchi porté par (SM) est i. Il y a un angle i angle entre (SO) et (SM), et entre (SO) et (S M). tan = côté opposé côté adjacent tani = OM OS = OM OS = OS OS Le rayon réfléchi coupe la droite (SO) en S symétrique de S par rapport au miroir. Il n a pas été fait d hypothèse particulière sur i pour arriver à cette conclusion, elle est don valable pour tous les angles. Donc tous les rayons lumineux réfléchis se coupent en S. 6. Tous les rayons lumineux issus d un point S quelconque et réfléchis par le miroir se coupent en S symétrique de S par rapport au miroir. Stigmatisme rigoureux (Loi.4, page 20). Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points.

23 2.1. COMMENT OBTENIR UNE BONNE IMAGE? Page Discussion sur la pertinence de la notion de stigmatisme rigoureux À la question Le stigmatisme rigoureux existe-t-il vraiment? ou en d autres termes Est-il possible d obtenir des images ponctuelles (au sens mathématique du terme)?, la réponse est évidemment négative. En fait le stigmatisme rigoureux est une notion purement géométrique voire académique. Il y a plusieurs raisons à cela : Les sources ponctuelles n existent pas. Quelle que soit la qualité du système optique utilisé, la diffraction (cf introduction) impose une limite inférieure au diamètre de la tache image. Une lentille par exemple, étant donnée sa taille finie, agit comme un diaphragme sur la lumière et donc la diffracte. Ainsi une lentille de 20 mm de diamètre et 20 cm de focale, attaquée par un faisceau parallèle à l axe produit une tache de diffraction de 8 µm de diamètre dans son plan focal. De façon générale, on considère qu un instrument d optique est bon si la tache image prédite par l optique géométrique est plus petite que la tache de diffraction. Quand on traite un problème d optique géométrique, on a souvent tendance à se focaliser sur le cheminement des rayons lumineux, la position et la taille des images, en oubliantqu enfindechaîneilyatoujoursundétecteur.pourtant,sil onveutconcevoir un bon instrument ou comprendre son fonctionnement et ses caractéristiques, il est indispensable de faire référence au détecteur qui lui est associé. Or, les détecteurs, eux non plus, ne sont pas ponctuels. Ils sont constitués de cellules élémentaires de détection (grains d argent de la pellicule photo, cônes et bâtonnets de l œil, pixels des appareils photos numériques,...) de taille finie. Donc, en définitive, si la tache image est plus petite que la cellule élémentaire du détecteur, c est lui qui limite la qualité de l image (cf figure 2.7). Pixel Détecteur 1 Tache image image non ponctuelle (4 pixels) S SOC Détecteur 2 Détecteur image ponctuelle (1 pixel) Pixel Figure 2.7 Si on utilise le détecteur 1, la tache image formée par le système optique centré est susceptible d impressionner plusieurs cellules, l image ne peut donc pas être considérée comme ponctuelle. En revanche, la tache image est plus petite qu une cellule du détecteur 2. Donc, si on utilise ce dernier c est lui qui limite la résolution et l image formée par le système optique centré pourra être considérée ponctuelle.

24 Page STIGMATISME APPROCHÉ 2.2 Stigmatisme approché Définition On l a vu, le stigmatisme rigoureux est une notion trop contraignante et irréalisable. En fait, il est possible d obtenir une bonne image, même si tous les rayons lumineux ne convergent pas strictement vers le même point. Il est donc nécessaire de définir une version plus souple du stigmatisme : À Savoir Impérativement Loi n 5 Pour qu un système optique centré forme une bonne image S d une source ponctuelle S, il n est pas indispensable que tous les rayons lumineux passent par S après la traversée du système, mais il est nécessaire qu ils passent au voisinage de S de façon à former une petite tache image, plus petite que la tache de diffraction donnée par le système ou qui n impressionne qu une cellule du photodétecteur Conditions de Gauss Pour réaliser le stigmatisme approché avec un système optique centré, il suffit de se placer dans les conditions de Gauss : À Savoir Impérativement Loi n 6 1. Les angles de tous les rayons lumineux avec l axe sont faibles. 2. Les angles d incidences de tous les rayons lumineux sur les dioptres sont faibles. 3. La hauteur d incidence par rapport à l axe de tous les rayons lumineux sur chaque dioptre et chaque miroir est petite devant leur rayon de courbure Conséquences des conditions de Gauss Conséquence sur les angles À Savoir Impérativement Loi n 7 S u h SOC cosu 1 u petit sinu u tg u u

25 2.2. STIGMATISME APPROCHÉ Page 25 Lois de Snell-Descartes : i 1 et i 2 petits À Savoir Impérativement Loi n 8 n 1 sini 1 = n 2 sini 2 n 1 i 1 = n 2 i 2 Stigmatisme À Savoir Impérativement Loi n 9 On peut négliger la taille de la tache image et considérer que tous les rayons lumineux issus d une source S passent par son image S. Dans les conditions de Gauss, l image d un plan de front (c est à dire un plan perpendiculaire à l axe) Π par un système optique centré est un plan de front Π. Π et Π sont conjugués. Cela implique que tout objet appartenant à Π a son image dans Π (cf figure 2.8). À Savoir Impérativement Loi n 10 Si un objet AB est perpendiculaire à l axe optique, alors son image A B est perpendiculaire à l axe optique aussi. Π B C A SOC Π A C B Figure 2.8 Π et Π sont deux plans de front conjugués. Alors, les objets AB et AC appartenant à Π ont leur images A B et A C dans Π Le dioptre sphérique dans les conditions de Gauss Un dioptre sphérique est une portion de sphère de rayon R et de centre C séparant deux milieux homogènes d indices de réfraction différents. L intersection du dioptre avec l axe optique est le sommet S du dioptre.

