1 L1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

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1 1 1 L1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 2 Equvalence d effets à ntérêts composés. Deux effets sont équvalents à une date donnée, s escomptés au même taux ls ont à cette date la même valeur actuelle. Un effet est équvalent à pluseurs autres effets à une date donnée, s escomptés au même taux, la valeur actuelle de l effet unque est égale à la somme des valeurs actuelles des autres effets. L échéance moyenne de pluseurs effets est la date d échéance de l effet unque dont le nomnal est égal à la somme des valeurs nomnales des autres effets (et l escompte est la somme des escomptes). Exercce 22 a)- La valeur actuelle du premer effet est V act1 = 10000(1, 09) 2 = 8416, 80e La valeur actuelle du second effet est V act2 = 20000(1, 09) 3 = 15443, 67e. La valeur actuelle du trosème effet est V act3 = 15000(1, 09) 5 = 9748, 97e. Par conséquent, la valeur actuelle de l effet unque V act = V act1 + V act2 + V act3 : V act = 10000(1, 09) (1, 09) (1, 09) 5 = 33609, 44e Elle est relée à sa valeur nomnale V par la formule : V act = V (1 + ) n Fnalement, V = V act (1 + ) n = 33609, 44 (1, 09) 4 = V = 47442, 47 e b)- L échéance moyenne n des tros effets satsfat l équaton : V = V 1 + V 2 + V 3 = (1 + ) n.(v act1 + V act2 + V act3 ) où V = V 1 + V 2 + V 3 = = e et V act = V act1 + V act2 + V act3 = 5000.(1, 08) (1, 08) (1, 08) , 11 e. Donc (1, 08) n = 5000.(1, 08) (1, 08) (1, 08) , (1, 08) (1, 08) (1, 08) , 11 ( n) ln(1, 08) = ln ln ln 5000.(1,08) (1,08) (1,08) 4 n = ln 9667,11 n 2, 8 ans ln(1, 08) ln(1, 08)

2 2 3 Annutés. 3.1 Somme de n termes en progresson géométrque. n 1 r k = 1 + r r n 1 = r n r + 1 = k=0 3.2 Annutés. Généraltés r n 1 r 1 Defnton On désgne sous le terme général d annutés des sommes payables à ntervalles de temps égaux. En toute rgueur, le terme d annutés dot être utlsé lorsque les ntervalles de temps sont égaux à une année ; on devrat utlser le terme de semestraltés, trmestraltés, mensualtés lorsque les ntervalles de temps sont égaux respectvement à un semestre, un trmestre ou un mos. Les versements ont pour objet : - la consttuton d un captal (captalsaton) - le remboursement d un emprunt (actualsaton) Les annutés peuvent être avor un montant constant ou varable. 3.3 Valeur acquse d une sute de n annutés. Placement. Dans tous les cas, la valeur acquse est la somme des captalsatons de toutes les annutés. Au taux annuel de, la captalsaton d une annuté a est a(1 + ) na, où n a est le nombre de s de placement de a. a)- Cas général. On consdère une sute a 1 =, a 2,..., a n où a 1 est versée à la date t = 1 et a n à la date t = n, au taux annuel de. La valeur acquse par a 1,..., a n le jour du derner versement a n (càd celu à t = n) est : V acq n = a 1 (1 + ) n a n La valeur acquse par a 1,..., a n p s après le derner versement (càd à t = n + p) est : V acq+p n = Vn acq.(1 + ) p b)-cas partculer : Annutés constantes égales à a. La valeur acquse par n annutés constantes égales à a le jour du derner versement est : (1 + ) Vn acq n 1 = a La valeur acquse par n annutés constantes égales à a p s après le derner versement (càd à t = n + p) est : (1 + ) Vn acq+p n 1 = a (1 + ) p c)- Taux En pratque, la de placement est le plus souvent le trmestre ou le mos, mas le taux de placement ndqué est le taux annuel. Dans la stuaton d un placement à annutés constantes, on consdèrera comme taux sur la le taux équvalent sur la.