26 Page STIGMATISME APPROCHÉ plan tangent au dioptre en S n n normale au dioptre au point I I C R u h S h et u petits C S n n Figure 2.9 Figure 2.10 À Savoir Impérativement Loi n 11 Dans les conditions de Gauss, comme les hauteurs et les angles d incidence sont petits, on assimile le dioptre à son plan tangent en S. Cependant, pour rester au même ordre d approximation, la normale en un point I du dioptre reste définie par le rayon CI du dioptre en ce point (cf figure 2.10). Exercice 3: Dioptre sphérique On considère un dioptre sphérique de centre C et de sommet S, séparant du silicium d indice n = 3 de l air d indice n = 1. Soit un rayon du dioptre, coupant celuici en I S, et soit α C son angle avec l axe (CS). Ce rayon coupe le plan tangent au dioptre en S au point I 1. Dans les conditions de Gauss on assimile le dioptre à son plan tangent en S. C I α C Figure Àpremièrevue,àquelleconditionsurα C cetteapproximationest-ellejustifiée? 2. Que peut-on dire de I et I 1 lorsque cette approximation est vérifiée? On se place maintenant dans les conditions de Gauss, où le dioptre est assimilé à son plan tangent. On cherche à prouver que tous les rayons lumineux issus d un point objet A sont concourants. On suppose que le point A appartient à l axe (SC) et que SA = 2SC. 3. On considère le rayon lumineux (AS) incident en S, on appelle RL d1 le rayon lumineux dévié correspondant. (a) Déterminer l angle d incidence. (b) En déduire l angle de réfraction et RL d1. I 1 S

27 2.2. STIGMATISME APPROCHÉ Page On considère le rayon lumineux(ai), on appelle RL d2 le rayon lumineux dévié correspondant. (a) Déterminer l angle α A entre le rayon lumineux et la droite (CS) en fonction de l angle α C entre (CI) et (CS). (b) Déterminer l angle d incidence i en fonction de α C. (c) En déduire l angle de réfraction i en fonction de α C. 5. On appelle A i le point d intersection de RL d1 et RL d2. Montrer que SA i ne dépend pas de i. 6. Que peut-on en conclure vis à vis du stigmatisme? 7. En reprenant le raisonnement, identifier les différentes approximations et dire pour chacune à laquelle des trois conditions de Gauss elle correspond. Correction 1. Aux petits angles, l arc de cercle est visiblement confondu avec le plan. Ce quel onappellepetitangle,c estunanglesatisfaisant α C 1 (en radian)en pratique, l approximation reste convenable jusqu à α C = 0,1 0,2 ou encore une dizaine de degrés. 2. Ils sont confondus, I = I 1 3. (a) -le dioptre est sphérique (E) -le point d incidence est S (E) La normale à un dioptre en un point est la droite perpendiculaire au dioptre en ce point. Pour un dioptre sphérique, la normale au dioptre en un point est un rayon de la sphère (Loi 1) La normale au dioptre en S est la droite (CS) -La normale au dioptre en S est la droite (CS) (D) -Le rayon lumineuxincident est (AS) (E) -A (CS) (E) L angle d incidence d un rayon lumineux est l angle entre le rayon lumineux et la normale au dioptre au point d incidence (Loi 1) L angle d incidence est l angle entre (AS) et (CS), donc entre (CS) et (CS), donc il est nul.

28 Page STIGMATISME APPROCHÉ Correction 3. (b) L angle d incidence est nul (D) Soit i 1 l angle d incidence, le rayon lumineux réfracté fait un angle i 2 avec la normale tel que : n 1 sini 1 = n 2 sini 2 L angle de réfraction est nul - L angle de réfraction est nul (D) - La normale au dioptre est (CS) (D) L angle de réfraction est l angle entre le rayon lumineuxréfracté et la normale au dioptre Le rayon lumineuxréfracté fait un angle nul avec la normale, donc le rayon lumineuxréfracté est sur la droite (CS) 4. (a) - On se place dans les conditions de Gauss (E) - SA = 2 SC (E) Calcul α C tanα C = SI SC et α A tanα A = SI SA = SI 2 SC = α C 2 α A = α C 2 (b) -le dioptre est sphérique (E) -le point d incidence est I (E) La normale à un dioptre en un point est la droite perpendiculaire au dioptre en ce point. Pour un dioptre sphérique, la normale au dioptre en un point est un rayon de la sphère (Loi 1) La normale au dioptre en S est la droite (CI) -La normale au dioptre en S est la droite (CI) (D) -Le rayon lumineuxincident est (AI) (E) L angle d incidence d un rayon lumineux est l angle entre le rayon lumineux et la normale au dioptre au point d incidence (Loi 1) L angle d incidence i est l angle entre (AI) et (CI)

29 2.2. STIGMATISME APPROCHÉ Page 29 Correction 4. (b) L angle entre (CI) et (AS) est SCI = α C (E) Calcul SCI + ICA = π ICA = π SCI = π α C ICA = π α C Dans le triangle AIC : - ICA = π α C (D) - AIC = i (D) - CAI = α A (E) La sommes des angles d un triangle vaut π π α C + i + α A = π i = α C α A i = α C α A = α C 2 (c) - L angle d incidence est i = α C 2 (D) - On se place dans les conditions de Gauss (E) Soit i l angle d incidence, le rayon lumineux réfracté fait un angle i avec la normale tel que : n i = n i i = n n i = 3 i = 3 2 α C On trace le rayon lumineux réfracté RL d2 de façon à ce que i > i 5. - On appelle α A l angle entre RL d2 et (AS) (C) - i est l angle entre (CI) et (AI) (D) - α C est l angle entre (CI) et (AS) (E) Calcul i = α C +α A α A = i α C = 3 2 α C α C = 1 2 α C α A = 1 2 α C - On est dans les conditions de Gauss (E) - Le triangle ISA est rectangle car RL d1 est confondu avec (AS) (D) - α A = α C 2 (D) - α C 2 = SI SA Calcul α A tanα A = SI = α C SA 2 = SI SA SA = SA

30 Page STIGMATISME APPROCHÉ Correction 6. La conclusion précédente ne dépend pas de i, elle est donc vraie pour tous les rayons lumineux incidents. Cela veut dire que tous les rayons lumineux déviés croisent RL d1 en A tel que SA = SA. Cela est la définition même du stigmatisme. 7. La condition α C 1 correspond à la 1ere condition de Gauss du cours : angles des rayons avec l axe petits. La relation i = α C /2 implique que que à son tour i 1. Cela obeit à la deuxième condition de Gauss qui stipule que les angles d incidence sur les dioptres doivent être petits. Enfin, la relation α C = SI 1 CS 1 implique que SI 1 CS, donc la hauteur d incidence est bien petite par rapport au rayon de courbure du dioptre ce qui satisfait la troisième condition de Gauss.

31 Chapitre 3 Systèmes centrés Votre maîtrise de ce chapitre est satisfaisante si : vous connaissez par cœur la définition du foyer image d un système optique centré la définition du foyer objet d un système optique centré la définition du grandissement la définition des points principaux d un système optique centré la définition des distances focales objet et image la relation de conjugaison de Newton la définition d une lentille mince les règles de construction vous savez redémontrer sans polycopié comment construire l image d un point par un système optique centré vous avez compris comment on trouve les foyers et les points principaux d un dioptre sphérique comment on trouve les foyers et les points principaux d une lentille mince les règles de construction Si un de ces points vous résiste, il faut impérativement aller voir votre enseignant pour lui poser des questions, avant la date prévue pour le questionnaire de contrôle des connaissances sur ce chapitre. 31

32 Page POINTS CARDINAUX 3.1 Points cardinaux Foyer image À Savoir Impérativement Loi n 12 Le foyer image, F i d un système optique centré est le point de l axe optique, image d un point à l infini sur l axe optique. Le plan focal image est le plan perpendiculaire à l axe contenant F i. Tout point source à l infini a son image dans le plan focal image. Source à l infini sur l axe Pour bien comprendre le définition du foyer image, il convient de préciser ce que l on entend par point à l infini sur l axe et quelles en sont les conséquences. S L α α (1) (2) Figure 3.1 Source ponctuelle très éloignée a SOC La lumière issue de la source S pénètre dans un système optique centré de rayon a (cf figure 3.1). La distance entre la source et le système étant L, les rayons lumineux extrêmes font un angle α a L La source pourra être considérée à l infini lorsque α << 1 d angle ce qui correspond au pouvoir séparateur de l œil. Rappel 1 d angle = 1 60 degré = π rad = 2, rad 1 d angle = 1 60 d angle = 4, rad Cette condition est rencontrée en pratique lorsque L >> a. C est le cas par exemple pour une étoile observée au télescope : L > m et a 1 m α rad ou un lampadaire vu à l œil nu à une distance de 500 m : L = 500 m et a 5 mm α rad et dans de nombreuses autres situations de la vie courante. L angle α est alors tellement petit que les rayons lumineux (1) et (2) semblent parallèles à l axe optique, comme c est le cas pour deux fils à plomb.