3 3 Exercce 23 En versant une annutés chaque année à partr du 1/12/1992(nclus) et jusqu au 1/12/2007(nclus), la personne a versé ( ) + 1 = 16 annutés. Le montant du captal au acqus au 1/12/2008 est la valeur acquse par 16 annutés constantes égales à e 1 après le derner versement c est à dre : V acq+1 16 = Exercce 24 ( (1,1) ,1 ) (1, 1) = = , 03 e a)- Le taux mensuel équvalent m (càd le taux mensuel qu, applqué sur une durée de 1 an, fournt la même valeur acquse) satsfat l équaton K(1 + m ) 12 = K(1 + a ) que nous résolvons : (1 + m ) 12 = 1 + a 1 + m = (1 + a ) 1 12 m = (1 + a ) = (1, 06) , = 0, 487% Pour la sute de la queston, nous consdérons les placements comme étant captalsés mensuellement au taux = 0, Le placement débute le 01/01/2005 et termne le 01/01/2010, sa durée est donc de = 5 ans = 60 mos. Comme le 01/01/2005 et le 01/01/2010 sont nclus, Monseur Martn a effectué 61 dépôts. Par conséquent, le captal total acqus au 01/01/2010 le jour du derner dépot, est la valeur acquse 1 après( le derner versement ) de 61 mensualtés constantes égales à M c est à dre : (1, 00487) V acq = M. (1, 00487) = et donc M = M 421, 50 e 0, (1,00487) 61 1 (1, 00487) 0,00487 b)- Modalté 2 : Trmestraltés constantes égales à T, placé au taux trmestrel T = 1, 47%. Entre le 01/01/2005 et le 01/01/2010 l y a 4 ans = 20 trmestres. Comme le 01/01/2005 est nclu et le 01/01/2010 est exclu, Monseur Martn a effectué 20 dépôts trmestrels. Le captal total acqus au 01/01/2010 est la valeur acquse 1 après le derner versement de 20 trmestraltés constantes égales à T c est à dre : V acq+1 20 = T (1+T ) 20 1 (1 + T ) = D où T = = T = 1282, 36...e ( (1,0147) ,0147 )(1,0147) c)- Modalté 3 : 3 dépots au taux annuel de a = 6% = 0, Premer dépot au 01/01/2005 de 5000 euros donc captalsé pendant 5 ans. - Second dépot au 01/01/2006 de 8000 euros donc captalsé pendant 4 ans. - Derner dépot au 01/01/2008 de X euros donc captalsé pendant 2 ans. Le captal total acqus au 01/01/2010 est la somme des captalsaton de ces tros captaux, ans : V acq = 5000(1 + a ) (1 + a ) 4 + X(1 + a ) 2 = 30000, d où X.(1, 06) 2 = (1, 06) (1, 06) 4. Fnalement, X = (1,06)5 8000(1,06) 4 (1,06) 2 X = 11756, 01...e d)- Modalté 4 : 3 semestraltés S 1, S 2, S 3 en progresson arthmétque au taux semestrel de 3% = 0, Premère semestralté au 01/01/2007 de S 1 euros, captalsée pendant 6 semestres. - Second semestralté au 01/07/2007 de S 2 = S euros, captalsée pendant 5 semestres. - Trosème semestralté au 01/01/2008 de S 3 = S euros, captalsée pendant 4 semestres. Le captal total acqus au 01/01/2010 est la somme des captalsatons de ces tros captaux : V acq = S 1 (1, 03) 6 + S 2 (1, 03) 5 + S 3 (1, 03) 4 = S 1 (1, 03) 6 + (S )(1, 03) 5 + (S )(1, 03) 4 = S 1 ((1, 03) 6 + (1, 03) 5 + (1, 03) 4 ) + (2000.(1, 03) (1, 03) 4 ) = 30000, d où S 1 = (2000.(1,03) (1,03) 4 ) ((1,03) 6 +(1,03) 5 +(1,03) 4 ) S 1 = 6662, 98...e, S 2 = 8662, 98...e, S 3 = 10662, 98...e