33 3.1. POINTS CARDINAUX Page 33 Une source à l infini sur l axe envoie sur le système optique centré un faisceau de rayons lumineux parallèles à l axe optique. De plus, puisque le système est stigmatique, tous les rayons lumineux issus de la source passent par le foyer image après déviation par le système, donc : À Savoir Impérativement Loi n 13 Tout rayon lumineux incident parallèle à l axe optique passe par le foyer image après avoir été dévié par un système optique centré. Source à l infini SOC plan focal image F i Figure 3.2 Focalisation d un faisceau de rayons lumineux parallèles à l axe. Source à l infini hors axe S β α α β (1) a α 0 L (2) SOC SOC Une source à l infini S β hors d axe, vue sous un angle β envoie sur un système optique centré un faisceau de rayons lumineux parallèles entre eux, faisant un angle β avec l axe. L image F β i de S β appartient nécessairement au plan focal image et le stigmatisme impose que tous les rayons lumineux issus de S β passent par F β i après traversée du système. Ainsi, tous les rayons lumineux faisant un angle β avec l axe passent par le point F β i après déviation, donc : À Savoir Impérativement Loi n 14 Deux rayons lumineux incidents parallèles entre eux se croisent en un même point du plan focal image

34 Page POINTS CARDINAUX Source à l infini SOC plan focal image β β F i F i β Figure 3.3 Focalisation d un faisceau de rayons lumineux parallèles faisant un angle β avec l axe Foyer objet À Savoir Impérativement Loi n 15 Le foyer objet est le point de l axe dont l image se trouve à l infini sur l axe. Si F o est le foyer objet, tous les rayons lumineux qui en sont issus doivent converger vers son image, puisque le système est stigmatique. Or, l image de F o est à l infini sur l axe, cela implique que les rayons lumineux émergeant se croisent sur l axe à l infini, ils sont donc parallèles à l axe : À Savoir Impérativement Loi n 16 Tous les rayons lumineux passant par le foyer objet d un système optique centré émergent du système parallèlement à l axe. plan focal objet F o SOC Image à l infini Figure 3.4 Un point source sur le foyer objet d un système optique centré donne un faisceau de rayons lumineux parallèles à l axe. Remarque Le foyer image N EST PAS l image du foyer objet.

35 3.1. POINTS CARDINAUX Page 35 Le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l axe contenant le foyer objet. Tout point source appartenant au plan focal objet a son image à l infini. F β o F o β β SOC image à l infini Figure 3.5 Un point source dans le plan focal objet d un système optique centré donne un faisceau de rayons lumineux parallèles entre eux. Soit F β o un point du plan focal objet d un système optique centré. Tous les rayons lumineux issus de F β o convergent vers son image située à l infini, ils sont donc parallèles entre eux. À Savoir Impérativement Loi n 17 Deux rayons lumineux issus du même point du plan focal objet d un système optique centré émergent parallèles entre eux. Exemple : dioptre sphérique Exercice 4: Foyer image du dioptre spherique On considère le dioptre sphérique de sommet S et centre C, dans les conditions de Gauss représenté sur la figure 3.6. Un rayon lumineux incident parallèle à l axe optique arrive sur le dioptre en J. Il fait un angle i avec la normale au dioptre en J, qui est la droite (CJ). Donc i est l angle d incidence. Après la traversée du dioptre, le rayon est dévié. Le rayon émergeant fait un angle i avec la normale. J i i i i β β C S F i n entrée n sortie Figure 3.6 Position du foyer image

36 Page POINTS CARDINAUX 1. Que représente le point F i? 2. Que représente SF i? 3. β est l angle entre le rayon lumineux incident et le rayon lumineux dévié mais aussi entre l axe optique et le rayon dévié. Quel est le signe de β si on l oriente comme sur la figure 3.6? 4. Exprimer β en fonction de SJ et SF i 5. Exprimer β en fonction de i et i 6. Quelle relation existe-t-il entre i et i? 7. Exprimer β en fonction de i seulement. 8. Exprimer i en fonction de SJ et SC 9. En déduire SF i en fonction de SC, n entree et n sortie. Correction 1. Le rayon incident parallèle à l axe croise l axe en F i après déviation par le dioptre (E). Tout rayon lumineux incident parallèle à l axe optique passe par le foyer image après avoir été dévié par un système optique centré (Loi.13, page 33). F i est le foyer image du dioptre S est le point principal image du dioptre (D exercice 6). - F i est le foyer image du dioptre. Ladistancefocaleimagef d unsystèmeoptiquecentréest:f = H F i (Loi.20, page 40). SF i est la distance focale image du dioptre. 3. β est orienté dans le sens trigonométrique inverse donc β < On se place dans les conditions de Gauss : β petit. u petit tanu u (Loi.7, page 24). Dans le triangle rectangle JSF i : tanβ = SJ = β. SF i 5. i = i+β β = i i.

37 3.1. POINTS CARDINAUX Page 37 Correction 6. - i est l angle d incidence, i est l angle de réfraction. - On se place dans les conditions de Gauss. Dans les conditions de Gauss, les angles d incidence et de réfraction sont liés par n entree i = n sortie i (Loi.8, page 25). i = n entree n sortie i. ( ) nentree 1 i = n entree n sortie n sortie n sortie 7. β = i i = n entree i i = n sortie 8. On se place dans les conditions de Gauss : i petit. u petit tanu u (Loi.7, page 24). Dans le triangle rectangle JSC : tani = SJ SC = i. 9. β = n entree n sortie n sortie i = n entree n sortie n sortie i SJ SC = SJ SF i SF i = n sortie SJ SC (n entree n sortie ) SJ = n sortie n sortie n entree SC Exercice 5: Foyer objet du dioptre sphérique On considère maintenant un rayon lumineux incident qui passe par le foyer objet d un dioptre sphérique, dans les conditions de Gauss. Il croise le plan du dioptre en J en faisant un angle i avec la normale au dioptre en J. Il est ensuite dévié par le dioptre et émerge en faisant un angle i avec la normale au dioptre en J. Comme le rayon lumineux incident passe par le foyer objet, le rayon lumineux émergeant est parallèle à l axe optique. β β i J i F o C S n entrée n sortie Figure 3.7 Position du foyer objet En vous inspirant de l exercice précédent, déterminez la distance focale objet du dioptre sphérique en fonction de SC, n entree et n sortie.

38 Page POINTS CARDINAUX Correction 1. - S est le point principal objet du dioptre (D exercice 6). - F o est le foyer image du dioptre (E). La distance focale objet f d un système optique centré est : f = HF o (Loi.20, page 40). SF o est la distance focale objet du dioptre. 2. β est orienté dans le sens trigonométrique inverse donc β < On se place dans les conditions de Gauss : β petit. u petit tanu u (Loi.7, page 24). Dans le triangle rectangle JSF o : tanβ = SJ SF o = β. 4. i = i+β β = i i i est l angle d incidence, i est l angle de réfraction. - On se place dans les conditions de Gauss. Dans les conditions de Gauss, les angles d incidence et de réfraction sont liés par n entree i = n sortie i (Loi.8, page 25). i = n sortie i. n entree ( 1 n ) sortie i = n entree n sortie i n entree n entree 6. β = i i = i n sortie i = n entree 7. On se place dans les conditions de Gauss : i petit. u petit tanu u (Loi.7, page 24). Dans le triangle rectangle JSC : tani = SJ SC = i. 8. β = n entree n sortie n entree i = n entree n sortie n entree n entree SF o = SC n sortie n entree SJ SC = SJ SF o

39 3.1. POINTS CARDINAUX Page Points principaux objet et image Définition du grandissement Soit A B, l image par un système optique centré, d un objet AB perpendiculaire à l axe. Par définition, le grandissement γ entre l objet et l image est la quantité : γ = A B AB Le grandissement dépend de la position de l objet. Rappel y B y B SA = x A x S SC = x C x S AB = y B y A y A 0 C x C x A A x S S x Propriétés : SA = AS SA = SC +CA Les orientations des axes sont par convention celles du schéma cidessus. Dans cet exemple SA < 0 et AB > 0. Définition des points principaux À Savoir Impérativement Loi n 18 Le point principal objet H et le point principal image H d un système optique centré sont les points de l axe optiques tels que : H est l image de H pour un grandissement de 1. En d autres termes, si on place un objet HB en H alors son image par le système optique centré est en H et : H B = HB. B H SOC B H Figure 3.8

40 Page POINTS CARDINAUX Plans principaux Le plan principal objet est le plan perpendiculaire à l axe optique contenant H. Le plan principal image est le plan perpendiculaire à l axe optique contenant H. À Savoir Impérativement Loi n 19 Le plan principal image est l image du plan principal objet. Donc, tout point appartenant au plan principal objet a son image dans le plan principal image, avec un grandissement de 1. Distances focales À Savoir Impérativement Loi n 20 La distance focale objet f d un système optique centré est : f = HF o. La distance focale image f d un système optique centré est : f = H F i. Silesystèmeoptiquecentréséparedeuxmilieuxd indicesn entree etn sortie,alorsonpeut montrer que f /n sortie = f/n entree. Dans le cas le plus courant, les milieux extérieurs sont identiques (n sortie = n entree ), si bien que f = f Exemple : le dioptre sphérique Exercice 6: Points principaux d un dioptre sphérique OnconsidèreundioptresphériquedesommetS etdecentrec,séparantdeuxmilieux d indices n entree et n sortie, dans les conditions de Gauss. On suppose que SC < 0 et n entree > n sortie. On appelle B un point du dioptre. 1. Faire un schéma du dioptre sphérique 2. Tracer la normale du dioptre en B. 3. Soit RLi 1, un rayon lumineux qui arrive sur le dioptre en B. Tracer qualitativement RLe 1 le rayon lumineux transmis correspondant. 4. Soit RLi 2, un rayon lumineux qui arrive sur le dioptre en B. Tracer qualitativement RLe 2 le rayon lumineux transmis correspondant. 5. Quel est le point d intersection des rayons transmis? Où est B l image de B? 6. En déduire la position de l image de S. 7. On place un objet SB à la surface du dioptre. Où est son image S B? Que vaut le grandissement entre S B et SB? 8. Que peut-on en conclure sur la nature du point S?

41 3.1. POINTS CARDINAUX Page 41 Correction 1. RLi 1 i RLe 2 2 B i 1 i 1 i 2 RLi 2 C S RLe 1 n entrée n sortie Figure 3.9 Dioptre sphérique -OnconsidèreundioptresphériquedesommetS etcentrec danslescondition de Gauss (E). - SC < 0 (E). Dioptre sphérique dans les conditions de gauss (Loi.11, page 26). Le dioptre est assimilé à son plan tangent en S. C est avant S car SC < B est un point du dioptre (E). - On se place dans les conditions de Gauss (E). Dans les conditions de Gauss, la normale au dioptre en un point reste définie par le rayon du cercle passant par ce point (Loi.11, page 26). La normale au dioptre en B est (CB) RLi 1 arrive sur le dioptre en B (E). - La normale au dioptre en B est (CB) (D). L angle d incidence est l angle entre le rayon lumineux incident et la normale (Loi.2, page 11). L angle d incidence i 1 est l angle entre RLi 1 et (CB).