4 4 3.4 Valeur actuelle d une sute de n annutés. Remboursement d un prêt. On consdère une sute a 1 =, a 2,..., a n de n annutés de remboursement, où a 1 est versée à la date t = 1 et a n à la date t = n, au taux annuel de. La valeur actuelle au début du prêt V 0 = V act 0 représente le captal emprunté (rems à l emprunteur). Dans tous les cas, la valeur actuelle au temps t = 0 est la somme des valeurs actuelles de toutes les annutés. Au taux annuel de, la valeur actuelle d une annuté a est a(1 + ) na, où n a est le nombre de s de placement de a. a)- Cas général. La valeur actuelle de a 1,..., a n au début du prêt (càd à t = 0) est : V 0 = V act 0 = a 1 (1 + ) a n (1 + ) n La valeur actuelle de a 1,..., a n après le versement de a k (càd à t = k) est la valeur actuelle des (n k) annutés restantes a k+1,..., a n, elle correspond au captal restant dû (dette encore vvante) après le versement de a k, elle est donnée par la formule : V act k = a k+1 (1 + ) a n (1 + ) (n k b)-cas partculer : Annutés constantes égales à a. Le montant d un emprunt remboursable en n annutés constantes égales à a est la valeur actuelle au début du prêt et est donnée par la formule : 1 (1 + ) V0 act n = a. Le captal restant dû (dette encore vvante) après le versement de a k est la valeur actuelle de n k annutés constantes égales à a et est donnée par la formule : 1 (1 + ) Vk act (n k) = a. Ces formules permettent auss de détermner le montant de l annuté constante en foncton du montant du prêt. c)- Taux En pratque, la de remboursement est le plus souvent le trmestre ou le mos, mas le taux d emprunt ndqué est le taux annuel. Dans la stuaton d un remboursement à annutés constantes, on consdèrera comme taux sur la le taux proportonnel sur la. Exercce 25 Dans cette stuaton, le taux mensuel à applquer est le taux proportonnel = a = 0,098 0, Le montant maxmum V que le partculer peut consacrer à son achat est V0 act : où V0 act est la valeur actuelle de 240 mensualtés constantes de 700 e. Calculons V act 0 = (1,00817) 240 0, et donc V = e Exercce 26 a 1 = Y versée dans 1 an a 2 = Y versée dans 2 ans a 3 = 2Y versée dans 3 ans a 4 = 2Y versée dans 4 ans a 5 = 2Y versée dans 5 ans a 6 = 2Y versée dans 6 ans

5 5 a 7 = 3Y versée dans 7 ans a 8 = 3Y versée dans 8 ans a 9 = 3Y versée dans 9 ans a 10 = 3Y versée dans 10 ans Exprmons le montant de l emprunt en foncton de Y : V 0 = Y (1 + ) 1 + Y (1 + ) 2 + d après le formulare, (= Y ( 1 (1,12) 2 )) 0,12 2Y (1 + ) 3 + 2Y (1 + ) 4 + 2Y (1 + ) 5 + 2Y (1 + ) 6 + (= 2Y (1, 12) 2 ( 1 (1,12) 4 ) ) 0,12 3Y (1 + ) 7 + 3Y (1 + ) 8 + 3Y (1 + ) 9 + 3Y (1 + ) 10 (= 3Y (1, 12) 6 ( 1 (1,12) 4 )) 0,12 En factorsant pas Y et remplaçant = 0, 12, on obtent : V 0 =Y ((1,12) 1 +(1,12) 2 +2(1,12) 3 +2(1,12) 4 +2(1,12) 5 +2(1,12) 6 +3(1,12) 7 +3(1,12) 8 +3(1,12) 9 +3(1,12) 10 ). Y , , 24e 3.5 Amortsssements-Tableau d amortssements Dans la stuaton d un remboursement de prêt au moyen d annutés, les modaltés de remboursements sont précsées par les notons suvantes : - Les montants des annutés a 1,..., a k,...a n, - Le captal emprunté V 0 = V0 act, - Les montants des captal restant dû (dette encore vvante) mmédatement après le versement de chaque annutés : après le versement a k, ce montant