42 Page POINTS CARDINAUX 3. (suite) - RLe 1 est le rayon transmis correspondant à RLi 1 (E). - La normale au dioptre en B est (CB) (D). L angle de réfraction est l angle entre le rayon lumineux transmis et la normale (Loi.2, page 11). L angle de réfraction i 1 est l angle entre RLi 1 et (CB). - i 1 est l angle d incidence (D). - i 1 est l angle de réfraction (D). n entree sini 1 = n sortie sini 1 (Loi.2, page 11). sini 1 = n entree n sortie sini 1. - n entree > n sortie (E). - sini 1 = n entree n sortie sini 1 (D). Calcul n entree > n sortie n entree n sortie > 1 sini 1 > sini 1 i 1 > i 1 On trace qualitativement RLe 1 comme cela est fait sur la figure 3.9, de telle façon que i 1 > i On utilise exactement la même méthode pour tracer RLe 2. On définit d abord l angle d incidence i 2 entre RLi 2 et (CB), puis l angle de réfraction i 2 entre RLe 2 et (CB). Et on montre que i 2 > i Les rayons lumineux RLe 1 et RLe 2 se croisent en B. - On se place dans les conditions de Gauss (E). - RLe 1 et RLe 2 se croisent en B (D). Dans les conditions de Gauss le stigmatisme est vérifié : tous les rayons lumineux issus de B se croisent en son image après déviation par le système (Loi.9, page 25). L image de B est le point d intersection de RLe 1 et RLe 2, c est donc B lui même. L image par le dioptre d un point sur le dioptre est ce point lui même.

43 3.2. CONSTRUCTION DE L IMAGE D UN POINT Page S est sur le dioptre (E). - L image par le dioptre d un point sur le dioptre est ce point lui même (D). L image de S par le dioptre est S. 7. S = S et B = B (D) Calcul γ = S B SB = SB SB = 1 Le grandissement entre S B et SB est S est sa propre image par le dioptre pour un grandissement de 1 (D). Définition des points principaux (Loi.18, page 39). S est à la fois le point principal objet et le point principal image du dioptre sphérique. 3.2 Construction de l image d un point On se place dans les conditions de Gauss. On considère un système optique centré dont la position des foyers et des points principaux est connue. On dispose d un objet AB et on cherche la position de son image A B. On veut montrer que pour déterminer la position de l image d un objet par un système optique centré, il suffit de connaître la position de son foyer objet, de son foyer image et de ses points principaux. + + B α A F o Orientation des axes (1) (2) α C C SOC β (1 ) H H D D (2 ) Figure 3.10 F i β Orientation des angles A B +

44 Page CONSTRUCTION DE L IMAGE D UN POINT Démonstration Dans les conditions de Gauss, le système optique centré est stigmatique B est l image de B par le système optique centré (Loi.4, page 20) Si un système optique centré est stigmatique pour deux points, alors tous les rayons lumineux issus du point objet passent par le point image après déviation par le système. Tous les rayons lumineux issus de B doivent passer par B après la traversée du système optique centré. Il suffit donc de tracer le cheminement de 2 rayons lumineux issus de B pour déterminer B : B est à l intersection des 2 rayons lumineux émergeant du système. Il s agit alors de choisir judicieusement ces deux rayons lumineux. Pour des raisons qui apparaîtront clairement plus tard, on choisit les rayons lumineux suivants : (1) le rayon lumineux issu de B et parallèle à l axe (2) le rayon lumineux issu de B et passant par F o Cheminement du rayon (1) On appelle C le point d intersection entre le rayon lumineux (1) et le plan principal objet Le rayon lumineux (1) est parallèle à l axe optique HC = AB On appelle C l image de C C appartient au plan principal objet HC = AB (Loi.19, page 40) Si un point objet M appartient au plan principal objet, alors son image M appartient au plan principal image et le grandissement est 1 : H M = HM. C appartient au plan principal image et H C = HC = AB Le système optique centré est stigmatique C est l image de C Le rayon lumineux (1) passe par C (Loi.4, page 20) Si un système optique centré est stigmatique pour deux points, alors tous les rayons lumineux issus du point objet passent par le point image après déviation par le système.

45 3.2. CONSTRUCTION DE L IMAGE D UN POINT Page 45 Le rayon lumineux (1) doit passer par C après déviation par le système optique centré Le rayon lumineux (1) est parallèle à l axe (Loi.13, page 33) Si un rayon lumineux incident sur un système optique centré est parallèle à l axe, alors il émerge en passant par le foyer image. Le rayon lumineux (1) sort du système optique en passant par F i. Finalement, le rayon lumineux (1) émerge en passant par C et par F i : c est le rayon lumineux (1 ) sur la figure Cheminement du rayon (2) On appelle D le point d intersection entre le rayon lumineux (2) et le plan principal objet On appelle D l image de D (Loi.19, page 40) Si un point objet M appartient au plan principal objet, alors son image M appartient au plan principal image et le grandissement est 1 : H M = HM. D appartient au plan principal image et H D = HD Le système optique centré est stigmatique D est l image de D Le rayon lumineux (2) passe par D (Loi.4, page 20) Si un système optique centré est stigmatique pour deux points, alors tous les rayons lumineux issus du point objet passent par le point image après déviation par le système. Le rayon lumineux (2) doit passer par D après déviation par le système optique centré Le rayon lumineux (2) passe par F o (Loi.16, page 34) Si un rayon lumineux incident passe par le foyer objet d un système optique alors il émerge parallèlement à l axe optique Le rayon lumineux (2) émerge du système optique parallèlement à l axe

46 Page CONSTRUCTION DE L IMAGE D UN POINT Finalement, le rayon lumineux (2) émerge parallèlement à l axe en passant par D : c est le rayon lumineux (2 ) sur la figure 3.10 Position de B Le point B est à l intersection des rayons lumineux (1 ) et (2 ). Position de A AB est perpendiculaire à l axe optique (Loi.10, page 25) Dans les conditions de Gauss, l image d un objet perpendiculaire à l axe optique est perpendiculaire à l axe A B est perpendiculaire à l axe optique A est sur l axe optique (Loi.3, page 18) Par raison de symétrie, l image d un point sur l axe optique par un système optique centré, est elle-même sur l axe. A est sur l axe optique Donc A est le point d intersection entre la droite perpendiculaire à l axe optique passant par B, et l axe optique Relations de conjugaison : formule de Newton On considère à nouveau la figure La position de A image de A est donnée par la formule de Newton : À Savoir Impérativement Loi n 21 F o A F ia = ff (3.1) Cette relation est valide pour tout système optique centré et peut être utilisée dès que les positions des foyers et des points principaux sont connues.

47 3.2. CONSTRUCTION DE L IMAGE D UN POINT Page 47 Démonstration α < 0 α AB F o A = HD HF o = H D HF o = A B HF o donc γ = A B AB = HF o F o A β < 0 β H C = HC H F i H F i donc γ = A B AB = ia F H F i = AB H F i = A B F ia D après ce qui précède : γ = HF o F o A = ia F H F i F o A F ia = HF o H F i HF o est la distance focale objet désignée par f. De même, H F i est la distance focale image désignée par f. Le relation précédente devient avec ces notations : F o A F ia = ff Exercice 7: Relations de conjugaison du dioptre sphérique On considère un dioptre sphérique de sommet S, de centre C, de foyer objet F o et de foyer image F i, séparant deux milieux d indice n et n. On se place dans les conditions de Gauss. Déterminer la relation liant les positions d un point objet et de son image à travers le dioptre. Correction - S est le point principal objet et aussi le point principal image du dioptre (D exercice 6). - F o est le foyer objet du dioptre (E). - F i est le foyer image du dioptre (E). - A est l image de A par le dioptre (E). Formule de Newton : F o A F ia = ff (Loi.21, page 46). F o A F ia = SF o SF i.

48 Page LENTILLE MINCE PLONGÉE DANS L AIR Association de deux systèmes centrés L association de deux systèmes optiques centrés donne un système optique centré dont les distances focales objet et image sont données par : HF o = H 1F o1 H 2 F o2 = f 1f 2 F i1f o2 1f 2 H F i = H 1F i1 H 2F i2 = f F i1f o2 (3.2) où H 1, H 1, F o1 et F i1 sont les point principaux et les foyers du premier système optique centré, et H 2, H 2, F o2 et F i2 les point principaux et les foyers du second système optique centré. 3.3 Lentille mince plongée dans l air Définition Une lentille est formée de deux dioptres sphériques accolés (cf schéma 3.11). On dira que la lentille est mince lorsque S 1 S 2 est petit comparé aux rayons de courbure des dioptres (S 1 C 1 et S 2 C 2 ) et à leur rayon d ouverture. O Lentille Lentille convergente divergente Figure Position des points cardinaux Points principaux O n air=1 n air =1 n C 1 S C 2 2 S 1 R 1 R 2 Figure 3.11 Dans ce cas tout se passe comme si toutes les réfractions avaient lieu dans un même plan, c est pourquoi on adopte la représentation schématique de la figure On peut alors considérer que S 1 et S 2 sont confondus en un point, traditionnellement ap- O, qui est le centre optique de la pelé lentille. Pour déterminer les points principaux, on utilise un raisonnement similaire à celui qu on a employé pour le dioptre sphérique. Soit A un point appartenant au plan de la lentille et RLi un rayon lumineux incident qui passe par A. Puisque l on assimile la lentille à un plan, le rayon lumineux incident est dévié en A, au niveau du plan de la lentille, pour donner le rayon lumineux émergeant. Cela implique que le rayon lumineux émergeant passe lui aussi par A. Cela est vrai pour tous les rayons lumineux incidents passant par A. Donc A est le point de croisement des rayons lumineux émergeant correspondant à des rayons lumineux incidents passant par A. Donc A est sa propre image par la lentille. Cela implique que si on place un objet lumineux AB en O, alors son image A B est aussi en O. De plus, comme A est confondu avec A et B avec B, on a : A B = AB. Le