est V k = Vk act - Les montants de l ntérêt sur chaque calculé sur captal restant dû : sur la k (entre le versement de a k 1 et celu de a k ), I k = V k 1, - Les montants des amortssements contenus dans les annutés : sur la k, l amortssement m k = a k I k = V k V k 1. On les résume dans un tableau dt d amortssement construt comme c-dessous (vor Ex 28). Exercce 27 Le montant ntal de l emprunt V 0 se calcule à partr des annutés et du taux d ntérêt par la formule : V 0 = 4200(1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) 5 (V 0 ) Nous devons détermner le taux. Pour cela, étudons la stuaton durant la dernère, c-à-d complétons la dernère lgne du tableau d amortssement (en partant de la drote) : Dette début de V 1 Intérêt sur la I Amortssement versé en fn de m Annuté versée en fn de a Captal restant dû après versement de l annuté V = On en dédut une équaton vérfée par : 500 = 5000 donc = 500 = 0, 01 = 10% 5000 Ou on utlse la formule du cours : a n = m n (1 + ) (1 + = an m n = et = 1 = 0, 1) 5000 En remplaçant dans (V 0 ) : V 0 = 4200(1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) , 31e Exercce 28 (a). Le montant de l emprunt V 0 est la valeur actuelle des 15 premères annutés (constantes) + la valeur actuelle de la sezème( annuté. ) On a donc : 1 1, = V 0 = a 16 1, a 16 1, = a 16 = ( 0,09 1 1, ,09 ) 1,09 16 = 12989, 80e 1 1, ,09

6 6 (b). les deux premères lgnes et la dernère lgne du tableau d amortssement (est ndquée auss la lgne générque correspondant à la k) : Dette en début de Intérêt sur la 1 V 0 = I 1 = , 09 = V 1 = I 2 = , 09 = 8730 Amortssement versé en fn de m 1 = 9000 = 3000 m 2 = 8730 = 3270 Annuté versée en fn de Captal restant dû après versement de l annuté a 1 = V 1 = = a 2 = V 2 = = k V k 1 I k m k a k V k 16 V 15 = 11917, 14 I 16 = 1072, 55 m 16 = 11917, 14 a 16 = 12989, 8 V 16 = 0 Pour compléter la dernère lgne du tabaleau d amortssement, nous notons que V 16 = 0 et donc que V 15 = m 16 = a 16 I 16 = a 16 V 15. = a 16 m 16. d où m 16 (1+) = a 16 et donc m 16 = 12989,8 = 11917, 14. 1,09 (On retrouve ce résultat en écrvant V 15 comme la valeur actuelle de a 1 6 après versement de a 15 ). (c). Le montant de la dette encore vvante après paement de la 11e annuté est V 11 = a 12 ((1 + ) 1 + ) a 13 (1 + ) 2 + a 14 (1 + ) 3 + a 15 (1 + ) 4 + a 16 (1 + ) 5 = 1 (1,09) 4 + (12989, 80).(1, 09) 5 = V , 12 e 0,09 Exercce 29 Le taux d ntérêt n étant pas donné, nous commençons par le calculer, pour celà écrvons la valeur actuelle : V 0 = a 1.(1 + ) 1 + a 2.(1 + ) 2, en multplant par (1 + ) 2, on a : V 0 (1 + ) 2 = a 1.(1 + ) + a 2 (on peut auss retenr la formule V 0 (1 + ) n = a 1.(1 + ) n a n ) Posons x = 1 +, x vérfe l équaton V 0.x 2 = a 1.x + a 2, c est une équaton du second degré : V 0.x 2 a 1.x a 2 = 0 son dscrmnant vaut = (a 1 ) 2 + 4V 0.a 2 = ( ) ( )( , 75) = ( ) 2 ses solutons sont x 1 = a = = 1, V 0 2.( )) (et x 2 = a V 0 = < 0 qu ne convent pas pour un taux). 2.( )) Fnalement = 1 x = 0, 0975 = 9, 75%. Le tableau d amortssement est : Pérode Dette au début de la Intérêt sur la 1 V 0 = I 1 = V 0 = = V 1 = I 2 = a 2 m 2 (= V 1 ) = 34953, 75 Amortssement versé en fn de m 1 = a 1 I 1 = = Annuté versée en fn de Captal restant dû après versement de l annuté a 1 = V 1 = V 0 m 1 = = m 2 = V 1 = a 2 = , 75 V 2 = 0