49 3.3. LENTILLE MINCE PLONGÉE DANS L AIR Page 49 grandissement est égal à 1. Finalement O est le point image de O par la lentille pour un grandissement de 1. Cela veut dire que O est le point principal objet mais aussi le point principal image : O = H = H. Donc le plan de la lentille est le plan principal objet et le plan principal image. Foyer objet F o PuisqueO estlepointprincipalobjetladistancefocaleobjetdelalentilleestf = OF o. En outre, la lentille est formée de l association de deux dioptres sphériques, on peut donc utiliser la formule 3.2 : OF o = S 1F o1 S 2 F o2 F i1f o2 avec : F o1 F o2 = F o1 S 1 + S 1 S 2 + S 2 F o2 F o1 S 1 + S 2 F o2 car S 1 S 2 O. Les distances focales des dioptres sphériques sont données par les relations des exercices 4 et 5 : S 1 F o1 = 1 n 1 S 1C 1 S 1 F i1 = n n 1 S 1C 1 = n S 1 F o1 S 2 F o2 = n 1 n S 2C 2 = n n 1 S 2C 2 Traditionnellement, on calcule plutôt 1/OF o, car le résultat est plus simple : 1 OF o = Foyer image F i F i1f o2 = F i1s 1 +S 1 F o2 = F i1s 1 +S 2 F o2 = S 1F i1 + 1 = n + 1 S 1 F o1 S 2 F o2 S 1 F o1 S 2 F o2 S 1 F o1 S 2 F o2 S 1 F o1 S 2 F o2 S 1 F o1 S 2 F o2 S 1 F o1 1 f = 1 ( 1 = (n 1) 1 ) OF o S 1 C 1 S 2 C 2 Puisque O est le point principal objet, la distance focale objet de la lentille est f = OF. En utilisant le même type de raisonnement que pour le foyer objet (à faire à titre d exercice), on trouve que : 1 f = 1 OF i On remarque que f = f. = (n 1) ( 1 1 ) S 1 C 1 S 2 C 2

50 Page LENTILLE MINCE PLONGÉE DANS L AIR Relations de conjugaison Relation de Newton À Savoir Impérativement Loi n 22 Si A est l image de A par la lentille mince, alors : F o A F ia = ff = f 2 (3.3) Relation de Descartes F o A F ia = ( F o O +OA )( F io +OA ) = ( f +OA )( f +OA ) = ( f +OA )( f +OA ) = f 2 +f OA f OA+OA OA = f 2 En divisant par f OA OA, on obtient : f OA f OA+OA OA = 0 1 OA 1 OA + 1 = 0 f soit 1 OA 1 OA = 1 f (3.4) Cheminement d un rayon lumineux passant par le centre optique i 1 S 1 O S 2 C i 1 2 i 2 K C 1 n air =1 n n air =1 i 2 Figure 3.13 Déviation d un rayon lumineux par une lentille épaisse On commence par considérer une lentille épaisse, constitué de l association de deux dioptres sphériques (voir schéma 3.13). On s intéresse au cheminement à travers la lentille d un rayon lumineux quelconque passant par S 1. La normale au dioptre en S 1 est la droite (C 1 S 1 ), c est à dire l axe optique lui même. L angle d incidence est donc l angle i 1 sur le schéma.

51 3.4. L ŒIL Page 51 En S 1, le rayon lumineux rencontre le dioptre. Il est donc dévié suivant les lois de Descartes. L angle de réfraction est l angle i 1, tel que : n air i 1 = n i 1. Ensuite, le rayon lumineux traverse la lentille et arrive sur le second dioptre en K. La normale au dioptre en ce point est la droite (C 2 K). L angle d incidence est alors l angle i 2. Le rayon lumineux est dévié par le second dioptre sphérique. L angle de réfraction i 2 est tel que : n i 2 = n air i 2. La question que l on se pose est : que se passe-t-il pour une lentille mince? C est-à-dire que se passe-t-il quand S 2 S 1 O? En examinant le schéma, on voit que lorsque S 2 S 1, le point K se rapproche de S 2, et donc la droite (C 2 K) se rapproche de (C 2 S 2 ). Donc, l angle i 2 se rapproche de i 1. À la limite, i 2 i 1. Cela implique que n air i 2 = n i 2 = n i 1 = n air i 1 i 2 = i 1. L angle de sortie est égal à l angle d entrée, le rayon lumineux n est pas dévié. À Savoir Impérativement Loi n 23 Lorsque les milieux baignant les 2 faces d une lentille mince sont identiques, un rayon lumineux qui passe par le centre optique de la lentille n est pas dévié 3.4 L œil Description schématique Figure 3.14 Schéma de l œil Iris Membrane colorée percée d un trou : la pupille, dont le diamètre peut varier de 2 mm à 8 mm et qui constitue ainsi un diaphragme contrôlant le flux de lumière entrant. Cristallin Lentille de distance focale variable, constituée de cellules géantes en pelure d oignon pouvant glisser les une sur les autres sous l effet de muscles (ligaments suspenseurs du cristallin). La déformation du cristallin induit des variations de la distance focale de façon à ce que l image se forme toujours sur la rétine, quelle que soit la