7 7 Exercce 30 Modalté 1. Le tableau d amortssement est : Pérode Dette au début de la Intérêt sur la 1 V 0 = I 1 = V 0 = , 06 = V 1 = I 2 = V 1 = , 06 = V 2 = I 3 = V 2 = , 06 = V 3 = I 4 = V 3 = , 06 = 600 Amortssement versé en fn de Annuté versée en fn de Captal restant dû après versement de l annuté m 1 = 0 a 1 = 600 V 1 = m 2 = 0 a 2 = 600 V 2 = m 3 = 0 a 3 = 600 V 3 = m 4 = a 4 = V 4 = 0 Modalté 2. Le montant de l amortssement constant est m = V 0 n = = Le tableau d amortssement est : Pérode Dette au début de la Intérêt sur la Annuté versée en fn de 1 V 0 = I 1 = V 0 = , 06 = V 1 = 7500 I 2 = V 1 = , 06 = V 2 = 5000 I 3 = V 2 = , 06 = V 3 = 2500 I 4 = V 3 = , 06 = 150 Amortssement versé en fn de Modalté 3. Le montant de l annuté constante est a = Pérode Dette au début de la 1 V 0 = I 1 = V 0 = , 06 = V 1 = 7714, 09 I 2 = V 1 = 7714, 09 0, 06 = 462, 85 3 V 2 = 5291, 03 I 3 = V 2 = 5291, 03 0, 06 = 317, 46 4 V 3 = 2722, 58 I 4 = V 3 = 2722, 58 0, 06 = 163, 35 Intérêt sur la Amortssement versé en fn de m 1 = 2500 a 1 = I 1 + m 1 = = 3100 m 2 = 2500 a 2 = I 2 + m 2 = = 2950 m 3 = 2500 a 3 = I 3 + m 3 = = 2800 m 4 = 2500 a 4 = I 4 + m 4 = = 2650 m 1 = a 1 I 1 = 2885, = 2285, 91 m 2 = a 2 I 2 = 2885, , 85 = 2423, 06 m 3 = a 3 I 3 = 2885, , 46 = 2568, 45 Captal restant dû après versement de l annuté V 1 = V 0 m 1 = = 7500 V 2 = V 1 m 2 = = 5000 V 3 = V 2 m 3 = = 2500 V 4 = 0 V , 06 = = 2885, 91 1 (1 + ) n 1 (1, 06) 4 Annuté versée en fn de m 4 = V 3 = 2722, 58 a 4 = 2885, 91 (vérf I 4 + m 4 ) Captal restant dû après versement de l annuté a 1 = 2885, 91 V 1 = V 0 m 1 = , 91 = 7714, 09 a 2 = 2885, 91 V 2 = V 1 m 2 = 7714, , 06 = 5291, 03 a 3 = 2885, 91 V 3 = V 2 m 3 = 5291, , 45 = 2722, 58 V 4 = 0

8 8 Exercce 31 Valeurs des deux premers amortssements. Les deux premers amortssements m 1 et m 2 vérfent les équatons : m 1 m 2 = et m 1 + m 2 = 5 150, en substtuant m 2 = m 1 dans la premère équaton, on obtent : m 1 (5 150 m 1 ) = m m = 0, c est une équaton du second degré, Comme dans les équatons vérfées par m 1 et m 2, les roles de m 1 et m 2 sont symétrques, m 2 vérfe auss la même équaton, par contre notons que dans le cas d annutés constantes les amortssements augmentent et donc m 2 > m 1 son dscrmnant est = ( 1)( ) = ( ) = ses solutons sont = 2500 et = Par conséquent m 1 = 2500, m 2 = 2650 Taux de l emprunt. Dans le cas d annutés constantes les amortssements sont en progresson géométrque de rason (1 + ), donc m 2 = (1 + )m 1, par conséquent (1 + ) = m 2 m 1 = 2650 = 1, 06 et = 0, 06 = 6% Montant de l emprunt (sa durée est de n = 7 ans). Dans le cas d annutés constantes V 0 = m 1. (1 + )n 1, par conséquent V 0 = 2500 (1,06)7 1 = 20984, 59 e. 0,06 On peut noter que V 0. = 2500.(1, ) Le montant de l annuté constante est a = Exercce 32 Exercce 33 Vor Annales Vor Annales V 0. 1 (1 + ) = 2500.(1, 067 1) = 3759, 08 e n 1 1, 06 7